上證綜合指數(shù)收益分布參數(shù)的貝葉斯估計(jì)

1、上證綜合指數(shù)收益分布參數(shù)的貝葉斯估計(jì)摘要中國的股票市場(chǎng)由深圳和上海兩大證券交易所組成，分析一個(gè)市場(chǎng)的狀況的可基本了解股票市場(chǎng)概況。貝葉斯統(tǒng)計(jì)推斷如今已成為與 經(jīng)典學(xué)派（頻率學(xué)派）并列的兩大學(xué)派之一。本文在詳細(xì)介紹了貝葉 斯參數(shù)估計(jì)方法后，利用其對(duì)上證綜合指數(shù)收益率分布的參數(shù)進(jìn)行了 估計(jì)。結(jié)果表明，02-08-09-08-03-28上證綜合指數(shù)收益率服從均值 為0.00056964，方差為0.000249818的正態(tài)分布。關(guān)鍵詞貝葉斯方法參數(shù)估計(jì)上證綜合指數(shù)一、引言金融資產(chǎn)價(jià)格及其收益率分布的假定是現(xiàn)代金融理論和金融市 場(chǎng)風(fēng)險(xiǎn)分析的重要基礎(chǔ)。在對(duì)股市收益率分布函數(shù)的分析中，通常有兩種不同的思路：

2、其一是分析價(jià)格的形成機(jī)制，即分析導(dǎo)致股價(jià)產(chǎn)生 變動(dòng)的原因，如剖析信息的到達(dá)、交易量與交易行為對(duì)價(jià)格變動(dòng)的影 響，然后再尋找一個(gè)合適的分布函數(shù)來描述經(jīng)驗(yàn)數(shù)據(jù)；另一種方法是 通過直接對(duì)經(jīng)驗(yàn)數(shù)據(jù)進(jìn)行分析，如研究收益率數(shù)據(jù)的基本統(tǒng)計(jì)特征（如尖峰、厚尾、非對(duì)稱性與穩(wěn)定性等），再根據(jù)數(shù)據(jù)的這些經(jīng)驗(yàn)特 征擬合分布。本文將主要研究資產(chǎn)收益率分布的函數(shù)。在研究中，理論界通常假設(shè)資產(chǎn)價(jià)格遵循對(duì)數(shù)正態(tài)分布，即其收益率服從正態(tài)分布，而大量經(jīng)驗(yàn)數(shù)據(jù)也表明收益率確實(shí)遵循正態(tài)分 布。正態(tài)分布假設(shè)觀點(diǎn)始于法國數(shù)學(xué)家Bachelier，他在確定標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格變動(dòng)規(guī)律的過程中，發(fā)現(xiàn)資產(chǎn)價(jià)格的無條件分布為正態(tài)分布； Kendall對(duì)

3、英國股市價(jià)格數(shù)據(jù)進(jìn)行研究，認(rèn)為股票價(jià)格的變化近似服從 正態(tài)分布；Osborne對(duì)美國股市的收益率數(shù)據(jù)進(jìn)行了研究，認(rèn)為用幾 何布朗運(yùn)動(dòng)來描述股價(jià)的變動(dòng)是合適的；Black -Scholes創(chuàng)立的資本資產(chǎn)定價(jià)模型，利用擴(kuò)散過程來描述資產(chǎn)價(jià)格運(yùn)動(dòng)；Merton創(chuàng)立了跳一擴(kuò)散模型，將擴(kuò)散過程和跳躍過程綜合起來描述資產(chǎn)價(jià)格的運(yùn)動(dòng)。描述股票收益率行為的正態(tài)分布模型的基本理論假設(shè)是：1、對(duì)每一 只股票而言，從一筆交易到另一筆交易，其價(jià)格的變化是獨(dú)立同分布 的隨機(jī)變量；2、交易在時(shí)間上是均勻分布的，并且交易之間的價(jià)格 變化有有限方差；3、在所分析的時(shí)間區(qū)間上，發(fā)生交易的數(shù)量是較 大的。雖然資產(chǎn)收益率普遍呈現(xiàn)正

4、態(tài)分布特征， 但是不同的資產(chǎn)收益率 分布的參數(shù)各不相同。經(jīng)典學(xué)派視參數(shù)為常數(shù)，利用樣本信息來估計(jì) 總體，即一般選取樣本均值作為總體均值的估計(jì)， 而樣本方差則作為 整體方差的估計(jì)，而Bayes學(xué)派則視參數(shù)為隨機(jī)變量且具有先驗(yàn)分布， 再根據(jù)樣本信息修正先驗(yàn)分布而得到后驗(yàn)分布，將新信息不斷加入到 參數(shù)估計(jì)過程中，以更加準(zhǔn)確地估計(jì)參數(shù)。本文將利用Bayes估計(jì)對(duì)上證綜合指數(shù)的收益率服從的分布進(jìn)行參數(shù)估計(jì)。二、模型及方法貝葉斯統(tǒng)計(jì)中的兩個(gè)基本概念是先驗(yàn)分布和后驗(yàn)分布。(1) 先驗(yàn)分布?？傮w分布參數(shù)二的一個(gè)概率分布。貝葉斯學(xué)派的根本觀點(diǎn)，是認(rèn) 為在關(guān)于總體分布參數(shù)，的任何統(tǒng)計(jì)推斷問題中，除了使用樣本所提

5、供的信息外，還必須規(guī)定一個(gè)先驗(yàn)分布，它是在進(jìn)行統(tǒng)計(jì)推斷時(shí)不可 缺少的一個(gè)要素。他們認(rèn)為先驗(yàn)分布不必有客觀的依據(jù)， 可以部分地 或完全地基于主觀信念。(2) 后驗(yàn)分布根據(jù)樣本信息和未知參數(shù)的先驗(yàn)分布，用概率論中求條件概率的 方法，求出的在樣本已知下，未知參數(shù)的條件分布。因?yàn)檫@個(gè)分布是 在抽樣以后才得到的，故稱為后驗(yàn)分布。貝葉斯推斷方法的關(guān)鍵是任 何推斷都必須且只須根據(jù)后驗(yàn)分布，而不能再涉及樣本分布。1、Bayes參數(shù)統(tǒng)計(jì)模型(1) 參數(shù)二的參數(shù)空間。上的一個(gè)概率分布成為二的先驗(yàn)分布，其 (連續(xù)或離散)密度記為二G)m。(2) 樣本X =(Xi,X2,Xn)T的條件密度函數(shù)族f(x/R門,:，(連

6、續(xù) 或離散)成為樣本分布族。(3) 先驗(yàn)分布d Q與樣本分布族f(x/v)：v 4構(gòu)成Bayes參 數(shù)統(tǒng)計(jì)模型。2、Bayes統(tǒng)計(jì)推斷原則Bayes統(tǒng)計(jì)認(rèn)為樣本的作用是使二的認(rèn)識(shí)深化，由先驗(yàn)分布轉(zhuǎn)化 為后驗(yàn)分布，后驗(yàn)分布包含了的先驗(yàn)信息與樣本觀測(cè)值提供的信息，是Bayes統(tǒng)計(jì)推斷的基礎(chǔ)，由此引出Bayes統(tǒng)計(jì)推斷的原則，即： 對(duì)參數(shù)二所作任何推斷(參數(shù)估計(jì)、假設(shè)檢驗(yàn)等)必須基于且只能基 于參數(shù)二的后驗(yàn)分布，即后驗(yàn)密度函數(shù)族h(x/Rr 0 o3、先驗(yàn)分布的選取Bayes統(tǒng)計(jì)中，關(guān)于先驗(yàn)分布的選取是一個(gè)重大問題，Bayes本人 對(duì)先驗(yàn)分布作了如下假設(shè)：先驗(yàn)分布是無信息先驗(yàn)分布，在參數(shù)取值 區(qū)域內(nèi)

7、“均勻分布”，即假定：()二C或二當(dāng)旳。然而，Bayes 假設(shè)中的一個(gè)矛盾，即若對(duì)參數(shù) 二選用均勻分布，則其函數(shù)gU)往往 不是均勻分布。Jeffreys提出的選取先驗(yàn)分布的原則是一種不變?cè)?，較好地解決了 Bayes假設(shè)中的矛盾。Jeffreys原則：設(shè)按照原則決定二的先驗(yàn)分布為 O，若以g()作為參數(shù)，按同一原則決定的=gG)的先驗(yàn)分布是：g()，則應(yīng)用關(guān)系式：(Rgg(RgG)若選取的二(旳符合上式，則用，或的函數(shù)gG)到處的先驗(yàn)分布 總是一致的。困難之處在于如何找到滿足上式的-：G)， Jeffreys利用Fisher信息量的不變性，找到了符合要求的二(二)。由此引理與Jeffreys

8、 原則，可取1二(巧叮l(R2其中，|(力2 =|£g| l( )2CO該式對(duì)標(biāo)量參數(shù)和矢量參數(shù)都適用。4、Bayes參數(shù)估計(jì)求解在選定參數(shù)二的先驗(yàn)估計(jì)后，需要將樣本信息加入到先驗(yàn)估計(jì)， 以求得后驗(yàn)估計(jì)。Bayes點(diǎn)估計(jì)后驗(yàn)估計(jì)分為最大后驗(yàn)估計(jì)和條件期 望估計(jì)，本文中，我們選取最大后驗(yàn)估計(jì)的方法，對(duì)參數(shù)進(jìn)行估計(jì)。設(shè)X的概率密度為f(x/旳，即似然函數(shù)L(d/x)，二是二的先驗(yàn) 分布，由此可得二的后驗(yàn)概率密度函數(shù)h/x)。若彳二父(x)使得hg/ x)二supp / x)，則稱?為二的最大后驗(yàn)估計(jì)。三、上證綜合指數(shù)收益率分布參數(shù)的貝葉斯估計(jì)前文已經(jīng)指出，資產(chǎn)收益的經(jīng)驗(yàn)數(shù)據(jù)表明：資產(chǎn)收益

9、率服從正態(tài) 分布。本小節(jié)我們將對(duì)上證指數(shù)收益率服從正態(tài)分布的假定下，利用樣本數(shù)據(jù)估計(jì)分布參數(shù)。1正態(tài)分布參數(shù)的Bayes解(1)確定正態(tài)分布參數(shù)的先驗(yàn)分布設(shè)X是來自正態(tài)分布+ )的隨機(jī)變量樣本，則二=(*2)丁的符 合Jeffreys原則的先驗(yàn)分布二(R為：丄 12n二(力叮1("23 ，其中，1(力=(2) 求得正態(tài)分布參數(shù)的最大后驗(yàn)估計(jì)X =(Xi,X2,Xn)是來自正態(tài)總體NeL)的樣本觀測(cè)值，先驗(yàn)分 布二(力乂1，則后驗(yàn)概率密度n. 二(x -h/x) 乂(嚴(yán)"exp- 心 22 .(3) 求得最大值點(diǎn)，得n1 n' (Xj _x)2p(Xj _x)2i i

10、n j m2、上證綜合指數(shù)收益率分布參數(shù)的估計(jì)(1)參數(shù)估計(jì)本文選取上證指數(shù)02-08-09-08-03-28的日收盤價(jià)共1364個(gè)數(shù)據(jù)。以R,R分別記第t天和t-1天的日收盤價(jià)，則第t天的日收益率為R = P 一匕，而當(dāng)R與Rjl相差不大時(shí)，易證PtiR =上電=1 n（JL）=1 nR 一|nR丄=1 n Pj1 （P -已）,t =2,3，,1364PjLRjLR_L根據(jù)以上公式，計(jì)算得到上證綜合指數(shù)02-08-09-08-03-28的日收益率。并利用SPSS作出收益率的直方圖。由圖可以看出，上證綜合指數(shù)收益率的經(jīng)驗(yàn)數(shù)據(jù)形態(tài)與正態(tài)分布相近。所以，我們假定尺,.，尺364）服從正態(tài)分布N（

11、怙2），但,2皆未知。利用貝T- X)2葉斯參數(shù)估計(jì)方法，對(duì)叮2進(jìn)行估計(jì)，二e,；2）T，則二的最大后驗(yàn)估二0.00056964,0.000249818t（2） J的顯著性檢驗(yàn)我們對(duì)上述利用貝葉斯方法估計(jì)出的參數(shù)進(jìn)行顯著性水平檢驗(yàn)。S為樣本標(biāo)準(zhǔn)差。檢驗(yàn)均值采用t檢驗(yàn)，檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量t（n -1） J，s/ V n結(jié)果中，t =2.054，表明t檢驗(yàn)在0.05的顯著性水平下是顯著的，且均 值丿顯著為正，而貝葉斯估計(jì)結(jié)果1 - 0.00056964為正數(shù)，表明貝葉斯 估計(jì)有效。對(duì)于二2， Bayes估計(jì)值為0.000249818,表明上證綜合指數(shù)收益率 的分布比正態(tài)分布峰度更高，即圖形更“高瘦”。四、結(jié)束語1、從貝葉斯最大后驗(yàn)估計(jì)的表達(dá)式可以看出，貝葉斯方法對(duì)J的估計(jì)與傳統(tǒng)參數(shù)估計(jì)結(jié)果相同，均為 x，但對(duì)二2