高二數(shù)學(xué)空間向量與立體幾何測(cè)試題

1、優(yōu)秀學(xué)習(xí)資料歡迎下載高二數(shù)學(xué)空間向量與立體幾何測(cè)試題第卷（選擇題，共50 分）一、選擇題：（本大題共10 個(gè)小題，每小題5 分，共50 分在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的）1在下列命題中：若、共線，則a、b所在的直線平行；若a、b所在的直線是異面直線，則a、bab一定不共面；若a、b、 c 三向量?jī)蓛晒裁?，則 a、 b、 c 三向量一定也共面；已知三向量a、 b、 c，則 空 間 任 意 一 個(gè) 向 量 p總 可 以 唯 一 表 示 為 p xa yb zc 其 中 正 確 命 題 的 個(gè) 數(shù) 為（）A 0B.1C. 2D. 32在平行六面體ABCD A1B1C1D1 中，向

2、量 D1 A 、 D1C 、 A1 C1是（）A有相同起點(diǎn)的向量B等長(zhǎng)向量C共面向量D不共面向量3若向量 m垂直向量 a和b,向量 nab( ,R且 、0)則（）A m / nB mnC m不平行于 n,m也不垂直于 nD以上三種情況都可能4已知 a（ 2， 1， 3）， b（ 1， 4， 2）， c（ 7， 5， ），若 a、 b、 c 三向量共面，則實(shí)數(shù) 等于（）A.62B.63C.64D.6577775直三棱柱 ABC A1B1C 中，若 CAa ， CB b ， CC1c ， 則 A1B（）1A. a b cB.a b cC.a b cD.a b c6已知 a +b + c 0 ，|a

3、 | 2， | b | 3， |c | 19，則向量 a 與 b 之間的夾角a, b為（）A 30°B 45°C 60°D以上都不對(duì)7若 a、b 均為非零向量，則a b| a |b | 是 a 與 b 共線的（）A. 充分不必要條件B.必要不充分條件C. 充分必要條件D.既不充分又不必要條件8已知 ABC的三個(gè)頂點(diǎn)為A（ 3， 3，2）， B（4， 3， 7）， C（ 0， 5， 1），則 BC邊上的中線長(zhǎng)為（）A 2B 3C 4D 59已知 a3i2 jk, bij2k ,則 5a與 3b的數(shù)量積等于（）A 15B 5C 3D 110已知 OA(1,2,3) ，

4、 OB(2,1,2) ， OP(1,1,2) ，點(diǎn) Q在直線 OP上運(yùn)動(dòng)，則當(dāng) QA QB取得最小值時(shí)，點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（）A (1,3,1)B (1, 2,3)C (4,4,8)D (4,4,7)243234333333優(yōu)秀學(xué)習(xí)資料歡迎下載第卷（非選擇題，共100 分）二、填空題（本大題共6 小題，每小題5 分，共 30 分）11若 A( m 1， n1,3) ， B(2 m, n, m 2n) ， C(m 3, n 3,9) 三點(diǎn)共線，則m+n=12 12、若向量a1,2 , b2, 1,2 ， a,b 夾角的余弦值為8 ，D9則等于 _.13在空間四邊形ABCD中， AC和 BD為對(duì)角線，E

5、CMG為 ABC的重心， E 是 BD上一點(diǎn)， BE 3ED，GAB以 AB ， AC ， AD 為基底，則 GE 14已知 a,b,c 是空間兩兩垂直且長(zhǎng)度相等的基底，m=a+b,n=b-c, 則 m,n 的夾角為。15. 在三角形中， A(1,-2,-1),B(0,-3,1),C(2,-2,1),若向量n與平面垂直，且 |=21, 則n的ABCABCm坐標(biāo)為。16. 已知向量 a=( +1,0,2) ， b=(6,2-1,2), 若 a|b,則 與的值分別是.三、解答題 （本大題共 5小題 , 滿分 70分）17 (12 分)已知空間四邊形ABCD的對(duì)邊 AB與 CD， AD與 BC都互相

6、垂直，用向量證明：AC與 BD也互相垂直ADBC18（ 14 分）如圖，在棱長(zhǎng)為2 的正方體ABCD A1B1C1D1 中，E 是 DC的中點(diǎn)，取如圖所示的空間直角坐標(biāo)系（ 1）寫出 A、 B1、 E、 D1 的坐標(biāo)；（ 2）求 AB1 與 D1E所成的角的余弦值19（ 14 分）如圖，已知矩形ABCD所在平面外一點(diǎn)P， PA平面 ABCD， E、F 分別是 AB、PC的中點(diǎn)（ 1）求證： EF平面 PAD；（ 2）求證： EFCD；（ 3）若 PDA 45 ，求 EF與平面 ABCD所成的角的大小優(yōu)秀學(xué)習(xí)資料歡迎下載20（ 15 分）在正方體 ABCDA1 B1C1D1 中，如圖、分別是BB

7、1 ，的中點(diǎn)，（ 1）求證： D1F平面 ADE；zD1C1A1B1DECyFx（ 2） cos EF ,CB1 AB21（ 15 分）如圖，在四棱錐PABCD 中，底面 ABCD是正方形，側(cè)棱PD底面 ABCD，PDDC ， E 是 PC的中點(diǎn)，作 EFPB 交 PB于點(diǎn) F.（ 1）證明；PA 平面 EDB ；（ 2）證明； PB平面 EFD；（ 3）求二面角C - PB - D 的大小優(yōu)秀學(xué)習(xí)資料歡迎下載空間向量與立體幾何(1)參考答案一、選擇題（本大題共10 小題，每小題5 分，共50 分）題號(hào)12345678910答案ACBDDCABAC二、填空題（本大題共4 小題，每小題6 分，共

8、24 分）11 012 2131 AB1 AC3 AD14 60°123415。（ 2， -4 ， -1 ），（-2 ， 4，1）16。115， .2三、解答題（本大題共5 題，共76 分）17證明：ABCD,AB CD0.又ABCBCA ，(CBCA) CD0即CB CDCA CD . ADBC,ADBC0 .又ADCDCA ，(CDCA)BC0即 CDBCCA BC . 由 +得： CA CDCA BC0即CA BD0 .ACBD .18 解： (1)(2, 2, 0)， 1(2, 0, 2)， (0, 1, 0)，1(0, 2, 2)ABED(2) 1(0,-2,2) ， 1

9、(0, 1, 2) |1|2 2，|1|5 ， 1 · 1 02ABEDABEDABED4 2,210AB1 · ED1 cosAB1 ，ED1|22× 510AB1 與 ED1 所成的角的余弦值為AB |· |ED |11z10P1019證：如圖，建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)xyz ，設(shè) AB 2a，BC 2b，PA 2c，則： A(0,0,0) ，B(2 a, 0,0) ，C(2 a, 2b, 0) ，F(xiàn)D(0, 2b, 0) ， P(0, 0, 2c) E 為 AB的中點(diǎn)， FA為 PC的中點(diǎn)D y( ,0,0)，F(xiàn)(a,b,c)EEaC(1) (0,)

10、，(0,0,2c) ，(0, 2b, 0)x BEFb cAPAD1 EF2 (APAD) EF與AP、AD共面又 E平面 PAD EF平面 PAD(2)2a, 0, 0)2a, 0, 0) · (0, b, CD( - CD· EF( -c) 0 CD EF(3)若PDA 45，則有 2b 2c，即 b c， b, b) ，EF (0,2b22b 2AP (0, 0, 2b) cosEF， AP 2b·2EF， AP 45AC的法向量 EF 與平面AC 所成的角為： 90 AP 平面 AC，AP 是平面EF，AP 45 優(yōu)秀學(xué)習(xí)資料歡迎下載20解：建立如圖所示的

11、直角坐標(biāo)系，（1）不妨設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為1，則 D（0， 0， 0）， A（ 1，0， 0）， D1 （ 0，0， 1），zE（ 1，1，1）， F（ 0，1， 0），D1C 1221則 D1F （ 0，1），D A（ 1， 0， 0），A1B 12AE （ 0， 1，1）， 則DF DA0，DECy21FD1F AE 0，D1F DA ， D1F AE .ABD1 F平面 ADE.x（） B1 （ 1， 1， 1），C（ 0， 1，0），故 CB1（ 1， 0， 1）， EF （ 1，1， 1），EF CB1 10 1 3 ，22EF11 13，CB12 ，224423則 cosEF , CB

12、1EFCB123 .EF ,CB1150 .EFCB13222z21解：如圖所示建立空間直角坐標(biāo)系，D 為坐標(biāo)原點(diǎn) . 設(shè) DC a.(1) 證明：連結(jié)AC，AC交 BD于 G.連結(jié) EG.Pa a依題意得 A(a,0,0), P(0,0, a), E(0,)底面 ABCD是正方形，G 是此正方形的中心，F(xiàn)E故點(diǎn) G的坐標(biāo)為 ( a, a ,0) 且 PA (a,0, a), EG( a ,0,a).2222DCyPA2EG . 這表明 PAEG .GAB而 EG平面 EDB且 PA平面 EDB，PA平面 EDB。x(2) 證明：依題意得B(a, a,0), PB(a, a,a) 。又 DE(

13、0, a , a ), 故 PB DE 0a 2a 202222PBDE , 由已知 EFPB ，且 EFDE E, 所以 PB平面 EFD.(3) 解：設(shè)點(diǎn) F 的坐標(biāo)為 ( x0 , y0, z0 ), PFPB, 則 ( x0 , y0 , z0a)(a, a,a)從而 x0a, y0a, z0(1)a. 所以 FE( x0 , ay0 , az0 )( a,(1)a,(1)a).2222由條件 EFPB 知，PE PB0即aa2a), 且FE (點(diǎn) F的坐標(biāo)為 ( ,333PB FDa 2a 22a 20,即PB333PE FDa 2a 2a2a 2且 PE91896FE.FDa2co

14、sEFD6|FE |FD |6 a.6 a63a2( 1)a 2(1 )a 20,解得1。223a , a , a ), FD ( a , a , 2a ).366333FD，故EFD 是二面角 CPBD 的平面角 .a2a 2a 26 a, FDa 2a 24a 26 a93636699931 .EFD, 所以，二面角C PCD 的大小為.233優(yōu)秀學(xué)習(xí)資料歡迎下載空間向量與立體幾何(2)姓名第卷（選擇題，共50 分）一、選擇題：（本大題共10 個(gè)小題，每小題5 分，共班級(jí)50 分在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的）1已知的是A、 B、 C 三點(diǎn)不共線，對(duì)平面ABC外的任一點(diǎn)

15、O，下列條件中能確定點(diǎn)M與點(diǎn)A、 B、 C一定共面（ ）A OMOAOBOCB OM2OAOB OCC OMOA1 OB1 OCD OM1 OA1 OB1 OC233332在空間直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)P( x, y, z) ，那么下列說法正確的是（）A 點(diǎn) p 關(guān)于 x 軸對(duì)稱的坐標(biāo)是p1x,y, zB 點(diǎn) p 關(guān)于 yoz平面對(duì)稱的坐標(biāo)是p2x,y,zC 點(diǎn) p 關(guān)于 y 軸對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)是p3 x, y, zD 點(diǎn) p 關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)是p4x,y,z3已知向量 a（ 1，1， 0），b（ 1， 0， 2），且 k a b 與 2a b 互相垂直，則 k 的值是（）A.1B.1C.3D.7

16、5554已知空間四邊形 ABCD，M、G分別是 BC、CD的中點(diǎn)， 連結(jié) AM、AG、MG，則 AB + 1 (BDBC) 等于（）2A. AGCGBC1BCB.C.D.25在棱長(zhǎng)為 1 的正方體 ABCD A B C D 中，M和 N 分別為 A B 和 BB 的中點(diǎn)，那么直線AM與 CN所成角的余1111111弦值是（）A2B 2C 3D10555106已知向量 a(0,2,1) ， b (1,1,2) ，則 a 與 b 的夾角為（）A. 0°B. 45°C. 90°D. 180°7 已知點(diǎn) p1,3,4 ，且該點(diǎn)在三個(gè)坐標(biāo)平面yoz平面， zox

17、平面，xoy 平面上的射影的坐標(biāo)依次為x1, y1, z1 ， x2 , y2 , z2和 x3 , y3 , z3，則（）A x12y22z320B.x22y32z120優(yōu)秀學(xué)習(xí)資料歡迎下載C. x32y12z220D.以上結(jié)論都不對(duì)8、已知點(diǎn)A(4,1,3),B(2,-5,1),C為線段 AB上一點(diǎn)，且3|AC| |AB,則點(diǎn)的坐標(biāo)是( )A. (7,1,5)B.(3 , 3,2)C.(10 , 1,7)D.( 5 ,7,3)2228332229、設(shè) A、 B、 C、 D 是空間不共面的四點(diǎn)，且滿足AB AC0, AB AD0,AC AD 0則 BCD是（）A. 鈍角三角形B.直角三角形C

18、.銳角三角形D.不確定10、已知正方形ABCD的邊長(zhǎng)為 4，E、 F 分別是 AB、AD的中點(diǎn)， GC平面 ABCD，且 GC 2，則點(diǎn) B 到平面EFG的距離為（）A.10B.2 11C. 3D.110115第卷（非選擇題，共100 分）二、填空題（本大題共6 小題，每小題5 分，共 30 分）11、若 a(1,1,0),b(1,0, 2), 則 ab 同方向的單位向量是_.12已知 S是 ABC所在平面外一點(diǎn)，D是 SC的中點(diǎn)，若 BD xAB y ACzAS ，則 x y z13、已知 a2,4, x ,b2, y,2，若 a6且 ab ，則 x y 的值為。14、已知向量 a 和 c

19、不共線，向量b 0，且 (a b)c(b c)a ， da c，則 d,b15已知三角形的頂點(diǎn)是 A(1, 1,1)， B(2,1,1)， C( 1,1, 2)，這個(gè)三角形的面積是。16（如圖）一個(gè)結(jié)晶體的形狀為平行六面體，其中，以頂點(diǎn)A 為端點(diǎn)的三條棱長(zhǎng)都等于1，且它們彼此的夾角都是60 ，那么以這個(gè)頂點(diǎn)為端點(diǎn)的晶體的對(duì)角線的長(zhǎng)為。三、解答題 （用向量方法求解下列各題,共 70分）17、在棱長(zhǎng)為 a 的正方體 ABCD A B C D 中， E、 F 分別為 DD 和 BB 的中點(diǎn)111111（ 1）證明： AEC1F 是平行四邊形；D1C 1（ 2）求 AE和 AF 之間的夾角的余弦；（

20、3）求四邊形1A 1B1AECF 的面積EDFCAB優(yōu)秀學(xué)習(xí)資料歡迎下載18如圖，四邊形ABCD是直角梯形，ABC BAD 90°，SA平面 ABCD， SA AB BC1， AD 1 2（ 1）求 SC與平面 ASD所成的角余弦；（ 2）求平面 SAB和平面 SCD所成角的余弦zSyBCADx19、如圖，在底面是菱形的四棱錐02a, 點(diǎn) E在 PD上，且 PE:ED=2:1.P ABC中， ABC=60，PA=AC=，PB=PD=a（ I ）證明 PA平面 ABCD；P（ II ）求以 AC為棱， EAC與 DAC為面的二面角的大??；（）在棱 PC上是否存在一點(diǎn)F，使 BF/ 平面

21、 AEC？證明你的結(jié)論 .EADBC20如圖，在直三棱柱ABCA1B1C1 中，底面是等腰直角三角形，ACB90°側(cè)棱AA1 2， D、 E 分別是CC1 與 A1B 的中點(diǎn)，點(diǎn) E 在平面 ABD上的射影是 ABD的重心 Gz（ 1）求 A B 與平面 ABD所成角的大小C 11（ 2）求A 到平面 ABD的距離A1B11DECGABxy優(yōu)秀學(xué)習(xí)資料歡迎下載空間向量與立體幾何(2)參考答案一、選擇題（本大題共10 小題，每小題5 分，共 50 分）題號(hào)12345678910答案DDDABCACCB二、填空題（本大題共4 小題，每小題6 分，共 24 分）11（ 0，1，2）1201

22、3 1,-314 90°5515。 S ABC1| AB | | AC | sin A101AC162216。三、解答題（本大題共6 題，共 76 分）17（ 1）略（2） 1（ 3） s6 a25218（ 1）6（ 2）63319（）證明因?yàn)榈酌?ABCD是菱形， ABC=60°，所以 AB=AD=AC=a，在 PAB中，由 PA2+AB2=2a2=PB2知 PA AB.同理， PA AD，所以 PA平面 ABCD.（）解作 EG/PA 交 AD于 G，由 PA平面 ABCD.知 EG平面 ABCD.作 GH AC于 H，連結(jié) EH，則 EH AC， EHG即為二面角的平

23、面角 .又 PE:ED=2:1，所以123.EGa, AGa,GH AG sin 603a33從而tanEG3 ,30 .GH3（）解法一以 A 為坐標(biāo)原點(diǎn)， 直線 AD、AP 分別為 y 軸、 z 軸，過 A 點(diǎn)垂直平面 PAD的直線為 x 軸，建立空間直角坐標(biāo)系如圖. 由題設(shè)條件，相關(guān)各點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A(0,0,0), B(3 a,1 a,0), C (3 a, 1 a,0).2222D (0, a,0), P(0,0, a), E(0, 2 a, 1 a).33所以AE(0, 2 a, 1 a), AC( 3 a, 1 a,0).3322AP(0,0, a), PC (31a,a).2a

24、,2BP(31a, a).a,22設(shè)點(diǎn) F 是棱 PC上的點(diǎn)， PFPC(3 a, 1 a,a ), 其中 01, 則22BFBPPF (31(31a)a,a, a)a ,a ,2222優(yōu)秀學(xué)習(xí)資料歡迎下載(3 a(1), 1 a(1), a(1).令 BF1 AC2 AE得223 a(1)3 a1 ,11 ,221 a(1)1 a 12 a2 ,即 1142 ,2233a(1)1a2 .112 .33解得1,11, 23 .即1時(shí)， BF1AC3AE.222222亦即， F 是 PC的中點(diǎn)時(shí)，BF 、 AC 、 AE 共面 .又 BF 平面 AEC，所以當(dāng) F 是棱 PC的中點(diǎn)時(shí)， BF/ 平面 AEC.20 (14 分 )解