高中數(shù)學(xué)二維形式的柯西不等式教案新人教A版選修4-

1、第一課時(shí)3.1二維形式的柯西不等式（一）教學(xué)要求 ：認(rèn)識(shí)二維柯西不等式的幾種形式，理解它們的幾何意義，并會(huì)證明二維柯西不等式及向量形式.教學(xué)重點(diǎn) ：會(huì)證明二維柯西不等式及三角不等式.教學(xué)難點(diǎn) ：理解幾何意義.教學(xué)過(guò)程 ：一、復(fù)習(xí)準(zhǔn)備：1. 提問(wèn)： 二元均值不等式有哪幾種形式？答案： a bab (a0, b0) 及幾種變式 .22. 練習(xí)：已知 a、 b、 c、 d 為實(shí)數(shù)，求證 ( a2b2 )(c2d 2 )(ac bd )2證法：（比較法） ( a2b2 )(c2d 2 ) (acbd)2 =.= (adbc)20二、講授新課：1. 教學(xué)柯西不等式： 提出定理 1：若 a、 b、 c、d

2、 為實(shí)數(shù)，則 (a2b2 )(c2d 2 )(acbd )2 . 即二維形式的柯西不等式 什么時(shí)候取等號(hào)？ 討論：二維形式的柯西不等式的其它證明方法？證法二：（綜合法） (a2b2 )(c2d 2 )a2 c2a 2d 2b2 c2b2 d 2( ac bd ) 2( ad bc) 2( acbd) 2 .（要點(diǎn)：展開(kāi)配方）證法三：（向量法）設(shè)向量m(a,b) ， n( c, d)，則 | m |a2b2 ， | n | c2 mn ac bd ，且 m n| m | | n | cosm,n，則 | m n | | m | | n | . .證法四：（函數(shù)法）設(shè)f ( x)(a2b2 ) x

3、 22( acbd )xc2d 2 ，則f ( x)( axc)2(bxd )2 0 恒成立 . 2(acbd )24(a 2b2 )(c2d 2 ) 0，即 . 討論：二維形式的柯西不等式的一些變式？2d .變式：a2b2c2d 2| acbd |或a 2b2c2d 2| ac | bd |或 a2b2c2d 2ac bd . 提出定理2：設(shè),是兩個(gè)向量，則 | | .即柯西不等式的向量形式（由向量法提出） 討論：上面時(shí)候等號(hào)成立？（是零向量，或者,共線） 練習(xí)：已知 a、 b、 c、 d 為實(shí)數(shù)，求證2b222(a22acdc) (bd ) .證法：（分析法）平方 應(yīng)用柯西不等式討論：其幾

4、何意義？（構(gòu)造三角形）2. 教學(xué)三角不等式： 出示定理 3：設(shè) x1 , y1 , x2 , y2 R ，則 x12y12x22y22( x1 x2 )2( y1 y2 ) 2 .分析其幾何意義 如何利用柯西不等式證明 變式：若 x1 , y1 , x2 , y2 , x3 , y3 R ，則結(jié)合以上幾何意義，可得到怎樣的三角不等式？3. 小結(jié)： 二維柯西不等式的代數(shù)形式、向量形式；三角不等式的兩種形式（兩點(diǎn)、三點(diǎn)）三、鞏固練習(xí)：1.練習(xí)：試寫(xiě)出三維形式的柯西不等式和三角不等式2.作業(yè)：教材P37 4 、5 題 .1第二課時(shí)3.1二維形式的柯西不等式（二）教學(xué)要求 ：會(huì)利用二維柯西不等式及三角

5、不等式解決問(wèn)題，體會(huì)運(yùn)用經(jīng)典不等式的一般方法發(fā)現(xiàn)具體問(wèn)題與經(jīng)典不等式之間的關(guān)系，經(jīng)過(guò)適當(dāng)變形， 依據(jù)經(jīng)典不等式得到不等關(guān)系 .教學(xué)重點(diǎn) ：利用二維柯西不等式解決問(wèn)題 .教學(xué)難點(diǎn) ：如何變形，套用已知不等式的形式.教學(xué)過(guò)程 ：一、復(fù)習(xí)準(zhǔn)備 ：1. 提問(wèn)：二維形式的柯西不等式、三角不等式？幾何意義？答案： (a2b2 )( c2d 2 ) ( acbd ) 2 ；x12y12x22y22(x1 x2 ) 2( y1 y2 )22. 討論：如何將二維形式的柯西不等式、三角不等式，拓廣到三維、四維？3. 如何利用二維柯西不等式求函數(shù)yx1 2 x 的最大值 ?要點(diǎn)：利用變式 | ac bd | a2b

6、2c2d 2 .二、講授新課：1. 教學(xué)最大（小）值： 出示例 1：求函數(shù) y3 x110 2x 的最大值？分析：如何變形？ 構(gòu)造柯西不等式的形式 板演變式：y3x 1102 x推廣：yabx, c (d ,e, fx,ab) cdefR 練習(xí)：已知3x2 y1，求 x2y 2 的最小值 .解答要點(diǎn)：（湊配法） x 2y 21( x2y 2 )(3222 )1(3x2y)21.討論：其它方法（數(shù)形結(jié)合法）1313132. 教學(xué)不等式的證明： 出示例2：若 x, yR ， xy 2 ，求證：112 .xy分析：如何變形后利用柯西不等式？（注意對(duì)比 構(gòu)造）要點(diǎn)：111 ( xy)( 11 )1 (

7、 x )2(y )2 ( 1 )2(1)2 xy2xy2xy討論：其它證法（利用基本不等式） 練習(xí)：已知 a 、 bR ，求證： (a b)( 11)4 .3. 練習(xí)：ab 已知 x, y,a,bR ，且 ab1，則 xy 的最小值 .xy要點(diǎn)： xy( ab)( xy) . 其它證法xy 若 x, y, zR ，且 xyz 1 ，求 x2y2z2 的最小值 .（要點(diǎn)：利用三維柯西不等式）變式：若 x, y,zR ，且 xyz 1 ，求xyz 的最大值 .3. 小結(jié)： 比較柯西不等式的形式，將目標(biāo)式進(jìn)行變形，注意湊配、構(gòu)造等技巧.2三、鞏固練習(xí)：8 、9題2.作業(yè)：教材 P1 、6、7 題1.

8、 練習(xí)：教材 P3737第三課時(shí)3.2一般形式的柯西不等式教學(xué)要求 ：認(rèn)識(shí)一般形式的柯西不等式，會(huì)用函數(shù)思想方法證明一般形式的柯西不等式，并應(yīng)用其解決一些不等式的問(wèn)題.教學(xué)重點(diǎn) ：會(huì)證明一般形式的柯西不等式，并能應(yīng)用.教學(xué)難點(diǎn) ：理解證明中的函數(shù)思想.教學(xué)過(guò)程 ：一、復(fù)習(xí)準(zhǔn)備：1. 練習(xí)：2. 提問(wèn)：二維形式的柯西不等式？如何將二維形式的柯西不等式拓廣到三維？答案： (a2b2 )( c2d 2 )( acbd ) 2 ； (a2b2c2 )( d2e2f 2 )(adbecf ) 2二、講授新課：1. 教學(xué)一般形式的柯西不等式： 提問(wèn)： 由平面向量的柯西不等式| ，如果得到空間向量的柯西不等

9、式及代數(shù)形式？ 猜想： n 維向量的坐標(biāo)？ n 維向量的柯西不等式及代數(shù)形式？結(jié)論：設(shè) a1 , a2 , an ,b1 ,b2 ,bnR ，則( a2a2a2 )(b2b 2b2 )( a baba b )212n12n1 12 2n n討論：什么時(shí)候取等號(hào)？（當(dāng)且僅當(dāng)a1a2an時(shí)取等號(hào)，假設(shè) bi0 ）b1b2bn聯(lián) 想 ： 設(shè) B a ba babn， A a 2a 2a 2，222，則有1 12 2n12nC b1b2bnB2A C 0 ，可聯(lián)想到一些什么？n 維形式的柯西不等式？ 討論：如何構(gòu)造二次函數(shù)證明（注意分類(lèi)）要點(diǎn)：令 （f x）（a12a22an2 ) x22(a1b1a

10、2 b2an bn ) x(b12b22bn2 ) ，則f ( x) (a1 x b1 )2(a2 x b2 ) 2+（an x bn )20 .又 a12a22an20，從而結(jié)合二次函數(shù)的圖像可知，2( a1b1a2 b2an bn )24(a12a22an2 )(b12b22bn2) 0即有要證明的結(jié)論成立 .（注意：分析什么時(shí)候等號(hào)成立. ） 變式： a12a22an21( a1a2an ) 2 .（討論如何證明）n2. 教學(xué)柯西不等式的應(yīng)用： 出示例 1：已知 3x 2 y z 1 ，求 x2y 2z2 的最小值 .分析：如何變形后構(gòu)造柯西不等式？板演 變式： 練習(xí)：若 x, y, z

11、111R ，且y1，求 xxz 出示例 2：若 a >b > c ，求證：11a bb cy z 的最小值 .2 34.ac要點(diǎn)： (a c)(11) ( a b) ( b c)(11) (1 1)24abbca bbc3. 小結(jié)： 柯西不等式的一般形式及應(yīng)用；等號(hào)成立的條件；根據(jù)結(jié)構(gòu)特點(diǎn)構(gòu)造證明.三、鞏固練習(xí)：31.練習(xí)：教材P414題2.作業(yè)：教材P415、6 題第四課時(shí)3.3排序不等式教學(xué)要求 ：了解排序不等式的基本形式，會(huì)運(yùn)用排序不等式分析解決一些簡(jiǎn)單問(wèn)題，體會(huì)運(yùn)用經(jīng)典不等式的一般方法.教學(xué)重點(diǎn) ：應(yīng)用排序不等式證明不等式.教學(xué)難點(diǎn) ：排序不等式的證明思路.教學(xué)過(guò)程 ：一、

12、復(fù)習(xí)準(zhǔn)備：1. 提問(wèn)： 前面所學(xué)習(xí)的一些經(jīng)典不等式？（柯西不等式、三角不等式）2. 舉例：說(shuō)說(shuō)兩類(lèi)經(jīng)典不等式的應(yīng)用實(shí)例.二、講授新課：1. 教學(xué)排序不等式：4244 看書(shū)：PP. 提出排序不等式（即排序原理）：設(shè)有兩個(gè)有序?qū)崝?shù)組 : a1a2···an ; b1 b2 ··· bn . c1 ,c2 ,··· cn 是 b1 ,b2 ，···,bn的任一排列 , 則有a1b1a2 b2··· + an bn (同序和 )a1c1a2c2 +

13、83;·· + an cn ( 亂序和 )a1bna2 bn1 +··· + an b1( 反序和)當(dāng)且僅當(dāng) a1a2··· = an 或 b1 b2··· =bn 時(shí)，反序和等于同序和 .（要點(diǎn)：理解其思想，記住其形式）2. 教學(xué)排序不等式的應(yīng)用： 出示例1：設(shè)a1 ,a2 ,an 是 n個(gè)互不相同的正整數(shù)，求證：1111a2a3an23a1222 .n23n分析：如何構(gòu)造有序排列？如何運(yùn)用套用排序不等式？證明過(guò)程：設(shè) b1 ,b2 ,bn 是 a1 , a2 , an 的一個(gè)排列，且 b1b2bn ，則 b11,b2 2, ,bn n .又 1111，由排序不等式，得2232n2a1a2a3anb1b2b3bn2232n22232n2小結(jié)：分析目標(biāo)，構(gòu)造有序排列. 練習(xí)：已知 a