應(yīng)力變換公式

1、一點的應(yīng)力不僅是坐標(biāo)的函數(shù)，隨著彈性體中點的位置改變而變化，而且即 使同一點，由于截面的法線方向不同，截面上的應(yīng)力也不相同。一點的應(yīng)力隨著 截面的法線方向的改變而變化稱為應(yīng)力狀態(tài)。應(yīng)力狀態(tài)分析就是討論一點不同截面的應(yīng)力變化規(guī)律。由于應(yīng)力分量可以描 述應(yīng)力狀態(tài)，因此討論坐標(biāo)系改變時，一點的各個應(yīng)力分量的變化就可以確定應(yīng) 力狀態(tài)。當(dāng)坐標(biāo)系改變時，同一點的各個應(yīng)力分量將作如何的改變。容易證明，坐標(biāo)系僅作平移變換時，同一點的應(yīng)力分量是不會改變的，因此 只須考慮坐標(biāo)系旋轉(zhuǎn)的情況。假設(shè)在已知坐標(biāo)系Oxyz中，彈性體中某點的應(yīng)力分量為?酥G6丿如果讓坐標(biāo)系轉(zhuǎn)過一個角度，得到一個新的坐標(biāo)系Ox'y&#

2、39;z'。設(shè)新坐標(biāo)系與原坐標(biāo)系之間有如下關(guān)系：X7Zx1A才込其中，li，mi，ni表示新坐標(biāo)軸Ox'y'z'與原坐標(biāo)軸Oxyz之間的夾角方向余弦。返回如果用知=在新坐標(biāo)系下占八、的應(yīng)力分量作斜截面ABC與x'軸垂直，其應(yīng)力矢量為pn,則Pn 二珂二PK根據(jù)應(yīng)力矢量與應(yīng)力分量的表達(dá)式P廣Py =唧+創(chuàng)+ "Ps召用+耳舁返回設(shè)i'，j'，k'為新坐標(biāo)系Ox'y'z'的三個坐標(biāo)軸方向的單位矢量,如圖所示將pn ,即px'向x'軸投影就得到二x'； 向y'軸投影就得到

3、Exy; 向Z'軸投影就得到Tx'Z ；所以j = r.- i = Ox* + Pj j + Prft） - （W+J+= Ap, + 附 1戸戶 +角 f, F = PJ = J幾十豹沖F +氏 匸出二必氓=J幾+叫巧+hp$將應(yīng)力矢量分量表達(dá)式代入上述各式，并分別考慮y, z方向，則可以得到轉(zhuǎn)軸公式QV = 也 +就礙+ nx +囚加聲幫+ 2朋/苗陰+ 2hlZl7 巧亠洛6 +図；巧+門；耳+%蝕匕幫+2朋/許彈+2即聲辭 J 二育b* +和：s +居q + 21工空込孕+2朋尹*加+ 2砧 仏巧+%禺礙+嗎嗎q+卽嗎+一蝕”平+（朋1心+啣沖1冷聲+01J +闖仏）4

4、<匸皿=+企蝕巧+均電礙+色叫+那） + 仏 +燉尹2）書阿+ 如三+ 臥）J叢6+%叫6 +角如耳+朋1+片蝕）J + （處馬+用嚴(yán)Jr加+ （臥+ ®厶片環(huán)注意至U ,x'y' = y'x' ,y'z' = z'y' ,x'z' = z'x'。用張量形式描述，則上述公式可以寫作-円嗎嚴(yán)爐應(yīng)力變換公式表明：當(dāng)坐標(biāo)軸作轉(zhuǎn)軸變換時，應(yīng)力分量遵循張量的變換規(guī)律。 坐標(biāo)軸旋轉(zhuǎn)后，應(yīng)力分量的九個分量均有改變，但是作為一個整體所描述的應(yīng)力 狀態(tài)是不會發(fā)生變化的。應(yīng)力張量為二階對稱張量，僅有六個

5、獨立分量。新坐標(biāo)系下的六個應(yīng)力分量 可通過原坐標(biāo)系的應(yīng)力分量確定。因此，應(yīng)力張量的六個應(yīng)力分量就確定了一點 的應(yīng)力狀態(tài)。對于平面問題，如Ox軸與Ox'成®角。則新舊坐標(biāo)系Xycosp-sin psin ©cos爭有如下關(guān)系:-6 cos2 p + sin3 卩一 21那 cospsiii <poj,、二 sin q? + av cos + 2 cossin <p根據(jù)轉(zhuǎn)軸公式，可得匚”二&一礙購邛血卩"耶2討爐一沁中）上述公式即材料力學(xué)中常用的應(yīng)力變換公式。應(yīng)該注意的問題是：材料力學(xué)是根據(jù)變形效應(yīng)定義應(yīng)力分量的，而彈性力學(xué)是根據(jù)坐標(biāo)軸定義應(yīng)力分量的符號的。因此對于正應(yīng)力二