對(duì)數(shù)函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用題型歸納

1、對(duì)數(shù)函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用題型歸納對(duì)數(shù)函數(shù)y logax(a 0,且a 1)的單調(diào)性為：當(dāng)a>1時(shí)，y log a x(a 0,且a 1)在(0,)上為增函數(shù)；當(dāng)0 a 1時(shí)，y log a x(a 0,且a 1)在(0,)上為減函數(shù)。理解和應(yīng)用這個(gè)性質(zhì)時(shí)應(yīng)注意兩點(diǎn)：(1)不能忽視定義域，注意它在定義域內(nèi)是單調(diào)函數(shù)；(2)注意性質(zhì)的可逆性，在定義域內(nèi)，由函數(shù)值的大小關(guān)系，可判斷參數(shù)的范圍。下面舉例介紹此性質(zhì)的幾個(gè)應(yīng)用。一、最值問(wèn)題例1、若函數(shù)f(x) loga x(a 0,且a 1)在區(qū)間a，2a上的最大值是最小值的3倍,則實(shí)數(shù)a=.解：(1 )當(dāng)0 a 1時(shí)，函數(shù)f(x) loga x在(0

2、,)上是減函數(shù)，所以在區(qū)間a,2a上，f (x)maxf (a) loga a 1 , f(x)minf (2a)loga(2a),結(jié)合題意可知21 3loga(2a)，解得 a .(2)當(dāng)a>1時(shí)，函數(shù) f (x) loga x在(0,)上是增函數(shù)，所以在區(qū)間a, 2a上,f (x) maxf(2a)log a (2a), f (x)minf (a)log a a 1,結(jié)合題意可知loga(2a)3，解得 a .2.綜上可知，a血或或a42.二、值域問(wèn)題1x x例2、已知2 log2 x 3，求函數(shù)y (log2-)(log2 4)的值域。分析：所求函數(shù)的解析式是兩個(gè)對(duì)數(shù)的積的形式，可

3、利用對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)將其化為兩 個(gè)差的積。解：y (log2|)(log2 4)(log 2 x 1)(log2 x 2)3 2(gx 2)1 31因?yàn)閘og2 x 3，所以當(dāng)log2 x ，即x 2 2時(shí)，ymin2 21 當(dāng)log2 x 3，即x = 8時(shí)，ymax2，所以函數(shù)的值域?yàn)?2.4三、比較大小例 3、已知 f (x) log a x, x10, X20,試比較f(X1x2 )與 f(X1)X2)24XiX2，小。-X1X2，故當(dāng) 0 a 1 時(shí)，log X1X2lOg aXiX2解:f(X1) f(X2)logaX1logaX2兀，2 2分析：首先將所求兩式進(jìn)行化簡(jiǎn)、整理，轉(zhuǎn)化為

4、同底數(shù)的對(duì)數(shù)問(wèn)題，再比較其真數(shù)的 大小。f(寧)loga寧，而又由 X2)2 。，得(Xif(Xi) f(X2)2X-i X2 X1 X2f(丁)；當(dāng) a>-時(shí)，lOga、X1X2 一丁f (x1 )f (X2)X-1x2即 12 f( 12)，上面等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng) X1X2時(shí)成立。2 2點(diǎn)評(píng)：形如loga M與log a N的大小比較，只要利用y log a X的增減性，根據(jù)正數(shù)M與N的大小，即可確定log a M與log a N的大小。四、復(fù)合函數(shù)單調(diào)性例4、求下列函數(shù)的單調(diào)區(qū)間(1) y log°.2(9X 2 3X 2)；(2) y loga(a aX).解:( 1)令 t

5、 3X，u9XX2 32t2 2t2 (t1)2 11 0又ylog 0.2 u遞減，所以當(dāng)3X 1,即x 0時(shí)，u 9X 2 3X2遞增，所以ylog 0.2(923X2)遞減；當(dāng)3X1, 即 x 0 時(shí)，u9X 2 3X2遞減，所以ylog 0.2(92 3X 2)遞增。故函數(shù)y log°.2(9X2 32)的遞增區(qū)間為(,0，遞減區(qū)間為0,).(2)若a 1時(shí)，則y log a t遞增，且t a aX遞減，而a aX 0，即aX a，所以x<1，所以y loga(a aX).在(,1)上遞減。若0 a1時(shí)，則y log a t遞減，且t a aX遞增，而a aX 0 ,即aX a，所以x<1，所以y loga(a ax).在(1,).上遞減。綜上，函數(shù) y