2015年湖南省高考文科數(shù)學(xué)試卷答案解析

1、 2015年湖南省高考數(shù)學(xué)試卷（文科） 參考答案與試題解析 一、選擇題（每小題5分，共50分） 1（5分） （2015?湖南）已知=1+i（i為虛數(shù)單位），則復(fù)數(shù)z=（ ） A 1+i B 1i C 1+i D 1i 分析： 由條件利用兩個(gè)復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除法法則，求得z的值 解答： 解： 已知=1+i（i為虛數(shù)單位）， z= =1i， 故選：D 點(diǎn)評(píng)： 本題主要考查兩個(gè)復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除法法則的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題 2（5分）（2015?湖南）在一次馬拉松比賽中，35名運(yùn)動(dòng)員的成績(jī)（單位：分鐘）的莖葉圖如圖所示若將運(yùn)動(dòng)員按成績(jī)由好到差編為135號(hào)，再用系數(shù)抽樣方法從中抽取7人，則其中成績(jī)?cè)趨^(qū)間1

2、39，151上的運(yùn)動(dòng)員人數(shù)是（ ） A 3 B 4 C 5 D 6 分析： 對(duì)各數(shù)據(jù)分層為三個(gè)區(qū)間，然后根據(jù)系數(shù)抽樣方法從中抽取7人， 得到抽取比例為，然后各層按照此比例抽取 解答： 解：由已知，將個(gè)數(shù)據(jù)分為三個(gè)層次是130，138，139，151，152，153，根據(jù)系數(shù)抽樣方法從中抽取7 人，得到抽取比例為， 所以成績(jī)?cè)趨^(qū)間139，151中共有20名運(yùn)動(dòng)員，抽取人數(shù)為 20×=4； 故選B 點(diǎn)評(píng)： 本題考查了莖葉圖的認(rèn)識(shí)以及利用系統(tǒng)抽樣抽取個(gè)體的方法；關(guān)鍵是正確分層，明確抽取比例 3（5分）（2015?湖南）設(shè)xR，則“x1“是“x31”的（ ） A 充分不必要條件 B 必要不充

3、分條件 C 充要條件 D 既不充分也不必要條件 分析： 利用充要條件的判斷方法判斷選項(xiàng)即可 解答： 解：因?yàn)閤R，“x1“?“x31”， 所以“x1“是“x31”的充要條件 故選：C 點(diǎn)評(píng)： 本題考查充要條件的判斷，基本知識(shí)的考查 4（5分）（2015?湖南）若變量x，y 滿足約束條件，則z=2xy的最小值為（ ） A 1 B 0 C 1 D 2 分析： 由約束條件作出可行域，由圖得到最優(yōu)解，求出最優(yōu)解的坐標(biāo)，數(shù)形結(jié)合得答案 解答： 解：由約束條件作出可行域如圖， 由圖可知，最優(yōu)解為A， 聯(lián)立，解得A（0，1） z=2xy的最小值為2×01=1 故選：A 點(diǎn)評(píng)： 本題考查了簡(jiǎn)單的線性

4、規(guī)劃，考查了數(shù)形結(jié)合的解題思想方法，是中檔題 5（5分）（2015?湖南）執(zhí)行如圖所示的程序框圖，如果輸入n=3，則輸出的S=（ ） A B C D 解答： 解：判斷前i=1，n=3，s=0， 第1次循環(huán)， S=，i=2， 第2次循環(huán)， S=，i=3， 第3次循環(huán)， S=，i=4， 此時(shí)，in，滿足判斷框的條件，結(jié)束循環(huán)，輸出結(jié)果： S= = = 故選：B 點(diǎn)評(píng)： 本題考查循環(huán)框圖的應(yīng)用，注意判斷框的條件的應(yīng)用，考查計(jì)算能力 6（5分） （2015?湖南）若雙曲線 =1的一條漸近線經(jīng)過(guò)點(diǎn)（3，4），則此雙曲線的離心率為（ ） A B C D 分析： 利用雙曲線的漸近線方程經(jīng)過(guò)的點(diǎn)，得到a、b關(guān)

5、系式，然后求出雙曲線的離心率即可 解答： 解：雙曲線 =1的一條漸近線經(jīng)過(guò)點(diǎn)（3，4），可得3b=4a，即9（c2a2）=16a2， 解得 = 故選：D 點(diǎn)評(píng)： 本題考查雙曲線的簡(jiǎn)單性質(zhì)的應(yīng)用，基本知識(shí)的考查 7（5分）（2015?湖南）若實(shí)數(shù)a，b 滿足 + =，則ab的最小值為（ ） A B 2 C 2 D 4 考點(diǎn)： 基本不等式 專題： 計(jì)算題；不等式的解法及應(yīng)用 分析： 由 + =，可判斷a0，b0 ，然后利用基礎(chǔ)不等式即可求解ab的最小值 解答： 解： + =， a0，b0， （當(dāng)且僅當(dāng)b=2a時(shí)取等號(hào)）， ， 解可得， ab，即ab的最小值為 2， 故選：C 點(diǎn)評(píng)： 本題主要考查了

6、基本不等式在求解最值中的簡(jiǎn)單應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)試題 8（5分）（2015?湖南）設(shè)函數(shù)f（x）=ln（1+x）ln（1x），則f（x）是（ ） A 奇函數(shù)，且在（0，1）上是增函數(shù) B 奇函數(shù)，且在（0，1）上是減函數(shù) C 偶函數(shù)，且在（0，1）上是增函數(shù) D 偶函數(shù)，且在（0，1）上是減函數(shù) 考點(diǎn)： 利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性 專題： 導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用 分析： 求出好的定義域，判斷函數(shù)的奇偶性，以及函數(shù)的單調(diào)性推出結(jié)果即可 解答： 解：函數(shù)f（x）=ln（1+x）ln（1x），函數(shù)的定義域?yàn)椋?，1）， 函數(shù)f（x）=ln（1x）ln（1+x）=ln（1+x）ln（1x）=f（x），所以函數(shù)是奇函數(shù)

7、 排除C，D，正確結(jié)果在A，B，只需判斷特殊值的大小，即可推出選項(xiàng)，x=0時(shí)，f（0）=0； x=時(shí)，f （）=ln（ 1+）ln（1 ）=ln31，顯然f（0）f （），函數(shù)是增函數(shù)，所以B錯(cuò)誤，A正確 故選：A 點(diǎn)評(píng)： 本題考查函數(shù)的奇偶性以及函數(shù)的單調(diào)性的判斷與應(yīng)用，考查計(jì)算能力 9（5分）（2015?湖南）已知A，B，C在圓x2+y2=1上運(yùn)動(dòng)，且ABBC，若點(diǎn)P的坐標(biāo)為（2，0），則 |的最大值為（ ） A 6 B 7 C 8 D 9 考點(diǎn)： 圓的切線方程 專題： 計(jì)算題；直線與圓 分析： 由題意，AC為直徑，所以 | |=|2 + |=|4+|B為（1，0）時(shí)， |4+|7，即可得

8、出結(jié)論 解答： 解：由題意，AC為直徑，所以 | |=|2 + |=|4+| 所以B為（1，0）時(shí)， |4+|7 所以 |的最大值為7 故選：B 點(diǎn)評(píng)： 本題考查向量知識(shí)的運(yùn)用，考查學(xué)生分析解決問(wèn)題的能力，比較基礎(chǔ) 10（5分）（2015?湖南）某工件的三視圖如圖所示，現(xiàn)將該工件通過(guò)切削，加工成一個(gè)體積盡可能大的正方體新工件，并使新工件的一個(gè)面落在原工件的一個(gè)面內(nèi)，則原工件材料的利用率為（材料利用率 =）（ ） A B C D 考點(diǎn)： 簡(jiǎn)單空間圖形的三視圖 專題： 開(kāi)放型；空間位置關(guān)系與距離 分析： 由題意，原材料對(duì)應(yīng)的幾何體是圓錐，其內(nèi)接正方體是加工的新工件，求出它們的體積，正方體的體積與圓

9、錐的體積比為所求 解答： 解：由題意，由工件的三視圖得到原材料是圓錐，底面是直徑為2的圓，母線長(zhǎng)為3， 所以圓錐的高為 2 ，圓錐是體積為； 其內(nèi)接正方體的棱長(zhǎng)為x ，則，解得 x= ，所以正方體的體積為， 所以原工件材料的利用率為： =； 故選：A 點(diǎn)評(píng)： 本題考查了由幾何體的三視圖得到幾何體的體積以及幾何體的內(nèi)接正方體棱長(zhǎng)的求法；正確還原幾何體以及計(jì)算內(nèi)接正方體的體積是關(guān)鍵，屬于中檔題 二、填空題（本大題共5小題，每小題5分，共25分） 11（5分）（2015?湖南）已知集合U=1，2，3，4，A=1，3，B=1，3，4，則A（?UB）= 1，2，3 考點(diǎn)： 交、并、補(bǔ)集的混合運(yùn)算 專題：

10、 計(jì)算題；集合 分析： 首先求出集合B的補(bǔ)集，然后再與集合A取并集 解答： 解：集合U=1，2，3，4，A=1，3，B=1，3，4， 所以?UB=2， 所以A（?UB）=1，2，3 故答案為：1，2，3 點(diǎn)評(píng)： 本題考查了集合的交集、補(bǔ)集、并集的運(yùn)算；根據(jù)定義解答，屬于基礎(chǔ)題 12（5分）（2015?湖南）在直角坐標(biāo)系xOy中，以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，若曲線C的極坐標(biāo)方程為=2sn，則曲線C的直角坐標(biāo)方程為 x2+（y1 ）2=1 考點(diǎn)： 簡(jiǎn)單曲線的極坐標(biāo)方程 專題： 坐標(biāo)系和參數(shù)方程 分析： 直接利用極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)互化，求解即可 解答： 解：曲線C的極坐標(biāo)方程為=

11、2sn，即2=2sn，它的直角坐標(biāo)方程為：x2+y2=2y，即x2+（y1）2=1 故答案為：x2+（y1）2=1 點(diǎn)評(píng)： 本題考查極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)方程的互化，基本知識(shí)的考查 13（5分）（2015?湖南）若直線3x4y+5=0與圓x2+y2=r2（r0）相交于A，B兩點(diǎn)，且AOB=120°，（O為坐標(biāo)原點(diǎn)），則r= 2 考點(diǎn)： 直線與圓相交的性質(zhì) 專題： 直線與圓 分析： 若直線3x4y+5=0與圓x2+y2=r2（r0）交于A、B兩點(diǎn)，AOB=120°，則AOB為 頂角為120°的等腰三角形，頂點(diǎn)（圓心）到直線3x4y+5=0的距離 d=r，代入點(diǎn)到直線距離公

12、式，可構(gòu)造關(guān)于r的方程，解方程可得答案 解答： 解：若直線3x4y+5=0與圓x2+y2=r2（r0）交于A、B兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)， 且AOB=120°， 則圓心（0，0）到直線3x4y+5=0的距離 d=rcos =r， 即 =r， 解得r=2， 故答案為：2 點(diǎn)評(píng)： 本題考查的知識(shí)點(diǎn)是直線與圓相交的性質(zhì)，其中分析出圓心（0，0）到直線3x4y+5=0的距離 d=r是解答的關(guān)鍵 14（5分）（2015?湖南）若函數(shù)f（x）=|2x2|b有兩個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)b的取值范圍是 0b2 考點(diǎn)： 函數(shù)的零點(diǎn) 專題： 計(jì)算題；函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用 分析： 由函數(shù)f（x）=|2x2|b有兩個(gè)零點(diǎn)，可得

13、|2x2|=b有兩個(gè)零點(diǎn)，從而可得函數(shù)y=|2x2|函數(shù)y=b的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，結(jié)合函數(shù)的圖象可求b的范圍 解答： 解：由函數(shù)f（x）=|2x2|b有兩個(gè)零點(diǎn)，可得|2x2|=b有兩個(gè)零點(diǎn)， 從而可得函數(shù)y=|2x2|函數(shù)y=b的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)， 結(jié)合函數(shù)的圖象可得，0b2時(shí)符合條件， 故答案為：0b2 點(diǎn)評(píng)： 本題主要考查函數(shù)的零點(diǎn)以及數(shù)形結(jié)合方法，數(shù)形結(jié)合是數(shù)學(xué)解題中常用的思想方法，能夠變抽象思維為形象思維，有助于把握數(shù)學(xué)問(wèn)題的本質(zhì) 15（5分）（2015?湖南）已知0，在函數(shù)y=2sinx與y=2cosx的圖象的交點(diǎn)中，距離最短的兩個(gè)交點(diǎn)的距離為 2，則 = 考點(diǎn)： 正弦函數(shù)的圖象；余弦

14、函數(shù)的圖象 專題 ： 開(kāi)放型；三角函數(shù)的圖像與性質(zhì) 分析： 根據(jù)正弦線，余弦線得出交點(diǎn)（k1，），（ k2 ，） ，k1， k2都為整數(shù)， 兩個(gè)交點(diǎn)在同一個(gè)周期內(nèi)，距離最近，即可得出方程求解即可 解答： 解：函數(shù)y=2sinx與y=2cosx的圖象的交點(diǎn)， 根據(jù)三角函數(shù)線可得出交點(diǎn)（ k1，） ， （ （k2 ，），k 1，k 2都為整數(shù)， 距離最短的兩個(gè)交點(diǎn)的距離為2， 這兩個(gè)交點(diǎn)在同一個(gè)周期內(nèi)， 12=（）2+（）2，= 故答案為： 點(diǎn)評(píng)： 本題考查了三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)，三角函數(shù)線的運(yùn)用，屬于中檔題，計(jì)算較麻煩 三、解答題 16（12分）（2015?湖南）某商場(chǎng)舉行有獎(jiǎng)促銷活動(dòng)，顧客購(gòu)買

15、一定金額的商品后即可抽獎(jiǎng)，抽獎(jiǎng)方法是：從裝有2個(gè)紅球A1，A2和1個(gè)白球B的甲箱與裝有2個(gè)紅球a1，a2和2個(gè)白球b1，b2的乙箱中，各隨機(jī)摸出1個(gè)球，若摸出的2個(gè)球都是紅球則中獎(jiǎng)，否則不中獎(jiǎng) （）用球的標(biāo)號(hào)列出所有可能的摸出結(jié)果； （）有人認(rèn)為：兩個(gè)箱子中的紅球比白球多，所以中獎(jiǎng)的概率大于不中獎(jiǎng)的概率，你認(rèn)為正確嗎？請(qǐng)說(shuō)明理由 考點(diǎn)： 相互獨(dú)立事件的概率乘法公式 專題： 概率與統(tǒng)計(jì) 分析： （）中獎(jiǎng)利用枚舉法列出所有可能的摸出結(jié)果； （）在（）中求出摸出的2個(gè)球都是紅球的結(jié)果數(shù)，然后利用古典概型概率計(jì)算公式求得概率，并說(shuō)明中獎(jiǎng)的概率大于不中獎(jiǎng)的概率是錯(cuò)誤的 解答： 解：（）所有可能的摸出的結(jié)

16、果是： A1，a1 ，A1，a2 ，A1，b1 ，A1，b2 ，A2，a1 ，A2，a2 ， A2，b1 ，A2，b2 ，B，a1 ，B，a2 ，B，b1 ，B，b2； （）不正確理由如下： 由（）知，所有可能的摸出結(jié)果共12種，其中摸出的2個(gè)球都是紅球的結(jié)果為： A1，a1 ，A1，a2 ，A2，a1 ，A2，a2 ，共4種， 中獎(jiǎng)的概率為 不中獎(jiǎng)的概率為：1 故這種說(shuō)法不正確 點(diǎn)評(píng)： 本題考查了古典概型及其概率計(jì)算公式，訓(xùn)練了枚舉法求基本事件個(gè)數(shù)，是基礎(chǔ)題 17（12分）（2015?湖南）設(shè)ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，a=btanA （）證明：sinB=cosA； （）若

17、sinC sinAcosB=，且B為鈍角，求A，B，C 考點(diǎn)： 正弦定理 專題： 解三角形 分析： （）由正弦定理及已知可得 =，由sinA0，即可證明sinB=cosA （）由兩角和的正弦函數(shù)公式化簡(jiǎn)已知可得sinC sinAcosB=cosAsinB=，由（1）sinB=cosA，可得sin2 B=，結(jié)合范圍可求B，由sinB=cosA及A的范圍可求A，由三角形內(nèi)角和定理可求C 解答： 解：（）證明：a=btanA =tanA， 由正弦定理：，又 tanA=， =， sinA0， sinB=cosA得證 （）sinC=sin（A+B）=sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinB，

18、 sinC sinAcosB=cosAsinB=，由（1）sinB=cosA， sin2 B=， 0B， sinB=， B為鈍角， B=， 又cosA=sinB=， A=， C=A B=， 綜上， A=C=， B= 點(diǎn)評(píng)： 本題主要考查了正弦定理，三角形內(nèi)角和定理，兩角和的正弦函數(shù)公式的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題 18（12分）（2015?湖南）如圖，直三棱柱ABCA1B1C1的底面是邊長(zhǎng)為2的正三角形，E，F(xiàn)分別是BC，CC1的中點(diǎn)， （）證明：平面AEF平面B1BCC1； （）若直線A1C與平面A1ABB1所成的角為45°，求三棱錐FAEC的體積 考點(diǎn)： 棱柱、棱錐、棱臺(tái)的體積；平面與平面

19、垂直的判定 專題： 空間位置關(guān)系與距離 分析： （）證明AEBB1，AEBC，BCBB1=B，推出AE平面B1BCC1，利用平面余平米垂直的判定定理證明平面AEF平面B1BCC1； （）取AB的中點(diǎn)G，說(shuō)明直線A1C與平面A1ABB1所成的角為45°，就是CA1G，求出棱錐的高與底面面積即可求解幾何體的體積 解答： （）證明：幾何體是直棱柱，BB1底面ABC，AE?底面ABC，AEBB1， 直三棱柱ABCA1B1C1的底面是邊長(zhǎng)為2的正三角形，E分別是BC的中點(diǎn)， AEBC，BCBB1=B，AE平面B1BCC1， AE?平面AEF，平面AEF平面B1BCC1； （）解：取AB的中點(diǎn)G

20、，連結(jié)A1G，CG，由（）可知CG平面A1ABB1， 直線A1C與平面A1ABB1所成的角為45°，就是CA1G，則A1 G=CG=， AA1 = =， CF= 三棱錐FAEC 的體積： × = = 點(diǎn)評(píng)： 本題考查幾何體的體積的求法，平面與平面垂直的判定定理的應(yīng)用，考查空間想象能力以及計(jì)算能力 19（13分）（2015?湖南）設(shè)數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，已知a1=1，a2=2，an+2=3SnSn+1+3，nN*， （）證明an+2=3an； （）求Sn 考點(diǎn)： 數(shù)列遞推式；數(shù)列的求和 專題： 等差數(shù)列與等比數(shù)列 分析： （）當(dāng)n2時(shí)，通過(guò)an+2=3SnSn+1+3與a

21、n+1=3Sn1Sn+3作差，然后驗(yàn)證當(dāng)n=1時(shí)命題也成立即可； （）通過(guò)（I）寫(xiě)出奇數(shù)項(xiàng)、偶數(shù)項(xiàng)的通項(xiàng)公式，分奇數(shù)項(xiàng)的和、偶數(shù)項(xiàng)的和計(jì)算即可 解答： （）證明：當(dāng)n2時(shí)，由an+2=3SnSn+1+3， 可得an+1=3Sn1Sn+3， 兩式相減，得an+2an+1=3anan+1， an+2=3an， 當(dāng)n=1時(shí)，有a3=3S1S2+3=3×1（1+2）+3=3， a3=a1，命題也成立， 綜上所述：an+2=3an； （）解：由（I ）可得，其中k是任意正整數(shù)， S2k1=（a1+a2）+（a3+a4）+（a2k3+a2k2）+a2k1 =3+32+3k1+3k1 =+3k1

22、=×3k1 ， S2k=S2k1+a2k =×3k1 +2×3k1 = ， 綜上所述，Sn = 點(diǎn)評(píng)： 本題考查求數(shù)列的通項(xiàng)及求和，考查分類討論的思想，注意解題方法的積累，屬于中檔題 20（13分）（2015?湖南）已知拋物線C1：x2=4y的焦點(diǎn)F也是橢圓C2 ： +=1（ab0）的一個(gè)焦點(diǎn)，C1與C2的公共弦的長(zhǎng)為 2，過(guò)點(diǎn)F的直線l與C1相交于A，B兩點(diǎn)，與C2相交于C，D 兩點(diǎn)，且 與同向 （）求C2的方程； （）若|AC|=|BD|，求直線l的斜率 考點(diǎn)： 直線與圓錐曲線的關(guān)系；橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程 專題： 開(kāi)放型；圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程 分析： （）通過(guò)

23、C1方程可知a2b2=1，通過(guò)C1與C2的公共弦的長(zhǎng)為 2且C1與C2的圖象都關(guān)于y 軸對(duì)稱可得，計(jì)算即得結(jié)論； （）設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），D（x4，y4） ，通過(guò) =可得（x1+x2）24x1x2=（x3+x4）24x3x4，設(shè)直線l方程為y=kx+1，分別聯(lián)立直線與拋物線、直線與橢圓方程，利用韋達(dá)定理計(jì)算即可 解答： 解：（）由C1方程可知F（0，1）， F也是橢圓C2的一個(gè)焦點(diǎn)，a2b2=1， 又C1與C2的公共弦的長(zhǎng)為 2，C1與C2的圖象都關(guān)于y軸對(duì)稱， 易得C1與C2 的公共點(diǎn)的坐標(biāo)為（± ，）， ， 又a2b2=1， a2=9，b2=8

24、， C2 的方程為 +=1； （）如圖，設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），D（x4，y4）， 與同向，且|AC|=|BD| ， =，x1x2=x3x4， （x1+x2）24x1x2=（x3+x4）24x3x4， 設(shè)直線l的斜率為k，則l方程：y=kx+1， 由，可得x24kx4=0， 由韋達(dá)定理可得x1+x2=4k，x1x2=4， 由，得（9+8k2）x2+16kx64=0， 由韋達(dá)定理可得x3+x4= ，x3x4= ， 又（x1+x2）24x1x2=（x3+x4）24x3x4， 16（k2+1） = +， 化簡(jiǎn)得16（k2+1） =， （9+8k2）2=16×9，解得 k=±， 即直線l 的斜率為± 點(diǎn)評(píng)： 本題是一道直線與圓錐曲線的綜合題，考查求橢圓方程以及直線的斜率，涉及到韋達(dá)定理等知識(shí)，考查計(jì)算能力，注意解題方法的積累，屬于中檔題 21（13分）（2015?湖南）已知a0，函數(shù)f（x）=aexcosx（x0，+），記xn為f（x）的從小到大的第n（nN*）個(gè)極值