提公因式法分解因式典型例題

1、提公因式法分解因式典型例題TYYGROUP system office roomTYYUA16H-TYY-TYYYUA8Q8-因式分解（1）一知識(shí)點(diǎn)講解知識(shí)點(diǎn)一：因式分解概念：把一個(gè)多項(xiàng)式化為幾個(gè)整式的積的形式，叫做因式分解，也叫做把這個(gè)多項(xiàng)式分解因式。1. 因式分解特征：因式分解的結(jié)果是幾個(gè)整式的乘積。2. 因式分解與整式乘法關(guān)系：因式分解與整式的乘法是相反方向的變形知識(shí)點(diǎn)二：尋找公因式1、小學(xué)階段我們學(xué)過(guò)求一組數(shù)字的最大公因（約）數(shù)方法：（短除法） 例如：求20,36,80的最大公（約）數(shù)最大公倍數(shù)2、尋找公因式的方法:3a2y-3ay + 6y 9x3y2 ,9 27a(x 一 y)3

2、+ "(x - y)2 + (x - y)3 >- 27a2lr + 36a h + 9a2b1 確左公因式的系數(shù)當(dāng)多項(xiàng)式中各項(xiàng)系數(shù)是整數(shù)時(shí).公因式的系數(shù)是多項(xiàng)式中冬項(xiàng) 系數(shù)的最大公因數(shù)：當(dāng)多項(xiàng)式中各項(xiàng)系數(shù)是分?jǐn)?shù)時(shí)，則公因式的系數(shù)為分?jǐn)?shù)，而且 分母取各項(xiàng)系數(shù)中分母的最小公倍數(shù)，分子取各項(xiàng)系數(shù)中分子的最 大公因數(shù)。2.確定相同字母公因式的字母是各項(xiàng)都含有的字母3.看次數(shù)相同字母的指數(shù)取最低次數(shù)4.看整體如果多項(xiàng)式中含有相同的多項(xiàng)式，應(yīng)將英看成整體不要拆開(kāi)。5.看符號(hào)若多項(xiàng)式的首項(xiàng)是則公因式的符號(hào)一般為負(fù)。知識(shí)點(diǎn)三：因式分解的方法（重點(diǎn)）（一）因式分解的第一種方法（提公因式法）（重

3、點(diǎn)）:1提取公因式法：如果多項(xiàng)式的各項(xiàng)含有公因式，那么就可以把這個(gè)公因式提到括號(hào)外 而，把多項(xiàng)式轉(zhuǎn)化成公因式與另一個(gè)多項(xiàng)式的積的形，這種因式分解的方法叫做提公因式 法。2. 符號(hào)語(yǔ)言:ma + mb + me = m(a + b + c)3. 提公因式的步驟：(1) 確左公因式(2)提岀公因式并確定另一個(gè)因式(依據(jù)多項(xiàng)式除以單項(xiàng)式)4. 注意事項(xiàng)：因式分解一定要徹底二、例題講解模塊1:考察因式分解的概念1. (2017春蜂城區(qū)期末)下列各式從左到右的變形，是因式分解的是()A x2 -9 + 6x = (x + 3)(x-3) + 6xB、(x + 5)(x-2) = W +3x-10C、x2

4、-8x + 16 = (x-4)2D、Gab = 2a-3b2. (2017秋撫寧縣期末)下列各式從左到右的變形，是因式分解的是()A、x2 +2x + 3 = (x + l)2 +2B. (x+y)(y) = 2 一C、x2 -xy + y2 =(x-y)2D、2x-2y = 2(x-y)3. (2017秋姑蘇區(qū)期末)下列從左到右的運(yùn)算是因式分解的是()A、2a2 一2" + 1 = 2d(a-l) + lB. (x-y)(x+y) = a2 一 y2C、9x2 -6x + l = (3x-l)2D、x2 + y2 =(x-y)2 + 2xy4. (2017秋華徳縣校級(jí)期末)下列各

5、式從左到右的變形，是因式分解的是()A、3x + 2y- = 5x-B、(3“ + 2bX3a-2b) = 9/-4b，C、x2 +x = x2(l+)D、2x2 -Sy2 = 2(x + 2y)(x-2y)x5. (2017春新城區(qū)校級(jí)期中)下列各式從左到右的變形是因式分解的是()A、a(a-b) = a2 -abB、a2 - 2a + = aa -2) + 1C x2 -x = x(x-l)D、xy2 -x2y = x(y2 -xy)6. (2016秋濮陽(yáng)期末)下列式子中，從左到右的變形是因式分解的是()A、(x-l)(x-2) = X2 -3x + 2B. x2 -3x + 2 = (x

6、-l)(x-2)C x2 +4x + 4 = x(x-4) + 4D、x2 + y2 = (x+y)(x-y)模塊2：考察公因式1. (2017春撫寧縣期末)多項(xiàng)式15/w3h2+5/h2h-2O/h2/?的公因式是()A、5mnB、5irrn2C、5m2nD、5nm22. (2017春東平縣期中)把多項(xiàng)式一8a2b3c+16a2b2c2 -2bc3分解因式，應(yīng)提的公因式是()A、一&/竝B、2a2b2c3C、-4abeD、24aVc33. (2017秋涼州區(qū)末)多項(xiàng)式/一9與/一3“的公因式是(A a + 3C、ci 3B、a + )4. (2017春邵陽(yáng)縣期中)多項(xiàng)式8 嚴(yán)yZ12

7、己”的公因式是()D、5. (2016春深圳校級(jí)期中)多項(xiàng)式一5用+ 25用一 10沈各項(xiàng)的公因式是()A、5mx2B、-5/zlv3C、nixD、-5mx6. 下列各組代數(shù)式中沒(méi)有公因式的是()A、與b aB、(" + b)'與C、mx+ y 與 x+yD、a2 +ab a b ab27觀察下列各組式子:2“+b和c+b；5m(a-b)和一a+b；3(a+b)和-a-b,X2-/和F + yj其中有公因式的是()A、B. ®(3)C.® D、模塊3：利用提公因式法分解因式 因式分解的第一種類型：直接提取公因式1、分解因式：(1) x2 -3x(2) 一2

8、十+ 18心一4廠，(3) 6a(a + b) 一 4b(a+b)(4) -abc + -alr - a2be(5) a2h- a(6) xn -AJ,_i + x1125546 因式分解的第二種類型：變形后提取公因式2. 分解因式：(1) 3a(x- y)-6Z?(y-x)(2) -a(x- y)-Z?(y-x) + c(x- y) 因式分解的第三種類型：分組后提取公因式3. 分解因式:(1) nvciny + nxny(2) 2ci + 4b3rna6mb模塊4：提公因式法的綜合應(yīng)用類型1:利用提公因式法進(jìn)行簡(jiǎn)便計(jì)算1利用簡(jiǎn)便方法計(jì)算：13 1313(1) 32x200.9 + 4.7x2

9、00.9 + 200.9x2.1(2) 36.8x1x20.2 2x 55 5555類型2：利用提公因式法進(jìn)行化簡(jiǎn)求值2先分解因式，在計(jì)算求值：(2x-1)2(3x + 2)-(2x-1)(3x + 2)2 -x(1 2x)(3x + 2) 其中 x二3. (2016秋唐河縣期末)已知：a-b = -2O5,川?= -蘭竺，求a2b-ab2的2015值。4. 已知 d + b = “，ub = 2,求多項(xiàng)式4a2b + 4ab2-4a-4b 的值。5. 若肪$+i = o,用因式分解法求一ab(a2b5-ab3-b)的值.6. 若 / + “ 1 = 0 ,則 «2016 +

10、71;2015 -6/2014二。7. 不解方程組F = I 求7y(x-3y)2-2(3y -x)3 的值。x-3y = 1F類型3：拔高培優(yōu)題型8. (2015 杭州模擬)已知(19a-31)(13x-17)-(17-13x)(1 lx-23)可因式分解成(ar+b)(30x + c),其中a、b、c均為整數(shù)，求d + /? + c的值。9. 已知多項(xiàng)式x4+2O12a-2 + 2O11x+2O12有一個(gè)因式為x2+ax + ,另一個(gè)因式為x2 +bx+2O12 ,求a+b 的值。10. 求證：32016-4x32015 + 10x32014能被7 整除。11 .已知 “,b,c 滿足 a

11、b+a+b = be+b+c = ca+c+a = 3,求("+1)(” +1 )(c +1)的值。(a,b,c都是正整數(shù))12. (學(xué)霸題中題)若x2-x-是的一個(gè)因式，則b的值為()A、-2B、-1 C、0 D、213. (2017合肥月考*)要使多項(xiàng)式x2-2x-n能分解為兩個(gè)整系數(shù)一次多項(xiàng)式之積，則不大于100的自然數(shù)"的個(gè)數(shù)為()A、 8B、 9 C、 10D、 1114. (2016秋靖遠(yuǎn)縣期末)閱讀下列因式分解的過(guò)程，再回答所提出的問(wèn)題：(1) 上述分解因式的方法是，共應(yīng)用了次。(2) 若分解l + x + x(x + l) + x(x + l)2+. + x

12、(x + l)2°04,則需應(yīng)用上述方法_次，結(jié)果是o(3) 分解因式：l + x + x(x + l) + x(x + l)2+. + x(x + l)"("為正整數(shù))。一、選擇題1. （2017開(kāi)縣一模）當(dāng)互為相反數(shù)時(shí)，代數(shù)式a2+ab一4的值為（A、4B、0C. -3D. -42. （2016秋乳山期末）邊長(zhǎng)為a,b的長(zhǎng)方形周長(zhǎng)為12,而積為10,則a2b + ab2的值為 （）A、120 B、60C、80D、403. （2017春蚌埠期末）計(jì)算：（-2）20,6 + （-2）2017所得的結(jié)果是（）A、-2B、2C、-22016D、220164. （201

13、7春樂(lè)亭縣期末）（-8）20,4+（-8）2°,3能被下列數(shù)整除的是（）A、 3B、 5C、 7D. 95. （2017春源城區(qū)校級(jí)月考）把多項(xiàng)式”2（“-1） + （1-°）分解因式的結(jié)果是（）A、（t/-l）（/r + /?） B、（i/-l）（/?2-/?） C、”（。一1）（"一1） D、/?（«-1）（/? + 1）6. （2017春陽(yáng)谷縣期末）把x,+3+xn+1分解因式得（）A、Z*'（x2 + 1） B. xn（x3 + x） C. x（Z*2+Z） D. xn（x2+x）7. （2017春北湖區(qū)校級(jí)期中）整式a2（a2-）-a2

14、 + 的值（）A、不是負(fù)數(shù) B、恒為正數(shù)C、恒為負(fù)數(shù) D、結(jié)果的符號(hào)不確定8. （2016 趙縣模擬）若 ab = -3, a-2b = 5,貝 a2b-lcib2 的值是（）A、-15B、15C、2D、-89. （2016春髙密市期末）將3x（a-b）-9y（b-a）因式分解，應(yīng)提的公因式是（）A、3x-9yB、3x + 9yC、a-bD、3（a-b）10. （2016春臨清市期末）計(jì)算（一3廠+2><（-3）心，得（）A、3n,-1B、（一3）心C、一（一3嚴(yán)D、（一3）”11. （2016春深圳期末）若a + b = 3, ab = -2,則代數(shù)式a2b+ab2的值為（）A、

15、1B、-1C、-6D、612. （2016秋美蘭區(qū)校級(jí)期中）若a+b = -5, c = 2,則一 ac-bc等于（）A、10B、-10C、3D、-313. （2016秋簡(jiǎn)陽(yáng)市期中）如果多項(xiàng)式mx+A可分解為m（x-y）,則A為（）A、mB、myC. -yD. my14. (2016春深圳期中)若a-b = 2. ab = 3,則ab2a2b的值為()A、6B、5C、6D、515. (2016 春港南區(qū)期中)設(shè) P = a-a + b-c), Q =-a(a2-ab + ac),則 P 與 0 的關(guān)系是()A、P = QB、P>QC、P<QD、互為相反數(shù)16. (2016春錫山區(qū)校

16、級(jí)月考)計(jì)算：22014 -(-2)2015的結(jié)果是()A、22015B、22014C、-22014D、3x2201417. (2016春宿州校級(jí)月考)下列運(yùn)算中，因式分解正確的是()A、-m2 + mn -in = -m(m + n-1)B、9abc-6crb2 =3bc(3-2ah)C、3a2x-6bx+3x = 3x(a2 -2b) D、ab (a b)(xy) (ba)(x+y) + a'b = ab(a+b)2 2 218. (2015春杭州期末)多項(xiàng)式(x+2)(2x-l)-(x+2)可以因式分解成(x+m)(2x+n)t則m-n的值是()A、2B、-2C、4D、-419.

17、 (2015春蓮湖區(qū)校級(jí)月考)把多項(xiàng)式3m(x-y)-2(y-x)2分解因式的結(jié)果是( )A、(x- y)(3ni -2x- 2y)B、(x- y)(3m -2x + 2y)C、(x- y)(3/n + 2x - 2y)D、(y-x)(3m + 2x- 2y)二、填空題1. (2016 濰坊模擬)分解因式：aAb-6a3b+9a2b=。2. (2017 濰坊)因式分解：x2-2x + (x-2)=。3. (2017崇安區(qū)一模)分解因式(x+y)2-3(x+y)的結(jié)果是°4. (2016秋內(nèi)江期末)因式分解：(x+y)2-2y(x+y)=。5. (2016濱?？h二模)分解因式：加(x-

18、y) + n(y-x)二。6. (2017春阻陵市期末)因式分解：6(x 3) + x(3 x)二。7. (2017春碑林區(qū)校級(jí)期中)分解因式2m(ln-fi)2-Sm2(n-m)=°8. (2016陜西校級(jí)三模)分解因式:(3a-b)(a + b)-ab-b2=°9. （2017沂源縣一模）因式分解（a + b）（a + b-）-a-b + 的結(jié)果為10. （2016 春壽光市期末）計(jì)算：一5652x0.13+4652x0.13二。11. （2015 秋孟津縣期末）簡(jiǎn)便計(jì)算:121x0.134-12.1x0.9+1.21x12=。12. （2017春宜興市期中）把多項(xiàng)式一16疋+40），提出一個(gè)公因式-8/后，另一個(gè)因式是。13. （2016安徽模擬）已知長(zhǎng)和寬分別為",b的長(zhǎng)方形，其面積等于15,周長(zhǎng)等于16,則2a用提公因式法將下列各式分解因式： 1b + 2ab2 =。14. （2016北京）如圖中的四邊形均為矩形，根據(jù)圖形，寫(xiě)出一個(gè)正確的等式。16. （2015 秋黃山期末）