高中數(shù)學(xué)選修4系列1-4-5知識(shí)點(diǎn)總結(jié)(全套)

1、1.課程內(nèi)容：必修課程由5個(gè)模塊組成：必修1：集合、函數(shù)概念與基本初等函數(shù)（指、對(duì)、冪函數(shù)）必修2：立體幾何初步、平面解析幾何初步。必修3：算法初步、統(tǒng)計(jì)、概率。必修4：基本初等函數(shù)（三角函數(shù)）、平面向量、三角恒等變換。必修5：解三角形、數(shù)列、不等式。以上是每一個(gè)高中學(xué)生所必須學(xué)習(xí)的。上述內(nèi)容覆蓋了高中階段傳統(tǒng)的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)和基本技能的主要部分，其中包括集合、函數(shù)、數(shù)列、不等式、解三角形、立體幾何初步、平面解析幾何初步等。不同的是在保證打好基礎(chǔ)的同時(shí)，進(jìn)一步強(qiáng)調(diào)了這些知識(shí)的發(fā)生、發(fā)展過程和實(shí)際應(yīng)用，而不在技巧與難度上做過高的要求。此外，基礎(chǔ)內(nèi)容還增加了向量、算法、概率、統(tǒng)計(jì)等內(nèi)容。選修課程有4

2、個(gè)系列：系列1：由2個(gè)模塊組成。選修11：常用邏輯用語、圓錐曲線與方程、導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用。選修12：統(tǒng)計(jì)案例、推理與證明、數(shù)系的擴(kuò)充與復(fù)數(shù)、框圖系列2：由3個(gè)模塊組成。選修21：常用邏輯用語、圓錐曲線與方程、空間向量與立體幾何。選修22：導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用，推理與證明、數(shù)系的擴(kuò)充與復(fù)數(shù)選修23：計(jì)數(shù)原理、隨機(jī)變量及其分布列，統(tǒng)計(jì)案例。系列3：由6個(gè)專題組成。選修31：數(shù)學(xué)史選講。選修32：信息安全與密碼。選修33：球面上的幾何。選修34：對(duì)稱與群。選修35：歐拉公式與閉曲面分類。選修36：三等分角與數(shù)域擴(kuò)充。系列4：由10個(gè)專題組成。選修41：幾何證明選講。選修42：矩陣與變換。選修43：數(shù)列與差分。選

3、修44：坐標(biāo)系與參數(shù)方程。選修45：不等式選講。選修46：初等數(shù)論初步。選修47：優(yōu)選法與試驗(yàn)設(shè)計(jì)初步。選修48：統(tǒng)籌法與圖論初步。選修49：風(fēng)險(xiǎn)與決策。選修410：開關(guān)電路與布爾代數(shù)。解題基本方法 配方法 換元法 待定系數(shù)法 定義法 數(shù)學(xué)歸納法 參數(shù)法 反證法 消去法 分析與綜合法 特殊與一般法 類比與歸納法 觀察與實(shí)驗(yàn)法 常用的數(shù)學(xué)思想 數(shù)形結(jié)合思想 分類討論思想 函數(shù)與方程思想 轉(zhuǎn)化（化歸）思想2重難點(diǎn)及考點(diǎn)：重點(diǎn)：函數(shù)，數(shù)列，三角函數(shù)，平面向量，圓錐曲線，立體幾何，導(dǎo)數(shù)難點(diǎn)：函數(shù)、圓錐曲線高考相關(guān)考點(diǎn)：集合與簡易邏輯:集合的概念與運(yùn)算、簡易邏輯、充要條件函數(shù)：映射與函數(shù)、函數(shù)解析式與定

4、義域、值域與最值、反函數(shù)、三大性質(zhì)、函數(shù)圖象、指數(shù)與指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)、函數(shù)的應(yīng)用數(shù)列：數(shù)列的有關(guān)概念、等差數(shù)列、等比數(shù)列、數(shù)列求和、數(shù)列的應(yīng)用三角函數(shù)：有關(guān)概念、同角關(guān)系與誘導(dǎo)公式、和、差、倍、半公式、求值、化簡、證明、三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)、三角函數(shù)的應(yīng)用平面向量：有關(guān)概念與初等運(yùn)算、坐標(biāo)運(yùn)算、數(shù)量積及其應(yīng)用不等式：概念與性質(zhì)、均值不等式、不等式的證明、不等式的解法、絕對(duì)值不等式、不等式的應(yīng)用直線和圓的方程：直線的方程、兩直線的位置關(guān)系、線性規(guī)劃、圓、直線與圓的位置關(guān)系圓錐曲線方程：橢圓、雙曲線、拋物線、直線與圓錐曲線的位置關(guān)系、軌跡問題、圓錐曲線的應(yīng)用直線、平面、簡單幾何體：空間直線

5、、直線與平面、平面與平面、棱柱、棱錐、球、空間向量排列、組合和概率：排列、組合應(yīng)用題、二項(xiàng)式定理及其應(yīng)用概率與統(tǒng)計(jì)：概率、分布列、期望、方差、抽樣、正態(tài)分布導(dǎo)數(shù)：導(dǎo)數(shù)的概念、求導(dǎo)、導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用復(fù)數(shù)：復(fù)數(shù)的概念與運(yùn)算高中數(shù)學(xué) 選修4-5知識(shí)點(diǎn)1、不等式的基本性質(zhì)（對(duì)稱性）（傳遞性）（可加性）（同向可加性）（異向可減性）（可積性）（同向正數(shù)可乘性）（異向正數(shù)可除性）（平方法則）（開方法則）（倒數(shù)法則）2、幾個(gè)重要不等式,（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取號(hào)）. 變形公式：（基本不等式） ,（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取到等號(hào)）.變形公式： 用基本不等式求最值時(shí)（積定和最小，和定積最大），要注意滿足三個(gè)條件“一正、二定、三相等”.（三個(gè)

6、正數(shù)的算術(shù)幾何平均不等式）（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取到等號(hào)）.（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取到等號(hào)）.（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取到等號(hào)）.（當(dāng)僅當(dāng)a=b時(shí)取等號(hào)）（當(dāng)僅當(dāng)a=b時(shí)取等號(hào)），（其中規(guī)律：小于1同加則變大，大于1同加則變小.絕對(duì)值三角不等式3、幾個(gè)著名不等式平均不等式：，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取號(hào)）.（即調(diào)和平均幾何平均算術(shù)平均平方平均）. 變形公式： 冪平均不等式：二維形式的三角不等式：二維形式的柯西不等式： 當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立.三維形式的柯西不等式：一般形式的柯西不等式：向量形式的柯西不等式：設(shè)是兩個(gè)向量，則當(dāng)且僅當(dāng)是零向量，或存在實(shí)數(shù)，使時(shí)，等號(hào)成立.排序不等式（排序原理）：設(shè)為兩組實(shí)數(shù).是的任一排列，則（反序和亂序和順序和

7、），當(dāng)且僅當(dāng)或時(shí)，反序和等于順序和.琴生不等式:（特例:凸函數(shù)、凹函數(shù)）若定義在某區(qū)間上的函數(shù),對(duì)于定義域中任意兩點(diǎn)有則稱f(x)為凸（或凹）函數(shù).4、不等式證明的幾種常用方法 常用方法有：比較法（作差，作商法）、綜合法、分析法；其它方法有：換元法、反證法、放縮法、構(gòu)造法，函數(shù)單調(diào)性法，數(shù)學(xué)歸納法等.常見不等式的放縮方法：舍去或加上一些項(xiàng)，如將分子或分母放大（縮?。?，如 等.5、一元二次不等式的解法求一元二次不等式解集的步驟：一化：化二次項(xiàng)前的系數(shù)為正數(shù).二判：判斷對(duì)應(yīng)方程的根.三求：求對(duì)應(yīng)方程的根.四畫：畫出對(duì)應(yīng)函數(shù)的圖象.五解集：根據(jù)圖象寫出不等式的解集.規(guī)律：當(dāng)二次項(xiàng)系數(shù)為正時(shí)，小于取中

8、間，大于取兩邊.6、高次不等式的解法：穿根法.分解因式，把根標(biāo)在數(shù)軸上，從右上方依次往下穿（奇穿偶切），結(jié)合原式不等號(hào)的方向，寫出不等式的解集.7、分式不等式的解法：先移項(xiàng)通分標(biāo)準(zhǔn)化，則 （時(shí)同理）規(guī)律：把分式不等式等價(jià)轉(zhuǎn)化為整式不等式求解.8、無理不等式的解法：轉(zhuǎn)化為有理不等式求解規(guī)律：把無理不等式等價(jià)轉(zhuǎn)化為有理不等式，訣竅在于從“小”的一邊分析求解.9、指數(shù)不等式的解法：當(dāng)時(shí),當(dāng)時(shí), 規(guī)律：根據(jù)指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)轉(zhuǎn)化.10、對(duì)數(shù)不等式的解法當(dāng)時(shí), 當(dāng)時(shí), 規(guī)律：根據(jù)對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)轉(zhuǎn)化.11、含絕對(duì)值不等式的解法：定義法：平方法：同解變形法，其同解定理有：規(guī)律：關(guān)鍵是去掉絕對(duì)值的符號(hào).12、含有

9、兩個(gè)（或兩個(gè)以上）絕對(duì)值的不等式的解法：規(guī)律：找零點(diǎn)、劃區(qū)間、分段討論去絕對(duì)值、每段中取交集，最后取各段的并集.13、含參數(shù)的不等式的解法解形如且含參數(shù)的不等式時(shí)，要對(duì)參數(shù)進(jìn)行分類討論，分類討論的標(biāo)準(zhǔn)有：討論與0的大?。挥懻撆c0的大??；討論兩根的大小.14、恒成立問題不等式的解集是全體實(shí)數(shù)（或恒成立）的條件是：當(dāng)時(shí) 當(dāng)時(shí)不等式的解集是全體實(shí)數(shù)（或恒成立）的條件是：當(dāng)時(shí)當(dāng)時(shí)恒成立恒成立恒成立恒成立15、線性規(guī)劃問題二元一次不等式所表示的平面區(qū)域的判斷： 法一：取點(diǎn)定域法：由于直線的同一側(cè)的所有點(diǎn)的坐標(biāo)代入后所得的實(shí)數(shù)的符號(hào)相同.所以，在實(shí)際判斷時(shí)，往往只需在直線某一側(cè)任取一特殊點(diǎn)（如原點(diǎn)），由的

10、正負(fù)即可判斷出或表示直線哪一側(cè)的平面區(qū)域.即：直線定邊界，分清虛實(shí)；選點(diǎn)定區(qū)域，常選原點(diǎn).法二：根據(jù)或，觀察的符號(hào)與不等式開口的符號(hào)，若同號(hào)，或表示直線上方的區(qū)域；若異號(hào)，則表示直線上方的區(qū)域.即：同號(hào)上方，異號(hào)下方.二元一次不等式組所表示的平面區(qū)域： 不等式組表示的平面區(qū)域是各個(gè)不等式所表示的平面區(qū)域的公共部分.利用線性規(guī)劃求目標(biāo)函數(shù)為常數(shù)）的最值： 法一：角點(diǎn)法：如果目標(biāo)函數(shù) （即為公共區(qū)域中點(diǎn)的橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)）的最值存在，則這些最值都在該公共區(qū)域的邊界角點(diǎn)處取得，將這些角點(diǎn)的坐標(biāo)代入目標(biāo)函數(shù)，得到一組對(duì)應(yīng)值，最大的那個(gè)數(shù)為目標(biāo)函數(shù)的最大值，最小的那個(gè)數(shù)為目標(biāo)函數(shù)的最小值法二：畫移定求：第

11、一步，在平面直角坐標(biāo)系中畫出可行域；第二步，作直線 ，平移直線（據(jù)可行域，將直線平行移動(dòng)）確定最優(yōu)解；第三步，求出最優(yōu)解；第四步，將最優(yōu)解代入目標(biāo)函數(shù)即可求出最大值或最小值 .第二步中最優(yōu)解的確定方法：利用的幾何意義：,為直線的縱截距.若則使目標(biāo)函數(shù)所表示直線的縱截距最大的角點(diǎn)處，取得最大值，使直線的縱截距最小的角點(diǎn)處，取得最小值；若則使目標(biāo)函數(shù)所表示直線的縱截距最大的角點(diǎn)處，取得最小值，使直線的縱截距最小的角點(diǎn)處，取得最大值.常見的目標(biāo)函數(shù)的類型：“截距”型：“斜率”型：或“距離”型：或或在求該“三型”的目標(biāo)函數(shù)的最值時(shí)，可結(jié)合線性規(guī)劃與代數(shù)式的幾何意義求解，從而使問題簡單化.選修4-4數(shù)學(xué)

12、知識(shí)點(diǎn)一、選考內(nèi)容坐標(biāo)系與參數(shù)方程高考考試大綱要求：1坐標(biāo)系： 理解坐標(biāo)系的作用. 了解在平面直角坐標(biāo)系伸縮變換作用下平面圖形的變化情況. 能在極坐標(biāo)系中用極坐標(biāo)表示點(diǎn)的位置，理解在極坐標(biāo)系和平面直角坐標(biāo)系中表示點(diǎn)的位置的區(qū)別，能進(jìn)行極坐標(biāo)和直角坐標(biāo)的互化. 能在極坐標(biāo)系中給出簡單圖形（如過極點(diǎn)的直線、過極點(diǎn)或圓心在極點(diǎn)的圓）的方程.通過比較這些圖形在極坐標(biāo)系和平面直角坐標(biāo)系中的方程，理解用方程表示平面圖形時(shí)選擇適當(dāng)坐標(biāo)系的意義.2參數(shù)方程： 了解參數(shù)方程，了解參數(shù)的意義. 能選擇適當(dāng)?shù)膮?shù)寫出直線、圓和圓錐曲線的參數(shù)方程.二、知識(shí)歸納總結(jié)：1伸縮變換：設(shè)點(diǎn)是平面直角坐標(biāo)系中的任意一點(diǎn)，在變換

13、的作用下，點(diǎn)對(duì)應(yīng)到點(diǎn)，稱為平面直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)伸縮變換，簡稱伸縮變換。2.極坐標(biāo)系的概念：在平面內(nèi)取一個(gè)定點(diǎn)，叫做極點(diǎn)；自極點(diǎn)引一條射線叫做極軸；再選定一個(gè)長度單位、一個(gè)角度單位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆時(shí)針方向)，這樣就建立了一個(gè)極坐標(biāo)系。3點(diǎn)的極坐標(biāo)：設(shè)是平面內(nèi)一點(diǎn)，極點(diǎn)與點(diǎn)的距離叫做點(diǎn)的極徑，記為；以極軸為始邊，射線為終邊的叫做點(diǎn)的極角，記為。有序數(shù)對(duì)叫做點(diǎn)的極坐標(biāo)，記為. 極坐標(biāo)與表示同一個(gè)點(diǎn)。極點(diǎn)的坐標(biāo)為.4.若,則,規(guī)定點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于極點(diǎn)對(duì)稱，即與表示同一點(diǎn)。如果規(guī)定，那么除極點(diǎn)外，平面內(nèi)的點(diǎn)可用唯一的極坐標(biāo)表示；同時(shí)，極坐標(biāo)表示的點(diǎn)也是唯一確定的。 5極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的互化

14、：6。圓的極坐標(biāo)方程：在極坐標(biāo)系中，以極點(diǎn)為圓心，為半徑的圓的極坐標(biāo)方程是 ； 在極坐標(biāo)系中，以 為圓心， 為半徑的圓的極坐標(biāo)方程是 ；在極坐標(biāo)系中，以 為圓心，為半徑的圓的極坐標(biāo)方程是；7.在極坐標(biāo)系中，表示以極點(diǎn)為起點(diǎn)的一條射線；表示過極點(diǎn)的一條直線.在極坐標(biāo)系中，過點(diǎn)，且垂直于極軸的直線l的極坐標(biāo)方程是.8參數(shù)方程的概念：在平面直角坐標(biāo)系中，如果曲線上任意一點(diǎn)的坐標(biāo)都是某個(gè)變數(shù)的函數(shù) 并且對(duì)于的每一個(gè)允許值，由這個(gè)方程所確定的點(diǎn)都在這條曲線上，那么這個(gè)方程就叫做這條曲線的參數(shù)方程，聯(lián)系變數(shù)的變數(shù)叫做參變數(shù)，簡稱參數(shù)。相對(duì)于參數(shù)方程而言，直接給出點(diǎn)的坐標(biāo)間關(guān)系的方程叫做普通方程。9圓的參數(shù)

15、方程可表示為. 橢圓的參數(shù)方程可表示為. 拋物線的參數(shù)方程可表示為. 經(jīng)過點(diǎn)，傾斜角為的直線的參數(shù)方程可表示為（為參數(shù)）.10在建立曲線的參數(shù)方程時(shí)，要注明參數(shù)及參數(shù)的取值范圍。在參數(shù)方程與普通方程的互化中，必須使的取值范圍保持一致.選修4-1數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)平行線等分線段定理平行線等分線段定理：如果一組平行線在一條直線上截得的線段相等，那么在其他直線上截得的線段也相等。推理1：經(jīng)過三角形一邊的中點(diǎn)與另一邊平行的直線必平分第三邊。推理2：經(jīng)過梯形一腰的中點(diǎn)，且與底邊平行的直線平分另一腰。平分線分線段成比例定理平分線分線段成比例定理：三條平行線截兩條直線，所得的對(duì)應(yīng)線段成比例。推論：平行于三角形一邊的

16、直線截其他兩邊（或兩邊的延長線）所得的對(duì)應(yīng)線段成比例。相似三角形的判定及性質(zhì)相似三角形的判定：定義：對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)邊成比例的兩個(gè)三角形叫做相似三角形。相似三角形對(duì)應(yīng)邊的比值叫做相似比（或相似系數(shù)）。由于從定義出發(fā)判斷兩個(gè)三角形是否相似，需考慮6個(gè)元素，即三組對(duì)應(yīng)角是否分別相等，三組對(duì)應(yīng)邊是否分別成比例，顯然比較麻煩。所以我們?cè)?jīng)給出過如下幾個(gè)判定兩個(gè)三角形相似的簡單方法：（1）兩角對(duì)應(yīng)相等，兩三角形相似；（2）兩邊對(duì)應(yīng)成比例且夾角相等，兩三角形相似；（3）三邊對(duì)應(yīng)成比例，兩三角形相似。預(yù)備定理：平行于三角形一邊的直線和其他兩邊（或兩邊的延長線）相交，所構(gòu)成的三角形與三角形相似。判定定理1：對(duì)

17、于任意兩個(gè)三角形，如果一個(gè)三角形的兩個(gè)角與另一個(gè)三角形的兩個(gè)角對(duì)應(yīng)相等，那么這兩個(gè)三角形相似。簡述為：兩角對(duì)應(yīng)相等，兩三角形相似。判定定理2：對(duì)于任意兩個(gè)三角形，如果一個(gè)三角形的兩邊和另一個(gè)三角形的兩邊對(duì)應(yīng)成比例，并且夾角相等，那么這兩個(gè)三角形相似。簡述為：兩邊對(duì)應(yīng)成比例且夾角相等，兩三角形相似。判定定理3：對(duì)于任意兩個(gè)三角形，如果一個(gè)三角形的三條邊和另一個(gè)三角形的三條邊對(duì)應(yīng)成比例，那么這兩個(gè)三角形相似。簡述為：三邊對(duì)應(yīng)成比例，兩三角形相似。引理：如果一條直線截三角形的兩邊（或兩邊的延長線）所得的對(duì)應(yīng)線段成比例，那么這條直線平行于三角形的第三邊。定理：（1）如果兩個(gè)直角三角形有一個(gè)銳角對(duì)應(yīng)相等

18、，那么它們相似；（2）如果兩個(gè)直角三角形的兩條直角邊對(duì)應(yīng)成比例，那么它們相似。定理：如果一個(gè)直角三角形的斜邊和一條直角邊與另一個(gè)三角形的斜邊和直角邊對(duì)應(yīng)成比例，那么這兩個(gè)直角三角形相似。相似三角形的性質(zhì)：（1）相似三角形對(duì)應(yīng)高的比、對(duì)應(yīng)中線的比和對(duì)應(yīng)平分線的比都等于相似比；（2）相似三角形周長的比等于相似比；（3）相似三角形面積的比等于相似比的平方。相似三角形外接圓的直徑比、周長比等于相似比，外接圓的面積比等于相似比的平方。直角三角形的射影定理射影定理：直角三角形斜邊上的高是兩直角邊在斜邊上射影的比例中項(xiàng)；兩直角邊分別是它們?cè)谛边吷仙溆芭c斜邊的比例中項(xiàng)。圓周定理圓周角定理：圓上一條弧所對(duì)的圓周

19、角等于它所對(duì)的圓周角的一半。圓心角定理：圓心角的度數(shù)等于它所對(duì)弧的度數(shù)。推論1：同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等；同圓或等圓中，相等的圓周角所對(duì)的弧相等。推論2：半圓（或直徑）所對(duì)的圓周角是直角；90°的圓周角所對(duì)的弦是直徑。圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)與判定定理定理1：圓的內(nèi)接四邊形的對(duì)角互補(bǔ)。定理2：圓內(nèi)接四邊形的外角等于它的內(nèi)角的對(duì)角。圓內(nèi)接四邊形判定定理：如果一個(gè)四邊形的對(duì)角互補(bǔ)，那么這個(gè)四邊形的四個(gè)頂點(diǎn)共圓。推論：如果四邊形的一個(gè)外角等于它的內(nèi)角的對(duì)角，那么這個(gè)四邊形的四個(gè)頂點(diǎn)共圓。圓的切線的性質(zhì)及判定定理切線的性質(zhì)定理：圓的切線垂直于經(jīng)過切點(diǎn)的半徑。推論1：經(jīng)過圓心且垂直于切線的直線必經(jīng)

20、過切點(diǎn)。推論2：經(jīng)過切點(diǎn)且垂直于切線的直線必經(jīng)過圓心。切線的判定定理：經(jīng)過半徑的外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線。弦切角的性質(zhì)弦切角定理：弦切角等于它所夾的弧所對(duì)的圓周角。與圓有關(guān)的比例線段相交弦定理：圓內(nèi)的兩條相交弦，被交點(diǎn)分成的兩條線段長的積相等。割線定理：從園外一點(diǎn)引圓的兩條割線，這一點(diǎn)到每條割線與圓的交點(diǎn)的兩條線段長的積相等。切割線定理：從圓外一點(diǎn)引圓的切線和割線，切線長是這點(diǎn)到割線與圓交點(diǎn)的兩條線段長的比例中項(xiàng)。切線長定理：從圓外一點(diǎn)引圓的兩條切線，它們的切線長相等，圓心和這一點(diǎn)的連線平分兩條切線的夾角。高中數(shù)學(xué) 選修4-1知識(shí)點(diǎn)第一講 相似三角形的判定及有關(guān)性質(zhì)1.平行線等分

21、線段定理平行線等分線段定理：如果一組平行線在一條直線上截得的線段相等，那么在其他直線上截得的線段也相等。推理1：經(jīng)過三角形一邊的中點(diǎn)與另一邊平行的直線必平分第三邊。推理2：經(jīng)過梯形一腰的中點(diǎn)，且與底邊平行的直線平分另一腰。2.平分線分線段成比例定理平分線分線段成比例定理：三條平行線截兩條直線，所得的對(duì)應(yīng)線段成比例。推論：平行于三角形一邊的直線截其他兩邊（或兩邊的延長線）所得的對(duì)應(yīng)線段成比例。3.相似三角形的判定及性質(zhì)相似三角形的判定：定義：對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)邊成比例的兩個(gè)三角形叫做相似三角形。相似三角形對(duì)應(yīng)邊的比值叫做相似比（或相似系數(shù)）。由于從定義出發(fā)判斷兩個(gè)三角形是否相似，需考慮6個(gè)元素，即

22、三組對(duì)應(yīng)角是否分別相等，三組對(duì)應(yīng)邊是否分別成比例，顯然比較麻煩。所以我們?cè)?jīng)給出過如下幾個(gè)判定兩個(gè)三角形相似的簡單方法：（1）兩角對(duì)應(yīng)相等，兩三角形相似；（2）兩邊對(duì)應(yīng)成比例且夾角相等，兩三角形相似；（3）三邊對(duì)應(yīng)成比例，兩三角形相似。預(yù)備定理：平行于三角形一邊的直線和其他兩邊（或兩邊的延長線）相交，所構(gòu)成的三角形與三角形相似。判定定理1：對(duì)于任意兩個(gè)三角形，如果一個(gè)三角形的兩個(gè)角與另一個(gè)三角形的兩個(gè)角對(duì)應(yīng)相等，那么這兩個(gè)三角形相似。簡述為：兩角對(duì)應(yīng)相等，兩三角形相似。判定定理2：對(duì)于任意兩個(gè)三角形，如果一個(gè)三角形的兩邊和另一個(gè)三角形的兩邊對(duì)應(yīng)成比例，并且夾角相等，那么這兩個(gè)三角形相似。簡述為

23、：兩邊對(duì)應(yīng)成比例且夾角相等，兩三角形相似。判定定理3：對(duì)于任意兩個(gè)三角形，如果一個(gè)三角形的三條邊和另一個(gè)三角形的三條邊對(duì)應(yīng)成比例，那么這兩個(gè)三角形相似。簡述為：三邊對(duì)應(yīng)成比例，兩三角形相似。引理：如果一條直線截三角形的兩邊（或兩邊的延長線）所得的對(duì)應(yīng)線段成比例，那么這條直線平行于三角形的第三邊。定理：（1）如果兩個(gè)直角三角形有一個(gè)銳角對(duì)應(yīng)相等，那么它們相似；（2）如果兩個(gè)直角三角形的兩條直角邊對(duì)應(yīng)成比例，那么它們相似。定理：如果一個(gè)直角三角形的斜邊和一條直角邊與另一個(gè)三角形的斜邊和直角邊對(duì)應(yīng)成比例，那么這兩個(gè)直角三角形相似。相似三角形的性質(zhì)：（1）相似三角形對(duì)應(yīng)高的比、對(duì)應(yīng)中線的比和對(duì)應(yīng)平分線

24、的比都等于相似比；（2）相似三角形周長的比等于相似比；（3）相似三角形面積的比等于相似比的平方。相似三角形外接圓的直徑比、周長比等于相似比，外接圓的面積比等于相似比的平方。4.直角三角形的射影定理射影定理：直角三角形斜邊上的高是兩直角邊在斜邊上射影的比例中項(xiàng)；兩直角邊分別是它們?cè)谛边吷仙溆芭c斜邊的比例中項(xiàng)。第二講 直線與圓的位置關(guān)系1.圓周定理圓周角定理：圓上一條弧所對(duì)的圓周角等于它所對(duì)的圓周角的一半。圓心角定理：圓心角的度數(shù)等于它所對(duì)弧的度數(shù)。推論1：同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等；同圓或等圓中，相等的圓周角所對(duì)的弧相等。推論2：半圓（或直徑）所對(duì)的圓周角是直角；90°的圓周角所對(duì)的弦

25、是直徑。2.圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)與判定定理定理1：圓的內(nèi)接四邊形的對(duì)角互補(bǔ)。定理2：圓內(nèi)接四邊形的外角等于它的內(nèi)角的對(duì)角。圓內(nèi)接四邊形判定定理：如果一個(gè)四邊形的對(duì)角互補(bǔ)，那么這個(gè)四邊形的四個(gè)頂點(diǎn)共圓。推論：如果四邊形的一個(gè)外角等于它的內(nèi)角的對(duì)角，那么這個(gè)四邊形的四個(gè)頂點(diǎn)共圓。3.圓的切線的性質(zhì)及判定定理切線的性質(zhì)定理：圓的切線垂直于經(jīng)過切點(diǎn)的半徑。推論1：經(jīng)過圓心且垂直于切線的直線必經(jīng)過切點(diǎn)。推論2：經(jīng)過切點(diǎn)且垂直于切線的直線必經(jīng)過圓心。切線的判定定理：經(jīng)過半徑的外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線。4.弦切角的性質(zhì)弦切角定理：弦切角等于它所夾的弧所對(duì)的圓周角。5.與圓有關(guān)的比例線段相交弦定理

26、：圓內(nèi)的兩條相交弦，被交點(diǎn)分成的兩條線段長的積相等。割線定理：從園外一點(diǎn)引圓的兩條割線，這一點(diǎn)到每條割線與圓的交點(diǎn)的兩條線段長的積相等。切割線定理：從圓外一點(diǎn)引圓的切線和割線，切線長是這點(diǎn)到割線與圓交點(diǎn)的兩條線段長的比例中項(xiàng)。切線長定理：從圓外一點(diǎn)引圓的兩條切線，它們的切線長相等，圓心和這一點(diǎn)的連線平分兩條切線的夾角。6.垂徑定理垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對(duì)的兩條弧。7.三角形的五心(1)內(nèi)心：三條角平分線的交點(diǎn)，也是三角形內(nèi)切圓的圓心。性質(zhì)：到三邊距離相等。(2)外心：三條中垂線的交點(diǎn)，也是三角形外接圓的圓心。性質(zhì)：到三個(gè)頂點(diǎn)距離相等。(3)重心：三條中線的交點(diǎn)。性質(zhì)：三條中線的

27、三等分點(diǎn)，到頂點(diǎn)距離為到對(duì)邊中點(diǎn)距離的2倍。(4)垂心：三條高所在直線的交點(diǎn)。(5)旁心：三角形任意兩角的外角平分線和第三個(gè)角的內(nèi)角平分線的交點(diǎn)。 性質(zhì)：到三邊的距離相等。第三講 圓錐曲線性質(zhì)的探究1.平面與圓柱面的截線：當(dāng)平面與圓柱的兩底面平行時(shí)，截面是個(gè)圓；當(dāng)平面與圓柱的兩底面不平行時(shí)，截面是個(gè)橢圓；定理1：圓柱形物體的斜截口是橢圓。定理2：在空間中，取直線l為軸，直線l與l相交于o點(diǎn)，夾角為，l 圍繞l旋轉(zhuǎn)得到以o為頂點(diǎn)，l為母線的圓錐面，任取平面，若它與軸l的夾角為(當(dāng)與l平行時(shí)，記=0)，則截面不過頂點(diǎn)時(shí)：(1)，平面與圓錐的交線為橢圓；(2)，平面與圓錐的交線為拋物線；(3)，平面

28、與圓錐的交線為雙曲線；截面過頂點(diǎn)時(shí)：(1)截面和圓錐面只相交于頂點(diǎn)，交線為一個(gè)點(diǎn)。(2)截面和圓錐面相交于兩條母線，交線為兩條相交曲線。(3)截面和圓錐面相切，交線為兩條重合直線。人教a選修4-1幾何證明選講一、填空題選擇題1 （2012年高考（天津文）如圖,已知和是圓的兩條弦,過點(diǎn)作圓的切線與的延長線相交于.過點(diǎn)作的平行線與圓交于點(diǎn),與相交于點(diǎn),則線段的長為_.2 （2012年高考（陜西文）如圖,在圓o中,直徑ab與弦cd垂直,垂足為e,垂足為f,若,則_ _. 3 （2012年高考（廣東文）(幾何證明選講)如圖3所示,直線與圓相切于點(diǎn),是弦上的點(diǎn),.若,則_.4 （2012年高考（江西理）

29、在直角三角形abc中,點(diǎn)d是斜邊ab的中點(diǎn),點(diǎn)p為線段cd的中點(diǎn),則=（）a2b4c5d105 （2012年高考（北京理）如圖,acb=90°,cdab于點(diǎn)d,以bd為直徑的圓與bc交于點(diǎn)e,則 （）ace·cb=ad·dbbce·cb=ad·ab cad·ab= dce·eb= 6（2012年高考（陜西理）如圖,在圓o中,直徑ab與弦cd垂直,垂足為e,垂足為f,若,則_.7（2012年高考（湖南理）如圖2,過點(diǎn)p的直線與圓o相交于a,b兩點(diǎn).若pa=1,ab=2,po=3,則圓o的半徑等于_.cbado.8（2012年高

30、考（湖北理）(選修4-1:幾何證明選講)如圖,點(diǎn)d在的弦ab上移動(dòng),連接od,過點(diǎn)d 作的垂線交于點(diǎn)c,則cd的最大值為_. 9（2012年高考（廣東理）(幾何證明選講)如圖3,圓的半徑為1,、是圓周上的三點(diǎn),滿足,過點(diǎn)作圓的切線與的延長線交于點(diǎn),則_.二、解答題10（2012年高考（遼寧文）選修41:幾何證明選講如圖,o和相交于兩點(diǎn),過a作兩圓的切線分別交兩圓于c,d兩點(diǎn),連接db并延長交o于點(diǎn)e.證明();() .11（2012年高考（課標(biāo)文）選修4-1:幾何選講如圖,d,e分別是abc邊ab,ac的中點(diǎn),直線de交abc的外接圓與f,g兩點(diǎn),若cfab,證明:() cd=bc;()bcd

31、gbd.12（2012年高考（新課標(biāo)理）選修4-1:幾何證明選講如圖,分別為邊的中點(diǎn),直線交的外接圓于兩點(diǎn),若,證明:(1);(2)13（2012年高考（遼寧理）選修41:幾何證明選講 如圖,o和相交于兩點(diǎn),過a作兩圓的切線分別交兩圓于c,d兩點(diǎn),連接db并延長交o于點(diǎn)e.證明();() .14（2012年高考（江蘇）選修4 - 1:幾何證明選講如圖,是圓的直徑,為圓上位于異側(cè)的兩點(diǎn),連結(jié)并延長至點(diǎn),使,連結(jié).求證:.14. 【答案】證明:連接. 是圓的直徑,(直徑所對(duì)的圓周角是直角). (垂直的定義). 又,是線段的中垂線(線段的中垂線定義). (線段中垂線上的點(diǎn)到線段兩端的距離相等). (

32、等腰三角形等邊對(duì)等角的性質(zhì)). 又為圓上位于異側(cè)的兩點(diǎn), (同弧所對(duì)圓周角相等). (等量代換). 【考點(diǎn)】圓周角定理,線段垂直平分線的判定和性質(zhì),等腰三角形的性質(zhì). 【解析】要證,就得找一個(gè)中間量代換,一方面考慮到是同弧所對(duì)圓周角,相等;另 一方面由是圓的直徑和可知是線段的中垂線,從而根據(jù)線段中垂線上的點(diǎn)到線段兩端的距離相等和等腰三角形等邊對(duì)等角的性質(zhì)得到.從而得證. 本題還可連接,利用三角形中位線來求證. 參考答案一、填空題1. 【解析】如圖連結(jié)bc,be,則1=2,2=a,又b=b,代入數(shù)值得bc=2,ac=4,又由平行線等分線段定理得,解得cd=. 2. 解析:,在中, 3. 解析:.,是公共角,所以,于是,所以,所以. 4. d【解析】本題主要考查兩點(diǎn)間的距離公式,以及坐標(biāo)法這一重要的解題方法和數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想. 不失