2020年中考數(shù)學(xué)專題復(fù)習(xí)學(xué)案：面積最值問題(含答案)

1、面積最值問題模型1定弦定角面積最值【問題背景】如圖1 , AB為。O上不過圓心O的弦，P為。O上任意一點(diǎn)（點(diǎn)A , B除外）,APAB的面積是否存在最大 值？如果存在，請找出滿足條件的點(diǎn)P;如果不存在，請說明理由.【模型分析】如圖2,作線段AB的中垂線分別交。于點(diǎn)P1, P2,此時(shí)當(dāng)點(diǎn)P在優(yōu)弧AB上時(shí)，4P1AB 的面積最大；同理當(dāng)點(diǎn) P在劣弧AB上時(shí)，AP2AB的面積最大.9.1 + cos 0模型2 定角定高面積最值【問題背景】在 ABC中，/ACB= 8,點(diǎn)C到直線AB的距離是h , /ACB的兩邊分別與直線 AB交 于A, B,則MBC的面積存在最小值.【模型分析】如圖，作 ABC的外

2、接圓。O,作CF± AB于點(diǎn)F,彳OEXAB于點(diǎn) E,連接 OC, OA,貝U/ACB=/AOE= 0, OC + OE>CF,OA+OE>CF, AE=OAsin 0, OE = OA cos 0,OA+ OA cos 修h,h2hsin 0OA>, .AB=2AE=2OAsin 0,1 + cos 01 + cos 0h2sin 0AB有最小值，： ABC的面積有最小值，最小面積為例題(2019 陜西訶題提出(1)如圖1,已知AABC,試確定一點(diǎn)D,使得以A, B, C, D為頂點(diǎn)的四邊形為平行 四邊形，請畫出這個(gè)平行四邊形.問題探究(2)如圖2,在矩形 ABC

3、D中，AB =4, BC = 10.若要在該矩形中作出一個(gè)面積最大的 BPC ,且使/ BPC= 90° ,求滿足條件的點(diǎn)P到點(diǎn)A的距離；【解答】如答圖2. AB = 4, BC=10,:取 BC 的中點(diǎn) O,貝U OB>AB.:以點(diǎn)。為圓心，OB長為半彳5作。O,。與AD相交于P1, P2兩點(diǎn)，連接BP1 , P1C, P1O. ZBPC=90 ° ,:當(dāng)點(diǎn)P在P1或P2位置時(shí)，4BPC的面積最大，過點(diǎn)P1作P1ELBC,垂足為E,則OE=3,. AP1 =BE= OB -OE = 5- 3= 2,由對稱性，得 AP2 =8.則滿足條件的點(diǎn)P到點(diǎn)A的距離為2或8.問

4、題解決(3)如圖3,有一座塔A,按規(guī)定，要以塔 A為對稱中心，建一個(gè)面積盡可能大的形狀為平行四邊形的景區(qū)BCDE.根據(jù)實(shí)際情況，要求頂點(diǎn) B是定點(diǎn)，點(diǎn)B到塔A的距離為50 m, /CBE=120。.那么，是否可以建一個(gè)滿足要求的面積最大的平行四邊形景 區(qū)BCDE?若可以，求出滿足要求的口 BCDE的最大面積；若不可以，請 說明理由.(塔A的占地面積忽略不計(jì))【解答】 如答圖1,平行四邊形 ACBD1 , ABCD2 , ABD3c即為所求.(答案不唯一，畫出一個(gè)即可 )【解答】可以.如答圖3,連接BD.A 為CBCDE 的對稱中心，BA = 50 m , /CBE= 120 ° ：.

5、 BD = 100 m , /BED=60°.作ABDE的外接圓。O,則點(diǎn)E在優(yōu)弧BD上，取弧BED的中點(diǎn)E',連接E'B, E'D,則E'B=E'D,且/BED = 60° , . BED為等邊三角形.連接EO并延長，經(jīng)過點(diǎn) A至C',使EA=AC',連接BC' ,DC'.E'ABD,：四邊形 BC'DE'為菱形，且/CBE' M20 °.作 EFLBD,垂足為 F,連接 EO,貝U EF<EO + OA=EO + OA = EA,Szbde= 1BD

6、EFBD EA = S任bd , 22SEBcdeWS菱形 bcDe'= 2Sze'bd = 100 2 sin60 ° =5 000 yj 3(m 2).答：符合要求的CBCDE的最大面積為5 000 小 m2.作業(yè)1 .在四邊形 ABCD 中，AB = BC, /ABC = 60(1)如圖1,已知/D=30° ,則zA十/C的大小為 _270 ° _.已知AD = 3, CD = 4,在(1)的條件下，利用圖1,連接BD,并求出BD的長度.(3)如圖2,已知/ADC = 75° ,BD=6,現(xiàn)需要截取某種四邊形的材料板，這個(gè)材料板的形

7、狀恰巧符合如圖2所示的四邊形，為了盡可能節(jié)約，你能求出這種四邊形面積的最小值嗎？如果能，請求出此時(shí)四邊形ABCD面積的最小值；如果不能，請說明理由.國1圈2解：(1)270 :【解法提示】. Z A+ZB + ZC+ZD = 360 ° , zB=60° , D = 30° ,zA+ZC=270 °.(2)如答圖1,連接BD,將4BCD繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60 °得EAQ ,則/CBD = /ABQ, /C=/BAQ, CD = AQ = 4, BD=BQ. zCBD+/ABD = /ABC = 60° ,. &BQ + /ABD

8、=60 ° ,即zDBQ=60° ,：ZBDQ是等邊三角形，：BD=DQ.zC+ZBAD = 270 ° ,. ZBAQ + ZBAD=270 ° , - 0AQ=90° ,. BD = DQ = /AD2 + AQ2 = /32 + 42 = 5.答圖1(3)能.如答圖2 ,將ABCD繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60 °得EAH ,連接DH .I:答圖2由(2)知4BDH是等邊三角形,.S 四邊形 ABCD = SBAH + S/ABD = S/DBH - SZADH ,:當(dāng)MDH的面積最大時(shí)，四邊形 ABCD的面積最小. &BC =

9、60 ° , ADC = 75 ° ,. ZBAD + ZBCD = ZBAD + ZBAH = 360 ° -75° -60 ° =225 °ZDAH =135 ;DH = DB = 6,二點(diǎn)A在定圓。O上運(yùn)動，當(dāng)O, A, B三點(diǎn)共線時(shí)，4ADH的面積最大，連接 OB,交DH于點(diǎn)K,交。O 于點(diǎn) A',貝UOBDH, HK=KD = 3.A'H = A'D,ZA'HD = /A'DH=22.5 °.在HK上取一點(diǎn)F,使得FH = FA',則A KF是等腰直角三角形,設(shè)A&#

10、39;K=FK= x,則 FH = A'F=/x-3=x+ 5/2x, ：x=3也一3,. zADH 的面積最大值為；X6X(3，2 3)=942 9,3:四邊形ABCD的面積的最小值為x62-(92-9) =9-9/2+ 9.2 .問題探究(1)如圖1,已知等邊三角形ABC,邊長為4,則4ABC的外接圓的半徑為1(2)如圖2,在矩形ABCD中，AB=4,對角線BD與邊BC的夾角為30 ° ,點(diǎn)E在邊BC上，且BE=- 4BC,點(diǎn)P是對角線BD上的一個(gè)動點(diǎn)，連接 PE, PC,求APEC周長的最小值.問題解決(3)為了迎接新年的到來，西安城墻舉辦了迎新年大型燈光秀表演.其中一

11、個(gè)鐳射燈距城墻30米，鐳射燈發(fā)出的兩根彩色光線夾角為60。，如圖3,若將兩根光線(AB, AC)和光線與城墻的兩交點(diǎn)連接的線段(BC)看作一個(gè)三角形，記為 ABC,那么該三角形的面積有沒有最小值？若有，求出最小值；若沒有，說明 理由.【解法提示】如答圖1,作等邊三角形 ABC的外接圓。O,作直徑AD,連接BD.丁等邊三角形ABC內(nèi)接于。O, AD為。的直徑,.=60 °/ABD = 90AB 32AB2 8 . 3而=2AD=第="忑=34 . 3：。0的半徑是3(2)如答圖2,作點(diǎn)E關(guān)于BD的對稱點(diǎn)E',連接EC交BD于點(diǎn)P,連接PE,則PE' =PE,此時(shí)PEC的周長最小，即為 PC+ PE+ EC= PC+ PE' hEC= CE' _EC的長.連接BE',過點(diǎn)E'傕'H，BC于點(diǎn)H. ZDBC=30° ,AB=CD=4, . BC= 4<3.1 又 BE= -BC,4BE=#,EC=33.點(diǎn)E關(guān)于BD的對稱點(diǎn)是E',ZEBH = 60。，BE，書E=3,3,EH=-, . HC =2：EC= eH2+HCBH 一：ZPEC周長的最小值為 PC+ PE+ EC= CE' HEC= /39 + 33.答圖有.如答圖3,作AABC的外接圓