彈性波的粒子理論

1、彈性波的粒子理論摘要：由于從波的現(xiàn)象規(guī)律中發(fā)現(xiàn)了波的粒子性，為充實(shí)波是由彌散物質(zhì)的粒子性產(chǎn)生的證據(jù)才研究了彈性波。經(jīng)過近十年的努力，根據(jù)彈性動(dòng)力學(xué)給出的平面簡(jiǎn)諧波找到了彈性波遵從力學(xué)規(guī)律的新形式，從機(jī)制上解決了彈性波的傳播、反射與折射、激發(fā)三大問題，形成了一個(gè)基本功能齊全、展現(xiàn)波具有不連續(xù)特征的彈性波的粒子理論。它拓寬了原有的粒子概念，把質(zhì)點(diǎn)動(dòng)力學(xué)拓展到彈性物體，證明了彈性波的產(chǎn)生是來自彈性介質(zhì)的慣性作用，糾正了作為彈性動(dòng)力學(xué)核心的納維（Navier）方程所犯的顛倒因果關(guān)系的錯(cuò)誤，并使其給出的彈性波中合理部分得到保留、不合理部分得到剔除，為解開波粒二象性之迷提供了啟發(fā)性的例證。關(guān)鍵詞：彈性介質(zhì)

2、的物理模型 波質(zhì)元 動(dòng)量定理 功能原理 動(dòng)量與能量守恒定律 牛頓第三定律 總邊界條件引言：為解開波粒二象性之迷而能研究波是根據(jù)牛頓力學(xué)的一個(gè)基本的觀點(diǎn)：一切物質(zhì)都因有質(zhì)量而具有慣性，而慣性就是粒子性。因此，一切物質(zhì)都具有粒子性的本性。在這力學(xué)觀點(diǎn)下，與粒子性并立且矛盾的波動(dòng)性就成為懷疑對(duì)象。很巧，這一證據(jù)就存在于令（稱t為波源的歷史時(shí)間，稱t為現(xiàn)在時(shí)間）由所描述的平面波中（這里把產(chǎn)生波的作用激發(fā)源稱為場(chǎng)源，而把被場(chǎng)源作用的點(diǎn)元稱為波源）： 當(dāng)t 不變時(shí)，隨x變化。我們看到，每一點(diǎn)x都再現(xiàn)了波源不同歷史時(shí)刻的擾動(dòng)狀態(tài)，并構(gòu)成一個(gè)空間橫向的有序排列，表明在任一時(shí)刻t的波所展示的都是波源擾動(dòng)狀態(tài)的全

3、部歷史；當(dāng)x不變時(shí)，隨t變化。我們?cè)趚點(diǎn)看到的是波源擾動(dòng)狀態(tài)的歷史變化，并構(gòu)成一個(gè)時(shí)刻t的縱向有序排列，表明在波線上每一點(diǎn)x所展示的也都是波源擾動(dòng)狀態(tài)的歷史；當(dāng)t 不變時(shí)，x隨t變化。我們看到，波源時(shí)刻的擾動(dòng)狀態(tài)以波速c獨(dú)立地向x軸正向傳播，如同其它擾動(dòng)狀態(tài)不存在一樣。我們從這三條現(xiàn)象規(guī)律看出，波中各點(diǎn)的擾動(dòng)狀態(tài)都彼此無關(guān)、都具有粒子運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的獨(dú)立性。這一特征表明，波只是彌散物質(zhì)的一種運(yùn)動(dòng)現(xiàn)象，是粒子性個(gè)體運(yùn)動(dòng)所表現(xiàn)出的集體行為。就像多米諾骨牌效應(yīng)那樣，反映的是粒子性運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的獨(dú)立性和獨(dú)立的粒子性個(gè)體運(yùn)動(dòng)狀態(tài)在粒子性個(gè)體間傳播的現(xiàn)象規(guī)律。但要充分證明波具有粒子性的本性，就得從彌散于空間的電磁場(chǎng)

4、物質(zhì)的粒子性出發(fā)給出波。出于對(duì)其物性的無奈，也只好將這一想法轉(zhuǎn)到對(duì)彈性波的研究上。通過對(duì)彈性動(dòng)力學(xué)的推敲看到，雖說它是個(gè)力學(xué)理論，卻不能用力學(xué)規(guī)律解決擾動(dòng)是怎樣從一個(gè)彈性質(zhì)元傳遞給另一個(gè)相鄰彈性質(zhì)元的，由此發(fā)現(xiàn)該理論創(chuàng)建于對(duì)彈性質(zhì)元應(yīng)用牛頓第二定律之上是個(gè)基本概念錯(cuò)誤。我們知道，牛頓第二定律僅對(duì)質(zhì)點(diǎn)成立，而質(zhì)點(diǎn)要求物體無轉(zhuǎn)動(dòng)、無變形和無內(nèi)能。按數(shù)學(xué)形式邏輯的取法，無論把彈性質(zhì)元取得多么小，它都是個(gè)有變形、有內(nèi)能的彈性物體，近似不成質(zhì)點(diǎn)。因此，彈性動(dòng)力學(xué)的創(chuàng)建在基本原理上就錯(cuò)了，說明它并不是個(gè)屬于質(zhì)點(diǎn)動(dòng)力學(xué)的粒子理論。這一結(jié)論也被它的波方程和邊界條件給出的彈性波中，都存在毫無原因的違反動(dòng)量和能量

5、守恒定律的情況所證實(shí)。據(jù)此，也就更有了建立一個(gè)彈性波的粒子理論的信心，以便作為波具有粒子性本性的例證。該理論之所以建立在彈性動(dòng)力學(xué)給出的與實(shí)驗(yàn)相符的平面簡(jiǎn)諧波之上，是受到我們常說的“通過現(xiàn)象看本質(zhì)”的啟發(fā)，由此認(rèn)識(shí)到兩點(diǎn)：一是，未知面前無道理，這就斷絕了去走前人的猜想之路；二是，任何現(xiàn)象的本質(zhì)規(guī)律都潛含在現(xiàn)象之中，由現(xiàn)象規(guī)律來確定。正是這兩點(diǎn)決定筆者以彈性波的現(xiàn)象規(guī)律來尋求它遵從的力學(xué)規(guī)律，從而也建立起彈性波的粒子理論。它證明了波是由彌散物質(zhì)的慣性作用產(chǎn)生的，也就確認(rèn)了彈性動(dòng)力學(xué)對(duì)彈性質(zhì)元使用牛頓第二定律因違反質(zhì)點(diǎn)概念而造成從應(yīng)力出發(fā)給出彈性波的納維（Navier）方程犯了顛倒因果關(guān)系的錯(cuò)誤。

6、但就這兩個(gè)學(xué)說的關(guān)系而言，由于彈性動(dòng)力學(xué)在原理上的錯(cuò)誤，它并不是個(gè)理論而是前人創(chuàng)建的獲取彈性波現(xiàn)象的方法，它獲得平面波等現(xiàn)象的成功只是為我們認(rèn)識(shí)彈性介質(zhì)運(yùn)動(dòng)所邁出的第一步。就方法而言，它并不存在被推翻的問題。特別是人們?cè)趹?yīng)用中已積累了豐富的經(jīng)驗(yàn)，在解決具體問題上我們對(duì)它仍然要堅(jiān)持能用則用、好用則用的原則；彈性波的粒子理論雖說還存在沒有解決的問題，但它卻是揭示彈性波現(xiàn)象本質(zhì)規(guī)律的理論，是在彈性動(dòng)力學(xué)的基礎(chǔ)上所邁出的第二步。這有先有后的兩個(gè)學(xué)說代表著我們認(rèn)識(shí)未知世界的程序先現(xiàn)象后本質(zhì)，反映的是我們認(rèn)識(shí)未知自然界的普遍規(guī)律。1 彈性介質(zhì)的三種物理模型模型來自我們對(duì)研究對(duì)象的認(rèn)識(shí)或猜想，是思維的載體，

7、是探索、揭示某一類物理規(guī)律的基本依據(jù)。彈性動(dòng)力學(xué)給出的彈性介質(zhì)的數(shù)理模型來自假設(shè)，因?yàn)樗撾x物理實(shí)際，使理論表現(xiàn)出兩方面的問題：其一，模型賦予物理量的連續(xù)可微性所抹殺的正是產(chǎn)生彈性波的粒子性機(jī)制。如，把dm看成質(zhì)點(diǎn)；其二，因?yàn)樽杂杀砻?、界面沒有彈性介質(zhì)，使彈性波產(chǎn)生反射、折射失去了動(dòng)力學(xué)的原因。由于筆者要建立的是彈性波的粒子理論，就必須有能反映產(chǎn)生彈性波及其反射和折射粒子性機(jī)制的物理模型，它來自我們對(duì)彈性體的構(gòu)成和經(jīng)驗(yàn)。我們知道，真實(shí)的彈性固體是由原子、分子構(gòu)成的，而它們又是由電子和原子核組成的。因此，它的均勻各向同性都是宏觀觀測(cè)尺度上的平均概念。這是本文給出彈性介質(zhì)的三種物理模型的基本依據(jù)。

8、1.1 均勻各向同性的彈性介質(zhì)模型設(shè)一個(gè)弧立的彈性固體中存在宏觀觀測(cè)上表現(xiàn)為各向均勻同性的最小球體半徑為r0，以r0為半徑在這彈性固體中連續(xù)作球，則這些球心點(diǎn)的集合就是均勻各向同性的彈性介質(zhì)。1.2 有限彈性介質(zhì)模型按1.1中的做法，彈性固體中除均勻各向同性的彈性介質(zhì)外，在表面處必剩下厚度為r0的不屬于均勻各向同性的彈性介質(zhì)，稱它為表面層。它有個(gè)外表面，即與真空的分界面；還有個(gè)內(nèi)表面，即與內(nèi)部均勻各向同性彈性介質(zhì)的銜接面。內(nèi)外表面之間是力學(xué)環(huán)境失去球?qū)ΨQ性的彈性介質(zhì)。可見，一個(gè)彈性固體是由內(nèi)部均勻各向同性的彈性介質(zhì)和表面層構(gòu)成的。然而，這個(gè)模型雖然能真實(shí)的反映彈性介質(zhì)運(yùn)動(dòng)的波行為的力學(xué)結(jié)構(gòu)，但

9、表面層的存在也給我們研究波的反射問題帶來困難。因此，對(duì)表面層必須簡(jiǎn)化。其根據(jù)有三條： 對(duì)表面層而言，我們研究的是入射波的反射行為，而不是研究表面層。按經(jīng)驗(yàn)表面層對(duì)波只起到反射作用。因此，不必關(guān)心表面層的具體情況；根據(jù)惠更斯原理，若入射波在表面層能產(chǎn)生滿足反射定律的反射波，它要求表面層的振動(dòng)只起到產(chǎn)生次級(jí)子波的點(diǎn)波源的作用。從實(shí)際考慮，這是要求表面層的厚度r0與入射波的波長(zhǎng)相比能夠忽略不計(jì)；由于表面層對(duì)入射波只起到反射作用，這實(shí)際上是要求表面層的變形應(yīng)當(dāng)很小，在運(yùn)動(dòng)中它的能量、動(dòng)量的積累和釋放都可以忽略不計(jì)，僅將入射波的能量、動(dòng)量經(jīng)過它傳遞給反射波?；谏鲜鋈龡l理由，在有條件的近似下就得到了表面

10、層的物理模型：質(zhì)量為零，變形時(shí)可產(chǎn)生應(yīng)力的幾何面。對(duì)它仍稱為表面。于是，就確立了有限彈性介質(zhì)的物理模型：它是由內(nèi)部均勻各向同性的彈性介質(zhì)和表面構(gòu)成的。1.3 層狀彈性介質(zhì)模型將兩個(gè)有限彈性介質(zhì)模型的表面密接在一起，就得到了層狀彈性介質(zhì)的物理模型。彈性介質(zhì)的物理模型與數(shù)理模型有兩點(diǎn)不同：一是，它恢復(fù)了表面、界面在變形時(shí)能產(chǎn)生應(yīng)力，為它們對(duì)彈性波的反射和折射提供了作用機(jī)制；二是，它限定了所取的線元（），面元、體元、質(zhì)元都是有限小量，從而堅(jiān)持了物理量在宏觀上的統(tǒng)計(jì)平均意義。這一限定突出的是物理，體現(xiàn)了在解決物理問題中物理同數(shù)學(xué)的主從關(guān)系。2 彈性波遵從力學(xué)規(guī)律的新形式彈性波是一種力學(xué)現(xiàn)象，力學(xué)規(guī)律必

11、是彈性波遵從的基本規(guī)律。而力學(xué)規(guī)律是粒子的規(guī)律。因此，不找到彈性波中具有力學(xué)獨(dú)立性的粒子，就無法運(yùn)用力學(xué)規(guī)律來確知彈性波的力學(xué)行為。彈性動(dòng)力學(xué)對(duì)彈性質(zhì)元應(yīng)用牛頓第二定律的錯(cuò)誤表明，它并未在彈性介質(zhì)中找到能應(yīng)用力學(xué)規(guī)律的粒子。要找到它，也只有對(duì)彈性波的現(xiàn)象規(guī)律應(yīng)用力學(xué)原理來尋求。這是因?yàn)槲粗媲盁o道理，新的現(xiàn)象必有新規(guī)律，而新規(guī)律是潛含在新現(xiàn)象之中的，也就必須根據(jù)新的現(xiàn)象規(guī)律來揭示。在彈性動(dòng)力學(xué)給出的具體彈性波中只有平面波與力學(xué)規(guī)律相符（遵從動(dòng)量和能量守恒定律），也被實(shí)驗(yàn)所驗(yàn)證。所以，筆者是把其中的平面簡(jiǎn)諧波及由彈性介質(zhì)的物性決定的關(guān)系式作為尋求彈性波中的粒子和它遵從力學(xué)規(guī)律新形式的依據(jù)。2.1

12、 動(dòng)量定理與波質(zhì)元設(shè)：有一平面簡(jiǎn)諧橫波沿x軸正向傳播，彈性介質(zhì)密度為，波的傳播速度為c，位移波函數(shù)為圖1 等質(zhì)元取法與受力分析 (1)彈性動(dòng)力學(xué)給出如下關(guān)系： (2)在波線上取一系列相等彈性質(zhì)元，如圖1所示。設(shè)第個(gè)彈性質(zhì)元受力為、，依據(jù)動(dòng)量定理寫出下式 (3)其中，是力對(duì)彈性質(zhì)元作用的積累時(shí)間。根據(jù)(2)中關(guān)系可求出(3)式中的各項(xiàng)： (4) (5) (6) (7)其中，(4)、(5)式利用了中值定理，并考慮段函數(shù)接近線性而取了中間值。將(4)(7)式代入(3)式得 (8)由質(zhì)點(diǎn)動(dòng)力學(xué)可知，能接受單一力作用的物體才是獨(dú)立物體。這對(duì)(8)式來說，就是從該式中尋求單一力對(duì)彈性質(zhì)元作用的規(guī)律。顯然，

13、這是要求(8)式中左右兩側(cè)同號(hào)項(xiàng)相等。因此，取 (9)就得到了單一力對(duì)彈性質(zhì)元的作用規(guī)律： (10) (11) 為認(rèn)識(shí)(10)、(11)式表達(dá)的物理意義，以運(yùn)動(dòng)速度為基準(zhǔn)，把(3)式寫成動(dòng)量定理的矢量式，根據(jù)(10)、(11)式則有， (12) (13)由(12)式可知，來自的對(duì)作用沖量完全用于產(chǎn)生的時(shí)刻的動(dòng)量，而與對(duì)的作用無關(guān)；由(13)式可知，來自的對(duì)作用沖量完全用于耗盡的時(shí)刻的動(dòng)量，與對(duì)的作用無關(guān)。將(12)，(13)式寫成完整的動(dòng)量定理形式： (14) (15)本文稱(12)、(13)，(14)、(15)式為彈性介質(zhì)中一個(gè)波質(zhì)元的動(dòng)量定理，稱滿足這樣動(dòng)量定理，即滿足(9)式的彈性質(zhì)元為

14、波質(zhì)元。2.2 波質(zhì)元的能量根據(jù)(12)式，有 (16) (17) = (18) (17)式說明波質(zhì)元的動(dòng)能與勢(shì)能總是相等的；(18)式說明波質(zhì)元的總能量是它動(dòng)能的兩倍。這與彈性動(dòng)力學(xué)給出的結(jié)果相一致。2.3 波質(zhì)元的功能原理根據(jù)功能原理，應(yīng)力對(duì)波質(zhì)元作的功可寫出下式： (19) (20) (21)可見，在時(shí)間內(nèi)對(duì)波質(zhì)元作的功等于在時(shí)刻的總能量。本文用下式表示 (22) 同理，也可算出在時(shí)間內(nèi)對(duì)波質(zhì)元作的耗損功等于在時(shí)刻的總能量，寫成下式 (23)(22)、(23)式說明，在時(shí)間內(nèi)兩端力對(duì)波質(zhì)元作的功分別等于它的兩個(gè)時(shí)刻的總能量。本文稱這兩個(gè)式子為彈性介質(zhì)中一個(gè)波質(zhì)元的功能原理。2.4 兩個(gè)相

15、鄰波質(zhì)元間的相互作用遵從動(dòng)量和能量守恒定律根據(jù)(14)式寫出第n+1個(gè)波質(zhì)元的動(dòng)量定理 (24) (25)根據(jù)(22)式寫出第n+1個(gè)波質(zhì)元的功能原理。 (26) (27)至此可以確認(rèn)，波質(zhì)元就是遵從力學(xué)規(guī)律的粒子，（其實(shí)，它雖然具有力學(xué)上的獨(dú)立性，但它并不是能獨(dú)立存在粒子，而是指物質(zhì)遵從力學(xué)規(guī)律的慣性）。只要注意波質(zhì)元遵從力學(xué)規(guī)律的新形式，波的疊加原理就是力的疊加原理，波質(zhì)元不獨(dú)占空間，我們就可以根據(jù)受力分析，按條件對(duì)波質(zhì)元應(yīng)用有時(shí)間過程的力學(xué)規(guī)律來解決包涵彈性波在內(nèi)的彈性介質(zhì)的運(yùn)動(dòng)問題?？梢?，在找到波質(zhì)元之后，彈性波的粒子理論在實(shí)質(zhì)上是把解決彈性介質(zhì)的運(yùn)動(dòng)問題變成了對(duì)力學(xué)規(guī)律的應(yīng)用題。因?yàn)?/p>

16、波質(zhì)元不是質(zhì)點(diǎn)而是彈性物體，瞬時(shí)的牛頓第二定律對(duì)波質(zhì)元不成立。也正因?yàn)椴ㄙ|(zhì)元是個(gè)彈性物體，彈性波的粒子理論也拓寬了粒子概念，將質(zhì)點(diǎn)動(dòng)力學(xué)擴(kuò)展到彈性物體。須指出，由(9)式給出的波質(zhì)元是對(duì)彈性質(zhì)元的粒子化, 是遵從力學(xué)規(guī)律的充分且必要條件，即力對(duì)波質(zhì)元作用的積累時(shí)間必須等于力在波質(zhì)元中的傳播時(shí)間。但這并不意味著擾動(dòng)傳播的連續(xù)性仍然在起作用，而是因?yàn)閷?duì)力學(xué)規(guī)律新形式的揭示所依據(jù)的是連續(xù)的彈性波，還不能擺脫波速這個(gè)常量，這也是把它稱為波質(zhì)元的原因。由于(25)式是一個(gè)運(yùn)動(dòng)物體同另一個(gè)靜止物體進(jìn)行彈碰撞的動(dòng)量守恒形式，(27)式是其能量守恒形式，這一揭示也就清楚地告訴我們：彈性波的產(chǎn)生機(jī)制是波質(zhì)元間的

17、彈性碰撞，為我們證明了彈性波是由彈性介質(zhì)的慣性作用產(chǎn)生的，其中的應(yīng)力、彈性勢(shì)能也都來自彈性介質(zhì)的慣性作用，由此也就確認(rèn)了彈性動(dòng)力學(xué)對(duì)彈性質(zhì)元使用牛頓第二定律因違反質(zhì)點(diǎn)概念而造成從應(yīng)力出發(fā)給出彈性波的納維（Navier）方程犯了顛倒因果關(guān)系的錯(cuò)誤，從中也明確了平面波不產(chǎn)生逆波的原因。2.5 波質(zhì)元運(yùn)動(dòng)速度與位移的關(guān)系在對(duì)波質(zhì)元應(yīng)用力學(xué)新規(guī)律來解決彈性波問題時(shí)，總要涉及它的速度和位移的關(guān)系，在此把它們的關(guān)系明確下來。因?yàn)閺椥圆ǖ牧Ｗ永碚摻o出的是粒子性的彈性波，波質(zhì)元的速度和位移都不連續(xù)，導(dǎo)致了波質(zhì)元的位移和速度有以下關(guān)系 （為波質(zhì)元在時(shí)間內(nèi)的平均速度） （設(shè)由之間有個(gè)） （波源波質(zhì)元的初始擾動(dòng)未到

18、達(dá)x處波質(zhì)元的時(shí)間內(nèi)）我們明確了波質(zhì)元的運(yùn)動(dòng)速度和位移關(guān)系，此后應(yīng)用力學(xué)規(guī)律解決彈性波問題時(shí)，凡涉及波質(zhì)元或波質(zhì)元之間的運(yùn)動(dòng)速度和位移的轉(zhuǎn)換都是直接的，不作交待。3 彈性波的反射、折射規(guī)律從本節(jié)內(nèi)容看到，對(duì)于解決歸為波質(zhì)元兩體彈性碰撞的反射與折射問題并不需要邊界條件，直接應(yīng)用力學(xué)原理就夠了；對(duì)于解決歸為波質(zhì)元多體彈性碰撞的反射與折射問題才需要有邊界條件。所謂邊界條件就是由力學(xué)原理決定的在邊界處波質(zhì)元相互作用所遵從的力學(xué)規(guī)律。3.1 界面對(duì)垂直入射的彈性波（P波、S波）的反射、折射與“半波損失”圖2 入射、反射、折射波質(zhì)元取法設(shè)有一平面波垂直入射到兩種介質(zhì)的界面上，產(chǎn)生反射波和折射波。取入射、反

19、射、折射波的波質(zhì)元依次為、。其中、和、分別是入射側(cè)、折射側(cè)介質(zhì)密度和波速，面是三個(gè)波質(zhì)元的相互作用面。如圖2所示。受力分析：三個(gè)波質(zhì)元的側(cè)面由波線圍成，故無外力作用；因是垂直入射，界面無變形，故界面不會(huì)通過面邊緣對(duì)這一作用過程施加外力。因此，反射波、折射波的產(chǎn)生完全來自入射波的作用。如果設(shè)入射波受反射波和折射波的作用合力為，反射波、折射波受到的入射波作用力依次為和。根據(jù)牛頓第三定律，有 (28)根據(jù)動(dòng)量定理，有令 (29) (30)(30)式就是一個(gè)速度為的物體與一個(gè)靜止的物體作完全彈性正碰的動(dòng)量守恒表達(dá)式將(30)式與這一過程遵從能量守恒定律表達(dá)式組成方程組 (31)化簡(jiǎn)方程組， 、 (32

20、)解此方程組，得 (33) (34)(33)、(34)式確定了平面波用位移表示的反射和折射系數(shù)： (35) （36）對(duì)平面簡(jiǎn)諧波，設(shè)入射波的波質(zhì)元的位移是按它的擾動(dòng)傳播來認(rèn)識(shí)和：根據(jù)，根據(jù)， 于是，根據(jù)(35)、(36)式，就得到了我們用平面簡(jiǎn)諧波振幅表示的反射、折射系數(shù)： (37) (38)當(dāng)和是平面簡(jiǎn)諧縱波（稱為P波）的波速時(shí)，(37)、(38)式就是平面簡(jiǎn)諧縱波的反射、折射系數(shù)；當(dāng)和是平面簡(jiǎn)諧橫波（稱為S波）的波速時(shí)，(37)、(38)式就是平面簡(jiǎn)諧橫波的反射、折射系數(shù)。(31)式不但揭示產(chǎn)生反射與折射現(xiàn)象的動(dòng)力學(xué)機(jī)制也是彈性碰撞，也證明了這一碰撞機(jī)制對(duì)質(zhì)量不同的波質(zhì)元也適用。從力學(xué)觀點(diǎn)

21、看，入射波并沒有消失，反射波就是改變了傳播方向和狀態(tài)的入射波。 “半波損失”的產(chǎn)生原因也由(31)式和(37)式反映清楚。能否產(chǎn)生“半波損失”現(xiàn)象，將取決于入射波和折射波的相互作用慣性質(zhì)量（波質(zhì)元的質(zhì)量）的大小。波阻的物理意義也正是反映了波的相互作用慣性質(zhì)量的大小。從而沒有被彈性動(dòng)力學(xué)揭示出來的“半波損失”機(jī)制問題由彈性波的粒子理論給出了答案。圖3 SH波的反射、折射示意3.2 界面對(duì)斜入射的SH波的反射和折射設(shè)有一SH波（位移垂直入射面的橫波）以角入射到界面上，產(chǎn)生反射、折射的SH波；兩種介質(zhì)的密度分別為、；SH波在兩種介質(zhì)的波速分別為、。取入射波和反射波的波質(zhì)元（因入射角等于反射角）、折射

22、波的波質(zhì)元為，如圖3所示。由于SH波的位移平行于界面，界面不變形，無外力參與這一作用過程，因此這一碰撞過程遵從動(dòng)量與能量守恒定律。列出如下方程組： (39)因?yàn)?39)式與(31)式相同，所以由(39)式給出的SH波斜入射到界面上的反射、折射系數(shù)與(33)、(34)式也相同。若SH波是簡(jiǎn)諧波，可寫出用振幅比表示反射、折射系數(shù)： (40) (41)我們從3.1、3.2小節(jié)看到，對(duì)于垂直入射到界面的P波，S波以及斜入射到界面的SH波，彈性波的粒子理論所給出的反射與折射系數(shù)與彈性動(dòng)力學(xué)給出的都相同。3.3 表面對(duì)P波、SV波的反射與表面邊界條件圖4 P波反射與波質(zhì)元取法由于我們對(duì)這兩種波在表面處的力

23、學(xué)行為一無所知，下面在反射波遵從反射定律的前提下，通過一段較為曲折的受力分析過程，來獲得表面反射規(guī)律。設(shè)：彈性介質(zhì)的密度為，P波和SV波的波速為、；有一P波以角入射到彈性介質(zhì)的表面上，產(chǎn)生反射的P波和SV波（位移在入射面的橫波，并規(guī)定SV波的位移以傳播方向與它成左旋為正）。取入射P波的波質(zhì)元為，反射P波和SV波的波質(zhì)元依次為，。上述關(guān)系如圖4所示。受力分析：表面上的面元是、的作用面。假設(shè)，通過M、N點(diǎn)的兩條邊線（沿y向）對(duì)波質(zhì)元作用的外力是零，根據(jù)波質(zhì)元的取法，在波射線圍成的波質(zhì)元側(cè)面上也不受外力作用。按動(dòng)量、能量的傳遞來理解，反射P波和SV波的產(chǎn)生，是入射P波的波質(zhì)元通過對(duì)靜止的、施以作用的

24、結(jié)果。若設(shè)對(duì)、的作用力依次為、，而受到來自它們的反作用力為。根據(jù)牛頓第三定律有 (42)依據(jù)動(dòng)量定理 (43) (44) (45) (46)如果我們改寫一下(46)式，粒子的碰撞機(jī)制就會(huì)被明確地揭示出來。令：，由(42)式可得 (47) (48)可見，(48)式也是這一碰撞遵從的動(dòng)量守恒形式。按圖4，把(49)式寫成分量式： (49)令，解得 (50) (51)經(jīng)驗(yàn)證，此組解并不滿足能量守恒定律。容易發(fā)現(xiàn)，因?yàn)椤⑴c不在同一方向上，會(huì)使表面變形，這一碰撞過程必有外力參與?？梢?，這一碰撞過程并不遵守動(dòng)量守恒定律，這一反射現(xiàn)象應(yīng)由動(dòng)量定理和能量守恒定律來解決。若設(shè)表面所施外力為，可列出下面的方程組

25、(52)由這一方程組看出，要給解就要知道的方向。所以，尋找的方向就是求解該方程組的關(guān)鍵。容易想到的一種情況是，如果表面不變形，就沒有，也不會(huì)產(chǎn)生SV波。因此，很可能與同向或反向。根據(jù)粒子觀點(diǎn)，這是入射P波與反射SV波發(fā)生了斜碰。根據(jù)圖5，按具有速度的與靜止的斜碰列出滿足動(dòng)量和能量守恒定律的試探方程組： (53)其中，是碰撞后待定反射P波波質(zhì)元在方向的速度分量，即待定的一個(gè)分量。注：在粒子觀點(diǎn)下，待定反射P波波質(zhì)元不隨分析問題的方式而改變，即在反射中，起作用的實(shí)際質(zhì)量不變。把(53)式化簡(jiǎn)為 (54)解得 圖5 與碰撞中的外力分析（斯涅爾反射定律）解得 (55) （56） (57)參照?qǐng)D5，計(jì)算

26、的不在反射P波的方向上。若令與的夾角為，可求出此角：由圖5看出，實(shí)際反射P波的速度方向與反射SV波速度的反方向夾角也是。說明反射P波的速度為的合矢量。由此我們找到了碰撞過程中，表面通過M、N點(diǎn)的兩條邊線施加合外力的方向，即沿的方向。表面反射規(guī)律根據(jù)外力沿方向，令： （58)則(52)式中的第一式可寫成 (59)將(59)式寫成分量式并與能量守恒組成方程組： (60)解方程組得反射波的波質(zhì)元速度，再化為位移有： (61) (62) (63)利用斯涅爾反射定律，從(61)、(62)式給出可與彈性動(dòng)力學(xué)比較的簡(jiǎn)諧波的反射數(shù)： （P級(jí)的反射系） (64) （SV波的反射系數(shù)） (65)將(63)式代入

27、(60)中，可得三個(gè)位移的矢量關(guān)系， (66)顯然，(66)式也能給出(61)、(62)式的結(jié)果。對(duì)入射到表面的SV波而言，求反射的SV波、P波與入射到自由表面的P波所列方程組相同，給出的結(jié)果也相同，其差別僅在于變?yōu)榉瓷銼V波，變?yōu)榉瓷涞腜波。由于(66)式對(duì)入射到表面的SV、SH波也成立，因此(66)式是表面對(duì)波的反射規(guī)律。對(duì)照彈性動(dòng)力學(xué)，我們稱它為表面邊界條件。下面從這一表面邊界條件出發(fā)，給出SV波的反射系數(shù)。設(shè)有一SV波以角入射到確彈性介質(zhì)的表面上，產(chǎn)生反射的SV波和P波。規(guī)定SV波的位移以傳播方向與它成左旋為正。如圖6所示。依據(jù)表面邊界條件列方程： (67)解方程可得簡(jiǎn)諧波的反射系數(shù)：

28、 （SV波反射系數(shù)） (68) （P波反射系數(shù)） (69)圖6 SV波反射示意與彈性動(dòng)力學(xué)比較我們看到有兩點(diǎn)不同：一是，自由表面的邊界條件不同。(66)式反映了對(duì)入射P波、SV波能發(fā)生波型轉(zhuǎn)換（P波入射能產(chǎn)生反射SV波，SV波入射能產(chǎn)生反射P波）是表面變形應(yīng)力參與了作用。而彈性動(dòng)力學(xué)給出的自由表面應(yīng)力為零條件，不但失了發(fā)生波型轉(zhuǎn)換的機(jī)制，也使它給出的結(jié)果與動(dòng)量守律定律相矛盾；二是，兩個(gè)理論給出的反射系數(shù)不同。此外，(61)、(68)式也給出了發(fā)生偏振交換條件為，且兩個(gè)位移相等：。這一結(jié)論與彈性動(dòng)力學(xué)相同。3.4 界面反射與折射規(guī)律（總邊界條件）我們從3.13.3小節(jié)中看到，對(duì)垂直入射到界面的P

29、波與S波（對(duì)SV、SH波的總稱，此時(shí)二者化一）、斜入射到界面的SH波，以及斜入射到表面的P波與SV波，其本質(zhì)都屬于兩體碰撞問題，也就都可以根據(jù)力學(xué)原理直接解決，并不需要邊界條件。所給出的表面邊界條件只是力學(xué)原理決定的反射規(guī)律，用它只是對(duì)解決表面反射問題起到了簡(jiǎn)化的作用。但對(duì)斜入射到界面的P波與SV波，由于能產(chǎn)生反射與折射的P波和SV波，從粒子觀點(diǎn)認(rèn)識(shí)就屬于多體碰撞問題，未知量之多已超出可用的力學(xué)原理的個(gè)數(shù)，要解決這類反射與折射問題，必須從碰撞條件上去尋找它們遵從的力學(xué)規(guī)律。3.4.1 能量守恒規(guī)律 由層狀介質(zhì)模型可知，界面質(zhì)量為零，而兩側(cè)介質(zhì)又是完全彈性體，因此諸多波質(zhì)元間的碰撞也一定遵從能量

30、守恒定律。如果把入射波波質(zhì)元的能量、反射波波質(zhì)元的總能量和折射波波質(zhì)元的總能量依次用E0、E1、E2表示，對(duì)于界面來說它們能量關(guān)系就是：E0E1E2 (70)我們把它稱為界面的能量守恒邊界條件。3.4.2 位移規(guī)律 對(duì)于垂直入射到界面的P波、S波以及斜入射到界面的SH波的反射與折射，我們從(31)式、(39)式都可得到其位移滿足的關(guān)系式： (71)這個(gè)結(jié)果說明，入射側(cè)相接續(xù)的合位移等于折射側(cè)產(chǎn)生的位移。從碰撞來認(rèn)識(shí)，這是由力學(xué)規(guī)律決定的保證兩體相互作用的接觸條件。換言之，由于界面是入射波與反射、折射波的公共作用面，那么兩側(cè)相互作用的波質(zhì)元，也必須保證兩側(cè)波質(zhì)元作用的合位移相等才能進(jìn)行相互作用。

31、寫出兩側(cè)相互作用的波質(zhì)元所遵從的普通位移關(guān)系，就是： (72)對(duì)于斜入射到界面的P波、SV波來說，入射側(cè)的碰撞結(jié)果的接續(xù)合位移為： 折射側(cè)碰撞結(jié)果產(chǎn)生的合位移為于是，有 (73)令， 則，(73)式寫成 (74)由反射定律和折射定律是兩個(gè)完全獨(dú)立的定律可知，反射定律與折射側(cè)有沒有介質(zhì)無關(guān)。說明P波、SV波在表面上的反射規(guī)律，在折射側(cè)有彈性介質(zhì)時(shí)也成立。由此可知，與的方向相同。因此，、都是沿著方向的。我們把(74)式寫成標(biāo)量式為 (75)我們把(70)、(75)式集中寫在一起 (76)因?yàn)楸砻娣瓷湟?guī)律也在其中，我們將此二式稱為彈性波各種反射與折射的總邊界條件。3.5 界面對(duì)P波和SV波的反射、折

32、射系數(shù)3.5.1 P波的反射、折射系數(shù)如圖7所示，P波以角入射到界面上，產(chǎn)生反射、折射的P波和SV波。對(duì)反射、折射的SV波的位移均以傳播方向與它成左旋為正。、依次為、介質(zhì)中P波和SV波的傳播速度。設(shè)入射P波、反射P波、反射SV波、折射P波、折射SV波的波質(zhì)元依次為：圖7 P波反射、折射示意 （入射、反射P波） （反射SV波） （折射P波） （折射SV波）依據(jù)界面反射與折射總邊界條件(76)式列方程： (77) (78) (79) (80) (81) (82)由(79)、(80)式解得： (83) (84)由(81)、(82)式解得： (85) (86)把波質(zhì)元關(guān)系式代入(77)式得： (87)

33、將(83)(86)的位移關(guān)系改寫成速度關(guān)系代入(87)式，利用反射定律消去，經(jīng)簡(jiǎn)單計(jì)算可得： (88)由(78)式作得其速度式，再同(88)式聯(lián)立： (89)得其速度解，再化為位移關(guān)系，有 (90) (91)可見，都能求出，對(duì)簡(jiǎn)諧波可得到它們的反射、折射系數(shù)：P波的反射系數(shù) (92)SV波的反射系數(shù) (93)P波的折射系數(shù) (94)SV的折射系數(shù) (95)3.5.2 SV波的反射、折射系數(shù)在SV波以角入射到界面時(shí)，注意到是P波的反射角，是SV波的折射角，是P波的折射角，并且SV波的位移仍以傳播方向與它成左旋為正，其解法與P波入射時(shí)相同，這里不再重復(fù)。下面直接給出入射簡(jiǎn)諧波的SV波的反射與折射系

34、數(shù)：SV波的反射系數(shù) (96)P波的反射系數(shù) (97)SV的折射系數(shù) (98)P波的折射系數(shù) (99)4 彈性波的傳播規(guī)律根據(jù)彈性波的粒子理論從研究一個(gè)擾動(dòng)狀態(tài)在兩個(gè)相鄰波質(zhì)元之間的傳遞規(guī)律入手，來解決波源波質(zhì)元某一歷史時(shí)刻的一個(gè)擾動(dòng)狀態(tài)在彈性介質(zhì)中的傳播規(guī)律。當(dāng)波源波質(zhì)元的擾動(dòng)狀態(tài)隨其歷史時(shí)間變化時(shí)，這一傳播規(guī)律就形成了完整的彈性波。 本文把產(chǎn)生彈性波的作用激發(fā)源稱為場(chǎng)源，把彈性介質(zhì)中與場(chǎng)源接觸的波質(zhì)元稱為波源。在彈性介質(zhì)中，從波源開始沿波射線按、（為波速，對(duì)于縱波，橫波）取一列波質(zhì)元。波質(zhì)元的取法與描述它的時(shí)空關(guān)系取法如下： 在這種描述下，我們就可以對(duì)波質(zhì)元應(yīng)用所遵從的力學(xué)原理來給出平面、

35、球面和柱面彈性波的傳播規(guī)律。4.1 平面波的傳播規(guī)律平面波的產(chǎn)生機(jī)制已由理論部分中的(25)、(27)式表述清楚。由于這兩個(gè)式子對(duì)于解決平面波的問題具有等價(jià)性，可以利用其中的一個(gè)來解決平面波的傳播問題。如根據(jù)(25)式，有 (100)可得 (101)(101)式就是的擾動(dòng)狀態(tài)傳遞給的規(guī)律，也是平面波的傳播規(guī)律。為了完整展現(xiàn)波質(zhì)元的慣性作用，這里還是采用質(zhì)點(diǎn)動(dòng)力學(xué)解決碰撞問題的習(xí)慣解法。設(shè)在與碰撞前的動(dòng)量為，碰撞后的動(dòng)量為，碰撞的起始時(shí)刻動(dòng)量為零，碰撞后的動(dòng)量為，列出動(dòng)量和能量守恒定律的方程組： (102)只要注意，其解也是(101)式。為得到人們熟悉的平面波表達(dá)式，根據(jù)產(chǎn)生波的相鄰波質(zhì)元之間兩

36、兩碰撞的機(jī)制，由(101)式一直寫出波質(zhì)元的速度與波源波質(zhì)元的速度的關(guān)系： (103) (104)令。稱為波源的歷史時(shí)間；稱t為觀測(cè)時(shí)間，也是波源的現(xiàn)在時(shí)間。所謂波源，就是接受外力作用產(chǎn)生波的波質(zhì)元。在此定義下，根據(jù)(103)式，對(duì)(104)式可以明確地說，它只是波源波質(zhì)元某一歷史時(shí)刻的擾動(dòng)狀態(tài)的傳播規(guī)律。顯然，它的不連續(xù)性是由波質(zhì)元的粒子性決定的。為了表明波與波源關(guān)系，且全波是波源波質(zhì)元所有擾動(dòng)狀態(tài)的傳播，當(dāng)把這層關(guān)系和意義摻進(jìn)(104)式中，就得到 (105)(105)式就是用波質(zhì)元的速度給出的完整平面波。用波質(zhì)元位移表述的完整平面波為 (106)若我們把描述位移場(chǎng)的看成連續(xù)可微的，即把彈

37、性波看成連續(xù)的，也可把(101)式化為位移等式，來得到平面波方程：顯然，就是彈性動(dòng)力學(xué)給出的連續(xù)的平面波。(106)式表明，平面波也是有源波，其無頭無尾之說那是來自在基本原理上的錯(cuò)誤。我們從(106)式給出的平面波及后面給出的球面、柱面波中都能看到，它們都包涵波源的擾動(dòng)項(xiàng)，也就明確了所謂波就是波源擾動(dòng)狀態(tài)的傳播，它所展現(xiàn)的都是波源擾動(dòng)的全部歷史。由于波的全部物理意義都體現(xiàn)在與空間x或和時(shí)間t的關(guān)系之中，因此對(duì)波的完備描述應(yīng)是個(gè)一空二時(shí)的函數(shù)。4.2 產(chǎn)生球面、柱面縱波的兩種應(yīng)力在牛頓力學(xué)中，解決力學(xué)問題最重要的就是對(duì)物體進(jìn)行受力分析。在彈性波的粒子理論中也是如此，搞清一個(gè)波質(zhì)元都受哪些力的作用

38、，這些力都是什么性質(zhì)的力，對(duì)解決彈性波的問題同樣是最重要的。根據(jù)筆者對(duì)球面、柱面縱波的分析，它們的產(chǎn)生除物質(zhì)的慣性作用外，還取決于兩種應(yīng)力：一種是徑向應(yīng)力。它沒有平衡位置，是對(duì)波質(zhì)元的慣性作用的一種反映，對(duì)波質(zhì)元的動(dòng)量和能量?jī)H起到等量傳播作用。我們稱這種應(yīng)力為傳遞應(yīng)力，平面波就是在它的參與下產(chǎn)生的；另一種是由徑向位移引起的周向應(yīng)力。由于它沿著球面或柱面，不能沿徑向傳遞，但它能產(chǎn)生作用在波質(zhì)元上的徑向體力，我們稱這種應(yīng)力為周向駐應(yīng)力。周向駐應(yīng)力產(chǎn)生的徑向體力是固定作用在波質(zhì)元上的單向力、它始終指向平衡位置，把波質(zhì)元驅(qū)向平衡位置，它是破壞球面、柱面縱波產(chǎn)生的根本原因。4.2.1 周向駐應(yīng)力產(chǎn)生的徑

39、向體力密度有一很長(zhǎng)的彈性薄圓筒，平均半徑為、厚度為（很?。?、密度為、脹縮應(yīng)力系數(shù)（楊氏模量）為，筒內(nèi)壁受一均勻壓力，使筒產(chǎn)生徑向位移，如圖8所示。我們分析一下在突然撤去壓力后筒的運(yùn)動(dòng)。圖8彈性薄圓筒及t時(shí)刻運(yùn)動(dòng)狀態(tài)設(shè)t時(shí)刻筒的徑向位移為，則，此時(shí)周向應(yīng)變?yōu)椋褐芟蝰v應(yīng)力為 筒的彈性勢(shì)能密度(應(yīng)力對(duì)應(yīng)變微元的積分)為 根據(jù)能量守恒定律,可寫出時(shí)刻單位長(zhǎng)度筒的能量關(guān)系兩邊對(duì)時(shí)間微商，得 (107)同理，對(duì)一個(gè)薄球殼，得 (108)圖9 球面縱波面元、體元的取法(107)、(108)式說明薄圓筒和薄球殼將作簡(jiǎn)諧振動(dòng)。、分別是它們的固有頻率。這兩個(gè)式子左端就是周向駐應(yīng)力產(chǎn)生的徑向體力密度。4.2.2 從

40、兩種應(yīng)力出發(fā)建立彈性動(dòng)力學(xué)中的球面、柱面縱波方程假設(shè)牛頓第二定律能用于彈性介質(zhì)，我們可采用受力分析來得到彈性動(dòng)力學(xué)中的球面、柱面縱波方程。設(shè)，時(shí)刻彈性質(zhì)元的位移為，在徑向受到的傳遞力為、，周向駐應(yīng)力產(chǎn)生的徑向體為，介質(zhì)的脹縮應(yīng)力系數(shù)為。所取的體元參考圖9。根據(jù)牛頓第二定律有 (109)利用，整理上式，得球面縱波方程 (110) 同理，可得柱面縱波方程 (111)(110)、(111)式左端前兩項(xiàng)是徑向傳遞應(yīng)力項(xiàng)，而第三項(xiàng)就是周向駐應(yīng)力產(chǎn)生的徑向體力項(xiàng)。兩個(gè)波方程幫助我認(rèn)證了徑向傳遞應(yīng)力和周向駐應(yīng)力產(chǎn)生的徑向體力是產(chǎn)生球面、柱面縱波的兩種應(yīng)力。此外，由于本文給出的球面、柱面的縱波方程與由納維（N

41、avier）方程給出的(110)、(111)式不同，這里給出它們也是為了在波方程反映的因果關(guān)系上起到比較的作用。4.3 球面縱波的傳播規(guī)律4.3.1 忽略周向駐應(yīng)力產(chǎn)生的徑向體力作用的簡(jiǎn)單球面縱波圖10 一系列波質(zhì)元取法設(shè)：彈性介質(zhì)密度為、脹縮應(yīng)力系數(shù)為；在徑向按的長(zhǎng)度取一系列波質(zhì)元，如圖10所示。再設(shè)相關(guān)速度：第個(gè)波質(zhì)元碰撞前后的速度為、，第個(gè)波質(zhì)元碰撞后的速度為、碰撞前的速度是零。分析：因?yàn)楹?jiǎn)單的球面縱波中僅有傳遞應(yīng)力，它是波質(zhì)元的傳遞應(yīng)力，在小區(qū)域內(nèi)的簡(jiǎn)單球面縱波可看成平面波，其波質(zhì)元和平面波的波質(zhì)元一樣，總能量是動(dòng)能的2倍。又因?yàn)楹?jiǎn)單球面縱波僅由波質(zhì)元的慣性作用和傳遞應(yīng)力生成，在產(chǎn)生機(jī)

42、制上也與平面波相同，那么，簡(jiǎn)單球面縱波的產(chǎn)生也是波質(zhì)元間遵從動(dòng)量和能量守恒定律的兩兩碰撞的機(jī)制。據(jù)此列得下面方程組： (112)其中，、，解得：（略去了項(xiàng)） （在下，取 ） (113) (114)(114)式說明，在產(chǎn)生發(fā)散球面波的同時(shí)也產(chǎn)生了匯聚的球面波。但匯聚動(dòng)量很小，故在波質(zhì)元兩兩碰撞中不計(jì)它的二次作用。這也是碰撞前的速度設(shè)為零的原因。從(113)式可得位移解： (115)(113)、(115)式就是分別用速度和位移表示的在忽略周向駐應(yīng)力產(chǎn)生的徑向體力作用下的擾動(dòng)狀態(tài)傳遞給的規(guī)律。為得到波源擾動(dòng)的傳播形式，根據(jù)波質(zhì)元間兩兩碰撞的機(jī)制，由(115)式寫出與波源處的位移關(guān)系： (116)，

43、(117)去掉記號(hào)，就得到人們熟悉的表達(dá)式 (118)它正是彈性動(dòng)力學(xué)給出的球面縱波的近似解。但在本理論中它與(117)式一樣，只是波源某一歷史時(shí)刻擾動(dòng)狀態(tài)的傳播規(guī)律。因?yàn)橥暾牟ㄊ遣ㄔ床ㄙ|(zhì)元所有擾動(dòng)狀態(tài)的傳播而形成的，(117)式中潛含的需要顯現(xiàn)出來，所以完整的簡(jiǎn)單球面縱波的傳播規(guī)律應(yīng)寫成 (119)為獲得(118)式，也可假設(shè)位移是連續(xù)可微的，就能將(115)式化為近似的波方程（利用） (120)設(shè)，可得通解的(118)式。4.3.2 一般情況下的發(fā)散球面縱波解決這一問題就是在4.3.1節(jié)的基礎(chǔ)上再考慮進(jìn)周向駐應(yīng)力產(chǎn)生的徑向體力作用。我們?nèi)砸院筒ㄙ|(zhì)元為研究對(duì)象。分析：波質(zhì)元的彈性勢(shì)能有兩部

44、分：一部分是傳遞應(yīng)力產(chǎn)生的與動(dòng)能相等的傳遞應(yīng)力勢(shì)能；另一部分是由波質(zhì)元的徑向位移產(chǎn)生的周向駐應(yīng)力引起的彈性勢(shì)能。對(duì)兩個(gè)相互碰撞的波質(zhì)元mn-1和mn而言，mn-1必須克服作用它上的周向駐應(yīng)力產(chǎn)生的徑向體力才有同mn作用的動(dòng)量，因此mn-1是以帶著傳遞應(yīng)力勢(shì)能同mn碰撞的；mn在mn-1的慣性作用下既產(chǎn)生傳遞應(yīng)力勢(shì)能也產(chǎn)生周向駐應(yīng)力勢(shì)能，若在碰撞中把周向駐應(yīng)力產(chǎn)生的徑向體力看作是外力，也就把其對(duì)應(yīng)的勢(shì)能排除在mn-1和mn碰撞體系之外。因此，在這一條件下兩波質(zhì)元各自的總能量仍然是動(dòng)能的2倍。按照波質(zhì)元位移增加來分析，因?yàn)椴ㄙ|(zhì)元mn-1的動(dòng)量是克服固定作用在它上的徑向體力才有的，而波質(zhì)元mn在同m

45、n-1的碰撞中固定在它上面的徑向體力卻參與了這一過程。顯然，要解決這兩個(gè)波質(zhì)元間的碰撞就要用有時(shí)間過程的動(dòng)量定理和功能原理。以波質(zhì)元位移增大，即周向駐應(yīng)力勢(shì)能處于積累階段來分析，波質(zhì)元mn-1的主動(dòng)作用動(dòng)量使波質(zhì)元mn產(chǎn)生的動(dòng)量方向與固定在它上的徑向體力方向相反，根據(jù)動(dòng)量定理和功能原理，可列出下面的方程組： (121)這是在時(shí)刻，以和所處狀態(tài)為條件所列的碰撞方程組。其中，是的體元，是mn與mn+1在t - 2t t -t段時(shí)間碰撞結(jié)束時(shí)的動(dòng)量，在(121)式中出現(xiàn)是它的二次作用。正如也將是mn-2與mn-1在t t+t段時(shí)間的碰撞中起二次作用一樣。從方程組(121)式可看出，在考慮波質(zhì)元所受到的徑向體力后，彈性介質(zhì)的球面縱向形式的運(yùn)動(dòng)是極為復(fù)雜的，乃至無法給出一個(gè)明確的函數(shù)來描述這種運(yùn)動(dòng)。也能看出它不能直接給解，而要用(121)式來解決彈性介質(zhì)的運(yùn)動(dòng)就必須從解決波源波質(zhì)元的運(yùn)動(dòng)開始對(duì)一個(gè)個(gè)波質(zhì)元去計(jì)算。 從產(chǎn)生機(jī)制上來認(rèn)識(shí)(121)式，波質(zhì)元在兩兩碰撞中不但產(chǎn)生向正向傳播的發(fā)散動(dòng)量，也產(chǎn)生反向傳播的匯聚動(dòng)量。當(dāng)不記(121)式中的二次作用，就得到了一般情況下的發(fā)散球面縱波的方程組， (122)利用、化簡(jiǎn)(122)式，得 (123)消去，略去二階小量，整理得 (124)再略去二階小量得： (125)把速度、位移看