高中數(shù)學(xué)三角函數(shù)知識點及試題總結(jié)

1、高考三角函數(shù)1.特殊角的三角函數(shù)值：sin= 0cos= 1tan= 0sin3=cos3=tan3=sin=cos=tan=1sin6=cos6=tan6=sin9=1cos9=0tan9無意義2角度制與弧度制的互化： 36918273603.弧長及扇形面積公式弧長公式： 扇形面積公式:s=-是圓心角且為弧度制。 r-是扇形半徑4.任意角的三角函數(shù)設(shè)是一個任意角，它的終邊上一點p（x,y）, r=(1)正弦sin= 余弦cos= 正切tan=(2)各象限的符號： + -xy+o +xyo + +yosin cos tan5.同角三角函數(shù)的基本關(guān)系：（1）平方關(guān)系：sin2+ cos2=1。（

2、2）商數(shù)關(guān)系：=tan （）6.誘導(dǎo)公式：記憶口訣：奇變偶不變，符號看象限。，口訣：函數(shù)名稱不變，符號看象限，口訣：正弦與余弦互換，符號看象限7正弦函數(shù)、余弦函數(shù)和正切函數(shù)的圖象與性質(zhì)倍角公式sin2=2sin·coscos2=cos2-sin2=2cos2-1=1-2sin2兩角和與差的三角函數(shù)關(guān)系sin()=sin·coscos·sincos()=cos·cossin·sin8、三角函數(shù)公式：降冪公式： 升冪公式 ： 1+cos= cos21-cos= sin29正弦定理 ：.余弦定理：;.三角形面積定理.1直角三角形中各元素間的

3、關(guān)系：如圖，在abc中，c90°，abc，acb，bca。（1）三邊之間的關(guān)系：a2b2c2。（勾股定理）（2）銳角之間的關(guān)系：ab90°；（3）邊角之間的關(guān)系：（銳角三角函數(shù)定義）sinacosb，cosasinb，tana。2斜三角形中各元素間的關(guān)系：在abc中，a、b、c為其內(nèi)角，a、b、c分別表示a、b、c的對邊。（1）三角形內(nèi)角和：abc。（2）正弦定理：在一個三角形中，各邊和它所對角的正弦的比相等。（r為外接圓半徑）（3）余弦定理：三角形任何一邊的平方等于其他兩邊平方的和減去這兩邊與它們夾角的余弦的積的兩倍a2b2c22bccosa；b2c2a22cacosb；

4、c2a2b22abcosc。3三角形的面積公式：（1）ahabhbchc（ha、hb、hc分別表示a、b、c上的高）；（2）absincbcsinaacsinb；（3）；（4）2r2sinasinbsinc。（r為外接圓半徑）（5）；（6）；（7）r·s。4解三角形：由三角形的六個元素（即三條邊和三個內(nèi)角）中的三個元素（其中至少有一個是邊）求其他未知元素的問題叫做解三角形廣義地，這里所說的元素還可以包括三角形的高、中線、角平分線以及內(nèi)切圓半徑、外接圓半徑、面積等等解三角形的問題一般可分為下面兩種情形：若給出的三角形是直角三角形，則稱為解直角三角形；若給出的三角形是斜三角形，則稱為解斜

5、三角形解斜三角形的主要依據(jù)是：設(shè)abc的三邊為a、b、c，對應(yīng)的三個角為a、b、c。（1）角與角關(guān)系：a+b+c = ；（2）邊與邊關(guān)系：a + b > c，b + c > a，c + a > b，ab < c，bc < a，ca > b；（3）邊與角關(guān)系：正弦定理 （r為外接圓半徑）；余弦定理 c2 = a2+b22bccosc，b2 = a2+c22accosb，a2 = b2+c22bccosa；它們的變形形式有：a = 2r sina，。5三角形中的三角變換三角形中的三角變換，除了應(yīng)用上述公式和上述變換方法外，還要注意三角形自身的特點。（1）角的變換

6、因為在abc中，a+b+c=，所以sin(a+b)=sinc；cos(a+b)=cosc；tan(a+b)=tanc。；（2）三角形邊、角關(guān)系定理及面積公式，正弦定理，余弦定理。r為三角形內(nèi)切圓半徑，p為周長之半。（3）在abc中，熟記并會證明：a，b，c成等差數(shù)列的充分必要條件是b=60°；abc是正三角形的充分必要條件是a，b，c成等差數(shù)列且a，b，c成等比數(shù)列。四【典例解析】題型1：正、余弦定理（2009岳陽一中第四次月考）.已知中， ，則（ ） a. b c d 或答案 c例1（1）在中，已知，cm，解三角形；（2）在中，已知cm，cm，解三角形（角度精確到，邊長精確到1cm

7、）。例2（1）在abc中，已知，求b及a；（2）在abc中，已知，解三角形解析：（1）=cos=求可以利用余弦定理，也可以利用正弦定理：解法一：cos（2）由余弦定理的推論得：cos；cos；例3在中，求的值和的面積。 又, , 。 例4（2009湖南卷文）在銳角中，則的值等于 ，的取值范圍為 . 答案  2 解析 設(shè)由正弦定理得由銳角得，又，故，例5（2009浙江理）（本題滿分14分）在中，角所對的邊分別為，且滿足， （i）求的面積； （ii）若，求的值解 （1）因為，又由得， （2）對于，又，或，由余弦定理得， 例6（2009全國卷理）在中，內(nèi)角a、b、c的對邊長分別為、，已知，

8、且 求b 解法一：在中則由正弦定理及余弦定理有:化簡并整理得：.又由已知.解得. 例7的三個內(nèi)角為，求當a為何值時，取得最大值，并求出這個最大值。解析：由a+b+c=，得=，所以有cos =sin。cosa+2cos =cosa+2sin =12sin2 + 2sin=2(sin )2+ ；當sin = ，即a=時, cosa+2cos取得最大值為。例8（2009浙江文）（本題滿分14分）在中，角所對的邊分別為，且滿足， （i）求的面積； （ii）若，求的值解（） 又，而，所以，所以的面積為：（）由（）知，而，所以所以例9在abc中，a、b、c分別是a、b、c的對邊長，已知a、b、c成等比數(shù)列

9、，且a2c2=acbc，求a的大小及的值。a、b、c成等比數(shù)列，b2=ac。又a2c2=acbc，b2+c2a2=bc。在abc中，由余弦定理得：cosa=，a=60°。在abc中，由正弦定理得sinb=，b2=ac，a=60°，=sin60°=。例10在abc中，已知a、b、c成等差數(shù)列，求的值。解析：因為a、b、c成等差數(shù)列，又abc180°，所以ac120°，從而60°，故tan.由兩角和的正切公式，得。所以。例11在abc中，若2cosbsinasinc，則abc的形狀一定是（ ）a.等腰直角三角形b.直角三角形c.等腰三角形

10、d.等邊三角形答案：c解析：2sinacosbsin（ab）sin（ab）又2sinacosbsinc，sin（ab）0，ab例12（2009四川卷文）在中，為銳角，角所對的邊分別為，且（i）求的值；（ii）若，求的值。 解（i）為銳角， （ii）由（i）知， 由得，即又 21.（2009四川卷文）在中，為銳角，角所對的邊分別為，且（i）求的值；（ii）若，求的值。 解（i）為銳角， （ii）由（i）知， 由得，即又 五【思維總結(jié)】1解斜三角形的常規(guī)思維方法是：（1）已知兩角和一邊（如a、b、c），由a+b+c = 求c，由正弦定理求a、b；（2）已知兩邊和夾角（如a、b、c），應(yīng)用余弦定理求

11、c邊；再應(yīng)用正弦定理先求較短邊所對的角，然后利用a+b+c = ，求另一角；（3）已知兩邊和其中一邊的對角（如a、b、a），應(yīng)用正弦定理求b，由a+b+c = 求c，再由正弦定理或余弦定理求c邊，要注意解可能有多種情況；（4）已知三邊a、b、c，應(yīng)余弦定理求a、b，再由a+b+c = ，求角c。2三角形內(nèi)切圓的半徑：，特別地，；3三角學(xué)中的射影定理：在abc 中，4兩內(nèi)角與其正弦值：在abc 中，5解三角形問題可能出現(xiàn)一解、兩解或無解的情況，這時應(yīng)結(jié)合“三角形中大邊對大角定理及幾何作圖來幫助理解”1如果函數(shù)的圖像關(guān)于點中心對稱，那么的最小值為（   ）  

12、;   （a） （b） （c） (d)        2、右圖所示的是函數(shù)圖象的一部分，則其函數(shù)解析式是   a   b  c      d 3、已知函數(shù)的最小正周期為，則該函數(shù)圖象a關(guān)于直線對稱           b關(guān)于點(，0)對稱c關(guān)于點(，0)對稱  

13、;        d關(guān)于直線對稱 4、由函數(shù)的圖象a向左平移個單位            b向左平移個單位c向右平移個單位          d向右平移個單位5、若是函數(shù)圖象的一條對稱軸，當取最小正數(shù)時         a在單調(diào)遞增   &

14、#160;         b在單調(diào)遞減 c在單調(diào)遞減           d在單調(diào)遞增 6、函數(shù)（）的最小正周期是，若其圖像向左平移個單位后得到的函數(shù)為奇函數(shù)，則的值為     （    ） a        b   

15、     c         d 7、（2012年高考（新課標理）已知,函數(shù)在上單調(diào)遞減.則的取值范圍是                              

16、60; （）a    b     c      d8、（2012年高考（福建文）函數(shù)的圖像的一條對稱軸是     （）a    b     c    d9、下列命題中的真命題是    a函數(shù)內(nèi)單調(diào)遞增b函數(shù)的最小正周期為2c函數(shù)的圖象是關(guān)于點（，0）成中心對稱的圖形d函數(shù)的圖象是關(guān)于直線x=成軸對稱的圖形10

17、、已知，則等于 a    b    c5      d25 11、已知正六邊形abcdef的邊長為1，則的值為  a        b        c     d12、已知平面向量，與垂直，則是（   ）a. 1     b.

18、2     c. 2     d. 1 13、設(shè)，o為坐標原點，若a、b、c三點共線，則的最小值是                                    

19、       a2     b4     c6           d814、設(shè)poq=60°在op、oq上分別有動點a，b，若·=6， oab的重心是g，則| 的最小值是(   ) a.1    b2    c3  &

20、#160;   d4 15、若是夾角為的單位向量，且，則 a.1        b.4        c.        d. 16、已知圓o的半徑為，圓周上兩點a、b與原點o恰構(gòu)成三角形，則向量的數(shù)量積是a      b        c

21、         d17、如圖，已知點o是邊長為1的等邊abc的中心，則（）·（）等于（    ） a      b           c         d18、（2012年高考（大綱文）若函數(shù)是偶函數(shù),則  

22、60; （）a       b       c       d19、若<0，且<0，則有在a.第一象限         b.第二象限        c.第三象限       d第四象限20、函數(shù)y=

23、cosx(ox，且x)的圖象為21、在中，內(nèi)角a、b、c的對邊長分別為、，已知，且 求b.       22、已知函數(shù)（） 求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間；（）已知中，角所對的邊長分別為，若，求的面積23、已知向量（i）若,求的值;（ii）記，在中，角的對邊分別是，且滿足，求函數(shù)的取值范圍。 24、設(shè)=3，計算：（1）；（2）。25、已知向量，（1）當時，求的值；（2）求在上的值域. 26、已知函數(shù)f(x)=（）求函數(shù)f(x)的最小正周期及單調(diào)增區(qū)間；（）若函數(shù)f(x)的圖像向右平移m(m0)個單位后，得到的圖像關(guān)于原點對稱，求實數(shù)m的最小值.27、已知函數(shù)   （1）求函數(shù)的最小正周期；   （2）若對，不等式恒成立，求實數(shù)m的取值范圍.28、函數(shù)()的最大值為3, 其圖像相鄰兩條對稱軸之間的距離為,(1)求函數(shù)的解析式; (2)設(shè),則,求的值.29、已知函數(shù)的最小正周期為，且當時，函數(shù)的最小值為0。   （i