高考數(shù)學(xué)數(shù)列專題數(shù)列與數(shù)學(xué)歸納法(含詳解)[試卷]

1、優(yōu)秀學(xué)習(xí)資料歡迎下載20XX屆高考數(shù)學(xué)難點突破訓(xùn)練數(shù)列與數(shù)學(xué)歸納法1. 如圖，曲線 y 2x( y 0) 上的點 Pi 與 x 軸的正半軸上的點 Qi 及原點 O 構(gòu)成一系列正三角形 OPQ， QP Q， Q P Q設(shè)正三角形Qn 1PnQn 的邊長為 an ,n N1 112 2n-1 n n(記Q0為O),QnSn ,0 . （ 1）求 a1 的值 ;（2）求數(shù)列 an 的通項公式 an 。2.設(shè)an , bn 都是各項為正數(shù)的數(shù)列，對任意的正整數(shù)n ，都有 an ,bn2 , an 1 成等差數(shù)列，bn2 , an 1,bn2 1 成等比數(shù)列（ 1）試問bn 是否成等差數(shù)列？為什么？（

2、2）如果 a11, b12 ，求數(shù)列1的前 n 項和 Sn an3.已知等差數(shù)列an 中， a2 8， S6 66.（）求數(shù)列an 的通項公式；（）設(shè) bn2， Tn b1 b2bn ，求證： Tn1 .(n1)an631（ n 2， nN14. 已知數(shù)列 an 中 a1， an 2），數(shù)列 bn ，滿足 bn5an 1an 1優(yōu)秀學(xué)習(xí)資料歡迎下載（ n N ）（ 1）求證數(shù)列 bn 是等差數(shù)列；（ 2）求數(shù)列 an 中的最大項與最小項，并說明理由；（ 3）記 Snb1 b2 bn ，求 nlim (n 1)bn Sn 15. 已知數(shù)列 a 中， a >0,且 a =3an，n1n+12

3、()試求1 的值，使得數(shù)列 n 是一個常數(shù)數(shù)列；aa>a 對任何自然數(shù)n 都成立；( ) 試求 a 的取值范圍, 使得 a()若 11n+1n= 1 ，2， 3， ) ，并以n 表示數(shù)列 n 的前項的= 2 ，設(shè) n = |n+1 n| (nnabaaSb5和，求證 ： Sn<6. （ 1）已知： x (0) ，求證11ln x 11 ；xxx（2）已知： n N且n2 ，求證： 111ln n 111。23n2n17. 已 知 數(shù) 列 an各 項 均 不 為 0 ， 其 前 n項 和 為 Sn ， 且 對 任 意 n N ， 都 有(1 p) Snp pan（ p為 大 于1的常

4、數(shù)），并記1C1aC 2aC naf (n)n1n2nn .2nSn（1）求 an ；優(yōu)秀學(xué)習(xí)資料歡迎下載（ 2）比較 f (n1) 與 p 1f() 的大小nN；2 pn2n12n1p1p1（ 3）求證： (2n1) f (n)f (i )1( n N ).i1p1p18. 已知 nN，各項為正的等差數(shù)列a滿足na2a621, a3 a510 ，又數(shù)列l(wèi)g bn的前 n 項和是Snn n1 lg31n n 1 。2（ 1）求數(shù)列 an 的通項公式；（ 2）求證數(shù)列 bn 是等比數(shù)列；（ 3）設(shè) cn anbn ，試問數(shù)列 cn 有沒有最大項？如果有，求出這個最大項，如果沒有，說明理由。9.設(shè)

5、數(shù)列an 前項和為 sn , 且 (3m)sn2manm3(nN), , 其中 m為常數(shù) ,m3.(1) 求證 : 是等比數(shù)列 ;若 數(shù) 列 an的 公 比q=f(m), 數(shù) 列 bn滿 足 b1 a1,bn3f (bn 1 )( n N , n 2), 求2證:1為等差數(shù)列 , 求 bn .bn10. 已知數(shù)列 an 滿足： a1 1 , a21, 且 3 ( 1) n an 2 2an2( 1) n1 0，2優(yōu)秀學(xué)習(xí)資料歡迎下載nN * （）求 a3 ， a4 ， a5 ， a6 的值及數(shù)列 an 的通項公式；（）設(shè) bna2 n 1 a2n ，求數(shù)列 bn 的前 n 項和 Sn ；11.

6、將等差數(shù)列 an 所有項依次排列，并作如下分組：( a1 ),( a2 , a3 ),( a4 , a5 , a6 ,a7 ), 第一組 1 項，第二組2 項，第三組4 項，第 n 組 2n1 項。記 Tn 為第 n 組中各項的和。已知T348,T40 。（ 1）求數(shù)列 an 的通項；（ 2）求 Tn 的通項公式；（ 3）設(shè) Tn 的前 n 項的和為 Sn ，求 S8 。12. 設(shè)各項為正數(shù)的等比數(shù)列an 的首項 a11，前 n 項和為 Sn ，且2210 S30(2101)S20 S100 。（）求an的通項；（）求nSn 的前 n 項和 Tn 。13. 設(shè)數(shù)列 an 是首項為 0 的遞增數(shù)

7、列，（ n N ）， fn ( x) nis1 (x an ) , x an , an 1n滿足：對于任意的 b 0,1), fn (x) b 總有兩個不同的根。優(yōu)秀學(xué)習(xí)資料歡迎下載（ 1）試寫出 yf1 ( x) ，并求出 a2；（ 2）求 an 1an ，并求出 an 的通項公式；（3）設(shè) Sn a1a2 a3 a4( 1)n 1 an ，求 Sn 。14. 已知數(shù)列 a, a, , a30，其中 a , a, a 是首項為 1，公差為 1121210的等差數(shù)列；a10 , a11 , a20 是公差為 d 的等差數(shù)列； a20 , a21 ,a30 是公差為 d 2 的等差數(shù)列（ d0

8、）.( ) 若 a2040，求 d ；（）試寫出 a30 關(guān)于 d 的關(guān)系式，并求a30 的取值范圍；（）續(xù)寫已知數(shù)列，使得把已知數(shù)列推廣為無窮數(shù)列究，你能得到什么樣的結(jié)論？a30 , a31 , a40 是公差為 d 3 的等差數(shù)列，依次類推，.提出同（ 2）類似的問題（ 2）應(yīng)當作為特例） ，并進行研 ( 所得的結(jié)論不必證明 )15. 一種計算裝置，有一數(shù)據(jù)入口A 和一個運算出口B ，按照某種運算程序：當從A 口輸入自然數(shù) 1 時，從 B 口得到 1，記為 f11；當從 A 口輸入自然數(shù) n n2 時，33在 B 口得到的結(jié)果 f n是前一個結(jié)果fn 12 n11的1倍.2 n3（1）當從

9、 A 口分別輸入自然數(shù) 2， 3， 4時，從 B 口分別得到什么數(shù)？試猜想fn 的關(guān)系式，并證明你的結(jié)論；（2）記 Sn 為數(shù)列 f n的前 n 項的和。 當從 B 口得到16112195 的倒數(shù)時， 求此時對應(yīng)的Sn 的值 .16.已知數(shù)列 an ，其前 n 項和 Sn 滿足 Sn 12 Sn1(是大于 0 的常數(shù)），且 a1=1，a3=4.（ 1）求 的值；（ 2）求數(shù)列 an 的通項公式 an；（ 3）設(shè)數(shù)列 na n 的前 n 項和為 Tn，試比較 Tn 與 Sn 的大小 .2優(yōu)秀學(xué)習(xí)資料歡迎下載17.定義：若數(shù)列 An 滿足 An 1An2 ，則稱數(shù)列 An 為“平方遞推數(shù)列”已知數(shù)

10、列 an 中， a12 ，且 an 1 2an22an ，其中 n 為正整數(shù)(1) 設(shè) bn2an 1 ，證明：數(shù)列 bn 是“平方遞推數(shù)列”，且數(shù)列(2) 設(shè) (1) 中“平方遞推數(shù)列” bn 的前 n 項之積為 Tn ，即 Tn 求數(shù)列 an 的通項及 Tn 關(guān)于 n 的表達式；(3) 記 cnlog 2an1 Tn ，求數(shù)列 c 的前 n 項之和 S，并求使 Snnnlg bn 為等比數(shù)列；(2 a11)(2a21)(2an1) ，2008 的 n 的最小值18. 在不等邊 ABC中，設(shè)A、B、C所對的邊分別為 a，b，c，已知 sin 2 A ， sin2 B ，sin 2 C依次成等

11、差數(shù)列，給定數(shù)列cos A ， cos B ， cosC abc（ 1）試根據(jù)下列選項作出判斷，并在括號內(nèi)填上你認為是正確選項的代號：數(shù)列 cos A ， cos B ， cosC （）abcA是等比數(shù)列而不是等差數(shù)列B是等差數(shù)列而不是等比數(shù)列C既是等比數(shù)列也是等差數(shù)列D既非等比數(shù)列也非等差數(shù)列（ 2）證明你的判斷19. 已知 an 是等差數(shù)列，其前 n 項和為 Sn，已知 a2=8，S10 =185，（ 1）求數(shù)列 an 的通項公式；（ 2）設(shè) anlog 2 bn ，證明 bn 是等比數(shù)列，并求其前n 項和 Tn.20. 已知數(shù)列 a 中， a111（ n 2， 3， 4，）， an an

12、 1nan1（ I ）求 a2 、 a3 的值；（ II ）證明當n 2， 3，4，時，2n1an3n2優(yōu)秀學(xué)習(xí)資料歡迎下載21.已知等差數(shù)列 an 中， a38， Sn 是其前 n 項的和且 S20610（ I ）求數(shù)列 an 的通項公式。（ II ）若從數(shù)列 an 中依次取出第2 項，第 4 項，第 8 項，第2n 項，按原來的順序組成一個新數(shù)列 bn ，求數(shù)列 bn 的前 n 項和 Tn 。22.已知正項等比數(shù)列an 滿 足 條 件 ： a1 a2 a3a4 a5 121 ； 11111，求 an 的通項公式 an a1a2a3a425a523. 已知函數(shù) f （ x） log 3 （a

13、x b）圖象過點 A（ 2， 1）和 B（ 5， 2）（ 1）求函數(shù)f （ x）的解析式；（ 2 ） 記 an3f ( x)N*，是否存在正數(shù)11， nk ， 使 得 (12 )(1a2 ) a(11 ) k 2n1 對一切 nN * 均成立，若存在，求出k 的最大值，若不存在，請說明an理由24.已知 f(x)=log (x+m),m R2（1）如果 f(1)， f(2) ， f(4) 成等差數(shù)列，求m的值；（2）如果 a,b,c是兩兩不等的正數(shù)，且 a,b,c依次成等比數(shù)列， 試判斷 f(a)+f(c)與 2f(b)的大小關(guān)系，并證明你的結(jié)論。優(yōu)秀學(xué)習(xí)資料歡迎下載25. 已知等差數(shù)列a n

14、 的公差d>0.S n 是它的前n 項和，又1S4 與1S6 的等比中項是1146a17 1 ，S4 與S6 的等差中項是 6，求 an。4626. an 和 bn 分別是等比數(shù)列和等差數(shù)列，它們的前四項和分別為120 和 60，而第二項與第四項的和分別是90 和 34，令集合22221，2 ， a3 ， an ，1，2， 3，A aaB bbbbn 求證： AB 27. 已知曲線 C： y11（ nN ）。從 C 上的點 Q n ( xn, yn ) 作 x 軸， C n ： yx 2 nx的垂線，交 Cn 于點 Pn ，再從點 Pn 作 y 軸的垂線，交 C 于點 Qn 1 ( xn

15、 1 , yn 1 ) ，設(shè) x1 1, an xn 1xn , bn ynyn 1 。（ I ）求 Q1,Q2 的坐標；（ II ）求數(shù)列 an 的通項公式；（ III）記數(shù)列anbn的前 n 項和為 Sn ，求證： Sn13答案：1.解：由條件可得13,代 入2P1 2 a1,2a1y(x y 0 得)3 a21 a ,a0, a24121113Sna1a2an Pn 1 (Sn1an 1 ,3an 1 ) ；代入曲線 y2x( y0) 并整理22優(yōu)秀學(xué)習(xí)資料歡迎下載得 Sn3 an211 an1 , 于是當 n 2, n N *42( 3 an2 11 an 1) ( 3 an21 an

16、 )時, an SnSn 14242即 1 (an 1an )3 (an 1 an ) (an 1an )an 1an0, an 1an2 (n 2, n N * )243又當n1時1,S3 22 a 12 , a24a 舍(2去； ） a2a12,故42333an 1an2 (nN * )所以數(shù)列 an 是首項為2 、公差為2 的等差數(shù)列 ,an2 n 。33332. 由題意，得2bn2anan1 ，（ 1）an2 1bn2 bn2 1（ 2）（ 1）因為 an0, bn0 ，所以由式（ 2）得 an 1bnbn1 ，從而當 n2 時，anbn 1 bn ，代入式（ 1）得2bn2bn 1b

17、nbnbn 1 ，即 2bb1bn 2 ，故 b是等差數(shù)列nnn 1n（ 2）由 a11,b12 及式（ 1），式（ 2），易得 a23,b232,2因此 b的公差 d2，從而 bnb1n1d2 n1 ，n22得 an 11n 1 n 2（ 3）2又 a11也適合式（3），得 annn 1nN * ，2所以 12211，ann n1n n 1從而 S21111.112 112nn223nnn1n 11a1d83. 解：（）6a16 5 d66a16, d22an2n4d優(yōu)秀學(xué)習(xí)資料歡迎下載2211（） bn（ n1)(2 n 4)n 1n 2，(n 1)anTnb1b2bn11111111，2

18、33445n1n 211=2n2而 112是遞增數(shù)列，TnT11111 .2n23664. （ 1） bn11an1，an11an 112an 1 1而bn 11，an11bnbn 1an111 ( n N )an 11an11 bn 是首項為 b1151 的等差數(shù)列a11，公差為2（ 2）依題意有an 11，而 bn5(n1) 1 n3.5 ，bn2an11n3.5對于函數(shù)y1，在x3.50y'0，在（3.5，）上為減函數(shù)x時， y ，3.51故當 n 4 時， an1取最大值 3n3.5而函數(shù)y1在 x 3.5時， y 0，y'10，在（， 3.5 ）上也x(x3.5) 2

19、3.5為減函數(shù)故當 n 3 時，取最小值，a3 -1 ( n1)(52n5)(n1)(n5)（ 3） Sn122， bnn3.5 ，22( n 1)bn2(n1)(n3.5)limlim2 nSn1n(n1)(n5)優(yōu)秀學(xué)習(xí)資料歡迎下載5. ( ) 欲使數(shù)列 an 是一個常數(shù)數(shù)列，則an+1 =3an = an2又依 a >0，可得 a>0 并解出： a =3，即 a= a=31nn21n2( ) 研究 an+1an=3an 3 a n 1=ana n 1( n2)2223a n3an 1223an3an 1>0注意到 222因此，可以得出： an+1 an， anan 1，

20、an 1 an2， a2 a1 有相同的符號 7 要使 an+1>an 對任意自然數(shù)都成立 , 只須 a2 a1>0 即可 .由3 a1a1>0，解得： 0<a <3212( ) 用與 ( ) 中相同的方法，可得當 a >3時， a <a 對任何自然數(shù)n 都成立 .12n+1n因此當 a1=2 時， an+1 an<0 Sn= b1+b2+bn=| a a | + | a a | + + | a a |2132n+1n=a1 a2 a2 a3 a a +1=a a=2 annn+11n+13a n 1<a +1，可解得a +1>3,又

21、： a +2=n2nn2故 Sn<2 3 = 1 2 26. （1）令 11t ，由 x>0， t>1 ， x1xt 1原不等式等價于 11ln tt 1令 f(t)=t-1-lntt， f (t ) 11當 t(1,) 時，有 f(t)0 ，函數(shù) f(t)在 t (1,) 遞增tf(t)>f(1)即 t-1<lnt另令 g(t)ln t11，則有 g (t)t 10tt 2 g(t) 在 (1, ) 上遞增， g(t)>g(1)=0 ln t 11t1x11綜上得lnxxx1（ 2）由（ 1）令 x=1,2, (n-1) 并相加得111ln 2ln 3ln

22、n11123n12n12n 1優(yōu)秀學(xué)習(xí)資料歡迎下載即得 111ln 11123n2n 17. (1)易求得 anp n（ 2） f ( n)1 Cn1 a1Cn2 a2Cnn an 1 p(1 p ) n12 nSn221 p n作差比較易得： f (n 1)p1 f (n)2 p（ 3）當 n 1時，不等式組顯然成立 .當 n2時，先證 f (1)f (2)f (2n1)p1p12n 1p1()1p1由（ 2）知 f (n1)p1 f (n)( p1) 2 f ( n1)( p1) n f (1)p1p1p1( p 1) n 1f (n) ( p 1)n ( n 2)2 p2 p2n11(

23、p 1) 2n 1p 1( p 1) 2( p 1) 2 n 1p 12 pp 1 1 ( p 1)2n 1f (i)i 12 p2 p2 p2 pp 1p 12 p12 p再證 f (1)f (2)f (2n1)( 2n1) f (n)f (1)f ( 2n 1)2 f (1) f (2n1)21p (1p ) n1 ( p2 n 11p) p 2np2而 1 ( p 2n 1p) p 2 n1 2 p 2n 1 p p2 n(1 p n ) 2f (1)f (2n1)2f (1)f (2n 1)2 1p (1p ) n1p2(1pn )22 1 p (1 p ) n112(1 p )(1

24、p )n12 f ( n)p2p np21 p n同理： f (2)f (2n2)2 f (n) ， f (3)f ( 2n3)2 f (n) ，f (2n1)f (1)2 f ( n)以上各式相加得：2 f (1)f (2)f ( 2n1)2( 2n1) f ( n)優(yōu)秀學(xué)習(xí)資料歡迎下載2 n 1即f (i )(2n 1) f ( n) .i 18. （ 1） a2a6 a3 a5 10 ，又 a2 a6 21a23a27a67或3a6a27，則 an9n ， a101 與 an0 矛盾；若3a6a23，則 ann1，顯然 an0 ，若7a6ann1（2） lg b1S12lg 3,b19，

25、n 1n 1當 n29時， lg bn Sn Sn 1 lg9，歐bn991010n 1n 1時， bn9 b1， b 99, n Nn10bn19bn10數(shù)列是以9 為首項，9 為公比的等比數(shù)列。10n 1（ 3） cn9n19，設(shè) ck k 2是數(shù)列 cn中的最大項，則10由ckck 1可得 8k9ckck 1數(shù)列 cnc8c99有最大項，最大項是81107。9. （ 1）由 (3m) sn 2man m 3得 (3 m)sn 1 2man 1 m 3,兩式相減得 (3m) an 1 2man , m3,an 12m,anm 3優(yōu)秀學(xué)習(xí)資料歡迎下載 an 是等比數(shù)列。（2） b1a11,

26、qf ( m)2m , n N n 2m33bnf (bn 1 )32bn 1bn bn 11113bn3bn 1.21 是1為首項bn1 n 11bn33bn.n2（）經(jīng)計算10.2 bn 1 31 為公比的等差數(shù)列3n 2 ,3a3 3 ， a41 ， a54bnbn 135 ， a61 8當 n 為奇數(shù)時，an 2an2 ，即數(shù)列 an 的奇數(shù)項成等差數(shù)列，a2 n 1a1(n1) 22n1；當 n 為偶數(shù)， an 21 an ，即數(shù)列2a2 n a2 ( 1 ) n 1( 1 )n 22 an 的偶數(shù)項成等比數(shù)列，n(n為奇數(shù) )因此，數(shù)列 an 的通項公式為an1n)2(n為偶數(shù))(2（）bn(2n1)( 1) n ，112111Sn13 () 25() 3(2n3)()n 1( 2n1) ()n（ 1）2222211)23(1351)4( 2n3)(1n(2n1)