格林公式證明

1、1 證明平面上的格林公式：證明平面上的格林公式：22()CDuvvuuv dvudsnn 其中其中 C 是區(qū)域是區(qū)域 D 的邊界曲線，的邊界曲線，ds 是弧微分是弧微分. ()cos( , )cos( , )CDPQdPn xQn ydsxy 首先證明第一格林公式首先證明第一格林公式()DDPQdPdyQdxxy ()DDQPdxdyPdxQdyxy 格林公式一般表示為：格林公式一般表示為：sin( , )cos( , )DPxQxds cos( , )cos( , )DPn xQn yds D n Dxydydx( , )( , )2n xx ( , )( , )n yx ,vvPuQuxy

2、 2222()Du vvu vvuudx xxyyy 左左2(GradGrad)DDvuvuv dudsn ()DPQdxy cos( , )cos( , )DPn xQn yds cos( , )cos( , )Dvvun xun ydsxy 右右= =2(GradGrad)DDuuvvu dvdsn 兩式相減得兩式相減得22()DDuvvuuv dvudsnn 3：建立二維情況下調(diào)和函數(shù)的積分表達(dá)式。：建立二維情況下調(diào)和函數(shù)的積分表達(dá)式。1ln(,),v 取取基基本本第第二二題題解解 見見()利利用用第第二二格格林林公公式式第第一一題題見見取取 u 為調(diào)和函數(shù)，為調(diào)和函數(shù)，221ln111

3、lnlnln Duuu dudsnn = 0 0MD 11lnln0uudsnn 0MD 在圓周在圓周 上，上，1111lnlnn 2200()()xxyy 1ln1122udsudsuun .uu 其其中中是是在在圓圓周周上上的的平平均均值值111lnlnln2uuudsdsnnn 代入到等式：代入到等式：12ln2011lnlnuudsnuunn 02()u M 0同理同理11lnln0uudsnn 011()(ln)1lnd2uu Musnn , 0 令令則則0()dGu Msn 011ln2,vG M M 0.Gu MudSn 稱稱 為拉普拉斯方程為拉普拉斯方程格林函數(shù)。格林函數(shù)。 0

4、,G M M則平面上則平面上狄氏問題狄氏問題20,|(),.uuMM 在在內(nèi)內(nèi)，解的表達(dá)式為解的表達(dá)式為211ln20vv 則則4. 平面上平面上狄氏問題解的表達(dá)式狄氏問題解的表達(dá)式求球域(R )的Green函數(shù)及Laplace方程的Dirichlet問題的解.解：1) 設(shè)M0 0為球內(nèi)任一點(diǎn)， 1Mp o 0M ,00rrOM 連接OM0 0并延長至M1,1, 使得 012,OMOMrrR1M是 M0 0 關(guān)于球面 的反 演點(diǎn)，P 為球面上一點(diǎn)。為球面上一點(diǎn)。10PMPMrqr 01144M PM Pqrr 由 POM0 POM1 0Rq 1000PMOPPMOMrrRrr PO0MPO0M

5、1M則Green函數(shù)為0100114(,)MMMMRG M Mrr 由余弦定理，在極坐標(biāo)下022002cos,MMr 122112cosMMr 其中 0011,OMOMOM 是 OM0 0與 OM 的夾角。0M1M0 OM 022220001111422(,)coscosRG M M )cos(sinsincoscoscos000 又 201,R00220042220011422( , ;,)cos cosGRRR 2) 計(jì)算RGn 2242220000220223 200220223 20000011422142142/coscoscos (coscossinsin cos()RRRGGnR

6、RRRRRRRRRR 所以球坐標(biāo)下Laplace方程Dirichlet問題的解為：0000002220223 2000000042/( , ,;,)(,)( , )() ( , ) sin(coscossinsin cos()GufdSnRfRd dRR 球的球的PiossonPiosson公式公式5 求證圓域求證圓域 的格林函數(shù)為的格林函數(shù)為222xyR 0100111(,)lnln2MMMMRG M Mrr其中其中00.OMr 二維平面上基本解為 0011(,)ln2MMG M Mr設(shè)M0 0為圓域 (R)內(nèi)的一點(diǎn)， ,00rrOM 在M0 0點(diǎn)放一單位正電荷點(diǎn)放一單位正電荷 在OM0的延

7、長線上某點(diǎn) PO0M1M物理意義物理意義：平面上M0點(diǎn)處單位正線電荷在介電常數(shù)為1的介質(zhì)中產(chǎn)生的場。M0點(diǎn)處電荷密度為q的線電荷產(chǎn)生的場的大小為012lnMMqCr 處放一電量為q負(fù)電荷，則這兩個(gè)線電荷在圓內(nèi)點(diǎn)11()Mr( )M r 所產(chǎn)生的電勢為 010111(,)lnln22MMMMqv M MCrr由余弦定理，在極坐標(biāo)下0220002cos(),MMr 1221102cos()MMr 其中 0011,OMOMOM 是 OM， OM0 00, 0M1M0 OM 與與x軸的夾角的夾角。220000220001(,)ln2cos()4ln2cos()4v M MqC 由條件0Rv 12200

8、02210124204lncos()lncos()aaqaa 上式對任意 都成立，故即0RG 1001022220001022022sin()sin()cos()cos()RqRaRRR222201010012 10()cos()()()q RqRR 化簡可得01cos(), 線性無關(guān)，故得01222210012 100()()()q RqRR 解之2101,Rq 代入010111(,)lnln22MMMMqv M MCrr解得解得01ln2RC 又 0022000220110112212( , ;,)lncos() lncos()GR 所以極坐標(biāo)下圓域的Green函數(shù)為：201,R00220004