第四章功與能

1、123第四章第四章 功和能功和能(Work and Energy )1 功；動能定理功；動能定理2 保守力和系統(tǒng)勢能保守力和系統(tǒng)勢能3 機械能守恒定律；守恒定律的意義機械能守恒定律；守恒定律的意義4 碰撞碰撞5 兩體問題兩體問題 6 質(zhì)心系質(zhì)心系 7 流體的穩(wěn)定流動；伯努利方程流體的穩(wěn)定流動；伯努利方程4本章研究：功；動能；勢能；動能定理；機械本章研究：功；動能；勢能；動能定理；機械能守恒定律等。能守恒定律等。要求：要求：搞清各規(guī)律的內(nèi)容、研究對象搞清各規(guī)律的內(nèi)容、研究對象(分清它們是屬于分清它們是屬于質(zhì)點系，還是質(zhì)點質(zhì)點系，還是質(zhì)點)、成立的條件以及是否與參、成立的條件以及是否與參考系有關(guān)等

2、?？枷涤嘘P(guān)等。 51 功；動能定理。功；動能定理。 一。功一。功 定義：功是指力與受力質(zhì)點位移的定義：功是指力與受力質(zhì)點位移的標量積標量積。 212112rdFdAAFrrdFrdFrdFrdFdA cos功反映力對空間路程的積功反映力對空間路程的積累效應(yīng)。累效應(yīng)。功是標量，有正負之分，功是標量，有正負之分，功功的正負取決于力與位移的夾角的正負取決于力與位移的夾角；m 2LFrd6功是過程量；功的量綱、單位功是過程量；功的量綱、單位(書書P.114) 二。動能定理（二。動能定理（kinetic energy theorem）1 。對質(zhì)點。對質(zhì)點 動能定理：動能定理：1212kkEEA 221v

3、mEk 動能動能(對慣性系對慣性系) 質(zhì)點運動動能定理的推導(dǎo)：質(zhì)點運動動能定理的推導(dǎo)：思路：與推導(dǎo)動量定理和角動量定理相同思路：與推導(dǎo)動量定理和角動量定理相同，從，從牛頓第二定律出發(fā)。元功牛頓第二定律出發(fā)。元功mvdvvdvmvddtrdmrddtvdmrdFdA 7222121abvbamvmvmvdvAdAba v v功功質(zhì)點運動的動能定理：質(zhì)點運動的動能定理：合力合力對質(zhì)點做的功等于質(zhì)點動能的增量對質(zhì)點做的功等于質(zhì)點動能的增量功的大小功的大小反映傳遞給系統(tǒng)能量的多少；反映傳遞給系統(tǒng)能量的多少；正負正負反反映是傳給系統(tǒng)能量還是從系統(tǒng)取走能量映是傳給系統(tǒng)能量還是從系統(tǒng)取走能量。kEA 8證明

4、證明cosvdvvdvvvdvdvvdvvdvvvdvdvvddvcosvd 9例例1書書P.115例例4.3：質(zhì)量為：質(zhì)量為m的滑雪運動員從高的滑雪運動員從高度為度為H的山頂?shù)纳巾擮開始沿滑雪道下滑至地面，求在開始沿滑雪道下滑至地面，求在這一過程中重力對他做的功。這一過程中重力對他做的功。 解：在直角坐標系中重力解：在直角坐標系中重力 運動員的元位移運動員的元位移jmg重力的元功：重力的元功：HYXOjdyidxl d mgdyl djmgdA 重力的功：重力的功：mgHdymgAH 010重力作正功，重力作的功轉(zhuǎn)變成運動員的動能。重力作正功，重力作的功轉(zhuǎn)變成運動員的動能。功是過程量，但在本

5、例題中，重力所作的功功是過程量，但在本例題中，重力所作的功mgH與過程無關(guān)。與過程無關(guān)。(注意書注意書P.115的一段話的一段話)如果運動員與滑雪軌道之間的摩擦系數(shù)為如果運動員與滑雪軌道之間的摩擦系數(shù)為 ，滑滑雪軌道如圖，求摩擦力對運動員做的功雪軌道如圖，求摩擦力對運動員做的功解：摩擦力為解：摩擦力為mgNfcos 力的方向與運動員滑行的方力的方向與運動員滑行的方向相反，摩擦力對運動員作向相反，摩擦力對運動員作負功負功.YH 11dsmgsdfdA cos cotsinsincoscos00mgHSmgSmgsdfdAAHH 功是過程量，摩擦力所作的功與滑雪道的長度功是過程量，摩擦力所作的功與

6、滑雪道的長度有關(guān)，在高度有關(guān)，在高度H相同的情況下，相同的情況下， 愈小，愈小，滑雪道滑雪道愈長，愈長，摩擦力所作的功也摩擦力所作的功也愈多愈多 。摩擦力作功與。摩擦力作功與路徑有關(guān)。路徑有關(guān)。12例例2。書書P.115-4.4：有一水平放置、勁度系數(shù)為有一水平放置、勁度系數(shù)為k的彈簧，其一端固定，另一端系一質(zhì)量為的彈簧，其一端固定，另一端系一質(zhì)量為m的靜的靜止小球如圖。止小球如圖。 (1)外力外力緩慢緩慢地把彈簧從地把彈簧從xA拉到拉到xB，求外力對小球的功；求外力對小球的功； (2)在此過程中彈力對小球的功；在此過程中彈力對小球的功； (3) 合力對小球的功。合力對小球的功。 AxBxox

7、13解：取解：取x軸如圖，原點軸如圖，原點o為小球的平衡位置。已知為小球的平衡位置。已知小球質(zhì)量小球質(zhì)量m ；彈簧勁度系數(shù)；彈簧勁度系數(shù)k 。 (1)當當外力外力把彈簧從把彈簧從xA緩慢地拉到緩慢地拉到xB，外力的大小，外力的大小為為F=kx，外力對小球所作的功，外力對小球所作的功AxBxox0212122 ABBABAkxkxdxkxxdFA外力作正功外力作正功!(2)彈力彈力對小球作的功：對小球作的功： 彈性力的大小為彈性力的大小為F= -kx ，方向，方向與小球的位移相反，彈性力所與小球的位移相反，彈性力所作的功為作的功為140212122 BABABAkxkxdxkxxdFA彈性力作彈

8、性力作負負功，外力克服彈性力所作的功，外力克服彈性力所作的正功正功完完全轉(zhuǎn)變?yōu)閺椈缮扉L的彈性勢能。全轉(zhuǎn)變?yōu)閺椈缮扉L的彈性勢能。(3)合力對小球做的功：對小球而言，合力合力對小球做的功：對小球而言，合力為零為零，合力的功合力的功為零為零Ek=0。若在靜止的若在靜止的B點去掉外力，研究小球在彈性力作點去掉外力，研究小球在彈性力作用下由用下由B點回到點回到A點的過程中彈性力作的功：點的過程中彈性力作的功：15彈性力所作的功為彈性力所作的功為222212121mvkxkxdxkxxdFAABABAB 根據(jù)質(zhì)點的動能定理，根據(jù)質(zhì)點的動能定理，彈性力所作的功轉(zhuǎn)變彈性力所作的功轉(zhuǎn)變?yōu)樾∏蜻\動的動能。功是過程

9、量，但在本例為小球運動的動能。功是過程量，但在本例AxBx題中，彈性力所作的功與題中，彈性力所作的功與過程無關(guān)，只與初態(tài)過程無關(guān)，只與初態(tài)xB和和末態(tài)末態(tài)xA有關(guān)。有關(guān)。(注意書注意書P.116的一的一段話段話 )162。質(zhì)點系的動能定理：。質(zhì)點系的動能定理： 對質(zhì)點系中的第對質(zhì)點系中的第 i 個質(zhì)點個質(zhì)點使用動能定理，有使用動能定理，有質(zhì)點系質(zhì)點系的動能定理為的動能定理為由于由于質(zhì)點系內(nèi)質(zhì)點系內(nèi)每個質(zhì)點的位移不完全相同每個質(zhì)點的位移不完全相同，質(zhì)質(zhì)點系內(nèi)力的功點系內(nèi)力的功不為零！不為零！iiiisdfsdf)(i2022121iiiiiiiVmVmAAA內(nèi)外 i2i0ii2iiiiiiiiv

10、m21vm21AAA內(nèi)外17KEAA 內(nèi)外外力對質(zhì)點系作的功與內(nèi)力對質(zhì)點系作的功外力對質(zhì)點系作的功與內(nèi)力對質(zhì)點系作的功之之和和等于質(zhì)點系動能的增量。內(nèi)力雖然成對出現(xiàn)，等于質(zhì)點系動能的增量。內(nèi)力雖然成對出現(xiàn)，但內(nèi)力作功之和不一定為零，內(nèi)力也會改變系但內(nèi)力作功之和不一定為零，內(nèi)力也會改變系統(tǒng)的總動能，如煙火、爆炸。統(tǒng)的總動能，如煙火、爆炸。18三?？履嵯６ɡ恚嘿|(zhì)點系的總動能可以分解為三?？履嵯６ɡ恚嘿|(zhì)點系的總動能可以分解為質(zhì)點系的軌道動能質(zhì)點系的軌道動能(質(zhì)心的動能質(zhì)心的動能)加加內(nèi)部動能內(nèi)部動能(所所有質(zhì)點相對質(zhì)心的動能之和有質(zhì)點相對質(zhì)心的動能之和)(資用能：資用能： ) (視頻視頻)cekin

11、kceccecceicceccecekEEmvvvvvvE,2iiii2ii2i2ii2iiii2ii21vmvm21)2v(m21)v(m21vm21 =0inkE,19小結(jié)：小結(jié)： 1)內(nèi)力也會改變系統(tǒng)的總動能內(nèi)力也會改變系統(tǒng)的總動能。 (內(nèi)動能也能轉(zhuǎn)換為其他形式的能量內(nèi)動能也能轉(zhuǎn)換為其他形式的能量) 2) 質(zhì)點系的三個運動定理質(zhì)點系的三個運動定理，注意注意靈活使用靈活使用動量定理動量定理角動量定理角動量定理動能定理動能定理PdtF21tt外LdtM21tt外KEAA內(nèi)外202 保守力和系統(tǒng)的勢能保守力和系統(tǒng)的勢能 一一。一對內(nèi)力作功之和。一對內(nèi)力作功之和： 設(shè)設(shè)系統(tǒng)中兩個運動質(zhì)點系統(tǒng)中兩

12、個運動質(zhì)點m1與與m2 之間的相互作用之間的相互作用力為力為 , ,這這一對內(nèi)力作功之和為一對內(nèi)力作功之和為2112ffeerdfrdfdAdAdA22111221 由牛頓第三定律有由牛頓第三定律有2112ff視頻材料：視頻材料：1.141r2r2rd1rd1221)(rdrrd 2112122112212112rdf)rdr(dfrdfrdfdAeeee 1r2r2rd1rd1221)(rdrrd 受質(zhì)點受質(zhì)點2的作用力。的作用力。上式表明：一對內(nèi)力作元上式表明：一對內(nèi)力作元功之和與功之和與參考系無關(guān)參考系無關(guān)，12f是質(zhì)點是質(zhì)點1相對質(zhì)點相對質(zhì)點2的元位移，的元位移，12rd是質(zhì)點是質(zhì)點1

13、它等于受力質(zhì)點它等于受力質(zhì)點(m1)受受的力的力 (f12) 和受力質(zhì)點相和受力質(zhì)點相對于施力質(zhì)點對于施力質(zhì)點 (m2)元位元位移的點積。移的點積。2212ba12bardfAdA一對力作的功只決定于質(zhì)點間的相對位移，和一對力作的功只決定于質(zhì)點間的相對位移，和所選參考系無關(guān)，因此可以選相互作用的所選參考系無關(guān)，因此可以選相互作用的一個一個質(zhì)點為參考點質(zhì)點為參考點，且可，且可選參考點為坐標原點選參考點為坐標原點建坐建坐標系，只需計算在此坐標系中標系，只需計算在此坐標系中靜止質(zhì)點對另一靜止質(zhì)點對另一質(zhì)點的作用力所作的功質(zhì)點的作用力所作的功即可，這樣，求一對力即可，這樣，求一對力作功的問題可化為求一

14、個力作功的問題。作功的問題可化為求一個力作功的問題。 23例例3：在光滑斜面：在光滑斜面M上有一小物體上有一小物體m，斜面斜面M置置于光滑地面上，求圖中一對正壓力于光滑地面上，求圖中一對正壓力N1 、 N2的功的功.解：解：Mmv2N v1NMmv2N v1NmMMemMMeMemMMemeMerdNrdNrdNrdNrdrdNrdNrdNrdNMmdA 21212121)()(，24題中題中N1、N2為一對內(nèi)力，它們作功均不為零，為一對內(nèi)力，它們作功均不為零，但作功之和只與在但作功之和只與在M參考系中參考系中N2對對m的作用力所的作用力所作的功。因此可以選作的功。因此可以選M作參考物，計算作

15、參考物，計算M坐標系坐標系中中M對對m的作用力所作的功即可。的作用力所作的功即可。Mmv2N v1NMmv2N v1N25 例例4書書P. 148-4.6：M靜止在靜止在光滑光滑水平面上；子水平面上；子彈彈 m沿水平方向以速度沿水平方向以速度v射入射入M內(nèi)一段距離內(nèi)一段距離s而而停在停在M內(nèi)如圖內(nèi)如圖 (1)：m和和M之間的摩擦力對之間的摩擦力對m和和M各做了多少功各做了多少功? (2)：證明證明m和和M的總機械能增量等于一對摩擦的總機械能增量等于一對摩擦力之一對力之一對m沿相對位移沿相對位移s做的功做的功MS1SvMm解解： (1) m和和M之間的摩擦之間的摩擦力對力對m和和M各做功的多少：

16、各做功的多少：在在地面參考系地面參考系中，子彈和木中，子彈和木塊在塊在x方向不受外力，動量方向不受外力，動量26守恒。所以子彈射入守恒。所以子彈射入M后后(M+m)的速度的速度V ：VmMmv)( vMmmV 設(shè)設(shè)M的位移為的位移為s1，則摩擦力對，則摩擦力對M做的功等于做的功等于M動動能的變化：能的變化：2221)(2121vMmmMMVsf摩擦力對子彈摩擦力對子彈m做的功等于子彈動能的變化：做的功等于子彈動能的變化： 1)(212121)(22221MmmmvmvmVssf27MS1SM(2) ：證明證明m和和M的總機械能的增量等于一對摩的總機械能的增量等于一對摩擦力之一對擦力之一對m沿相

17、對位移沿相對位移s做的功。做的功。 一對摩擦力做的功分別為：一對摩擦力做的功分別為： 121221)Mmm(mv)sf(s221121v)MmmM(sfsf 一對摩擦力做的總功為一對摩擦力做的總功為:fsfs)sf(s 11一對摩擦力做的總功等于一對摩擦力做的總功等于M對對m的摩擦力乘以的摩擦力乘以m相對相對M的位移的位移s 。28式中式中 稱為約化質(zhì)量。稱為約化質(zhì)量。22222112121121vmMMmv)MmmM()Mmm(mvfsfs)sf(s 總機械能的增量等于總機械能的增量等于2222212121)(21vvMmmMmvVMm MmmM 系統(tǒng)總機械能的增量等于作用在系統(tǒng)總機械能的增

18、量等于作用在m上的摩擦力上的摩擦力f 沿相對沿相對M的位移的位移s做的功。因此只要做的功。因此只要選選M作參作參29考物，選考物，選M的質(zhì)心為坐標原點，直接計算的質(zhì)心為坐標原點，直接計算M坐坐標系中標系中M對對m的摩擦力對的摩擦力對m所作的功即可。所作的功即可。二二。保守力的功與相應(yīng)的勢能。保守力的功與相應(yīng)的勢能 1。保守力的定義：在前面的例保守力的定義：在前面的例1、例、例2中，中，重力重力和彈性力作功和彈性力作功與路徑無關(guān)與路徑無關(guān)，只決定于系統(tǒng)的始，只決定于系統(tǒng)的始末狀態(tài)，稱這樣的力為末狀態(tài)，稱這樣的力為保守力。保守力。如果保守力如果保守力F對質(zhì)點對質(zhì)點m作功，從作功，從 A點沿點沿L1

19、路徑運動到末態(tài)路徑運動到末態(tài)B點點 和從和從A點沿點沿L2路徑運動到末態(tài)路徑運動到末態(tài) B的過程所作的功必然相等，的過程所作的功必然相等， Fl d1L2LAB m30Frl d1L2LAB 1m2m BALBALldFldF12保守力的環(huán)流為零！保守力的環(huán)流為零！ 0022212ldFldFldFldFldFldFBALALBABLBALBAL保守力的數(shù)學(xué)表達式為保守力的數(shù)學(xué)表達式為0ldF即即31普遍意義：普遍意義： 是描述矢量場基本性質(zhì)是描述矢量場基本性質(zhì)的積分形式。的積分形式。環(huán)流為零的力場是保守場。如環(huán)流為零的力場是保守場。如靜電靜電力力場的環(huán)流也是零場的環(huán)流也是零，所以靜電場也是保

20、，所以靜電場也是保守力場。環(huán)流不為零的矢量場是非保守場，守力場。環(huán)流不為零的矢量場是非保守場，如磁場。如磁場。0ldF322 。常見的幾種保守力。常見的幾種保守力 1) 萬有引力萬有引力 122221) (rMmGrMmGdrrMmGl drrMmGl dFWrrBABAMm mrMB B 1r2rdrl dr l dr A abmghmghW 2) 重力是保守力！重力是保守力！3) 彈性力是保守力彈性力是保守力222121bkxkxWa 萬有引力是保守力！萬有引力是保守力！333。保守力的功與相應(yīng)的勢能。保守力的功與相應(yīng)的勢能1)勢能的概念：保守力是指作功與路徑無關(guān)的勢能的概念：保守力是指作

21、功與路徑無關(guān)的力，功只取決于質(zhì)點的始末位置，所以存在一力，功只取決于質(zhì)點的始末位置，所以存在一個與位置有關(guān)的函數(shù)，由這個位置決定的函數(shù)個與位置有關(guān)的函數(shù)，由這個位置決定的函數(shù)稱為勢能函數(shù)。稱為勢能函數(shù)。 (1)只有保守力才有相應(yīng)的勢能只有保守力才有相應(yīng)的勢能 (2)勢能屬于有保守力作用的兩個質(zhì)點的系統(tǒng)勢能屬于有保守力作用的兩個質(zhì)點的系統(tǒng) (3)勢能與參考系的選擇無關(guān)勢能與參考系的選擇無關(guān)作功與路徑作功與路徑有關(guān)有關(guān)的力稱為的力稱為非非保守力。例如：一保守力。例如：一對滑動摩擦力作功與路徑有關(guān)；對滑動摩擦力作功與路徑有關(guān)； 34(4)勢能的大小與勢能零點的選擇有關(guān)勢能的大小與勢能零點的選擇有關(guān)(

22、5)質(zhì)點系的內(nèi)力有：保守內(nèi)力；非保守內(nèi)力。質(zhì)點系的內(nèi)力有：保守內(nèi)力；非保守內(nèi)力。mrMB B 1r2rdrl dr l dr A2)常見的幾種勢能常見的幾種勢能(1).萬有引力勢能：萬有引力勢能： 選無限遠為萬有引力勢能的零點，選無限遠為萬有引力勢能的零點，當外力把當外力把m從坐標從坐標r移至勢能零點移至勢能零點處時，外力所作的功等于系統(tǒng)勢處時，外力所作的功等于系統(tǒng)勢能的增量。能的增量。RMmGdrrMmGWRMm 235mrMB B 1r2rdrl dr l dr A0)()(2112221 prrMmErMmGrMmGrMmGrMmGdrrMmGW所以所以m在坐標在坐標r處的勢能為：處的勢

23、能為：RMmG(R)Ep 萬有引力作正功等于萬有引力勢能的減少：萬有引力作正功等于萬有引力勢能的減少：RMmG(R)Ep 00 pE36mghhEp )(2)重力勢能：選重力勢能：選h=0為重力勢能為重力勢能的零點。的零點。重力作正功等于重力勢能的減少。重力作正功等于重力勢能的減少。hHmo(3)彈性勢能：選彈簧的原長為彈性勢能：選彈簧的原長為 勢能的零點，外力使彈簧伸長勢能的零點，外力使彈簧伸長x所作的功等于所作的功等于彈性勢能的增量，彈性勢能的增量， xkxdxkxW0221 kxxEp221)( 彈性勢能的表達式為彈性勢能的表達式為37彈性力作正功等于彈性勢能的減少彈性力作正功等于彈性勢

24、能的減少pbaEkxkxW 222121Ll df三三。勢能函數(shù)與保守力。勢能函數(shù)與保守力 由勢能函數(shù)由勢能函數(shù)Ep求保守力求保守力f： 如果如果質(zhì)點在力場中沿一路徑質(zhì)點在力場中沿一路徑L運動，運動，根據(jù)勢能的根據(jù)勢能的定義和保守力作功等于勢能的減少，有：定義和保守力作功等于勢能的減少，有：PldEdlfl dfdldEfpl結(jié)論：保守力在結(jié)論：保守力在l方向的分量就是相應(yīng)方向的分量就是相應(yīng)的勢能在的勢能在 l 方向?qū)?shù)的負值方向?qū)?shù)的負值。38如果引入梯度算符：如果引入梯度算符：保守力可表示為：保守力可表示為：xEfPxyEfPyzEfPzzzEyyExxEzfyfxffPPPzyx gra

25、dzzyyxx 在直角坐標系中，勢能函數(shù)在三個坐標軸方向在直角坐標系中，勢能函數(shù)在三個坐標軸方向上的導(dǎo)數(shù)與保守力的關(guān)系分別是：上的導(dǎo)數(shù)與保守力的關(guān)系分別是：39求保守力的大小求保守力的大小解：代公式解：代公式例例5：一物體在一物體在 x0 范圍內(nèi)在保守力的作用下沿范圍內(nèi)在保守力的作用下沿x 軸正向運動。與該保守力相應(yīng)的勢能函數(shù)是軸正向運動。與該保守力相應(yīng)的勢能函數(shù)是xbxaxEp 2)()0(x23232)2(xbxaxbxaxEfPx 則有：則有：PPEgradEf 保守力等于勢能的負梯度保守力等于勢能的負梯度( (gradient ) )402 。由勢能函數(shù)曲線分析保守力：已知某雙原子。由

26、勢能函數(shù)曲線分析保守力：已知某雙原子分子勢能曲線如圖，試分析兩原子之間的相互分子勢能曲線如圖，試分析兩原子之間的相互作用力作用力rEp r0Or 斜率斜率 = 0 斜率斜率 0 斜率斜率 r0的區(qū)域是引力。的區(qū)域是引力。r r0 ：0drdEfpr0drdEp斜率斜率 0 ，0drdEfpr斜率斜率 = 0 ，r = r0 ：r0是合力為零的平衡位置。是合力為零的平衡位置。41斜率斜率r r0 ：0drdEp0drdEfpr勢能曲線的作用：勢能曲線的作用： (1)根據(jù)勢能曲線的形狀可以討論物體的運動根據(jù)勢能曲線的形狀可以討論物體的運動 (2)利用勢能曲線，可以判斷物體在各個位置所利用勢能曲線，

27、可以判斷物體在各個位置所受保守力的大小和方向。受保守力的大小和方向。在在r0 ，系統(tǒng)的動能增加，勢能將減少。，系統(tǒng)的動能增加，勢能將減少。45式中式中x以以m為單位，勢能以為單位，勢能以J為單位，為單位， a =1Jm2 ，b=2J m 。 (1)畫出質(zhì)點的勢能曲線；找出質(zhì)點的平衡位置畫出質(zhì)點的勢能曲線；找出質(zhì)點的平衡位置 (2)分析質(zhì)點受力的性質(zhì)分析質(zhì)點受力的性質(zhì)(3)設(shè)質(zhì)點的機械能設(shè)質(zhì)點的機械能E = - 0.50J 保持不變，求質(zhì)保持不變，求質(zhì)點的運動范圍。點的運動范圍。例例6：已知已知m=1kg的質(zhì)點在保守力的質(zhì)點在保守力F(x)的作用下的作用下沿沿x 軸正向運動。與該保守力相應(yīng)的勢能

28、函數(shù)是軸正向運動。與該保守力相應(yīng)的勢能函數(shù)是xbxaxEp2)()0(x46解解：(1)根據(jù)根據(jù)勢能的表達式作數(shù)據(jù)表來畫出勢能勢能的表達式作數(shù)據(jù)表來畫出勢能曲線曲線x/mEp(x)/J0.20.51501-1.0-0.75-0.55-0.44234xbxaxEp2)(a =1Jm2 ，b=2J m 。從數(shù)據(jù)表與勢能曲線可從數(shù)據(jù)表與勢能曲線可看出，在看出，在x=1m附近勢能附近勢能最小，質(zhì)點的平衡位置最小，質(zhì)點的平衡位置就在就在x=1m附近。附近。 10 01 115151 12 23 34 4x /mEP /J47用公式求物體的平衡位置：用公式求物體的平衡位置：xbxa(x)Ep 2)( 12

29、mbax 0223 xbxadxdEFp解得解得x=1m ，這就是質(zhì)，這就是質(zhì)點的平衡位置，在該點的平衡位置，在該點質(zhì)點受合力為零。點質(zhì)點受合力為零。 10 01 115151 12 23 34 4x /mEP /J48mx0 . 1 為吸引力為吸引力(2) x1.0m為排斥力為排斥力0)( 1 Fmx(3)運動范圍：運動范圍： 物體的總能量物體的總能量E=Ep(x)+Ek(x)=-0.5J保持不變，保持不變，物體的運動被斥力和引力束縛在一定范圍之內(nèi)物體的運動被斥力和引力束縛在一定范圍之內(nèi),即即物體動能物體動能為零的位置為零的位置就是物體運動范圍的邊就是物體運動范圍的邊界界。EP /J 10

30、01 115151 12 23 34 4x /mE49由此解得由此解得 10 01 115151 12 23 34 4x /mEP /Jmx)22( )(59. 0221m-x )(14. 3222mx JxbxaxEp50. 0)(2 m.xm.143590 物體的運動范圍物體的運動范圍在在動能為零處有動能為零處有思考：單擺的勢能曲線思考：單擺的勢能曲線與右圖有什么不同？與右圖有什么不同？50三。普遍的能量守恒定律三。普遍的能量守恒定律一個一個孤立系統(tǒng)孤立系統(tǒng)，如果考慮各種物理現(xiàn)象，計及，如果考慮各種物理現(xiàn)象，計及各種能量，則該孤立系統(tǒng)不管經(jīng)歷何種變化，各種能量，則該孤立系統(tǒng)不管經(jīng)歷何種變化

31、，系統(tǒng)所有能量的總和保持不變，這就是普遍的系統(tǒng)所有能量的總和保持不變，這就是普遍的能量守恒定律。機械能守恒定律是普遍能量守能量守恒定律。機械能守恒定律是普遍能量守恒定律在機械運動范圍內(nèi)的體現(xiàn)。恒定律在機械運動范圍內(nèi)的體現(xiàn)。四。守恒定律的意義四。守恒定律的意義(參看書參看書P.131 )1.守恒定律守恒定律力學(xué)中：動量守恒定律；角動量守恒定律；機力學(xué)中：動量守恒定律；角動量守恒定律；機械能守恒定律。械能守恒定律。51自然界中還有：自然界中還有：質(zhì)能質(zhì)能守恒定律；守恒定律；電荷電荷守恒定律；守恒定律； (粒子物理中的粒子物理中的)重子數(shù)、輕子數(shù)、奇異數(shù)、宇重子數(shù)、輕子數(shù)、奇異數(shù)、宇稱守恒定律稱守恒

32、定律- - - 2。守恒定律的特點。守恒定律的特點(1)方法上：不針對過程的細節(jié)，只研究始末態(tài)方法上：不針對過程的細節(jié)，只研究始末態(tài)的關(guān)系。的關(guān)系。(2)適用范圍廣：宏觀、微觀、高速、低速均適適用范圍廣：宏觀、微觀、高速、低速均適用。用。3。物理學(xué)家特別重視對守恒量和守恒定律的研。物理學(xué)家特別重視對守恒量和守恒定律的研究！究！52(1)遇到問題，首先從已有的守恒定律去思遇到問題，首先從已有的守恒定律去思 考、研究?？?、研究。(2)如發(fā)現(xiàn)矛盾，一般是堅信守恒定律，而去如發(fā)現(xiàn)矛盾，一般是堅信守恒定律，而去 探尋問題中的未知因素探尋問題中的未知因素(如中微子的發(fā)現(xiàn)如中微子的發(fā)現(xiàn))53例例7 P.12

33、8-4.11 用一個輕彈簧把一個金屬盤懸掛起來使彈簧伸用一個輕彈簧把一個金屬盤懸掛起來使彈簧伸長了長了l1=10cm。一個質(zhì)量和盤質(zhì)量相同的泥球從。一個質(zhì)量和盤質(zhì)量相同的泥球從高于盤高于盤h = 30cm處由靜止下落到盤上。求：盤處由靜止下落到盤上。求：盤向下運動的最大距離向下運動的最大距離l2(視頻材料視頻材料)2l1lh討論討論：設(shè)彈簧的原長為彈性勢能的零點；：設(shè)彈簧的原長為彈性勢能的零點；彈簧的最低點彈簧的最低點l2為重力勢能的零點。為重力勢能的零點。初態(tài)系統(tǒng)的能量：彈簧的彈性勢能；泥球初態(tài)系統(tǒng)的能量：彈簧的彈性勢能；泥球的重力勢能和盤的重力勢能的重力勢能和盤的重力勢能2221)(21m

34、gllhmgklE 54?21)2(212221kllhmgklE 能否用機械能守恒求解能否用機械能守恒求解?即即解：過程解：過程1：泥球從離盤：泥球從離盤h=30cm處由靜止下落處由靜止下落到與盤面接觸前的一瞬間，到與盤面接觸前的一瞬間，機械能守恒機械能守恒2121mVmgh 過程過程2：泥球與盤的非彈性碰撞，：泥球與盤的非彈性碰撞， t0，除，除碰撞碰撞以外的以外的力均可忽略，動量守恒力均可忽略，動量守恒不能！因為存在非保守內(nèi)力不能！因為存在非保守內(nèi)力!ghV21 末態(tài)系統(tǒng)的能量末態(tài)系統(tǒng)的能量221)(21llk 55過程過程3：彈簧伸長的過程，機械能守恒：彈簧伸長的過程，機械能守恒221

35、21222)(2121)2()2(21llkklglmVmE 222ghV 式中由式中由mgkl 1只有一個未知數(shù)只有一個未知數(shù)l2，解之得，解之得l2=30cmmghghmVmmgh2142)2(21)2(2122 212mVmV 存在非保守內(nèi)力，機械能不守恒存在非保守內(nèi)力，機械能不守恒22212ghVV 56例例8：試求第一宇宙速度；第二宇宙速度：試求第一宇宙速度；第二宇宙速度解：第一宇宙速度是指質(zhì)點能夠不落回地面的解：第一宇宙速度是指質(zhì)點能夠不落回地面的最小速度。最小速度。RVmmgRMmG22 skmgRV/9 . 7 57第二宇宙速度：第二宇宙速度：P.128-4.12第二宇宙速度即

36、物體從地面出發(fā)的逃逸速度，第二宇宙速度即物體從地面出發(fā)的逃逸速度，逃逸速度指逃脫地球引力所需要的從地面出發(fā)逃逸速度指逃脫地球引力所需要的從地面出發(fā)的最小速度。地球半徑取的最小速度。地球半徑取R=6.4106m。 解：選地球和物體作為被研究的系統(tǒng)。解：選地球和物體作為被研究的系統(tǒng)。 逃逸速度逃逸速度：地球地球M與物體與物體m組成的系統(tǒng)只存在保組成的系統(tǒng)只存在保守內(nèi)力，所以系統(tǒng)的機械能守恒。在地球表面守內(nèi)力，所以系統(tǒng)的機械能守恒。在地球表面的機械能為的機械能為)(212RGMmmVER m逃至無限遠時的最小機械能為逃至無限遠時的最小機械能為580)(212 GMmmVE機械能守恒機械能守恒0)(2

37、12 RGMmmVERRgRGMVR22 例例9： P. 129-4.13水星繞太陽運行軌道的近日點水星繞太陽運行軌道的近日點到太陽的距離為到太陽的距離為1Vkm1059. 4r71遠日點到太陽的距離為遠日點到太陽的距離為km1098. 6r72求水星越過近日點和遠日點時的速率求水星越過近日點和遠日點時的速率2VskmgRV/2 .112 59水星沿橢圓軌道繞太陽運行水星與太陽之間水星沿橢圓軌道繞太陽運行水星與太陽之間的作用力為有心力，水星的的作用力為有心力，水星的角動量守恒角動量守恒；水星；水星與太陽之間的作用力為保守力，與太陽之間的作用力為保守力，機械能守恒機械能守恒。已知已知r1 、r2

38、求求V1 、V22211VmrVmr 2211VrmVrm 由水星的角動量守恒，有由水星的角動量守恒，有水星與太陽之間的作用力為保守力，機械能水星與太陽之間的作用力為保守力，機械能守恒，守恒，602221212121rGMmmVrGMmmV 兩個未知數(shù)，兩個方程，解得兩個未知數(shù)，兩個方程，解得)(221121rrrGMrV )(221212rrrGMrV 614 碰撞碰撞碰撞是指兩個物體在碰撞是指兩個物體在急短急短的時間內(nèi)發(fā)生的時間內(nèi)發(fā)生強烈強烈相相互作用的過程。碰撞過程通常十分復(fù)雜，難于互作用的過程。碰撞過程通常十分復(fù)雜，難于對過程的細節(jié)進行分析，只能關(guān)心物體在碰撞對過程的細節(jié)進行分析，只能

39、關(guān)心物體在碰撞前后運動狀態(tài)的變化前后運動狀態(tài)的變化 。碰撞過程中外力可以忽。碰撞過程中外力可以忽略，可以利用動量守恒、角動量守恒、對彈性略，可以利用動量守恒、角動量守恒、對彈性碰撞，碰撞前后的總動能不變碰撞，碰撞前后的總動能不變 、機械能守恒等、機械能守恒等求解。求解。例例10 ：書：書P. 133-4.15完全非彈性碰撞指兩個物體碰撞后不再分開。完全非彈性碰撞指兩個物體碰撞后不再分開。622 21 1V VV V211mmP VmmP)(212 已知兩個運動物體的質(zhì)量分別為已知兩個運動物體的質(zhì)量分別為m1 、 m2 ，碰，碰撞前兩個物體的速度分別為撞前兩個物體的速度分別為 ，碰后兩，碰后兩物

40、體粘在一起。求因碰撞而損失的動能。物體粘在一起。求因碰撞而損失的動能。21VV、解：無外力，系統(tǒng)動量守恒。碰撞前兩物體的動解：無外力，系統(tǒng)動量守恒。碰撞前兩物體的動量為量為碰撞后兩物體粘在一起的動量為碰撞后兩物體粘在一起的動量為Vm1m21V2V系統(tǒng)動量守恒系統(tǒng)動量守恒VmmVmVm)(212211 63粘在一起的兩物體的速度粘在一起的兩物體的速度cVmmVmVm 212211V V碰撞前系統(tǒng)的動能為碰撞前系統(tǒng)的動能為(參考柯尼希定理參考柯尼希定理)inkcekccceeeEEVmVmVmmVmVmE,22221122122221112121)(212121 cekceEVmmE,2212)(

41、21 碰撞后系統(tǒng)的動能為碰撞后系統(tǒng)的動能為0, inkEcVmmVmVm 212211V V64由于碰撞而損失的是系統(tǒng)的內(nèi)動能由于碰撞而損失的是系統(tǒng)的內(nèi)動能Ek,in :cekceEvmmE,2212)(21 思考：思考：例例9中中泥球與盤的資用能泥球與盤的資用能 資用能資用能： 運用碰撞把碰撞前動能中可用于轉(zhuǎn)變成其它形式運用碰撞把碰撞前動能中可用于轉(zhuǎn)變成其它形式能量的部分稱為資用能。獲得最大資用能的思路能量的部分稱為資用能。獲得最大資用能的思路是盡可能減少軌道動能是盡可能減少軌道動能2212212121221221121222211,)(21)(21)(212121VVVVmmmmmmVmV

42、mmmVmVmEink 65例例11 ：書：書P. 134-4.16彈性碰撞彈性碰撞指兩個物體碰撞前后系統(tǒng)的動量、動指兩個物體碰撞前后系統(tǒng)的動量、動能都沒有損失的碰撞。能都沒有損失的碰撞。對心碰撞對心碰撞指碰前沿一條直線運動的兩個物體碰指碰前沿一條直線運動的兩個物體碰撞后仍然沿同一條直線運動。撞后仍然沿同一條直線運動。已知對心碰撞的兩物體的質(zhì)量分別為已知對心碰撞的兩物體的質(zhì)量分別為m1、m2，碰撞前兩物體的速度分別為碰撞前兩物體的速度分別為v10 、 v20 。 求碰撞后的速度求碰撞后的速度v1、v2解：系統(tǒng)動量守恒，有解：系統(tǒng)動量守恒，有2211202101vmvmvmvm 66總動能保持不

43、變：總動能保持不變：兩個未知數(shù)，兩個方程，解得彈性碰撞后兩物兩個未知數(shù)，兩個方程，解得彈性碰撞后兩物體的速度為體的速度為2222112202210121212121vmvmvmvm 2021210212112vmmmvmmmmv 1021120211222vmmmvmmmmv 討論：討論：1 。如果。如果m1=m2，兩物相互交換速度：兩物相互交換速度：10220VVV 1 1V V672。如果。如果m1m2，v20=0，則有則有101021211vvmmmmv 02102112 vmmmv68對第四章的思路作一個梳理對第四章的思路作一個梳理質(zhì)點的功能定理質(zhì)點的功能定理質(zhì)點系的質(zhì)點系的功能定理功

44、能定理外力外力、內(nèi)力內(nèi)力000 ttiiitti)dtf(dtf內(nèi)力作功之和不為零內(nèi)力作功之和不為零00sin)( oijjiijjifrrfrr0 iim內(nèi)力矩之和為零內(nèi)力矩之和為零 iiiisd)f(sdfi內(nèi)力的沖量之和為零內(nèi)力的沖量之和為零69由由N個質(zhì)點個質(zhì)點兩個質(zhì)點兩個質(zhì)點兩個兩個質(zhì)點相互作用力質(zhì)點相互作用力作功之和作功之和兩個質(zhì)點相互作用的保守力作功兩個質(zhì)點相互作用的保守力作功勢能勢能(由保守力求勢能；由勢能求保守力由保守力求勢能；由勢能求保守力) (碰碰撞；資用能撞；資用能)兩個質(zhì)點相互作用力的牛頓定律還有沒有可以兩個質(zhì)點相互作用力的牛頓定律還有沒有可以討論的？討論的？705

45、兩體問題兩體問題兩體問題是研究兩個質(zhì)點在它們之間的相互作用兩體問題是研究兩個質(zhì)點在它們之間的相互作用力作用下的運動問題，這類問題可簡化為單體問力作用下的運動問題，這類問題可簡化為單體問題處理。題處理。21f設(shè)一對相互作用質(zhì)點的質(zhì)量為設(shè)一對相互作用質(zhì)點的質(zhì)量為m1 、 m2，它們之，它們之間的相互作用力為間的相互作用力為12f12fm2m1r2r1Or21f圖中圖中 o為慣性系的坐標原點，為慣性系的坐標原點，是由是由m2指向指向m1的位置矢量。的位置矢量。122121rrrrrreeee r根據(jù)牛頓定律有根據(jù)牛頓定律有71（1）（2）： )2()1(12 mm12fm2m1r2r1Or21f21

46、2112dtrdmf22221221dtrdmff1221221221f )m(mdt)rr (dmm (r)fdtrd1222 （5.1）式顯示，在一對相互式顯示，在一對相互作用力的作用下，質(zhì)點作用力的作用下，質(zhì)點 m1 相相對于對于 m2 的運動，與一個質(zhì)量的運動，與一個質(zhì)量為為 、受同樣力作用的質(zhì)點、受同樣力作用的質(zhì)點（5.1）2121mmmm 72221222ABABBABAvvvdvrddtvdrd(r)f 在以在以m2為坐標原點的參考系中的運動相同為坐標原點的參考系中的運動相同，雖雖然以然以m2為坐標原點的參考系不是慣性系，但是為坐標原點的參考系不是慣性系，但是只要將只要將m1用用

47、 代替，代替，牛頓第二定律就適用。牛頓第二定律就適用。 稱稱為為約化質(zhì)量約化質(zhì)量功能原理：以功能原理：以m2為坐標原點，為坐標原點， f12對對m1 作的功作的功12fm2m1r73例例12 ：書：書P. 138-4.18 在實驗室參考系中有相距在實驗室參考系中有相距很遠的一個質(zhì)子很遠的一個質(zhì)子 (mp,+e)和氦核和氦核(M=4mp,+2e)相向相向運動，速率都是運動，速率都是v0 ，求二者能達到的最近距離，求二者能達到的最近距離解：這是機械能轉(zhuǎn)為電勢能的問題。解：這是機械能轉(zhuǎn)為電勢能的問題。 方法方法(1)運用兩體問題求解。取氦核為坐標原點，運用兩體問題求解。取氦核為坐標原點，約化質(zhì)量為約

48、化質(zhì)量為5444pppppmmmmm x0v0v74質(zhì)子相對氦核的速度質(zhì)子相對氦核的速度i-2vv-vvvv0eMmeMememM x0v0v20)2(21vEk 所以質(zhì)子相對氦核的速度為所以質(zhì)子相對氦核的速度為2v0 ； 靜電力是保守力，系統(tǒng)的能量守恒，初態(tài)：質(zhì)靜電力是保守力，系統(tǒng)的能量守恒，初態(tài)：質(zhì)子、氦核相距很遠時系統(tǒng)只有動能，其值為子、氦核相距很遠時系統(tǒng)只有動能，其值為75二者達到最近距離時，質(zhì)子相對氦核的速度為二者達到最近距離時，質(zhì)子相對氦核的速度為零，相對氦核的動能為零，動能全部轉(zhuǎn)化為靜零，相對氦核的動能為零，動能全部轉(zhuǎn)化為靜電勢能電勢能rekEp22 pkEE rekmvvmvm

49、M220202258)2(542121 20245mvker 76方法方法(2)運用柯尼希定理：運用柯尼希定理： 在實驗室參考系中，質(zhì)子在實驗室參考系中，質(zhì)子(mp)和氦核和氦核(M=4mp)質(zhì)質(zhì)心的速度為心的速度為0005354vmvmvmvpppc 根據(jù)柯尼希定理，系統(tǒng)的總能量可以表示為質(zhì)根據(jù)柯尼希定理，系統(tǒng)的總能量可以表示為質(zhì)心的動能心的動能加加內(nèi)動能。質(zhì)子相對質(zhì)心的速度：內(nèi)動能。質(zhì)子相對質(zhì)心的速度：CmM0005853vvvvvvvvcemeecmemc 770005253vvvvvvvvceMeecMeMc CmM氦核相對質(zhì)心的速度：氦核相對質(zhì)心的速度：質(zhì)心的動能質(zhì)心的動能：20)5

50、3(521vmEpc 內(nèi)動能內(nèi)動能202020)54(521)52(421)58(21vmvmvmEpppin 78內(nèi)動能就是內(nèi)動能就是資用能資用能，是這部分能量轉(zhuǎn)變成電勢，是這部分能量轉(zhuǎn)變成電勢能，所以有能，所以有re2k)v54(m521E220p20245vmkerp 79 6 質(zhì)心參考系質(zhì)心參考系(書書P.97)一。質(zhì)心參考系是以質(zhì)心為坐標原點的參考系。一。質(zhì)心參考系是以質(zhì)心為坐標原點的參考系。討論質(zhì)心參考系中質(zhì)點系的討論質(zhì)心參考系中質(zhì)點系的質(zhì)心坐標質(zhì)心坐標、速度速度、質(zhì)質(zhì)點系的動量、動能點系的動量、動能：在質(zhì)心參考系中質(zhì)心的坐標、速度為在質(zhì)心參考系中質(zhì)心的坐標、速度為0 Cv在質(zhì)心參

51、考系中質(zhì)點系的動量在質(zhì)心參考系中質(zhì)點系的動量因此也稱質(zhì)心參考系為因此也稱質(zhì)心參考系為零動量參考系零動量參考系。0 icivm0 iiiciiccmrmr80二二。 質(zhì)心系中的質(zhì)心系中的角動量角動量(書書P.106)1。一個質(zhì)點系相對慣性系坐標原點的角動量與。一個質(zhì)點系相對慣性系坐標原點的角動量與相對質(zhì)心的角動量之間的關(guān)系相對質(zhì)心的角動量之間的關(guān)系根據(jù)相對性原理有根據(jù)相對性原理有質(zhì)點系質(zhì)點系oiCceicierrr 質(zhì)點系對質(zhì)點系對o點的角動量為點的角動量為 21 2icikvmE在質(zhì)心參考系中質(zhì)點系的動能在質(zhì)心參考系中質(zhì)點系的動能ieieiivrmL 稱稱Ek為質(zhì)點系的內(nèi)動能，用為質(zhì)點系的內(nèi)動

52、能，用Ek,in 表示。表示。81 ceceiciiceceiciiiciciiceceiiicceiiceiciiiciciiiceicceiciieieiivrmvmrvrmvrmvrmvrmvrmvrmvvrrmvrmL )()()()()(）（）（）（）（00cceceiciciiceceLPrvrmvrmL )(上式說明：質(zhì)點系相對慣性系中某點上式說明：質(zhì)點系相對慣性系中某點O的角動量的角動量等于質(zhì)點系的等于質(zhì)點系的質(zhì)心相對質(zhì)心相對慣性系慣性系該點該點的角動量（軌的角動量（軌道角動量）道角動量）cecePr 角動量角動量)(ciciiicvrmL 之和之和與與質(zhì)點系對質(zhì)心的角質(zhì)點系對

53、質(zhì)心的角822 。 質(zhì)心系中的角動量定理質(zhì)心系中的角動量定理質(zhì)點系所受到的外力矩質(zhì)點系所受到的外力矩 dtPdrFrFrFrFrrFrMceceiiiciiceiiiciiceiciiie )()()()(質(zhì)點系角動量的變化率質(zhì)點系角動量的變化率dtLddtPdrdtLddtPdrPdtrdvrmPrdtddtLdccececcecececeiicicicece )(=083兩式對比可得兩式對比可得dtLdMFrcciiic 上式說明：質(zhì)點系受到的上式說明：質(zhì)點系受到的對質(zhì)心的合外力矩對質(zhì)心的合外力矩等等于于質(zhì)點系對質(zhì)心的角動量的變化率質(zhì)點系對質(zhì)心的角動量的變化率84 7 流體的穩(wěn)定流動；伯努

54、利方程流體的穩(wěn)定流動；伯努利方程理想流體：不可壓縮；無粘滯性。理想流體：不可壓縮；無粘滯性。穩(wěn)定流動：在整個流道中各流體元的速度不隨穩(wěn)定流動：在整個流道中各流體元的速度不隨時間改變。時間改變。一。連續(xù)性方程：以一。連續(xù)性方程：以v1、v2分別表示水流過截面分別表示水流過截面S1、S2的速率，在的速率，在 t時間內(nèi)流過兩截面處的水時間內(nèi)流過兩截面處的水的體積分別為的體積分別為S1v1 t和和S2v2 t ；由于討論的是；由于討論的是理想流體的穩(wěn)定流動，所以有理想流體的穩(wěn)定流動，所以有1S1V2V2S稱稱tvStvS 22112211vSvS 為連續(xù)性方程為連續(xù)性方程85例例13：園林工人澆花用的

55、橡皮管入水口截面直：園林工人澆花用的橡皮管入水口截面直徑是徑是r=6.4 10-2m，出水口直徑是，出水口直徑是r=2.5 10-2m，若入水口的速度是若入水口的速度是4.0m/s，求出水口的速度，求出水口的速度解：由連續(xù)性方程解：由連續(xù)性方程)/(260 . 45 . 24 . 6222112smSvSv 2211vSvS 二。伯努利方程二。伯努利方程伯努利方程是流體動力學(xué)的基本定律，它說明伯努利方程是流體動力學(xué)的基本定律，它說明理想流體在管道中作穩(wěn)定流動時，流體中某點理想流體在管道中作穩(wěn)定流動時，流體中某點的壓強的壓強 p、流速、流速v和高度和高度h 三個量之間的關(guān)系為三個量之間的關(guān)系為86.21