立體幾何中的向量方法-夾角問題PPT課件

1、 n A P O 2、向量法求點(diǎn)到平面的距離、向量法求點(diǎn)到平面的距離：第1頁/共17頁 nabCDABCD為a,b的公垂線則|nABnCD A，B分別在直線a,b上已知a,b是異面直線，n為 的法向量3. 異面直線間的距離異面直線間的距離 即 間的距離可轉(zhuǎn)化為向量 在n上的射影長，21,llCD第2頁/共17頁( (課本第107107頁練習(xí)2)2)如圖，6060的二面角的棱上有A A、B B兩點(diǎn)，直線ACAC、BDBD分別在這個二面角的兩個半平面內(nèi)，且都垂直ABAB，已知ABAB4 4，ACAC6 6，BDBD8 8，求CDCD的長. . BACD 注注: :利利用用本本題題中中的的向向量量關(guān)

2、關(guān)系系我我們們還還可可以以倒倒過過來來求求二二面面角角的的大大小小. . 第3頁/共17頁APDCBMNzxy解：如圖解：如圖,以以D為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系Dxyz，則，則D(0,0,0),A( ,0,0),B( , ,0),C(0, ,0),P(0,0, )2aaaa2a第4頁/共17頁1.異面直線所成角設(shè)直線設(shè)直線, l m的方向向量分別為的方向向量分別為, a b lmb 若兩直線若兩直線 所成的角為所成的角為 , 則則, l m(0)2cosa ba b 復(fù)習(xí)引入復(fù)習(xí)引入a bO第5頁/共17頁1. 1.兩條異面直線所成的角兩條異面直線所成的角(0,2 (3)

3、向量求法向量求法:設(shè)直線設(shè)直線a、b的方向向量為的方向向量為 ,其夾角其夾角為為 ,則有則有,a b |cos| cos| |abab 空間三種角的向量求解方法空間三種角的向量求解方法(4)注意注意:兩異面直線所成的角可以通過這兩條直線兩異面直線所成的角可以通過這兩條直線的方向向量的夾角求得的方向向量的夾角求得,當(dāng)兩方向向量的夾角是鈍角當(dāng)兩方向向量的夾角是鈍角時時,應(yīng)取其補(bǔ)角作為兩異面直線所成的角應(yīng)取其補(bǔ)角作為兩異面直線所成的角.(1)定義定義:設(shè)設(shè)a,b是兩條異面直線是兩條異面直線,過空間任一點(diǎn)過空間任一點(diǎn)O作直作直線線a a, b b,則則a , b 所夾的銳角或直角叫所夾的銳角或直角叫a

4、與與b所成的角所成的角.(2)范圍范圍:第6頁/共17頁2. 2. 線面角線面角 ua設(shè)直線設(shè)直線l的方向向量為的方向向量為 ，平面，平面 的法向量為的法向量為 ，且，且直線直線 與平面與平面 所成的角為所成的角為 ( ),則則a u l02 sin = u 2 (0,0)2 2 而利用 可求 ，從而再求出 | | |2 a nancos 或或|sin()|2 a ua u| cos| lOAB第7頁/共17頁2. 2.直線與平面所成的角直線與平面所成的角0,2 a uau|sin|cos| | (1)定義定義:直線與它在這個平面內(nèi)的射影所成的角直線與它在這個平面內(nèi)的射影所成的角.(2)范圍范

5、圍:(3)向量求法向量求法:設(shè)直線設(shè)直線l的方向向量為的方向向量為 ,平面平面 的法的法向量為向量為 ,直線與平面所成的角為直線與平面所成的角為 , 與與 的夾的夾角為角為 ,則有則有 u a a u ua 第8頁/共17頁l 將二面角轉(zhuǎn)化為二面角的兩個面的方向向量（在二面角的面內(nèi)且垂直于二面角的棱）的夾角。如圖，設(shè)二面角 的大小為其中AB ll ABCDl CD, AB CDAB CDAB CDcoscos, 3 3、二面角、二面角DCBA方向向量法方向向量法：第9頁/共17頁 將二面角轉(zhuǎn)化為二面角的兩個面的法向量的夾角。如圖，向量 ，則二面角 的大小 mn，lnm,注意法向量的方向：同進(jìn)同

6、出，二面角等于法向量夾角的補(bǔ)角；一進(jìn)一出，二面角等于法向量夾角ln m nm, 3 3、二面角、二面角若二面角若二面角 的大小為的大小為 , 則l (0)cos.u vu v 法向量法法向量法m 第10頁/共17頁0, (3)二面角的向量求法:若若AB、CD分別是二面角分別是二面角 的兩的兩個面內(nèi)與棱個面內(nèi)與棱l垂直的異面直線垂直的異面直線,則二面角則二面角的大小就是向量的大小就是向量 與與 的夾角的夾角(如圖如圖(1)l AB CD 設(shè)設(shè) 是二面角是二面角 的兩個面的兩個面 的法向量的法向量,則向量則向量 與與 的夾角的夾角(或其或其補(bǔ)角補(bǔ)角)就是二面角的平面角的大小就是二面角的平面角的大小

7、(如如圖圖(2)l , n n12, n1 n2 lBDCA(1)l1n 2n (2)(2)范圍范圍:3.3.二面角二面角(1)定義定義:從二面角棱上任取一點(diǎn)從二面角棱上任取一點(diǎn)O，在二面角的兩個半平面內(nèi)分，在二面角的兩個半平面內(nèi)分別作棱的垂線別作棱的垂線OA、OB，則稱，則稱 為二面角的平面角。為二面角的平面角。AOB第11頁/共17頁例例1、如圖，點(diǎn)、如圖，點(diǎn)M、N分別是正方體分別是正方體 的棱的棱 和和 的中點(diǎn)，求：的中點(diǎn)，求：(1)MN和和 所成的角的大小所成的角的大小.(2) MN和和AD與與所成的角的大小所成的角的大小.BB 【典例剖析】 ABCDA B C D B C CD AC

8、 B D A DCBMNxzy第12頁/共17頁例2 (2013新課標(biāo)理， 18)如圖，三棱柱ABC A1B1C1中，CACB，ABAA1，BAA160. (1)證明：ABA1C； (2)若平面 平面 ， ，求直線 與平面 所成角的正弦值.ABC AA B B11A C1BB C C11ABBC2 o解析解析：(1) 取取AB重點(diǎn)重點(diǎn)O，連接，連接CO，A1B，A1O，ABAABAA11,60 BAA1是正三角形是正三角形A OAB1CACB COA OO1 ABCOA1 平平面面A CAB1COAB第13頁/共17頁例2 (2013新課標(biāo)理， 18)如圖，三棱柱ABC A1B1C1中，CAC

9、B，ABAA1，BAA160. (2)若平面 平面 ， ，求直線 與平面 所成角的正弦值.ABC AA B B11A C1BB C C11ABBC2 yzxo解析解析：(2) 由由(1)知知1,A OAB COAB1111,ABCABB AABCABB AAB 又又平平面面平平面面平平面面平平面面11OCABB A 平平面面1OCOA1,OA OC OA兩兩相互垂直兩兩相互垂直以以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，1,OA OC OA 正交基底建立空間直角坐標(biāo)系正交基底建立空間直角坐標(biāo)系O-xyz則則1(1,0,0),(0,3,0),(0,0,3),( 1,0,0)AACB 111(1,0,3),( 1,3,0),(0,3,3)BCBBAAA C 設(shè)設(shè) 是平面是平面 的法向量的法向量( , , )nx y z 11CBB C則則 即即100nBCnBB 3030 xzxy 11110cos,5|n A Cn A CnA C 直線直線 與平面與平面 所成交的正弦值為所成交的正弦值為11CBB C1A C105( 3,1, 1)n 可取第14頁/共17頁,1,1,2.AABCD SAABBCADSCDSBA0如所示， ABCD 是一直角梯形， ABC=90S平面求面與面所成二面角例的余弦值3ABCDSx