上證綜合指數(shù)收益分布參數(shù)的貝葉斯估計

1、上證綜合指數(shù)收益分布參數(shù)的貝葉斯估計摘要中國的股票市場由深圳和上海兩大證券交易所組成，分析一個市場的狀況的可基本了解股票市場概況。貝葉斯統(tǒng)計推斷如今已成為與 經(jīng)典學(xué)派（頻率學(xué)派）并列的兩大學(xué)派之一。本文在詳細介紹了貝葉 斯參數(shù)估計方法后，利用其對上證綜合指數(shù)收益率分布的參數(shù)進行了 估計。結(jié)果表明，02-08-09-08-03-28上證綜合指數(shù)收益率服從均值 為0.00056964，方差為0.000249818的正態(tài)分布。關(guān)鍵詞貝葉斯方法參數(shù)估計上證綜合指數(shù)一、引言金融資產(chǎn)價格及其收益率分布的假定是現(xiàn)代金融理論和金融市 場風(fēng)險分析的重要基礎(chǔ)。在對股市收益率分布函數(shù)的分析中，通常有兩種不同的思路：

2、其一是分析價格的形成機制，即分析導(dǎo)致股價產(chǎn)生 變動的原因，如剖析信息的到達、交易量與交易行為對價格變動的影 響，然后再尋找一個合適的分布函數(shù)來描述經(jīng)驗數(shù)據(jù)；另一種方法是 通過直接對經(jīng)驗數(shù)據(jù)進行分析，如研究收益率數(shù)據(jù)的基本統(tǒng)計特征（如尖峰、厚尾、非對稱性與穩(wěn)定性等），再根據(jù)數(shù)據(jù)的這些經(jīng)驗特 征擬合分布。本文將主要研究資產(chǎn)收益率分布的函數(shù)。在研究中，理論界通常假設(shè)資產(chǎn)價格遵循對數(shù)正態(tài)分布，即其收益率服從正態(tài)分布，而大量經(jīng)驗數(shù)據(jù)也表明收益率確實遵循正態(tài)分 布。正態(tài)分布假設(shè)觀點始于法國數(shù)學(xué)家Bachelier，他在確定標的資產(chǎn)價格變動規(guī)律的過程中，發(fā)現(xiàn)資產(chǎn)價格的無條件分布為正態(tài)分布； Kendall對

3、英國股市價格數(shù)據(jù)進行研究，認為股票價格的變化近似服從 正態(tài)分布；Osborne對美國股市的收益率數(shù)據(jù)進行了研究，認為用幾 何布朗運動來描述股價的變動是合適的；Black -Scholes創(chuàng)立的資本資產(chǎn)定價模型，利用擴散過程來描述資產(chǎn)價格運動；Merton創(chuàng)立了跳一擴散模型，將擴散過程和跳躍過程綜合起來描述資產(chǎn)價格的運動。描述股票收益率行為的正態(tài)分布模型的基本理論假設(shè)是：1、對每一 只股票而言，從一筆交易到另一筆交易，其價格的變化是獨立同分布 的隨機變量；2、交易在時間上是均勻分布的，并且交易之間的價格 變化有有限方差；3、在所分析的時間區(qū)間上，發(fā)生交易的數(shù)量是較 大的。雖然資產(chǎn)收益率普遍呈現(xiàn)正

4、態(tài)分布特征， 但是不同的資產(chǎn)收益率 分布的參數(shù)各不相同。經(jīng)典學(xué)派視參數(shù)為常數(shù)，利用樣本信息來估計 總體，即一般選取樣本均值作為總體均值的估計， 而樣本方差則作為 整體方差的估計，而Bayes學(xué)派則視參數(shù)為隨機變量且具有先驗分布， 再根據(jù)樣本信息修正先驗分布而得到后驗分布，將新信息不斷加入到 參數(shù)估計過程中，以更加準確地估計參數(shù)。本文將利用Bayes估計對上證綜合指數(shù)的收益率服從的分布進行參數(shù)估計。二、模型及方法貝葉斯統(tǒng)計中的兩個基本概念是先驗分布和后驗分布。(1) 先驗分布。總體分布參數(shù)二的一個概率分布。貝葉斯學(xué)派的根本觀點，是認 為在關(guān)于總體分布參數(shù)，的任何統(tǒng)計推斷問題中，除了使用樣本所提

5、供的信息外，還必須規(guī)定一個先驗分布，它是在進行統(tǒng)計推斷時不可 缺少的一個要素。他們認為先驗分布不必有客觀的依據(jù)， 可以部分地 或完全地基于主觀信念。(2) 后驗分布根據(jù)樣本信息和未知參數(shù)的先驗分布，用概率論中求條件概率的 方法，求出的在樣本已知下，未知參數(shù)的條件分布。因為這個分布是 在抽樣以后才得到的，故稱為后驗分布。貝葉斯推斷方法的關(guān)鍵是任 何推斷都必須且只須根據(jù)后驗分布，而不能再涉及樣本分布。1、Bayes參數(shù)統(tǒng)計模型(1) 參數(shù)二的參數(shù)空間。上的一個概率分布成為二的先驗分布，其 (連續(xù)或離散)密度記為二G)m。(2) 樣本X =(Xi,X2,Xn)T的條件密度函數(shù)族f(x/R門,:，(連

6、續(xù) 或離散)成為樣本分布族。(3) 先驗分布d Q與樣本分布族f(x/v)：v 4構(gòu)成Bayes參 數(shù)統(tǒng)計模型。2、Bayes統(tǒng)計推斷原則Bayes統(tǒng)計認為樣本的作用是使二的認識深化，由先驗分布轉(zhuǎn)化 為后驗分布，后驗分布包含了的先驗信息與樣本觀測值提供的信息，是Bayes統(tǒng)計推斷的基礎(chǔ)，由此引出Bayes統(tǒng)計推斷的原則，即： 對參數(shù)二所作任何推斷(參數(shù)估計、假設(shè)檢驗等)必須基于且只能基 于參數(shù)二的后驗分布，即后驗密度函數(shù)族h(x/Rr 0 o3、先驗分布的選取Bayes統(tǒng)計中，關(guān)于先驗分布的選取是一個重大問題，Bayes本人 對先驗分布作了如下假設(shè)：先驗分布是無信息先驗分布，在參數(shù)取值 區(qū)域內(nèi)

7、“均勻分布”，即假定：()二C或二當(dāng)旳。然而，Bayes 假設(shè)中的一個矛盾，即若對參數(shù) 二選用均勻分布，則其函數(shù)gU)往往 不是均勻分布。Jeffreys提出的選取先驗分布的原則是一種不變原理，較好地解決了 Bayes假設(shè)中的矛盾。Jeffreys原則：設(shè)按照原則決定二的先驗分布為 O，若以g()作為參數(shù)，按同一原則決定的=gG)的先驗分布是：g()，則應(yīng)用關(guān)系式：(Rgg(RgG)若選取的二(旳符合上式，則用，或的函數(shù)gG)到處的先驗分布 總是一致的。困難之處在于如何找到滿足上式的-：G)， Jeffreys利用Fisher信息量的不變性，找到了符合要求的二(二)。由此引理與Jeffreys

8、 原則，可取1二(巧叮l(R2其中，|(力2 =|£g| l( )2CO該式對標量參數(shù)和矢量參數(shù)都適用。4、Bayes參數(shù)估計求解在選定參數(shù)二的先驗估計后，需要將樣本信息加入到先驗估計， 以求得后驗估計。Bayes點估計后驗估計分為最大后驗估計和條件期 望估計，本文中，我們選取最大后驗估計的方法，對參數(shù)進行估計。設(shè)X的概率密度為f(x/旳，即似然函數(shù)L(d/x)，二是二的先驗 分布，由此可得二的后驗概率密度函數(shù)h/x)。若彳二父(x)使得hg/ x)二supp / x)，則稱?為二的最大后驗估計。三、上證綜合指數(shù)收益率分布參數(shù)的貝葉斯估計前文已經(jīng)指出，資產(chǎn)收益的經(jīng)驗數(shù)據(jù)表明：資產(chǎn)收益

9、率服從正態(tài) 分布。本小節(jié)我們將對上證指數(shù)收益率服從正態(tài)分布的假定下，利用樣本數(shù)據(jù)估計分布參數(shù)。1正態(tài)分布參數(shù)的Bayes解(1)確定正態(tài)分布參數(shù)的先驗分布設(shè)X是來自正態(tài)分布+ )的隨機變量樣本，則二=(*2)丁的符 合Jeffreys原則的先驗分布二(R為：丄 12n二(力叮1("23 ，其中，1(力=(2) 求得正態(tài)分布參數(shù)的最大后驗估計X =(Xi,X2,Xn)是來自正態(tài)總體NeL)的樣本觀測值，先驗分 布二(力乂1，則后驗概率密度n. 二(x -h/x) 乂(嚴"exp- 心 22 .(3) 求得最大值點，得n1 n' (Xj _x)2p(Xj _x)2i i

10、n j m2、上證綜合指數(shù)收益率分布參數(shù)的估計(1)參數(shù)估計本文選取上證指數(shù)02-08-09-08-03-28的日收盤價共1364個數(shù)據(jù)。以R,R分別記第t天和t-1天的日收盤價，則第t天的日收益率為R = P 一匕，而當(dāng)R與Rjl相差不大時，易證PtiR =上電=1 n（JL）=1 nR 一|nR丄=1 n Pj1 （P -已）,t =2,3，,1364PjLRjLR_L根據(jù)以上公式，計算得到上證綜合指數(shù)02-08-09-08-03-28的日收益率。并利用SPSS作出收益率的直方圖。由圖可以看出，上證綜合指數(shù)收益率的經(jīng)驗數(shù)據(jù)形態(tài)與正態(tài)分布相近。所以，我們假定尺,.，尺364）服從正態(tài)分布N（

11、怙2），但,2皆未知。利用貝T- X)2葉斯參數(shù)估計方法，對叮2進行估計，二e,；2）T，則二的最大后驗估二0.00056964,0.000249818t（2） J的顯著性檢驗我們對上述利用貝葉斯方法估計出的參數(shù)進行顯著性水平檢驗。S為樣本標準差。檢驗均值采用t檢驗，檢驗統(tǒng)計量t（n -1） J，s/ V n結(jié)果中，t =2.054，表明t檢驗在0.05的顯著性水平下是顯著的，且均 值丿顯著為正，而貝葉斯估計結(jié)果1 - 0.00056964為正數(shù)，表明貝葉斯 估計有效。對于二2， Bayes估計值為0.000249818,表明上證綜合指數(shù)收益率 的分布比正態(tài)分布峰度更高，即圖形更“高瘦”。四、結(jié)束語1、從貝葉斯最大后驗估計的表達式可以看出，貝葉斯方法對J的估計與傳統(tǒng)參數(shù)估計結(jié)果相同，均為 x，但對二2