高等工程流體力學(xué)(新)

1、高等工程流體力學(xué)授課教師：內(nèi)容概要粘性流體流動(dòng)現(xiàn)象粘性流體流動(dòng)性質(zhì)粘性流動(dòng)的基本方程粘性流動(dòng)的若干特解邊界層理論湍流模型理論流動(dòng)問題的數(shù)值解初步 第一章 粘性流體流動(dòng)現(xiàn)象自然界固有的流動(dòng)現(xiàn)象自然的流動(dòng)現(xiàn)象人類的利用第二章 粘性流體的性質(zhì) 2-1假設(shè)條件： 流體是連續(xù)介質(zhì) 流體是均質(zhì)不可壓縮的各向同性牛頓流體 流體是每一瞬時(shí)流體質(zhì)量處于準(zhǔn)熱平衡態(tài) 流體中的熱傳導(dǎo)過程服從傅里葉定律 2-2粘性流體不同于無粘性流體的特點(diǎn)： 1.粘性流體運(yùn)動(dòng)的有旋性 2.粘性流體運(yùn)動(dòng)機(jī)械能的耗散性 3.粘性流體運(yùn)動(dòng)中渦旋的擴(kuò)散性第三章 粘性流動(dòng)的基本方程3-1 研究流體運(yùn)動(dòng)的兩種方法（兩種參考坐標(biāo)系）（1）拉格朗日法

2、：跟隨流體質(zhì)點(diǎn)去研究流體運(yùn)動(dòng)的方法。 獨(dú)立變量為 ，t。 位置向量 速度向量 加速度向量 下標(biāo)表示是所標(biāo)志的流體質(zhì)點(diǎn)。),()(321txxxxx，)(),(321txuuuuu)(),(22321txaaaaxx2x1x3xt=tt=t0 （2）歐拉法：著眼于從空間坐標(biāo)去研究流體流動(dòng)。 獨(dú)立變量為 ,t。 速度向量 加速度向量 注意：一切流體運(yùn)動(dòng)的力學(xué)屬性均是流體質(zhì)點(diǎn)的屬性而不是空間點(diǎn)的屬性。流體質(zhì)點(diǎn)位于空間點(diǎn)上從而流體質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)屬性為時(shí)間和不依賴于時(shí)間的空間坐標(biāo)的函數(shù)。),(321xxxx),(txuu ),(txaa F( x, t)F( x+x) (t+t) 研究歐拉空間場中某一運(yùn)動(dòng)屬

3、性F的變化率必須跟蹤 一個(gè)固定的流體質(zhì)點(diǎn)。 F可以代表速度密度溫度等流體運(yùn)動(dòng)的各種力學(xué)屬性。 ),(txFdtddtdF),(),(ttxFtxF)()()(1,132txxFtFtxxx)()()()(,2131,2,2tFtFtxxFtxxtxx 稱為F的物質(zhì)導(dǎo)數(shù)或成為隨體導(dǎo)數(shù)，它是以歐拉空間坐標(biāo)所表示的流體質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)屬性對時(shí)間的全導(dǎo)數(shù)。 物質(zhì)導(dǎo)數(shù)寫為向量的形式： （3-1） 式中： 1 第一項(xiàng)為F的當(dāng)?shù)刈兓?，是在某一點(diǎn)x處F隨時(shí)間t的變 化率，是由流動(dòng)的不恒定性引起的。 2 第二項(xiàng)為F的遷移變化率，是由流暢的不均勻性引起的。FutFxFutFdtdFii)( 兩種流動(dòng)描述方法之間的關(guān)系

4、 歐拉方法在數(shù)學(xué)處理上的最大困難是方程式的非線性，而拉格朗日方法中的加速度項(xiàng)則為線性。直接應(yīng)用拉格朗日型的基本方程解決流體力學(xué)問題是困難的，因此在處理流動(dòng)問題時(shí)，常常必須用拉格朗日的觀點(diǎn)而卻應(yīng)用歐拉的方法。為此引用雅可比行列式建立兩種系統(tǒng)之間的變換關(guān)系。 （3-2） 拉格朗日變量與歐拉變量可以互換的唯一條件是： 雅可比行列式的時(shí)間導(dǎo)數(shù)： （3-3）jixtJ det)(.0)(tJJuxudtdJii)(3-2 雷諾輸運(yùn)方程 用歐拉導(dǎo)數(shù)表示一個(gè)流體系統(tǒng)的拉格朗日變化率，即為雷諾輸運(yùn)方程。取定一個(gè)系統(tǒng)在流動(dòng)過程中t=t時(shí)所占據(jù)的空間作為控制體V(t)。系統(tǒng)在t=t0所占據(jù)的控制V0=V(t0)作

5、為識(shí)別這一系統(tǒng)的標(biāo)志。令 ，則 （3-4） 系統(tǒng)所具有的某種運(yùn)動(dòng)要素對時(shí)間的全導(dǎo)數(shù)推導(dǎo)為： 式中F代表該運(yùn)動(dòng)要素的體積分布密度。0321321)(JdVJddxdxdxtdV3213210)(,dxdxdxtdVddV000000)()(VVVtVdVdtdJFdtdFJdVFJdtdFJdVdtdFdVdtddVuFdVtFdVuFtFdVuFFutFdVuFdtdFdVJuFdtdFJtVtVtVtVtVtV)()()()()(0)()()()()(）（）（ 由高斯公式得： （3-5） 可見系統(tǒng)對時(shí)間的全導(dǎo)數(shù)，即系統(tǒng)的物質(zhì)導(dǎo)數(shù)是由兩部分組成的，其中 是由于流場中F的不恒定性所引起的整個(gè)控制

6、體內(nèi)所含物理量 在單位時(shí)間內(nèi)的增量。 表示在單位時(shí)間內(nèi)，流體通過控制體表面S(t)而引起的控制體內(nèi)物理量 的變化，也就是系統(tǒng)由一個(gè)位置流動(dòng)到另一個(gè)位置時(shí)，由于流場不均勻性而引起的 遷移變化率?？梢钥闯?，雷諾輸運(yùn)方程（3-1）與（3-5）式所表示的物質(zhì)導(dǎo)數(shù)從本質(zhì)上講是相同的，只不過是雷諾輸運(yùn)方程是以系統(tǒng)的流動(dòng)作為研究的對象而物質(zhì)導(dǎo)數(shù)式研究流體質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)，因此可以說輸運(yùn)方程是流體質(zhì)團(tuán)的物質(zhì)導(dǎo)數(shù)。dSnuFdVtFFdVdtdtVtstV)()()()(tVdVtF)(tVFdVdSnuFts)()(tVFdV)(tVFdV3-3 連續(xù)方程 連續(xù)方程是質(zhì)量守恒原理在流體運(yùn)動(dòng)中的表現(xiàn)形式。系統(tǒng)的質(zhì)量為

7、： 質(zhì)量守恒要求： （3-6） 此即拉格朗日型的積分形式的連續(xù)方程。應(yīng)用輸運(yùn)方程： （3-7） 或?qū)憺椋?則為歐拉形式的積分形式的連續(xù)方程。 為通過控制體表面積的物質(zhì)通量，此式對于流動(dòng)中的任何一個(gè)體積都是適用的，即V(t)時(shí)任一選取的，因此得： （3-8） 為微分形式的歐拉型連續(xù)方程式。 )(tvdVm0)(tVdVdtddtdm0)()()(dVutdVdtdtVtVdSnudVttVts)()(dSnuts)(00)(utut或3-4 雷諾第二輸運(yùn)方程 應(yīng)用輸運(yùn)方程時(shí)，如把(F)看作某一物理量，則： 右側(cè)第二，三兩項(xiàng)可寫為 ， 由（ 3-8 ）式此項(xiàng)為零。 （3-9） 此式即為雷諾第二輸運(yùn)

8、方程。）（）（tt)()()(VVdVuFdtdFdtdFdVuFdtFd)()(tVdVFdtd)(udtdF）（ tVdVdtdF)()(tVdVFdtd3-5 動(dòng)量方程 動(dòng)量方程是動(dòng)量守恒原理在流體運(yùn)動(dòng)中的表現(xiàn)形式。運(yùn)動(dòng)著的流體微團(tuán)的動(dòng)量可表示為： 動(dòng)量守恒原理要求流體系統(tǒng)的動(dòng)量變化率等與該系統(tǒng)上的全部作用力： 在流體運(yùn)動(dòng)中作用力F包括： （1）體積力(包括質(zhì)量力)：是作用于流體質(zhì)量上的非接觸力。這種力可以穿透到流體的內(nèi)部而作用于每一流體質(zhì)點(diǎn)上。體積力可以表示為 。其中 為單位質(zhì)量力， 為單位體積力。 （2）面積力：為流體或固體通過接觸面二十家在另一部分流體上的力。它是流體在運(yùn)動(dòng)過程中作

9、用在流體內(nèi)部假想的面積上的由于流體的變形和相互作用而在流體內(nèi)部產(chǎn)生的各種應(yīng)力，或者是流動(dòng)的固體邊界對流動(dòng)所施加dVudmuFdVudtdtV)(Vfff 的面積力。設(shè)單位面積上的面積力為p，它是空間坐標(biāo)x,時(shí)間t，和作用面外法線方向n的函數(shù)，n為單位法線向量。令 下標(biāo)1，2，3分別表示在x1,x2,x3軸上的分量。流場中某一坐標(biāo)點(diǎn)處，某一時(shí)刻t時(shí)的流體面積力，由于它是向量 的一個(gè)向量函數(shù)，所以可以寫為9項(xiàng)： （3-10） 一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)常用應(yīng)力張量來 表示， 下標(biāo)中I表示作用面的外法線方向，j表示面積力的方向。 為空間點(diǎn)坐標(biāo)及時(shí)間t的函數(shù)。 （3-11） 寫為張量形式為 或 （3-12）),(

10、),(321321nnnnppppn333223113333222211223312211111nnnpnnnpnnnp333231232221131211ijijijij npjjiinp 于是動(dòng)量方程式可寫為： 此即為拉格朗日型積分形式的動(dòng)量方程。右側(cè)第一項(xiàng)為體積力，第二項(xiàng)為面積力。由雷諾第二輸運(yùn)方程，此式改為： 即歐拉型積分形式的動(dòng)量方程。此時(shí)也可寫為: 由高斯公式，右側(cè)第二項(xiàng)的面積分寫為體積分的形式： 由于V(t)是任取的一個(gè)控制體體積，可得微分形式的歐拉型動(dòng)量方程為： （3-13） 向量形式為： （3-14） )()()(tStVtVdSpdVfdVudtd)()()(tStVtVd

11、SndVfdVdtud)()()(tSjijtVitVidSndVfdVdtdu)()()(tVjjitVitVidVxdVfdVdtdujjiiixfdtdufdtud3-6 能量方程 能量方程是能量守恒原理在流體運(yùn)動(dòng)中的表現(xiàn)形式。令e代表單位質(zhì)量流體所具內(nèi)能， 則為單位體積流體所具內(nèi)能。 代表單位體積動(dòng)能，從而單位體積流體所包含的總能量 。能量守恒原理可表示為： 單位時(shí)間內(nèi)外力作功為： 由高斯公式，表面力作功可寫為積分形式： 式中I=1,2,3,j=1,2,3。單位時(shí)間內(nèi)傳入系統(tǒng)的熱量為：e22121uuu221ueE由外界傳入系統(tǒng)的能量外力對系統(tǒng)做功dVuuedtdtV)(21dSund

12、VuftStV)()()(dVuxdSundSunijitVjijitSjtS)()()()()( （1） ，Q表示由輻射或化學(xué)能釋放等因素而產(chǎn)生的系統(tǒng)內(nèi)單位體積流體熱量的增量。 （2） ，q為熱通量向量，負(fù)號(hào)表示熱的流通與外法線方向 相反，即熱量進(jìn)入系統(tǒng)。 應(yīng)用雷諾第二輸運(yùn)方程即得歐拉型能量方程的積分形式： （3-15） 能量方程的微分形式為： （3-16） 向量形式為： （3-17）)(tVQdVdSnqtS)(ndVqxdSnqtViitS)()()()(tViijijiidVxqQuxufdVuuedtddVuuedtdiitVtVii2121)()(jijijijjiiiiiixqQ

13、xuxuufdtduudtdeqQupdted3-7 納維-斯托克斯方程 微分形式的動(dòng)量方程為： （3-18） 當(dāng)容積粘度 。由牛頓流體本構(gòu)方程式得到： （3-19）將（3-19）代入（ 3-13 ）式得： （3-20） 此即牛頓流體的運(yùn)動(dòng)方程，稱為納維-斯托克斯方程，簡稱N-S方程。這一方程于1821年由法國力學(xué)家納維提出，1845年英國力學(xué)家斯托克斯完成最終的型式。jjiiixfdtdu32, 0vijijijeup2)32()()32(ijjijiiixuxuxupxfdtdu 當(dāng) 為常數(shù)時(shí) （3-21） 對于不可壓縮流動(dòng)， ，則 （3-22） 對于不可壓縮的理想流體， ，則 為歐拉方程

14、（3-23） )()(322uxxxuuxxpfdtduijjiiiii)(312uxxxuxpfijjiii0uupfdtudxxuxpfdtdujjiiii22或0, 0upfdyud3-8 納維-斯托克斯方程的邊界條件和初始條件3-3-1邊界條件 在連續(xù)介質(zhì)假定下，由試驗(yàn)所確定的粘性流動(dòng)的邊界條件為：在流體與固體的交界面處流體與固體無相對滑移。當(dāng)然從分子的尺度看滑移是可能的，但這種滑移只限于其厚度只有一個(gè)分子平均自由程量級(jí)的薄層內(nèi)。1 固定邊界處 如果固定邊界的速度為U,則流動(dòng)的邊界條件為： u=U （3-24） 在無窮遠(yuǎn)處，流場應(yīng)與未擾動(dòng)流體的狀態(tài)相銜接，如未擾動(dòng)流體為靜止?fàn)顟B(tài)，則當(dāng)

15、時(shí)，考慮熱效應(yīng)，則一般邊界條件為：在邊界處，溫度T為常數(shù)或邊界溫度梯度 為常數(shù)，n為邊界外法線方向。0,uxnT2 兩種液體的分界面 在分界面兩側(cè)其速度,壓強(qiáng)與溫度均相等，即 （3-25） 摩擦力和通過分界面的熱傳導(dǎo)量也相等，即 （3-26） （3-27） 式中K1 K2 分別為兩種液體的導(dǎo)熱系數(shù)。3液體和氣體的分界面 最常見的為液體與大氣的分界面，稱為自由水面。 其邊界條件為： 212121,TTppuu22112211)()()()(nTKnTKqnunu (1) 運(yùn)動(dòng)學(xué)條件 位于自由水面上的流體質(zhì)點(diǎn)將永遠(yuǎn)位于自由水面，所以： 即 （3-28） 式中 表示自由水面的高度。 可以看出自由水面

16、上的流體質(zhì)點(diǎn) 在平均自由面的垂直方向上的速度等 于自有水面的垂直波動(dòng)速度。在水面 波為微幅波的假設(shè)下， 與 均很小， 因此忽略上式最后兩項(xiàng)可得到： （3-29）0),()(22112133dtdxxdtdxxtxxuxdtdtxxtxxtxxu2211213),(),(213txxx1x2xtxxu),(213氣體液體平均自由面 =（x1,x2,t）x1x3x2 （2）動(dòng)力學(xué)條件 動(dòng)力學(xué)邊界條件是在兩種流體的交界面處： 法向應(yīng)力連續(xù) 兩個(gè)方向的切向應(yīng)力連續(xù) 對于氣體和液體的交界面自由水面，則切應(yīng)力連續(xù)的條件可以忽略。法向應(yīng)力，包括壓強(qiáng)和自由表面張力而應(yīng)起的液面壓力則必須連續(xù)。如果忽略表面張力，

17、則自由水面上液體的壓強(qiáng)等于大氣壓強(qiáng)pa。有些情況下還需給定進(jìn)出口斷面上的速度，壓強(qiáng)和溫度的分布。 3-3-2初始條件 對于不恒定的粘性流動(dòng)則需給出初始時(shí)刻（t=t0）時(shí)流場中各有關(guān)物理量的分布，即流動(dòng)的初始條件。3-9 粘性流動(dòng)的相似律 令V0,L0,p0,t0,0,0,g0分別代表流速，長度，壓強(qiáng)、時(shí)間，密度，粘度，重力加速度的特征值從而組成各物理量的無量綱量如下： （3-30） 當(dāng)質(zhì)量力只考慮重力的作用，不可壓縮流體二維流動(dòng)的N-S方程為： （3-31） 各項(xiàng)物理量改為無量綱量，然后以 除各項(xiàng)得： （3-32）00000000ppptttVuuLxxiiii000000ggg020LV00

18、0200000000020000002000000000001jjiiijijixxuLVxpVpxhgVLgxuutuVtLjjijjjijixxuxpxhgxuutu21 式中由特征物理量組成了幾個(gè)重要的無量綱量： 稱為斯特勞拉哈爾數(shù) （3-33） 稱為弗勞德數(shù) （3-34） 稱為雷諾數(shù) （3-35） 稱為歐拉數(shù) （3-36） 由此，上式可改為： （3-37） 如果兩個(gè)流動(dòng)相似，則由無量綱所表示的方程式應(yīng)相同。因此對于兩個(gè)流動(dòng)而言，只有各個(gè)無量綱數(shù)分別相等，才是相似流動(dòng)。EVpLVFrlgVStVtL20000000000000Re000200000000200000Re111jjiiij

19、ijixxuxpExhgFrxuutuSt第四章 粘性流動(dòng)的若干特解4-1平行流動(dòng) 平行流動(dòng)是流動(dòng)中最簡單的一種情形。在平行流動(dòng)中只有一個(gè)流速分量是不等于零的量，所以流體質(zhì)點(diǎn)均沿一個(gè)方向流動(dòng)。 設(shè)三個(gè)坐標(biāo)方向的分速度為u,v,w。平行流動(dòng)v=0,w=0。由連續(xù)方程 可知 ，也就是說流速分量u在x方向并不變化。 N-S方程在x方向的分量方程： (4-1) 其中三個(gè)遷移項(xiàng)均為零，故 (4-2) 為u的線性二階偏微分方程。0zwyvxu0 xuuxpzuwyuvxuutu21)(12222zuyudxdptu4-1-1 庫埃特流動(dòng) 上下兩平行平板所組成的槽道內(nèi)充滿了粘度為的不可壓縮流體的流動(dòng)，上平板

20、以速度U相對于下平板運(yùn)動(dòng)。 兩板間距離為h,設(shè)槽道中同時(shí)存在x方向壓強(qiáng)梯度, 流動(dòng)為恒定， ，且流動(dòng)為二維，在z方向沒有變化。式（4-2）可寫為： (4-3) （4-3)式為x方向的N-S方程，它說明 只能是y的函數(shù)而與x無關(guān)。而由y方向的N-S方程 ，可見壓強(qiáng)只能是x的函數(shù)。為同時(shí)滿足這兩方面要求 只能等于常數(shù)。積分(4-3)式得： (4-4) dxdp0tuUuhyuydyuddxdp,0,022dxdp0dydpdxdp2122CyCydxdpuyUxh 代入邊界條件確定積分常數(shù)C1, C2后得： （4-5） 沿?cái)嗝娣e分（4-4）式可得流量公式： （4-6） 4-1-2 泊肅葉流動(dòng) 由壓

21、強(qiáng)梯度推動(dòng)的管，槽中的不可壓縮粘性流體的流動(dòng)稱為泊肅葉流動(dòng)。z方向?yàn)闊o窮長，流動(dòng)為二維的。 基本方程為： （4-7） 邊界條件為： （4-8） 積分可得： （4-9） )1(22hyhydxdphUhyudxdphUhdyuQh1223022dyuddxdp0,0,ubyuby）（2221ybdxdpu 斷面平均流速um為： （4-10） 單位寬度槽道流量q為： （4-11） N-S方程精確解中最具實(shí)際意義的流動(dòng)之一是管道內(nèi)部流動(dòng)，特別是圓管流動(dòng)。層流的圓管流動(dòng)如圖，采用圓柱坐標(biāo)， ，只有x方向的流速 存在。 由連續(xù)方程 可得 N-S方程可寫為： (a) (b) (c)dxdpbudybubb

22、m3212dxdpbbuqm3223,0, 0uur),(ruux01xuurruruxrr0 xu01010122rruruxprprpumaxxyU(y)2b 由（a）,（b）兩式可知p只與x坐標(biāo)有關(guān)而與r,兩坐標(biāo)無關(guān)。由（c）式可知 只能是常數(shù)。令 ，（c）可改寫為： 積分之： 當(dāng) 。 再積分上式： 當(dāng) 。流速分布公式為： （4-12） dxdpCdxdpCrdrdudrudr1221221CrCdrdur00,01Cdrdurdrdur從而)(41220rrCu202041, 0,CrCurr2241CCruxur0r圖4-4層流的圓管流動(dòng) 管道中心處r=0,此處流速最大，即 （4-1

23、3） 沿?cái)嗝娣e分（2-13）式可得流量Q , （4-14） 從而可計(jì)算斷面平均流速um: （4-15） 這就是圓形管道粘性流動(dòng)情況下N-S方程的精確解，但它只是在圓管流動(dòng)為層流時(shí)成立。84020rCurQm820rCum420maxrCu4-2 運(yùn)動(dòng)平板引起的流動(dòng) 4-2-1突然加速平板引起的流動(dòng)（斯托克斯第一問題） 對于非恒定的平行流動(dòng)，最簡單的例子是一個(gè)在半無限空間靜止的平板突然起動(dòng)，沿其自身平面加速至某一固定速度U。從而帶動(dòng)其周圍原來處于靜止的不可壓縮粘性流體運(yùn)動(dòng)。設(shè)板長為無窮，N-S方程化簡為線性方程： （4-16） 此為經(jīng)典的熱傳導(dǎo)方程，兩個(gè)自變量為x,t。因?yàn)槭瞧叫辛鲃?dòng)， 。由連

24、續(xù)方程知 ，且整個(gè)流場中 壓強(qiáng)為常數(shù)p=p0=const。坐標(biāo) 系如圖2-6所示。22yutu),(, 0tyuuwv0 xuyp=p0U0 x圖4-5 斯托克斯第一問題邊界條件為： （4-17） 令 為無量綱坐標(biāo)，并假設(shè)： 則（4-16）變?yōu)槌Ｎ⒎址匠蹋?邊界條件變?yōu)椋?常微分方程的解為： （4-18） erf為誤差函數(shù)，erfc為補(bǔ)償函數(shù)，其數(shù)值可查有關(guān)于手冊。0, 00, 0Uutut)()0(yyy任意值0uty2)(0fUu 02 ff0,1,0fferfcUu002)exp(211dzzerferfc 當(dāng) ，這說明平板突然加速至U0由于粘性而帶動(dòng)周圍流體運(yùn)動(dòng)形成的流速場中，只有在

25、的薄層流動(dòng)內(nèi)流速大于U0的百分之一，而在 以上的流層流速只有U0的百分之一以下，可以看作沒有影響或影響很小。有此可見平板通過流體粘性而帶動(dòng)的流體運(yùn)動(dòng)只 發(fā)生在 的薄層以內(nèi)。這部分流層可稱為邊界層，其厚度為 ： 圖 2-6 表示 沿的分布。由 圖還可看出，對于流場中的某給定 點(diǎn)y處，其流速隨時(shí)間的增加而增 大，當(dāng) 時(shí)該點(diǎn)流速可達(dá)到U0.01. 0,82. 10erfcUu82. 182. 182. 1tt64. 320Uut1.010.52u/U0圖4-6 u/U0沿分布=y/24-2-2 振動(dòng)平板引起的流動(dòng)（斯托克斯第二問題） 無限平板沿自身平面做簡諧振動(dòng)通過粘性而帶動(dòng)周圍原來處于靜止的流體所

26、形成的流動(dòng)。平板上部半無限流場內(nèi)N-S方程可寫為： （4-19） 平板壁面處的流體質(zhì)點(diǎn)由于無滑移條件而隨平板振動(dòng)，因而邊界條件為： (4-20) 熱傳導(dǎo)方程(4-19)的解為： 式中 令 ，(4-19)式的解也可寫為： (4-21) 為一個(gè)按指數(shù)衰減的簡諧振動(dòng)（harmonic vibration）.22yutu,0yy0cos), 0(),(0utUtutyu)cos(),(0kyteUtyuky2kyky2)cos(),(0teUtyu 流場的振動(dòng)頻率與平板的頻率相同，為，振幅為 。在y=0處振幅最大，與平板相同為U0，隨y值得增加振福按指數(shù)規(guī)律衰減。如仍以 為考慮粘性影響的界限， 可得=

27、4.61，其相應(yīng)的厚度即邊界層厚度。 (4-22) 斯托克斯第一問題說明粘性流動(dòng)中固體壁面對流動(dòng)的影響范圍即邊界層厚度與流體運(yùn)動(dòng)粘性系數(shù)和時(shí)間t 乘積的平方根成正比?？梢钥闯銎桨暹\(yùn)動(dòng)對周圍流體的影響是通過流體粘性傳播的,其傳播 要有一定的時(shí)間。斯托克斯第 二問題說明平板的振動(dòng)向流體 內(nèi)部傳播也是通過流體的粘性， 而且與振動(dòng)頻率有關(guān)， ， 可見 ，因此兩個(gè)結(jié)論相同。 eU001. 00Uu0001.0UeUu261.461.4kt1tu0cost圖4-7 斯托克斯第二問題 4-3 低雷諾數(shù)流動(dòng) 低雷諾數(shù)流動(dòng)，以其慣性力相對粘性力而言甚小因而可近似地忽略N-S方程中非線性的慣性項(xiàng)，從而得到線性的運(yùn)

28、動(dòng)方程。 流動(dòng)雷諾數(shù) 決定于流體的物性包括密度 和粘度和流動(dòng)的特征物理量包括特征速度U及特征長度L。低雷諾數(shù)流動(dòng)一般指 的流動(dòng)。 4-3-1斯托克斯方程 最基本的低雷諾數(shù)流動(dòng)的近似解法是斯托克斯近似，雷諾數(shù)表征慣性力與粘性力之比，因此在低雷諾數(shù)流動(dòng)中假定慣性項(xiàng)可以忽略。在N-S方程中如壓強(qiáng)項(xiàng)考慮為流體動(dòng)壓強(qiáng)，則N-S方程簡化為： (4-23) (4-24)ULRe1Re 0022uupup或最后得到流速向量u為： （4-29） 式（4-27）和式（4-29）表示斯托克斯方程的一個(gè)基本解，它是一個(gè)位于原點(diǎn)的奇點(diǎn)，稱為斯托克斯極子。式中C表示斯托克斯極子的強(qiáng)度， 為極矩方向的單位向量。4-3-3

29、繞過球體的均勻流動(dòng) 均勻來流 如圖繞過以O(shè)為球心，r0為半徑的球體流動(dòng)。將球心取為坐標(biāo)遠(yuǎn)點(diǎn)，使用球坐標(biāo)系。流動(dòng)為軸對稱流動(dòng)，)(3rrrrCuUx1rerer0U圖4-9 繞球體的均勻流動(dòng)其邊界條件為： 在物面上： U為物面速度 處： (4-23)式稱為斯托克斯方程式。與連續(xù)方程（4-24）聯(lián)立共有4個(gè)分量方程式和4個(gè)未知量，流速u1， u2 ，u3 和壓強(qiáng)p。通過斯托克斯近似，N-S方程變?yōu)榫€性方程。 4-3-2 斯托克斯的一些基本解 1 均勻解 斯托克斯方程最簡單的基本解即為均勻解?？梢钥闯鰧τ谝粋€(gè)速度向量和壓強(qiáng)均為常量的流動(dòng)，（4-23）式和（4-24）式必然滿足。即 這個(gè)速度場合壓強(qiáng)場

30、中不產(chǎn)生力和力矩的作用。這個(gè)速度場和壓力場中不產(chǎn)生力或力矩的作用。xppuUu, 0constpUu,2 偶極子 由于任一勢流解同時(shí)也必然是N-S方程的精確解，因?yàn)閷τ趧萘?，N-S方程中的粘性項(xiàng)恒等于零。在斯托克斯近似中慣性項(xiàng)認(rèn)為等于零，粘性項(xiàng)相對于勢流而言也為零。這時(shí)只有壓強(qiáng)項(xiàng)也為零，即 。也就是說N-S方程的一個(gè)勢流解當(dāng)其為常量時(shí)同時(shí)也是斯托克斯方程的解。 對于三位軸對稱勢流，采用球 坐標(biāo)（r，），則位于原點(diǎn)的 偶極子所引起的流動(dòng)中： （4-25） 流速則為： （4-26） 式中 是流場中點(diǎn)位置向量， A為偶極強(qiáng)度， 為偶極矩方向的單位向量。這個(gè)流速廠要滿足斯托克斯方程則必須壓強(qiáng)為常數(shù)，即

31、： 。偶極子同樣不施加任何力或力矩于周圍的流體。constpp或, 03)1()(rrArAr)(353rrrrAur232221332211,xxxrrexexexrconstp ox1p參考軸圖4-8 三位軸對稱勢流 3 斯托克斯極子 流動(dòng)中壓強(qiáng)不為常數(shù)，由式（4-23）， 可得： 其中 是滿足拉普拉斯方程 的解。壓強(qiáng)p是和函數(shù)，滿足三位拉普拉斯方程 。他的一個(gè)基本解是 。這個(gè)基本解所對應(yīng)的流速 ， u趨于零，因此這個(gè)基本解不適用。p的另一個(gè)基本解是： （4-27） 與此壓強(qiáng)場所對應(yīng)的流速場可通過（4-23）得到： （4-28） 由連續(xù)方程確定 ， 解出： pu122upruu02 u02

32、 prp1ruln時(shí)當(dāng)r32)1(2rrCrp3)(2urrrCurpuu0)(333urrCurrCrrrrCurCu直角坐標(biāo)系的x1方向，在勢流中均勻流繞過球體的流動(dòng)為均勻流與偶極子的疊加。由（4-26）式：設(shè)偶極矩方向?yàn)閤1方向， 。邊界條件為： 于是圓球繞流的勢流流場為： 在斯托克斯流動(dòng)中，既考慮流體粘性但雷諾數(shù)很小的流動(dòng)情況，圓球繞流為均勻流，偶極子與斯托克斯極子的疊加，由（4-26），（4-28）式可知流場為：U)(3531rrrrAeUu1e10;0;eUurrurr325131301rrxrerUeUu)()(33531rrrrCrrrrAeUu3315131rrxreCrrx

33、reAeU 邊界條件為： 可解出： 從而圓球繞流的斯托克斯流動(dòng)的流場為：其壓強(qiáng)場由（4-27）式代入C值可得： 圓球受到流體作用于它上面的力 說明受力方向與來流一致，為阻力。這就是著名的斯托克斯關(guān)于均勻流中球體阻力的公式，它是在雷諾數(shù)很低的情況下成立的。10;0;eUururr443300rUArUC4334310513301rrxrerUrrxrerUeUu310310323)43(22rxrUrxrUrrCp10106)43(88erUerUCF 如果令： 為阻力系數(shù)，則斯托克斯關(guān)于均勻流中球體的阻力系數(shù)為 對斯托克斯流動(dòng)的眾多研究成果都表明，不同形狀物體的阻力都是與來流流速，流體的粘性系

34、數(shù)以及物體的特征尺度成正比，只是正比常數(shù)各有區(qū)別，例如，半徑為r0的薄圓盤所受的阻力為： 當(dāng)圓盤正面向前運(yùn)動(dòng)時(shí) 當(dāng)圓盤側(cè)緣向前運(yùn)動(dòng)時(shí) 可見盡管圓盤與圓球的形狀有顯著差別，但其阻力比圓球只分別低15%和43%。這說明斯托克斯流動(dòng)中繞流物體所受阻力對物體的形狀不太敏感，因而對于與球形相差不多的沙粒，塵埃，細(xì)胞等完全可以用圓球的斯托克斯阻力公式估計(jì)其阻力。AUFCD221Re24DC0033216UrFUrF4-3-4 奧辛近似 另一個(gè)低雷諾數(shù)的近似解為奧辛近似。粘性的影響往往主要表現(xiàn)在物體壁面附近的薄層內(nèi)，隨著距離物面的距離加大，粘性作用逐漸下降。以至在一定距離處粘性力項(xiàng)終于下降到與慣性力項(xiàng)相同的

35、數(shù)量級(jí)，甚至更小，斯托克斯方程已經(jīng)不能使用。為此，奧辛部分地考慮了N-S方程中的慣性項(xiàng)，但又不使它們成為非線性項(xiàng)，假定： 式中 為無窮遠(yuǎn)處自由流速， 為擾動(dòng)速度，均較 甚小，這一假定在很接近物面處當(dāng)然不成立。于是N-S方程的慣性項(xiàng)可以分解為兩部分： ,wvuU;wwvvuu,.,.,xvuxuuxvUxuU和U 其中第二部分中的 等項(xiàng)為二階小量，與第一部分各相比可以忽略。這樣，N-S方程寫為： 邊界條件與N-S方程相同。奧辛使N-S方程線性化既不像斯托克斯那樣使遷移速度為零，也不用當(dāng)?shù)厮俣萿而是使用自由流速度 ，而自由流速度為常數(shù)。根據(jù)奧辛近似方程的解可以求得圓球繞流的阻力系數(shù)為：xuuU）（

36、Re1631Re24DC222111wzptwUtwvyptvUtvuxptuUtu第五章 邊界層理論 5-1 邊界層概念 邊界層是粘性流動(dòng)中固體壁面附近粘性起主導(dǎo)作用的一薄層流體層。 如設(shè)一極薄平板，順流放置于均勻平行流動(dòng)中，與為受擾動(dòng)的來流流速 平行。粘性流體流經(jīng)平板時(shí)，僅靠板面的流體質(zhì)點(diǎn)粘附板上，其速度與平板壁面相同，此處平板靜止不動(dòng)，通過粘性作用，流體質(zhì)點(diǎn)之間將存在內(nèi)摩擦阻力，是平板兩側(cè)的流體逐漸減慢，形成壁面附近很大的流速梯度。這一流動(dòng)區(qū)域稱為邊界層，如圖5-1所示。通常定義當(dāng)?shù)亓魉賣(x,y)等于0.99UE時(shí)的y值為邊界層厚度，也叫邊界層名義厚度。 UE為當(dāng)?shù)乇诿嫣幍挠袣W拉方程解

37、得的勢流流速。UEUxu99. 0),( 5-2 5-2邊界層厚度邊界層厚度 5-2-1 5-2-1邊界層名義厚度的量級(jí)估計(jì) 若將平板上各點(diǎn)除邊界層外邊緣點(diǎn)連接起來形成一條邊界層的外邊緣線如圖5-1中虛線表示。邊界層的厚度隨距平板前緣的距離增加而增厚，說明邊界層厚度沿流程逐漸發(fā)展， 。當(dāng)來流為均勻平行流動(dòng)，流動(dòng)無渦。但對于粘性流動(dòng)由于平板壁面的存在，在邊界層內(nèi)產(chǎn)生流速梯度 ，從而在平板壁面上產(chǎn)生渦量 ，渦量從壁面向外傳播的范圍所及就是邊界層?？梢娬承粤鲃?dòng)流場中的固體壁面是渦量產(chǎn)生的源泉。旋渦同時(shí)也被流動(dòng)帶向下游。旋渦向下游x方向傳播的速度取決于來流流速 ,而旋渦向y方向擴(kuò)散的速度可以由 看出，

38、但雷諾數(shù)表示為： 時(shí)，可見雷諾數(shù)表示渦旋向下游傳播速度的平方與y方向 )(xyuyuUtvtvvtdtddtd21222dtdUtvUUtvULvUvUL 傳播速度的平方之比。雷諾數(shù)越大，渦旋向y方向傳播速度越小于向下游傳播速度，邊界層厚度越薄。由此可見，大雷諾數(shù)情況下，流場可分為兩部分，一部分為無渦的勢流，另一部分為粘性起主導(dǎo)作用的有渦流動(dòng)區(qū)域，即邊界層流動(dòng)。大雷諾數(shù)的流動(dòng)繞過任何形狀的物體都會(huì)發(fā)生邊界層流動(dòng)。在接近繞流物體的尾部，由于存在逆壓強(qiáng)梯度，壓強(qiáng)沿流程增加，而是邊界層自物體壁面分離并在物體下游形成尾流區(qū)。UUUxyo(x)圖5-1 粘性流體流經(jīng)平板的流動(dòng)情況LVV22ReLVL粘性

39、力與慣性力相當(dāng)，則有：由此得：Re1L所以：由此可見，在高雷諾數(shù)的條件下，邊界層厚度遠(yuǎn)小于被繞物體的特征長度，即 這與試驗(yàn)結(jié)果相符。1L 在邊界層研究中有不同的雷諾數(shù)的定義，一般的作為整個(gè)流動(dòng)的雷諾數(shù)為 。式中 為無窮遠(yuǎn)處為受擾動(dòng)的來流流速，L為繞流物體的某一特征長度，如平板的長度，圓柱或圓球的直徑等。 對于邊界層常定義： 為邊界層雷諾數(shù)，x為沿邊界層坐標(biāo)自繞流物體前緣算起的距離。邊界層雷諾數(shù)還常定義為： 由于 ，因此Rex與Re 之間又確定的數(shù)量關(guān)系。當(dāng)邊界層雷諾數(shù)增達(dá)到一定數(shù)值后流動(dòng)可從層流轉(zhuǎn)變?yōu)槲闪?。有層流轉(zhuǎn)變?yōu)槲闪鞯狞c(diǎn)的雷諾數(shù)稱為臨界雷諾數(shù)。 UvLURevxUxRevURe)(x 5

40、-2-2 邊界層排擠厚度 在固體壁面附近的邊界層中，由于流速受到壁面的阻滯而降低，使得在這個(gè)區(qū)域內(nèi)所通過的流量較之理想流體流動(dòng)時(shí)所能通過的流量減少，相當(dāng)于邊界層的固體壁面像流動(dòng)內(nèi)移動(dòng)了一個(gè)距離1后理想流體流動(dòng)所通過的流量。這個(gè)距離1稱為邊界層位移厚度。如圖相當(dāng)OAB面積的流量與BCD面積的流量二者相等。 根據(jù)定義： 即為位移厚度的定義及計(jì)算公式。010)1 ()(dyUudyuUUoABuUEcUyD1圖5-2 邊界層位移厚度 5-2-3邊界層動(dòng)量損失厚度 邊界層內(nèi)流速的降低不僅使通過的流體質(zhì)量減少，而也是通過的流體動(dòng)量減少了。邊界層中實(shí)際通過的流體動(dòng)量為 ，如果這些質(zhì)量通量具有的動(dòng)量為 ，則

41、二者相差相當(dāng)于將固體壁面向流動(dòng)內(nèi)部移動(dòng)一個(gè)2的距離，即： 2即稱為動(dòng)量損失厚度或簡稱為 動(dòng)量厚度。圖中水平陰影部分面 積為位移厚度1，豎向陰影部分 面積為動(dòng)量損失厚度2。 與 和兩坐標(biāo)軸間所形成矩形 的面積即為邊界層厚度。面積比 較可得：02002022)1 ()(dyUuUudyuUudyuuUdyU0 . 1Uuy1202dyu0uUdy0.0101.0yu/U(1-u/U)1-u/Uu/Uu/UU圖5-3 邊界層內(nèi)u/U,(1-u/U),u/U(1-u/U) 5-2-4 邊界層能量損失厚度 邊界層內(nèi)的流速降低同樣使流體的動(dòng)能通量也減小了。能量損失厚度定義為： 由能量厚度可以計(jì)算流動(dòng)的水頭

42、損失。邊界層外的勢流區(qū)不會(huì)由能量損失，能量損失完全產(chǎn)生于邊界層內(nèi)。單寬重量流體的動(dòng)能損失為流速水頭損失 ， 式中q為二位流動(dòng)是單位寬度過水段面的體積流量。 dyudyuUU030233212121dyuuU032)(210223)1 (dyUuUu3333221)(gqUqUxhf)(xhf5-2-5 舉例 為了形象地說明邊界層幾個(gè)厚度的關(guān)系，先對一個(gè)邊界層內(nèi)流速為線性分布的典型情況進(jìn)行分析，如圖5-4 。設(shè)流速分布為： 則 定義 為邊界層形狀參數(shù)， 則此時(shí) 。416121)1 ()1 (32001dyydyUuyUu2112H0 . 312H231Uuuoy圖5-4 邊界層各種厚度的比較 5

43、-3不可壓縮層流邊界層基本方程和邊界條件不可壓縮層流邊界層基本方程和邊界條件 5-3-1 5-3-1 平壁面層流邊界層基本方程平壁面層流邊界層基本方程 （5-1） （5-2） （5-3） 為了簡化此方程組，首先對它進(jìn)行無量綱化。根據(jù)邊界層流動(dòng)的特點(diǎn)，可以選取L 、及U分別為x,y及u的特征值，并且可知： 0)(1)(122222222yvxuyvxvypyvvxvutvyuxuxpyuvxuutuRe0eeuLudyxuv 故可取 為v的特征量。當(dāng)邊界層中沿流動(dòng)方向的壓力梯度與慣性力具有相同量級(jí)時(shí)，則有 于是可取 為p的特征量。我們假定在邊界層中，t具有L/ue的量級(jí)。用這些特征量去度量各相應(yīng)

44、的物理量，則可得到量級(jí)為1的無量綱物理量 （5-4）2*,Re/,/,Re/,eeeeuppuvvuuuuLttLyyyLxxLuLpe2Re2eu2eu 將這些無量綱量代入基本方程式得 (5-5) (5-6) (5-7) 由于式中“”號(hào)的各物理量具有1的量級(jí)，因此上式各項(xiàng)的量級(jí)完全取決于各項(xiàng)無量綱系數(shù)的量級(jí)。0Re1Re1)(Re1Re1*2*22*22*2*22*2*yvxuyvxvypyvvxvutvyuxuxpyuvxuutu 由于我們討論的是雷諾數(shù)Re1的問題，因此1/Re1，1/Re21,于是方程式(5-5)-(5-7)中帶有1/Re，1/Re2系數(shù)的項(xiàng)可以忽略，可得 （5-8）

45、（5-9） （5-10）00*2*2*yvxuypyuxpyuvxuutu 利用式（5-4）將上式還原為有量綱的形式的方程為 （5-11） （5-12） （5-13） 這就是沿平壁面的不可壓縮流體平面層流邊界層的基本方程組。00122yvxuypyuvxpyuvxuutu 由式（5-12）可知，壓力沿y方向?yàn)槌?shù)，即p=pe(x,t),式中pe(x,t)是主流在邊界層外緣上的壓力分布。對于邊界層問題的求解來說， pe(x,t)是已知函數(shù)。于是上式中的 可寫成 由此，沿平壁面的不可壓縮流體二元層流邊界層的基本方程為 （5-14） （5-15） 這就是求解邊界層中v，u的封閉方程組。xpxpexp

46、0122yvxuyuvxpyuvxuutue5-3-2邊界層的邊界條件和起始條件 邊界層的邊界由物面（y=0）及邊界外緣（y= ）所組成因此，邊界層的邊界條件就是指物面條件和邊界層外緣條件。在物面上（y=0），流體速度滿足 在邊界層外緣（y= ），流體被看成是理想流體，因此 或?qū)懗桑?)(0yu0)(0yv（5-17）（5-16）0)(0,xxyyxp01)(00 xxyxxyyuxvyuxvyu1Re1Re/Re/LuLuyuxve根據(jù)前述的邊界層中的物理的量級(jí)關(guān)系式5-4可得因此邊界層外緣條件可寫成00 xxyyu（5-18）因此邊界層外緣速度條件可寫成 exxyuu0（5-19）嚴(yán)格說來

47、，在y= 處， 而是euu euu99. 0如下圖，故準(zhǔn)確的外緣速度條件應(yīng)是 exxyuu0（5-20）同理，邊界條件式5-18的準(zhǔn)確形式應(yīng)為：exxyuu0)(（5-21）eu99. 0eu邊界層外緣圖5-5對于不定常流動(dòng)，還必須給出運(yùn)動(dòng)的初始條件，即給出 時(shí)刻的速度場0t),()(),()(0000yxvvyxuutt（5-22）（5-23）至此，我們得到了不可壓縮層流邊界層的基本方程和邊界條件。5-3-3邊界層壁面阻力系數(shù) 壁面阻力是邊界層計(jì)算的重要課題之一，現(xiàn)給出它們的計(jì)算公式。在直角坐標(biāo)系中，切應(yīng)力公式為： 若曲壁面曲率半徑滿足 ，則在邊界層坐標(biāo)系中，上式仍然可用。根據(jù)邊界層中各物理

48、量級(jí)特點(diǎn)，切應(yīng)力公式可寫為于是壁面切應(yīng)力可寫成通常用局部阻力系數(shù) 表示壁面切應(yīng)力，其定義為顯然， 與速度梯度 的關(guān)系為)(xvyupyx（5-24）1/bRLyupyx（5-25）0)()(ybyxyup（5-26)fC221)(ebyxfupC(5-27)fCyu02)(2yefyuuC(5-28) 5-4 平壁面層流邊界層的勃拉修斯解平壁面層流邊界層的勃拉修斯解 勃拉修斯精確地求解了零壓梯度的定常不可壓縮平壁面上的平面層流邊界層，所謂零壓梯度指 在上述條件下，平壁面邊界層方程式可寫成 （5-29） （5-30） 相應(yīng)的邊界條件為0dxdpe022yvxuyuvyuvxuuVuvuyyy)(

49、0)(0)(005-3-2 平壁面層流邊界層的勃拉修斯解平壁面層流邊界層的勃拉修斯解1勃拉修斯勃拉修斯 求解此問題的步驟如下： （1）利用邊界層流動(dòng)的特點(diǎn)，將基本方程改造常微分方程； （2）利用級(jí)數(shù)展開的方法，求解常微分方程，得出數(shù)值解。 為把方程改造為常微分方程，引進(jìn)變換式為： （5-31） （5-32）vxVyx于是 （5-33） （5-34） （5-35） （5-36）22222212221)(21vVyvVyyyxxxxxxvVvxVyx 其次在引進(jìn)一函數(shù)f如下 （5-37） 于是有 （5-38） 函數(shù)f與流函數(shù)有密切的關(guān)系，其關(guān)系式如下： （5-39）dVuf0),(fVufvV 由

50、上可求出分速度v （5-40） 將它們代入邊界層方程組中的運(yùn)動(dòng)方程并利用變換關(guān)系式可得 或 （5-41）)2(21ffvVfvVvfffvV2212222233332222222221222ffffffffVffffVfffV 邊界條件式可寫為 從上面三個(gè)邊界條件可以看出他們都與無關(guān)，即f=f().于是方程式（5-28）可寫成 （5-42） 這樣平板邊界層問題最后歸結(jié)為求解上述三階常微分方程的邊值問題。1)(0)(0)(00fff022233dfdfdfd二 結(jié)果分析 (一) 邊界層內(nèi)速度分布 由前知 于是速度可寫成 （5-43） （5-44）)(fvVfddfxvVxvddfVddfvVvV

51、vVyu212 (二)邊界層的各種厚度 (1)名義厚度 我們已經(jīng)認(rèn)為規(guī)定:在邊界層外緣速度為 由此可以求出邊界層的名義厚度。由于 ，=4.92于是 由此可得 （5-45） 99. 0/Vu92. 4)(vxVvxVyxxVvxRe92.492.499. 0ddf (2)排擠厚度1 將變化關(guān)系式代入排擠厚度公式，得 將速度公式代入可得 式中 =4.92 ，且f()=3.18故平板邊界層的流量排擠厚度為 （5-46）dVuVvx01)1 ()()1 (01fVvxdddfVvxVvx74. 11 (3)動(dòng)量損失厚度2 將變換關(guān)系式代入動(dòng)量損失公式為 將速度公式代入可得 式中 =4.92 ，進(jìn)行積分

52、可得平板邊界層動(dòng)量損失厚度2 （5-47）dVuVuVvx02)1 (dddffVvxdddfddfVvxb0202)()1 (Vvx664. 02第六章第六章 湍流模型理論湍流模型理論 6-1 引言 湍流模型理論是以雷諾平均運(yùn)動(dòng)方程與脈動(dòng)運(yùn)動(dòng)方程為基礎(chǔ)，依靠理論與經(jīng)驗(yàn)的結(jié)合，引進(jìn)一系列模型假設(shè)，建立一組描寫湍流平均量的封閉方程組的理論計(jì)算方法。 1872年布辛涅斯克就提出用渦粘性系數(shù)來模擬雷諾應(yīng)力: 二次世界大戰(zhàn)前，人們發(fā)展了一系列所謂半經(jīng)驗(yàn)理論，其中包括得到最廣泛應(yīng)用的普朗特混和長理論，以及G.I泰勒的渦量轉(zhuǎn)移理論和馮卡門的相似性理論等。他們的基本思想都是建立關(guān)于雷諾應(yīng)力的模型假設(shè)，使得雷

53、諾平均運(yùn)動(dòng)方程組得以封閉。 u uUxUxijTijji() 1940年周培源在世界上首次建立了一般湍流的雷諾應(yīng)力所滿足的輸運(yùn)微分方程組。其中又出現(xiàn)了三元速度關(guān)聯(lián)等新未知量。必須引用一些假設(shè)，才能使方程組封閉。1951年原西德Rotta又發(fā)展了周培源所開創(chuàng)的工作，提出了完整的雷諾應(yīng)力模式，他們的工作現(xiàn)在被認(rèn)為是以二階封閉模式為主的現(xiàn)代湍流模式理論的最早的奠基性工作。6-2 模擬的原則 根據(jù)我們對湍流現(xiàn)象的了解以及建立封閉方程組的基本目的，可以提出以下基本假設(shè)與原則作為建立湍流二階封閉模式的依據(jù)：（1）經(jīng)平均處理的納維-斯托克斯方程與脈動(dòng)方程是我們的基本出發(fā)點(diǎn)。（2）在二階封閉模式的范圍內(nèi)，所有

54、湍流高階特征量都只是 、 、u、p、T、與等的函數(shù)。u uijui （3）所有被模擬的項(xiàng)在模擬后的形式必須與其原項(xiàng)有相同的量綱。 （4）被模擬后的形式必須與原項(xiàng)有相同的數(shù)學(xué)特性，例如對稱性、不變性、置換性、跡為零等。 （5）各湍流特征量的湍流擴(kuò)散速度均假設(shè)與該量的梯度成正比。 （6）高雷諾數(shù)特性，即所有主要由大尺度渦決定的性質(zhì)不受粘性影響，而小尺度渦結(jié)構(gòu)在統(tǒng)計(jì)上則與平均運(yùn)動(dòng)和大尺度渦無關(guān)，是各向同性的。此假設(shè)適用于各種流動(dòng)中，除了十分鄰近固壁的區(qū)域外。 （7）湍流各種尺度或者可(k，)如 ， ， ,(特別是對于那些主要由大尺度渦決定的性質(zhì))，或者可用(,)表示，即 ， ， ，后者僅用于由小尺度

55、渦決定的性質(zhì)。uklk32/ tk ()14(/314t ( / )/ 1 2 （8）可實(shí)現(xiàn)性。模擬后的運(yùn)輸方程組不應(yīng)當(dāng)產(chǎn)生在物理上不可能的值，如負(fù)的正應(yīng)力或湍流能量，關(guān)聯(lián)系數(shù)大于1等。 從這些假設(shè)出發(fā)，人們?nèi)钥梢杂酶鞣N不同的方法建立湍流模型。評判一個(gè)模型優(yōu)劣的準(zhǔn)則應(yīng)該是，當(dāng)將該模型用于各種不同的流動(dòng)時(shí)，若不調(diào)整其中的常數(shù)值，它能以多大精確度來描寫流動(dòng)，同時(shí)從工程實(shí)際的觀點(diǎn)，還要考慮其計(jì)算費(fèi)用的經(jīng)濟(jì)性。 湍流的統(tǒng)計(jì)平均法 一 時(shí)均法 在湍流流場的某固定點(diǎn)上，與不同時(shí)可測量該處的速度。以圓管軸上某一點(diǎn)的軸向流速為例，每次試驗(yàn)的速度變化都極不規(guī)則，但是兩次試驗(yàn)在相當(dāng)長的時(shí)間內(nèi)的平均值相同。顯然，對

56、于具有這種隨機(jī)性質(zhì)的湍流采用按時(shí)間平均的方法較為合適 時(shí)均法的確切定義為 應(yīng)滿足下列要求：平均值與平均的起始時(shí)刻t0及時(shí)間間隔（只要足夠長）T無關(guān)；而且平均值本身不再是時(shí)間的函數(shù)，因此時(shí)均法只能用于討論定常的湍流流動(dòng)。dt)x,x,x(uT1)x,x,x(uTtt321 t 32100 二 體均法 湍流的隨機(jī)變量不僅表現(xiàn)在時(shí)間上，在空間上也具有隨機(jī)性。任一時(shí)刻，在軸上的速度分布都是極不規(guī)則的，但是若在距離L內(nèi)求速度的平均值，則任意兩次的試驗(yàn)結(jié)果有相同的平均值，顯然，具有這種能夠隨機(jī)性質(zhì)的湍流采用按體積平均的方法較為合適。 一維體均法的確切定義是 式中 是在相同條件下任一次試驗(yàn)的速度分布， 是沿

57、x方向L段上的的 平均值。Lxxx00d) t ,(uL1) t (u) t ,(uuxu 同理我們可以定義空間意義上的平均，即體均法 式中為包含某空間點(diǎn)(x,y,z)在內(nèi)的足夠大的體積。 稱為(x,y,z)點(diǎn)處的體均值。因此嚴(yán)格說來，體均法只適用于描述對體均值而言的均勻的湍流流場。 ddd) t ,(v1) t (Viii) t (V三 概率平均法 時(shí)均法和體均法只適用于兩種特殊狀態(tài)的湍流，前者適用于定常湍流，后者適用于均勻湍流。對于一般的不定常非均勻湍流，可以采用隨機(jī)變量的一般平均法，即概率平均法。 概率平均法的出發(fā)點(diǎn)是將重復(fù)多次的試驗(yàn)結(jié)果作算術(shù)平均，即 式中 為第k次試驗(yàn)的流暢分布函數(shù)，

58、N為重復(fù)試驗(yàn)次數(shù)。k321N1kiNp321i) t ,x,x,x(VN1lim) t ,x,x,x(Vk iV脈動(dòng)值與平均值的性質(zhì)（1）平均值的平均仍為原平均值（2）脈動(dòng)值的平均值等于零（3）脈動(dòng)值乘以常數(shù)的平均值等于零（4）脈動(dòng)與任一平均值乘積的平均值等于零（5）湍流值的各階導(dǎo)數(shù)的平均值等于平均值的各階導(dǎo)數(shù)6-3 雷諾應(yīng)力模型（微分模型，RSM） 先來推導(dǎo)湍流的動(dòng)量方程。不可壓流體的湍流瞬時(shí)流場的納維斯托克斯方程可以寫成 或可寫成yp1z)(y)v(x)u(tvyp1z)v(y)vv(x)vu(tvuxp1z)u(y)vu(x)uu(tu222i2ijiiiVxp1xVVtV 對此方程求平

59、均值有 算出方程中各項(xiàng)的平均值，就可得到湍流的平均動(dòng)量方程。 下面逐項(xiàng)計(jì)算 根據(jù)性質(zhì)5 知i2ijiiiVxp1xVVtVi2i2iiiiVVxpxptVtV 利用 可得 于是 利用性質(zhì)5，可將上式右側(cè)各項(xiàng)的平均值符號(hào)移入微分號(hào) 內(nèi)，從而可得jjjiiiVVV,VVVijjijijijiVVVVVVVVVVjijjjijjijjijjix)VV(x)VV(x)VV(x)VV(x)VV(jjjjijjijjijjix)V(Vx)V(Vx)V(Vx)VV(x)VV( 利用性質(zhì)1和4，可得 于是上式 可寫成 將它們代入動(dòng)量方程式 得jijiijjiVVVV0VV0VVjjijjijjix)VV(x)

60、VV(x)VV()VV(xVxp1xVVtVjiji2ijiii 上式就是著名的雷諾方程。雷諾方程中的各項(xiàng)的物理意義如下： 單位質(zhì)量流體的平均流動(dòng)量的局部變化率 單位質(zhì)量流體的平均流動(dòng)量的遷移變化率 單位質(zhì)量流體上的平均流壓力的合力 單位質(zhì)量流體上的平均流粘性應(yīng)力的合力 上述各項(xiàng)與層流狀態(tài)中的各項(xiàng)對應(yīng)。雷諾方程中右側(cè)最后一項(xiàng)中的 是一個(gè)二階張量，通常稱 為雷諾應(yīng)力或雷諾視應(yīng)力。tVijiixVVi2Vixp1jiVVjiVV6-3-1 雷諾應(yīng)力方程與k方程的模型 首先推導(dǎo)準(zhǔn)確的雷諾應(yīng)力方程與k方程。寫出湍流脈動(dòng)運(yùn)動(dòng)動(dòng)量方程與連續(xù)方程 （6-1） （6-2） 將Uj乘以Ui分量的動(dòng)量方程加上Ui