中考數(shù)學(xué)壓軸題 二次函數(shù)動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題（一）

1、.2012中考數(shù)學(xué)壓軸題選講（一）1.如圖：拋物線經(jīng)過(guò)A（-3，0）、B（0，4）、C（4，0）三點(diǎn). （1） 求拋物線的解析式. （2）已知AD = AB（D在線段AC上），有一動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A沿線段AC以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度移動(dòng)；同時(shí)另一個(gè)動(dòng)點(diǎn)Q以某一速度從點(diǎn)B沿線段BC移動(dòng)，經(jīng)過(guò)t 秒的移動(dòng)，線段PQ被BD垂直平分，求t的值； （3）在（2）的情況下，拋物線的對(duì)稱(chēng)軸上是否存在一點(diǎn)M，使MQ+MC的值最??？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由。（注：拋物線的對(duì)稱(chēng)軸為）解：設(shè)拋物線的解析式為，依題意得：c=4且 解得 所以 所求的拋物線的解析式為（2）連接DQ，在RtAOB中，所以A

2、D=AB= 5，AC=AD+CD=3 + 4 = 7，CD = AC - AD = 7 5 = 2因?yàn)锽D垂直平分PQ，所以PD=QD，PQBD，所以PDB=QDB因?yàn)锳D=AB，所以ABD=ADB，ABD=QDB，所以DQAB所以CQD=CBA。CDQ=CAB，所以CDQ CAB 即所以AP=AD DP = AD DQ=5 = ， 所以t的值是（3）答對(duì)稱(chēng)軸上存在一點(diǎn)M，使MQ+MC的值最小理由：因?yàn)閽佄锞€的對(duì)稱(chēng)軸為所以A（- 3，0），C（4，0）兩點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱(chēng)連接AQ交直線于點(diǎn)M，則MQ+MC的值最小過(guò)點(diǎn)Q作QEx軸，于E，所以QED=BOA=90 DQAB， BAO=QDE

3、， DQE ABO 即 所以QE=，DE=，所以O(shè)E = OD + DE=2+=，所以Q（，）設(shè)直線AQ的解析式為則 由此得 所以直線AQ的解析式為 聯(lián)立由此得 所以M則：在對(duì)稱(chēng)軸上存在點(diǎn)M，使MQ+MC的值最小。2.如圖9，在平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)的圖象的頂點(diǎn)為D點(diǎn)，與y軸交于C點(diǎn)，與x軸交于A、B兩點(diǎn)， A點(diǎn)在原點(diǎn)的左側(cè)，B點(diǎn)的坐標(biāo)為（3，0），OBOC ，tanACO（1）求這個(gè)二次函數(shù)的表達(dá)式（2）經(jīng)過(guò)C、D兩點(diǎn)的直線，與x軸交于點(diǎn)E，在該拋物線上是否存在這樣的點(diǎn)F，使以點(diǎn)A、C、E、F為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)F的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由（3）如圖10，若點(diǎn)G

4、（2，y）是該拋物線上一點(diǎn)，點(diǎn)P是直線AG下方的拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到什么位置時(shí)，APG的面積最大？求出此時(shí)P點(diǎn)的坐標(biāo)和APG的最大面積.（1）由已知得：C（0，3），A（1，0） 1分將A、B、C三點(diǎn)的坐標(biāo)代入得 解得： 所以這個(gè)二次函數(shù)的表達(dá)式為： （2）存在，F(xiàn)點(diǎn)的坐標(biāo)為（2，3） 理由：易得D（1，4），所以直線CD的解析式為：E點(diǎn)的坐標(biāo)為（3，0），由A、C、E、F四點(diǎn)的坐標(biāo)得：AECF2，AECF以A、C、E、F為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形，存在點(diǎn)F，坐標(biāo)為（2，3） （3）過(guò)點(diǎn)P作y軸的平行線與AG交于點(diǎn)Q，易得G（2，3），直線AG為設(shè)P（x，），則Q（x，x1），PQ 當(dāng)

5、時(shí)，APG的面積最大，此時(shí)P點(diǎn)的坐標(biāo)為， 3.如圖，已知拋物線與x軸交于A（1，0）、B（3，0）兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C（0，3）。求拋物線的解析式；設(shè)拋物線的頂點(diǎn)為D，在其對(duì)稱(chēng)軸的右側(cè)的拋物線上是否存在點(diǎn)P，使得PDC是等腰三角形？若存在，求出符合條件的點(diǎn)P的坐標(biāo);若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由;若點(diǎn)M是拋物線上一點(diǎn)，以B、C、D、M為頂點(diǎn)的四邊形是直角梯形，試求出點(diǎn)M的坐標(biāo)。解析：拋物線與y軸交于點(diǎn)C（0，3），設(shè)拋物線解析式為，根據(jù)題意，得，解得拋物線的解析式為存在. 由得，D點(diǎn)坐標(biāo)為（1，4），對(duì)稱(chēng)軸為x1.若以CD為底邊，則PDPC，設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為(x,y)，根據(jù)勾股定理，得，即y4x.又P點(diǎn)(x

6、,y)在拋物線上，即解得，應(yīng)舍去.，即點(diǎn)P坐標(biāo)為.若以CD為一腰，因?yàn)辄c(diǎn)P在對(duì)稱(chēng)軸右側(cè)的拋物線上，由拋物線對(duì)稱(chēng)性知，點(diǎn)P與點(diǎn)C關(guān)于直線x1對(duì)稱(chēng)，此時(shí)點(diǎn)P坐標(biāo)為（2，3）。符合條件的點(diǎn)P坐標(biāo)為或（2，3）.由B（3，0），C（0，3），D（1，4），根據(jù)勾股定理,得CB,CD,BD,，,BCD90°,設(shè)對(duì)稱(chēng)軸交x軸于點(diǎn)E，過(guò)C作CMDE，交拋物線于點(diǎn)M，垂足為F，在RtDCF中，CFDF1, CDF45°,由拋物線對(duì)稱(chēng)性可知，CDM2×45°90°,點(diǎn)坐標(biāo)M為（2，3），DMBC, 四邊形BCDM為直角梯形, 由BCD90°及題意可知，

7、以BC為一底時(shí)，頂點(diǎn)M在拋物線上的直角梯形只有上述一種情況;以CD為一底或以BD為一底，且頂點(diǎn)M在拋物線上的直角梯形均不存在。綜上所述，符合條件的點(diǎn)M的坐標(biāo)為（2，3）。4.已知：拋物線yax2bxc與x軸交于A、B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，其中點(diǎn)B在x軸的正半軸上，點(diǎn)C在y軸的正半軸上，線段OB、OC的長(zhǎng)（OB<OC）是方程x210x160的兩個(gè)根，且拋物線的對(duì)稱(chēng)軸是直線x2（1）求A、B、C三點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）求此拋物線的表達(dá)式；（3）求ABC的面積；（4）若點(diǎn)E是線段AB上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（與點(diǎn)A、點(diǎn)B不重合），過(guò)點(diǎn)E作EFAC交BC于點(diǎn)F，連接CE，設(shè)AE的長(zhǎng)為m，CEF的面積為S，求S與m

8、之間的函數(shù)關(guān)系式，并寫(xiě)出自變量m的取值范圍；（5）在（4）的基礎(chǔ)上試說(shuō)明S是否存在最大值，若存在，請(qǐng)求出S的最大值，并求出此時(shí)點(diǎn)E的坐標(biāo)，判斷此時(shí)BCE的形狀；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由解：（1）解方程x210x160得x12，x28點(diǎn)B在x軸的正半軸上，點(diǎn)C在y軸的正半軸上，且OBOC點(diǎn)B的坐標(biāo)為（2，0），點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0，8）又拋物線yax2bxc的對(duì)稱(chēng)軸是直線x2由拋物線的對(duì)稱(chēng)性可得點(diǎn)A的坐標(biāo)為（6，0）A、B、C三點(diǎn)的坐標(biāo)分別是A（6，0）、B（2，0）、C（0，8）（2）點(diǎn)C（0，8）在拋物線yax2bxc的圖象上c8，將A（6，0）、B（2，0）代入表達(dá)式y(tǒng)ax2bx8，得解得所求拋物

9、線的表達(dá)式為yx2x8（3）AB8，OC8SABC ×8×8=32（4）依題意，AEm，則BE8m，OA6，OC8， AC10EFAC BEFBAC 即 EF過(guò)點(diǎn)F作FGAB，垂足為G，則sinFEGsinCAB FG·8mSSBCESBFE（8m）×8（8m）（8m）（8m）（88m）（8m）mm24m自變量m的取值范圍是0m8（5）存在 理由：Sm24m（m4）28且0，當(dāng)m4時(shí)，S有最大值，S最大值8m4，點(diǎn)E的坐標(biāo)為（2，0） BCE為等腰三角形5.已知拋物線與軸的一個(gè)交點(diǎn)為A(-1,0)，與y軸的正半軸交于點(diǎn)C直接寫(xiě)出拋物線的對(duì)稱(chēng)軸，及拋物線與

10、軸的另一個(gè)交點(diǎn)B的坐標(biāo)；當(dāng)點(diǎn)C在以AB為直徑的P上時(shí)，求拋物線的解析式；坐標(biāo)平面內(nèi)是否存在點(diǎn)，使得以點(diǎn)M和中拋物線上的三點(diǎn)A、B、C為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由解：對(duì)稱(chēng)軸是直線：，點(diǎn)B的坐標(biāo)是(3,0) 說(shuō)明：每寫(xiě)對(duì)1個(gè)給1分，“直線”兩字沒(méi)寫(xiě)不扣分如圖，連接PC，點(diǎn)A、B的坐標(biāo)分別是A(-1,0)、B (3,0)，AB4在RtPOC中，OPPAOA211， b 當(dāng)時(shí)， 存在理由：如圖，連接AC、BC設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為當(dāng)以AC或BC為對(duì)角線時(shí)，點(diǎn)M在x軸上方，此時(shí)CMAB，且CMAB由知，AB4，|x|4，x±4點(diǎn)M的坐標(biāo)為當(dāng)以AB為對(duì)角線時(shí)，

11、點(diǎn)M在x軸下方過(guò)M作MNAB于N，則MNBAOC90°四邊形AMBC是平行四邊形，ACMB，且ACMBCAOMBNAOCBNMBNAO1，MNCOOB3，0N312點(diǎn)M的坐標(biāo)為綜上所述，坐標(biāo)平面內(nèi)存在點(diǎn)，使得以點(diǎn)A、B、C、M為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形其坐標(biāo)為（說(shuō)明：求點(diǎn)M的坐標(biāo)時(shí)，用解直角三角形的方法或用先求直線解析式，然后求交點(diǎn)M的坐標(biāo)的方法均可，請(qǐng)參照給分）2012中考數(shù)學(xué)壓軸題選講（一）1.如圖：拋物線經(jīng)過(guò)A（-3，0）、B（0，4）、C（4，0）三點(diǎn). （1） 求拋物線的解析式. （2）已知AD = AB（D在線段AC上），有一動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A沿線段AC以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度

12、移動(dòng)；同時(shí)另一個(gè)動(dòng)點(diǎn)Q以某一速度從點(diǎn)B沿線段BC移動(dòng)，經(jīng)過(guò)t 秒的移動(dòng)，線段PQ被BD垂直平分，求t的值； （3）在（2）的情況下，拋物線的對(duì)稱(chēng)軸上是否存在一點(diǎn)M，使MQ+MC的值最?。咳舸嬖?，請(qǐng)求出點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由。（注：拋物線的對(duì)稱(chēng)軸為）2.如圖9，在平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)的圖象的頂點(diǎn)為D點(diǎn)，與y軸交于C點(diǎn)，與x軸交于A、B兩點(diǎn)， A點(diǎn)在原點(diǎn)的左側(cè)，B點(diǎn)的坐標(biāo)為（3，0），OBOC ，tanACO（1）求這個(gè)二次函數(shù)的表達(dá)式（2）經(jīng)過(guò)C、D兩點(diǎn)的直線，與x軸交于點(diǎn)E，在該拋物線上是否存在這樣的點(diǎn)F，使以點(diǎn)A、C、E、F為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)F的坐標(biāo)

13、；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由（3）如圖10，若點(diǎn)G（2，y）是該拋物線上一點(diǎn)，點(diǎn)P是直線AG下方的拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到什么位置時(shí)，APG的面積最大？求出此時(shí)P點(diǎn)的坐標(biāo)和APG的最大面積.3.如圖，已知拋物線與x軸交于A（1，0）、B（3，0）兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C（0，3）。求拋物線的解析式；設(shè)拋物線的頂點(diǎn)為D，在其對(duì)稱(chēng)軸的右側(cè)的拋物線上是否存在點(diǎn)P，使得PDC是等腰三角形？若存在，求出符合條件的點(diǎn)P的坐標(biāo);若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由;若點(diǎn)M是拋物線上一點(diǎn)，以B、C、D、M為頂點(diǎn)的四邊形是直角梯形，試求出點(diǎn)M的坐標(biāo)。4.已知：拋物線yax2bxc與x軸交于A、B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，其中點(diǎn)B在x軸的正半軸上，點(diǎn)C在y軸的正半軸上，線段OB、OC的長(zhǎng)（OB<OC）是方程x210x160的兩個(gè)根，且拋物線的對(duì)稱(chēng)軸是直線x2（1）求A、B、C三點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）求此拋物線的表達(dá)式；（3）求ABC的面積；（4）若點(diǎn)E是線段AB上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（與點(diǎn)A、點(diǎn)B不重合），過(guò)點(diǎn)E作EFAC交BC于點(diǎn)F，連接CE，設(shè)AE的長(zhǎng)為m，CEF的面積為S，求S與m之間的函數(shù)關(guān)系式，并寫(xiě)出自變量m的取值范圍；（5）在（4）的基