廣東海洋大學(xué)10--15第二學(xué)期高數(shù)試題與答案

1、姓名：GDOU-B-11-3024廣東海洋大學(xué)2014 2015學(xué)年第 二 學(xué)期高等數(shù)學(xué)課程試題課程號:學(xué)號：A卷閉卷考查 口 B卷開卷考試題號-一一-二二四五六七八九十總分閱卷教師各題分數(shù)241428286100實得分數(shù).填空（3X8=24分）1.設(shè)a 二 5, 2, -億 b = ；、x, 1, 0, a _ b，則 x試題共5頁加白紙3張2.設(shè)a 二炫 0, -仁，b二0, 1, 0» 貝S a b3.曲面z x2 y2在點（1,1, .2）處的切平面方程為4.將xoz平面上的曲線x272 -1繞x軸旋轉(zhuǎn)一周所得的旋轉(zhuǎn)曲4面的方程為5.函數(shù)z = ln(3 x2 y2)的駐點為

2、6.設(shè)L為連接（-1, 0）到點（0,1）的直線段，則L（y - x）ds =oO xn7.冪級數(shù).I的收斂半徑為8.微分方程y = e a的通解為y二二.計算題（7X 2=14分）1.設(shè)z = y In( x2 y2)，求dz .2.設(shè)函數(shù)z二f（x,y）是由方程z3 - 3yzx二a3所確定的具有2連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)的函數(shù)，求,zx :X三. 計算下列積分（7X4=28分）1. (y 一 x2)dxdy，其中D是由y=0, y=xx y - 一 2z = 0 ；及x= 1所圍成的閉D區(qū)域。(11) k2. 證明曲線積分(o；)(2xy - y 2)dx (x2 2xy)dy在整個xoy平面內(nèi) 與路

3、徑無關(guān)，并計算積分值。3. 計算 魁(1 x)dydz +(2 y)dzdx + (3 - z)dxdy ,其中 工 是球面 x2 y2 z 9的外側(cè)。4.計算2dxdy，其中D是由x2 y2 _ 25圍成的閉區(qū)域。d 1 x y四. 計算題(7X 4=28分)COA1. 判別級數(shù)、(-1廣一是否收斂？若收斂，是絕對收斂還n 二y/2 + n2是條件收斂？2. 將函數(shù)f(x)二丄 展開為x的幕級數(shù)。x - 33.求微分方程律2y二6滿足初始條件二2的特解4.求微分方程y y = ex的通解。五.證明 p dy ° f(x)dx 二 0(區(qū)-x)f(x)dx (6分)2014-2015

4、學(xué)年第二學(xué)期高等數(shù)學(xué)A卷(參考答案及評分標(biāo)準課程號：佃221101 X 2、 填空(3X 8=24分)1. -2 ；2. 1, 0, 2?;4.4. x2y2 z25.(0, 0);6.、27. 3 ;8.9e-xc1xc2計算題(14 分)1.2xy22，x y.y=In( x 2dz2xydx2 2x yln(x2y2)y2x2 y2dy (3 分)2.令F(x, y,z)二z3-3yz（1分），得Fx=1, Fz = 3z2- 3y ,則exFxFz3z2 _ 3y，(4 分)則二；x6zM(3z2 - 3y )26z(3z2-3y)3.(2計算下列積分（1.原式7X 4=28 分)4分

5、10dxx20 (y3分 1 1_x2)dy = 0(1 y2 _ x2y)x2dx01 1 .0匕X )dx22FP2.設(shè)只“八。"-2xy，有寸=2x；x-2y ,(4 分)所以曲線積分與路徑無關(guān)1 原式=.0（1 - 2y）dy =03.設(shè)V表示二圍成的閉區(qū)域并表示它的體積，由高斯公式有(3 分)原式=*2 _旳y®z)dv =.zT08 二4分4. 原式二5drJ0-rdr1 r 2ln( 12)-: ln 26四.1.令Un2 n2，則 Un Un '1,且 limn>Un = 0，所以級數(shù)01S（_1）n Tn收斂。（3 分）又limnh2 n21

6、二1，而級數(shù)7 發(fā)散，所以級數(shù)n A noOznJ1發(fā)散。（3分）2因此級數(shù)oO'、(-1)n1條件收斂。（1分）n2、xn z01：: X(4分)所以 f(x"x_3!（3）nn- x3 ： x ： 3.（ 3 分）3 .設(shè) P(x) = 2, Qx) = 6,P(x)dx_(x)dxI ,則 y 二 e Q x )edxC(3 分)(2 分)代入初始條件得C = -1 ,所以特解為-e_2x(2 分)4.特征方程為r2 r = 0 ,特征根為r10,_'2dx2dxe 6edx C_2x2x=e 3eC(4分)所以對應(yīng)的齊次方程的通解為y = s c2e設(shè)*aex

7、是y ” y '二ex的特解，則 a所以原方程的通解為八S g/ 2e(3 分)五.積分區(qū)D域為：0豈y乞二，0豈x遼y ,更換積分次序有x)f (x)dx(6 分)-y-rJl0 dy 0 f(x)dx = 0 dx x f(x)dy° (GDOU-B-11-302廣東海洋大學(xué)20132014學(xué)年第二學(xué)期班級：姓名：題號一一一-二二-三四五六七八九十總分閱卷教師各題分數(shù)211428325100實得分數(shù)課程號:.填空（3X7=21分）高等數(shù)學(xué)課程試題考試 A卷閉卷考查口 B卷開卷1.設(shè),箱1,0,-1；,b 0,1,1；，貝S a b 二2. 過點1,1,1且與x軸垂直相交的

8、直線方程為3.過1,0,1與平面x 2y z=1平行的平面方程為學(xué)號：4.函數(shù)z =x2 y2 -2x的駐點為n xn5.幕級數(shù)i 的收斂半徑為i =1 6n6.曲線z =x2 2y2, x z = 0在xoy面上的投影曲線的方程為7.微分方程y-y滿足y（0） =2的特解為試題共5頁加白紙3張二.計算題（7X 2=14分）1.設(shè) z =si，求 dz.y2.設(shè)f（x,y）是由方程ez -x y0所確定的具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)的函數(shù)，求二N.ex cy三.計算下列積分（7X4=28分）1. . x-yd二，其中D是由x軸y軸以及直線2x2所圍成的閉D區(qū)域。2.證明曲線積分在整個xoy平面內(nèi)與路徑無關(guān)，

9、并計算積分值3. 計算口 6xdydz ydzdx 3zdxdy ,其中三是某邊長為2的正方體的整個邊界曲面的外側(cè)。4.計算De "d二，其中D是由x2 y2 <4圍成的閉區(qū)域。四. 計算題（8X 4=32分）°o n21. 判別級數(shù)二是否收斂。n占e2將函數(shù)f（x）=e3x展開為x的幕級數(shù)。3. 求微分方程y ： y = 2x的通解。4. 求微分方程y -5y 6y=6的通解。五. 證明 ° dy。、乂二占 in xdx=° 二-xexhs in xdx （5 分）GDOU-B-11-302廣東海洋大學(xué)20132014學(xué)年第二學(xué)期高等數(shù)學(xué)試題參考

10、答案和評分標(biāo)準考試 A卷閉卷考查口 B卷開卷題號一一一-二三三四五六七八九十總分閱卷教師各題分數(shù)211428325100實得分數(shù).填空（3X7=21分）1. 設(shè)，21,0,-仃；0,1,心，貝y a b=_1,-1,1?2. 過點1,1,1且與x軸垂直相交的直線方程為 x = 1,y = z3. 過1,0,1與平面x 2y 1平行的平面方程為 x 2y 3z = 24. 函數(shù)z=x2 y2-2x的駐點為1,0 5. 幕級數(shù)J x的收斂半徑為1n6 n6. 曲線z =x2 +2y2 x + z =0在xoy面上的投影線方程為 _ x2 + x+ 2y = 0, z = 0_7. 微分方程y &#

11、39; -y滿足y 0=2的特解為 _ y =2e".計算題(7X 2=14分)1. 設(shè) z =sin ，求 dz.y2. 設(shè)z = f (x, y)是由方程ez x yz =0所確定的具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)的函 數(shù)，求蘭三ex dy兩邊對x求導(dǎo)，(1)1ez y(3):z'z'z1 y 0,:x；:x；xz ： z: zzz兩邊對y求導(dǎo)，e z y 0,z(3)cy內(nèi)cye + y三.計算下列積分(7X4=28分)1. . x-y d匚，其中D是由x軸y軸以及直線2x y =2所圍成的閉區(qū)D0 _ y _2 -2x0 _x _1域。12 -2xdx (x-y)dy解：區(qū)域D

12、可表示為(3)(x_y)d 二=13(2 1),oo (x 2y)dx (2x y)dy在整個xoy平面內(nèi)與路徑D2. 證明曲線積分無關(guān)，并計算積分值解：設(shè) P =x 2y,Q =2x y,則.2(2)x : y3.所以曲線積分與路徑無關(guān)2 1 13 原式=o xdx 0 (4 y)dy = 2 計算口 6xdydz ydzdx 3zdxdy（2）（3）,其中匕是某邊長為2的正方體(4)的整個邊界曲面的外側(cè)解：設(shè)V是由匕圍成的閉區(qū)域并表示它的體積，由高斯公式原式=.,:(6x):x鋼：(3z)dv:y:z=JOdv(1)=10V(2)=1dJ23= 80(1)4.計算ffDex為如，其中D是由

13、x2 + y2蘭4圍成的閉區(qū)域解：區(qū)域D在極坐標(biāo)下可表示為0_2二,0汀乞2，（2）(3)(2)2- 2 r2原= 心 e rdr、0*0= 二 e4 -1四.計算題（8X 4=32分）: 21. 判別級數(shù)V nn是否收斂 n =1 e解:所以級數(shù)收斂（4）2.將函數(shù)f（x）二e3x展開為x的幕級數(shù)。n解：ex八- n£ n!:3nxnf (x)二 e3x，一 : : x ：n蘭n!3. 求微分方程y、y=2x的通解。解：八y =0的通解為y =ce，(2)設(shè)原方程的通解為y=c(x)e，代入方程得c (x) = 2xex，得 c(x) = 2 xec(4)原方程的通解為y =2x_

14、2 ce(2)4.求微分方程y-5y'6y=6的通解。解：特征方程為2-5- 6=0，特征根為 2,，2=3對應(yīng)的齊次方程的通解為y = cie2x c2e3x(2)y =1是方程的一個特解,(2)原方程的通解為y=1 ye2x C2e3x(2)五.證明 ° dy ° exr sin xdx - - x e sin xdx ( 5 分)證明：設(shè)區(qū)域D為. .esinxd二° dy 0eDy xsin xdx ( 2)區(qū)域D可表示為 0；：x噸HeD71sinxd dx e sin xdy = i i x e sin xdx0x八L廣東海洋大學(xué) 201220

15、13學(xué)年第學(xué)期00高等數(shù)學(xué)課程試題考試 A卷閉卷考查口 B卷開卷題號一一一-二二-三四五六七八九十總分閱卷教師各題分數(shù)211428325100實得分數(shù)填空（3X7=21分）1.設(shè)，才汀=2o, k?，若 a b =2，則 a b 二2. 過點1,0,1且與平面2x3yz = 2平行的平面方程為 3. 設(shè)曲線 L : X =4cost, y =4sin t,（0 豈t 豈 2二），貝卩 Q（x2 - y2）3ds=4. 函數(shù)z =1 n . x2 y2的駐點為5. 幕級數(shù)f £的收斂域為n 4 3n6. 曲線x2 y2, y z =1在xoy面上的投影線方程為 7. 微分方程 y

16、9;'=sin 2x滿足y 0=1 的特解為 二. 計算題（7X 2=14分）x1. 設(shè) z = ey，求 dz.2. 設(shè)z二f（x,y）是由方程e2z -2xyz = 0所確定的具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)的函數(shù)，求三壬ex by三. 計算下列積分（7X4=28分）1. .2x3yd二，其中D是由兩坐標(biāo)軸以及x y=2所圍成的閉區(qū)D域。2. 設(shè)曲線積分（：；（2x ky）dx （x -3y）dy在整個xoy平面內(nèi)與路徑無關(guān)，求常數(shù)k，并計算積分值3.計算dzdx 4zdxdy,其中是圓錐體z空x2y2,0_z_1的整個表面的外側(cè)4.計算JJD(1 + x2 +y2購，其中D是由x2 +y2蘭1圍成

17、的閉區(qū)域四. 計算題(8X 4=32分)1.判別級數(shù)3n二nn是否收斂2.將函數(shù)f(x) =xcos2x展開為x的幕級數(shù)。3.求微分方程y _y=x的通解4.求微分方程y -3y，2y=2的通解。OCIC30 -+4五. 設(shè)級數(shù)-un2收斂，證明級數(shù)V亠發(fā)散 n Tn 蚪 n（5 分）GDOU-B-11-302廣東海洋大學(xué)20112012學(xué)年第二學(xué)期高等數(shù)學(xué)課程試題答案和評分標(biāo)準:考試 A卷閉卷z :考查 口 B卷 開卷題號一一一二三四五六七八九十總分閱卷教師各題分數(shù)211428325100實得分數(shù).填空(3X7=21分)1.設(shè)，才1,0,-仁；= 42,01，貝S a b 二 , a'

18、;.21,2；2. 過點仆)且垂直于直線寧=七込的平面方程為2(x T) -(y -1) 2(z 1)=03. 設(shè)曲線 L:x =3cost,y =3si n t,（0 沉乞 2二），貝: Jx2 y2）ds = 541y4. 改變積分次序 fdxff（x,y）dy = Ldyf（x,y）dx7 n5.幕級數(shù)v x的收斂半徑為 1n4 2n6.函數(shù)z=sin(x y)在點(0,0)處的梯度為d,1?7.微分方程y "二cos3x的通解為y二y -】cos3x qx c29.計算題(7X 2=14分)1.設(shè) z =1 n(1 x2y2),求dz.解:.:z2x2 2，_x 1 x y(

19、2).:z2y(2)dz 二三 dx dy excy2xdx2y22 u入221 x y 1 x ydy(1)2.設(shè) z = f (x, y)是由方程 z3 -xz2 - ye二1所確定的具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)的函數(shù)，求N =ex dy解：在方程兩邊對x求偏導(dǎo)數(shù),(1)3z2 遼-z2x得 氐 得 -二'f-.exz z - z-2xz ye 0.x2z(2)3z2 - 2xz yez(1)在方程兩邊對y求偏導(dǎo)數(shù),C 2 ：zz z z ：z c3z 2xz e ye 0 y_y:y得，：zzey 3z2 _2xz yez三.計算下列積分(7X4=28分)(2)(1)1. I! xyd；二，其

20、中D是由直線y = 0, x = 0以及x y =1所圍成的閉區(qū)D域。解：區(qū)域D可表示為0<y x,0 <x<1,(1)11 _x. .xyd；- 0dx 0 xydyD11 2=x(1-x)2dx 0 2_ 1242.設(shè)曲線積分(2)(1)(1 ,2)(0，)(x+ky )dx (x-y)dy在整個xoy平面內(nèi)與路徑無關(guān)，求常數(shù)k，并計算積分值。解：設(shè)P =x，ky,Q =xy,則衛(wèi)二許 ex(2)衛(wèi)=1，蘭廿，所以k=1.x;y(2)原式=；xdx ：(1 -y)dy =*3. 計算 2xdydz ydzdx 3zdxdy,其中(3)Z是球面x2 y2 z2 =1的外側(cè)。

21、解：設(shè)V是由3圍成的閉區(qū)域并表示它的體積，由高斯公式原式=宀.*衛(wèi)竺V ex-:y)dv :z(1)v6dv6V(1)4. i icos(x2 y2)d匚，其中D是由x24圍成的閉區(qū)域。D解：區(qū)域D在極坐標(biāo)下可表示為0 "乞2二,0汀乞2，(2)(3)2 2 _原=0' d。0 cosr |_rdr(1)(1)2兀1si n4dr o 2jrsin4四.計算題（8X 4=32分）1.0判別級數(shù)-1是否收斂，若收斂，是絕對收斂，還是4V2 n +1條件收斂。解:(-1)n2n 1°°4=_2發(fā)散,n 4 . 2n 1(2)二單調(diào)減少，.2 n 11lim0，

22、n-心 J2 n 1(3)所以（T）收斂n1 .2n 1，并且是條件收斂。(3)2.將函數(shù)f （x）二xe2x展開為x的幕級數(shù)。:n解: exn=o n!(4)e(2x)n心n!(2)n n 1f(x) = xe，n出n!-:：:x ：:(2)3.求微分方程y： 2y =3x的通解解：八2y"的通解為y二ce%，（ 2）設(shè)原方程的通解為y=c（x）e“，代入方程得c(x) =3xe2x，得 c(x)二 xe"c(4)原方程的通解為(3)332xy x ce_244.求微分方程y 2y'：-3y =1的通解。解：特征方程為 2 2 一3 = 0 ,特征根為1 = -3

23、, 2 = 1(2)對應(yīng)的齊次方程的通解為_3xy 二 &exC2e(2)是方程的一個特解，3原方程的通解為 八583_3xxoOcoO五.設(shè)級數(shù)v Un收斂，證明級數(shù)v (Un =1nW)2也收斂n(5 分)(2)Un1 .21二 52 -2 - 2(un2 )n nn(2)0qQ .而J Un2收斂，'A也收斂。n inT n(1)由比較判別法知，原級數(shù)收斂。(2)廣東海洋大學(xué) 20112012學(xué)年第 二 學(xué)期高等數(shù)學(xué)試題答案和評分標(biāo)準課程號:考試口 A卷閉卷考查 B卷開卷題號-一一.二三三四五六七八九十總分閱卷教師各題分數(shù)211428325100實得分數(shù)、填空(3X7=2

24、1 分)1.設(shè) a 二1,2,0, b 二1,-1,1，則 a b =2.過點(1,0,1)且與平面x y z-1 =0垂直的直線方程為y2)2ds =3.設(shè)曲線 L :x = cost, y =sint (0 Wt W2兀)，貝U J (x2 +4.改變積分次序f dxf f (x,y)dy二¥0“0y / y -5. 函數(shù)y = x( _二_ x _二)的傅立葉級數(shù)在x=二處收斂于6. 函數(shù)z仝寸在點(i,i)處的梯度為7. 微分方程yJsin5x通解為y=二. 計算題(7X 2=14分)1. 設(shè)z二，求dz.x +y22. 設(shè)z二f(x,y)是由方程z xyez 1=0所確定的

25、具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)的函數(shù)，求空上.dx dy三. 計算下列積分(7X4=28分)1. 11 (x y) d二，其中D是由直線y = 0, y = x以及x = 1所圍成的閉區(qū)D域。2. I l sin(x2 y2)d二，其中D是由x2 y2 _1圍成的閉區(qū)域。D3. 設(shè)曲線積分.；：；(x y)dx (kx-y)dy在整個xoy平面內(nèi)與路徑無關(guān)，求常數(shù)k，并計算積分值4.Q xdydz2ydzdx zdxdy其中匸是區(qū)域0沁遼1,0乞八1,0注乞1的整個表面的外側(cè)。四. 計算題(8X 4=32分)1. 判別級數(shù)- 空 是否收斂，若收斂，是絕對收斂，還是條 n =1 3n件收斂。2.將函數(shù)f (x)

26、二x2e3x展開為x的幕級數(shù)。3. 求微分方程y=3x的通解。4.求微分方程y " y -2y=x的通解五.設(shè)級數(shù)-Un2收斂，證明級數(shù)J(Un_2)2也收斂n(5 分)nW試題答案和評分標(biāo)準、填空(3X7=21 分)1.設(shè) a =1,2,0, b 二1,1,1，貝S a b 二-1,a b 二2, -1,-32.過點(1,0,1)且與平面x y z-0垂直的直線方程為x1 y z13.設(shè)曲線 L :x =cost,y =si nt(0 乞t 乞 2二)，貝Q(x2 - y2)2ds = 2.4.改變積分次序 fdxj； f(x,y)dy=dy$f(x,y)dx5.函數(shù)y = x(

27、一二_ x _二)的傅立葉級數(shù)在x=二處收斂于_06.函數(shù)z =x2y2在點(1,1)處的梯度為2, 27.微分方程y 'sin5x通解為1y sin 5x c1x c,52解:.計算題(7X 2=14分)1.設(shè)xxy2，:z2y2x(x y2)2,dz 二二 dx dy.x:y2y2求dz.(2):z _-4xy：:y (x y2)2(2)- 4xy2、22、2dy(x y ) (x y )2.設(shè)z二f(x,y)是由方程z xyez 0所確定的具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)的函數(shù)，求二工.改cy(1)解：在方程兩邊對x求偏導(dǎo)數(shù),(1)(4)(2)z zz ；：Z cye xye 0:x；:x(1)得

28、，二占Tex1+ xye在方程兩邊對y求偏導(dǎo)數(shù),-xez xyezM =0 :y: y(2)-_zz - xe 得，zcy 1 + xye(1)三.計算下列積分(7X4=28分)1. . .(x y) d；，其中D是由直線y =0,D域。以及x = 1所圍成的閉區(qū)解：區(qū)域D可表示為0 _ y _ x,0 _ x _1 ,(1)1 xxyd ：； - ,.0dx 0 (x y)dyD(3)1 3 2=-x dx°：=12(2)(1)2. 11 sin(x2 y2)d二，其中D是由x2 y2 <1圍成的閉區(qū)域D解：區(qū)域D在極坐標(biāo)下可表示為0“乞2二,0 "豈1 ,2 二.

29、1 2 原= 心 si nr rdr $0$02二 1 1( cos1)d-0 '2 2 &(3)(1)二(1 -cos1)(1)3.設(shè)曲線積分(；：(x y)dx (kx-y)dy在整個xoy平面內(nèi)與路徑無關(guān)，求常數(shù)k，并計算積分值設(shè) P 二 x y,Q 二 kx _ y,貝卩 2 二；:P(2)ex2*蘭“，所以k=1(2).x；:y原式=0xdx 0(1 -y)dy=(3)計算 Q xdydz 2ydzdx zdxdy,其4.解:中0 <x <1,0< y <1,0 <z <1的整個表面的外側(cè)。匕是區(qū)解：設(shè)V是由匕圍成的閉區(qū)域并表示它的

30、體積，由高斯公式原式型三鄧 V ；x:y:z=.V4dv(1)= 4V(2)=4( 1)四.計算題(8X 4=32分)1.判別級數(shù)空 是否收斂，若收斂，是絕對收斂，還是條n 二 3n件收斂。解：發(fā)散，n a 3nn 二 3n丄單調(diào)減少，lim丄=0 ,3nn ；：3n所以"m 收斂，并且是條件收斂。(3)n m 3n2.將函數(shù)f (x)二x2e3x展開為x的幕級數(shù)。(2)(3)解:xn x en=o n!(2)e3啤n=o n!a 3n xn 亡f (x)二 x2e3x，一 : : x ：nn!3.求微分方程y'：-y =3x的通解。解：y -y=O的通解為y=ce，設(shè)原方程

31、的通解為y=c(x)ex，代入方程得(4)c (x) =3xe，得 c(x) = -3xe-3ec原方程的通解為y - -3x -3 cex4.求微分方程y y -2y二x的通解。解：特征方程為-22 = o，特征根為 ! - -2, '2 = 1(2)對應(yīng)的齊次方程的通解為_2xy =Gexc2e(2)是原方程的一個特解(2)原方程的通解為44 Cie_2xx+ C2e(2)a2Unn =1五設(shè)級數(shù)v Un2收斂，證明級數(shù)v (U-2)2也收斂n(5 分)2 .24證： -2unun2nn尹一、22 4Un * 4 ”，2 * 4、 =Un一 2 2(un2)n nnUnI n丿(2)而J Un'收斂，二芻也收斂。 n ：!n z1 n(1)由比較判別法知，原級數(shù)收斂。(2)廣東海洋大學(xué) 2010 2011學(xué)年第學(xué)期高等數(shù)學(xué)I課程試題考試 A卷閉卷考查口 B卷開卷題號-一一-二二-三四五六七八九十總分閱卷教師各題分數(shù)214039100實得分數(shù)填空(3X7=21分)-I*41已知 a =1,2,3, b =-2 , 1, 4,則 a b =12。2. 過點 A( 1,2,3)和點 B(-2,1,-4 )的直線方程為 x-1_y-2_z-33 一 1 一 7(因為 B