三重積分的計算及重積分的應用

1、二、三重積分計算的基本方法二、三重積分計算的基本方法1. 選擇合適的坐標系選擇合適的坐標系使積分域多為坐標面使積分域多為坐標面(線線)圍成圍成;被積函數(shù)用此坐標表示簡潔或變量分離被積函數(shù)用此坐標表示簡潔或變量分離.2. 選擇易計算的積分序選擇易計算的積分序積分域分塊要少積分域分塊要少, 累次積分易算為妙累次積分易算為妙 .圖示法圖示法列不等式法列不等式法3. 掌握確定積分限的方法掌握確定積分限的方法 累次積分法累次積分法把積分把積分 zyxzyxfddd),(化為三次積分化為三次積分,其中其中 由曲面由曲面222,xyyxz 0,1 zy提示提示: 積分域為積分域為:原式原式 220d),(y

2、xzzyxf及平面及平面220yxz 12 yx11 x 12dxy 11dx所圍成的閉區(qū)域所圍成的閉區(qū)域 .xyz練習題練習題 計算三重積分計算三重積分,d)(22vzy 其中其中 是由是由 xoy平面上曲線平面上曲線xy22 所圍成的閉區(qū)域所圍成的閉區(qū)域 .提示提示: 利用柱坐標利用柱坐標 sincosrzryxx 原式原式 522drx繞繞 x 軸旋轉而成的曲面與平面軸旋轉而成的曲面與平面5221 xr100 r 20 rr d1003 20d 3250 :zxyo55 x三重積分計算的基本技巧三重積分計算的基本技巧分塊積分法分塊積分法利用對稱性利用對稱性1. 交換積分順序的方法交換積分

3、順序的方法2. 利用對稱性簡化計算利用對稱性簡化計算3. 消去被積函數(shù)絕對值符號消去被積函數(shù)絕對值符號1. 積分區(qū)域關于坐標面的對稱性積分區(qū)域關于坐標面的對稱性. .2. 被積函數(shù)在積分區(qū)域上關于三個坐標變量的奇被積函數(shù)在積分區(qū)域上關于三個坐標變量的奇偶性偶性.只有當積分區(qū)域和被積函數(shù)的對稱性只有當積分區(qū)域和被積函數(shù)的對稱性相匹配相匹配時時, ,才才能簡化能簡化. .利用對稱性簡化三重積分的計算：利用對稱性簡化三重積分的計算：.,),()1(.,積積分分為為零零三三重重的的奇奇函函數(shù)數(shù)時時是是關關于于當當被被積積函函數(shù)數(shù)平平面面對對稱稱關關于于如如果果積積分分區(qū)區(qū)域域一一般般地地zzyxfxO

4、y 其它情形依此類推其它情形依此類推. .三重積分計算的簡化三重積分計算的簡化.,),()2(分分的的兩兩倍倍的的三三重重積積平平面面上上方方的的半半個個閉閉區(qū)區(qū)域域在在積積分分為為三三重重的的偶偶函函數(shù)數(shù)時時是是關關于于當當被被積積函函數(shù)數(shù)xOyzzyxf 設有空間閉區(qū)域設有空間閉區(qū)域0,| ),(22221zRzyxxyx22222( , , )|,0,0,0 x y xxyzRxyz 則有（則有（ ）12( )4Axdvxdv12( )4Bydvydv12( )4Czdvzdv12()4DxyzdvxyzdvC. 1:d222 zyxvez，計計算算例例1 解解法法，故故采采用用先先二二

5、后后一一為為圓圓域域的的函函數(shù)數(shù)，截截面面被被積積函函數(shù)數(shù)僅僅為為2221)(zyxzDz 1d2dvevezz 10)(ddd2zeyxzzD 102d)1(2zezz .2 典型例題典型例題所所圍圍成成的的與與由由其其中中，計計算算22221d)(yxzyxzvzx 例例2 解解利用球面坐標利用球面坐標奇奇函函數(shù)數(shù)，的的為為面面為為對對稱稱，關關于于xxzyxfyoz ),(. 0d vx有有 vzvzxdd)( 1024020dsincosddrrr .8 例例3 ,)0(, 0)0(,)(存在存在設設ffCuf ，求求)(1lim40tFtt )(tF解解 在球坐標系下在球坐標系下 t

6、rrrftF02020d)(dsind)( trrrf02d)(4 40)(limttFt 利用洛必達法則與導數(shù)定義利用洛必達法則與導數(shù)定義, ,得得3204)(4limtttft ttft)(lim0 )0(f 0)0( Fzyxzyxftzyxddd)(2222222 其中其中 0)0(f 第四節(jié)一、立體體積一、立體體積 三、物體的質心三、物體的質心 重積分的應用 第十章 四、物體的轉動慣量四、物體的轉動慣量 二、曲面的面積二、曲面的面積 五、物體的引力五、物體的引力 二重積分的元素法二重積分的元素法將定積分的元素法推廣到二重積分，可得二重積分的元素法：若要計算的某個量U對于閉區(qū)域D具有可

7、加性： 并且在閉區(qū)域D內任取一個直徑很小的閉區(qū)域d時，相應地部分量可近似地表示為f(x,y) d的形式，其中(x,y)在d內。 f(x,y) d稱為所求量U的元素，記為dU，則所求量的積分表達式為：（即當閉區(qū)域D分成許多小閉區(qū)域時，所求量U相應地分成許多部分量，且U等于部分量之和），DUdU( , )Df x y dd一、立體體積一、立體體積 一、立體體積一、立體體積 曲頂柱體曲頂柱體的頂為連續(xù)曲面),(yxfz 則其體積為DyxyxfVdd),(,),(Dyx 占有空間有界域空間有界域 的立體的體積為zyxVddd1:221yxzS任一點的切平面與曲面222:yxzS所圍立體的體積 V .

8、例例1. 求曲面分析分析: 1:221yxzS222:yxzS1M第一步: 求切平面 方程; 第二步: 求 與S2的交線 在xOy面上的投影,寫出所圍區(qū)域 D ;第三步: 求體積V . zO(示意圖) 1:221yxzS任一點的切平面與曲面222:yxzS所圍立體的體積 V . 解解: 曲面1S的切平面方程為202000122yxyyxxz它與曲面22yxz的交線在 xOy 面上的投影為1)()(2020yyxxyxVDdd 22yx 202000122yxyyxxyxDdd 12020)()(yyxx sin,cos00ryyrxx令2(記所圍域為D ),(000zyx在點Drrrdd2例例

9、1 1. 求曲面 rr dd10320 xoyza2例例2. 求半徑為a 的球面與半頂角為 的內接錐面所圍成的立體的體積.解解: 在球坐標系下空間立體所占區(qū)域為:則立體體積為zyxVdddcos202darrdsincos316033a)cos1(3443acos20ar 0200dsin20drrvdddsind2rM二、曲面的面積二、曲面的面積 曲面方程：( , ),( , )zf x yx yDD:有界閉區(qū)域求曲面的面積 AMAdzdnxyzSo設光滑曲面DyxyxfzS),( , ),(:則面積 A 可看成曲面上各點),(zyxM處小切平面的面積 d A 無限積累而成. 設它在 D 上

10、的投影為 d ,Adcosd),(),(11cos22yxfyxfyxd),(),(1d22yxfyxfAyx(稱為面積元素)則Mnd(見P99)故有曲面面積公式d),(),(122DyxyxfyxfAyxyzxzADdd)()(122若光滑曲面方程為zyzxyxAdd)()(122,),( , ),(zyDzyzygx則有zyD即xzxyzyAdd)()(122若光滑曲面方程為 ,),( , ),(xzDxzxzhy若光滑曲面方程為隱式,0),(zyxF則則有yxzyzxDyxFFyzFFxz),(,AyxDxzDzzyxFFFF222,0zF且yxdd曲面面曲面面積積221xyDAffd其

11、中其中D是曲面在坐標面是曲面在坐標面z=0上的投影區(qū)域上的投影區(qū)域求曲面面積的步驟：求曲面面積的步驟：（1）求曲面在坐標面）求曲面在坐標面z=0上的投影區(qū)域上的投影區(qū)域D（2）在區(qū)域）在區(qū)域D上計算二重積分：上計算二重積分：221xyDAffd同理可得同理可得設曲面的方程為：設曲面的方程為：( , )xg y z曲面面積公式為：曲面面積公式為：221()()yzDxxAdydzyz設曲面的方程為：設曲面的方程為：( , )yh z x曲面面積公式為：曲面面積公式為：221()()zxDyyAdzdxzx例例3求球面求球面 被平面被平面222zaxy(0)zhha所截的球冠的面積。所截的球冠的面

12、積。解：解：222zaxyzh球冠在球冠在 xoy 面上面上的投影區(qū)域：的投影區(qū)域：2222:D xyah222zaxy2222:D xyah222zxxaxy 222zyxaxy 221()()zzxy222222221xyaxyaxy222aaxy221()()zzxy222aaxy2222:D xyah221()()DzzAdxy222Dadxdyaxy2222200ahadrdrar2()a ah2 aH()Hah2()Aa ah2AaH半球面面積：半球面面積：20lim2()2hAa aha球面面積：球面面積：24Aa例例4 求圓錐面求圓錐面 被圓柱面被圓柱面 22zxy22xyx所

13、截部分的面積。所截部分的面積。投影區(qū)域：投影區(qū)域：22:D xyx所求曲面：所求曲面：22zxy22zxxxy22zyyxy221()()DzzAdxy2Dd224作業(yè)作業(yè)P155 10 P175 1，2，3習題課 三、物體的質心三、物體的質心 三、物體的質心三、物體的質心設空間有n個質點, ),(kkkzyx其質量分別, ),2, 1(nkmk由力學知, 該質點系的質心坐標,11nkknkkkmmxx,11nkknkkkmmyynkknkkkmmzz11設物體占有空間域 ,),(zyx有連續(xù)密度函數(shù)則 公式 ,分別位于為為即:采用 “分割，近似，求和，取極限” 可導出其質心 將 分成 n 小

14、塊, ),(kkk將第 k 塊看作質量集中于點),(kkk例如,nkkkkknkkkkkkvvx11),(),(令各小區(qū)域的最大直徑,0zyxzyxzyxzyxxxddd),(ddd),(系的質心坐標就近似該物體的質心坐標.的質點,即得此質點在第 k 塊上任取一點同理可得zyxzyxzyxzyxyyddd),(ddd),(zyxzyxzyxzyxzzddd),(ddd),(,),(常數(shù)時當zyx則得形心坐標：,dddVzyxxx,dddVzyxyyVzyxzzddd的體積為zyxVddd若物體為占有xoy 面上區(qū)域 D 的平面薄片, ),(yx為yxyxyxyxxxDDdd),(dd),(yx

15、yxyxyxyyDDdd),(dd),(,常數(shù)時,ddAyxxxDAyxyyDdd(A 為 D 的面積)得D 的形心坐標:則它的質心坐標為MMyMMx其面密度 xMyM 對 x 軸的 靜矩 對 y 軸的 靜矩4例例5. 求位于兩圓sin2rsin4r和的質心（形心）。 2D解解: 利用對稱性可知0 x而DyxyAydd1Drrddsin312rr dsin4sin22dsin956042956dsin295620437之間均勻薄片0dsin3143212OyxC43A z = 0的的重重心心求求均均勻勻半半球球體體 0 , : zazyxyxzo yx 則則,zyx)，（設重心為設重心為 zy

16、xzVz ddd 柱面坐標柱面坐標a332a V z a83 )83, 0 , 0a( ( 故故重重心心為為用哪種坐標？用哪種坐標？例例6.2202001aazzV ddd四、物體的轉動慣量四、物體的轉動慣量 設平面有設平面有n個質點個質點),(kkyxkm該質點系的轉動慣量該質點系的轉動慣量nkkkxmyI12第第k個質點的位置個質點的位置質點系的轉動慣量質點系的轉動慣量質量質量xoykxkykkxmyI2nkkkymxI12kkymxI2平面薄片的轉動慣量平面薄片的轉動慣量The Moment of Inertia of a Lamina如果物體是平面薄片,面密度為Dyxyx),(),(D

17、xyxyxIdd),( DoyxyxIdd),( 則轉動慣量的表達式是二重積分.xDyo2y2x)(22yx DyyxyxIdd),( rraddsin0302例例7.求半徑為 a 的均勻半圓薄片對其直徑解解: 建立坐標系如圖, 0:222yayxDyxyIDxdd2Drrddsin23441a241aM半圓薄片的質量221aM 2212的轉動慣量.OxyDaa空間有界閉區(qū)域上物體的轉動慣量設物體占有空間區(qū)域 , 有連續(xù)分布的密度函數(shù). ),(zyx該物體位于(x , y , z) 處的微元 vzyxyxd),()(22因此物體 對 z 軸 的轉動慣量:zyxzyxyxIzddd),()(22

18、zIdxyoz對 z 軸的轉動慣量為 類似可得:zyxzyxIxddd),( zyxzyxIyddd),( zyxzyxIoddd),( )(22zy )(22zx )(222zyx對 x 軸的轉動慣量對 y 軸的轉動慣量對原點的轉動慣量)sinsincossin(222222rr解解: 取球心為原點, z 軸為 l 軸,:2222azyx則zIzyxyxddd)(22552aMa252dddsin2rr olzxy132220d球體的質量334aM dsin03rrad04例例8.求均勻球體對于過球心的一條軸 l 的轉動慣量.設球 所占域為(用球坐標) 五、物體的引力五、物體的引力 2020

19、20)()()(zzyyxxr ,G 為引力常數(shù)五、物體的引力五、物體的引力設物體占有空間區(qū)域 ,，連續(xù)),(zyx物體對位于點P0(x0, y0, z0)處的單位質量質點的引力為vrxxzyxGFxd)( ),(d30vryyzyxGFyd)( ),(d30vrzzzyxGFzd)( ),(d30其密度函數(shù)引力元素在三坐標軸上分量為),(zyxFFFF 其中rzxvdyFd0POvrxxzyxGFxd)( ),(30vryyzyxGFyd)( ),(30vrzzzyxGFzd)( ),(30若求 xOy 面上的平面薄片D, 對點P0處的單位質量質點的引力分量, ),(yxDzrzyxGFd)0( ),(30因此引力分量為 則上式改為D上的