第一類曲線積分例題與習(xí)題PPT課件

1、AB一、對(duì)弧長的曲線積分的概念與性質(zhì)一、對(duì)弧長的曲線積分的概念與性質(zhì)假設(shè)曲線形細(xì)長構(gòu)件在空間所占弧段為AB , 其線密度為),(zyx“大化小, 常代變, 近似和, 求極限” kkkks),(可得nk 10limM為計(jì)算此構(gòu)件的質(zhì)量,ks1kMkM),(kkk1.1.引例引例: 曲線形構(gòu)件的質(zhì)量采用第1頁/共20頁設(shè) 是空間中一條有限長的光滑曲線,義在 上的一個(gè)有界函數(shù), kkkksf),(都存在,),(zyxf 上對(duì)弧長的曲線積分,記作szyxfd),(若通過對(duì) 的任意分割局部的任意取點(diǎn), 2. .定義定義是定),(zyxf下列“乘積和式極限”則稱此極限為函數(shù)在曲線或第一類曲線積分.),(z

2、yxf稱為被積函數(shù)， 稱為積分弧段 .曲線形構(gòu)件的質(zhì)量szyxMd),(nk 10limks1kMkM),(kkk和對(duì)第2頁/共20頁如果如果 L 是是 xOy 面上的曲線弧面上的曲線弧,kknkksf),(lim10Lsyxfd),(如果 L 是閉曲線 , 則記為.d),(Lsyxf則定義對(duì)弧長的曲線積分為思考思考:(1) 若在 L 上 f (x, y)1, ?d 表示什么問Ls(2) 定積分是否可看作對(duì)弧長曲線積分的特例 ? 否! 對(duì)弧長的曲線積分要求 ds 0 ,但定積分中dx 可能為負(fù).第3頁/共20頁3. 性質(zhì)性質(zhì)szyxfd),() 1 ( （, 為常數(shù))szyxfd),()2(

3、由 組成) 21,則上設(shè)在),(),()3(zyxgzyxf( l 為曲線弧 的長度),(zyxgszyxfd),(szyxgd),(l21d),(d),(szyxfszyxfszyxgszyxfd),(d),(sd)4(第4頁/共20頁tttttfsyxfLd)()()(, )(d),(22二、對(duì)弧長的曲線積分的計(jì)算法二、對(duì)弧長的曲線積分的計(jì)算法基本思路基本思路:計(jì)算定積分轉(zhuǎn) 化定理定理:),(yxf設(shè)且)()(tty上的連續(xù)函數(shù),是定義在光滑曲線弧則曲線積分),(:txL,d),(存在Lsyxf求曲線積分第5頁/共20頁xyOxdydsdLsyxfd),(tttttfd)()()(),(2

4、2說明說明:, 0, 0) 1 (kkts因此積分限必須滿足!(2) 注意到 22)(d)(ddyxstttd)()(22x因此上述計(jì)算公式相當(dāng)于“換元法”. 第6頁/共20頁如果曲線如果曲線 L 的方程為的方程為),()(bxaxy則有Lsyxfd),(如果方程為極坐標(biāo)形式:),()(: rrL則syxfLd),()sin)(,cos)(rrf推廣推廣: 設(shè)空間曲線弧的參數(shù)方程為)()(, )(),(:ttztytx則szyxfd),(ttttd)()()(222xx d)(12d)()(22rrbaxxf) )(,()(),(, )(tttf第7頁/共20頁例例1. 計(jì)算計(jì)算,dLsy其中

5、 L 是拋物線2xy 與點(diǎn) B (1,1) 之間的一段弧 . 解解:)10(:2xxyLLsyd10 xxxd)2(12xxxd4110210232)41 (121x)155(121上點(diǎn) O (0,0)O1Lxy2xy ) 1 , 1 (B第8頁/共20頁例例2. 計(jì)算半徑為計(jì)算半徑為 R ,中心角為中心角為2的圓弧 L 對(duì)于它的對(duì)稱軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量 I (設(shè)線密度 = 1). 解解: 建立坐標(biāo)系如圖,R xyOLsyILd2d)cos()sin(sin2222RRRdsin23 R0342sin22 R)cossin(3 R則 )(sincos:RyRxL第9頁/共20頁例例3. 計(jì)算計(jì)算,ds

6、xIL其中L為雙紐線)0()()(222222ayxayx解解: 在極坐標(biāo)系下它在第一象限部分為)40(2cos:1arL利用對(duì)稱性 , 得sxILd414022d)()(cos4rrr402dcos4a222a,2cos:22arLOyx44第10頁/共20頁例例4. 計(jì)算曲線積分計(jì)算曲線積分 ,d)(222szyx其中 為螺旋的一段弧.解解: szyxd)(22220222)()sin()cos(t ktatattkakad202222202322223tktaka)43(3222222kakatktatad)cos()sin(222)20(,sin,costtkztaytax線第11頁/

7、共20頁例例5. 計(jì)算計(jì)算,d2sx其中 為球面 2222azyx被平面 所截的圓周. 0zyx解解: 由對(duì)稱性可知sx d2szyxsxd)(31d2222sa d312aa2312332asy d2sz d2第12頁/共20頁d d s例例6. 計(jì)算計(jì)算,d)(222szyxI其中 為球面解解: , 11)(:24122121zxyx:202)sin2(2)cos2(2)sin2(18d22920Id2cos221z. 1的交線與平面 zx29222zyx化為參數(shù)方程 21cos2x sin2y則第13頁/共20頁例例7. 有一半圓弧有一半圓弧cosRx ),0(其線密度 ,2解解:cos

8、dd2RskFxdcos2Rksindd2RskFydsin2RkORRxy0dcos2RkFx0dsin2RkFy0cossin2RkRk40sincos2RkRk 2故所求引力為),(yx,sinRy 求它對(duì)原點(diǎn)處單位質(zhì)量質(zhì)點(diǎn)的引力. RkRkF2,4第14頁/共20頁內(nèi)容小結(jié)內(nèi)容小結(jié)1. 定義定義kkknkksf),(lim10szyxfd),(2. 性質(zhì)性質(zhì)kknkksf),(lim10Lsyxfd),(szyxgzyxfd),(),() 1 (21d),(d),(),()2(szyxfszyxfszyxfd),(21組成由ls d)3( l 曲線弧 的長度)szyxfd),(),(為

9、常數(shù)szyxgd),(第15頁/共20頁3. 計(jì)算計(jì)算 對(duì)光滑曲線弧, )( , )(, )(:ttytxLLsyxfd),( 對(duì)光滑曲線弧, )()(:bxaxyLLsyxfd),(baxxf) )(,(),()(: rrLLsyxfd),()sin)(,cos)(rrf 對(duì)光滑曲線弧tttd)()(22xx d)(12d)()(22rr)(),(ttf第16頁/共20頁2. 設(shè)均勻螺旋形彈簧設(shè)均勻螺旋形彈簧L的方程為的方程為,sin,costaytax),20(tt kz(1) 求它關(guān)于 z 軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量;zI(2) 求它的質(zhì)心 .解解: 設(shè)其密度為 (常數(shù)).syxILzd)(22202atkad222222kaa(2) L的質(zhì)量smLd222ka 而sxLd22kaa20dcostt0(1)第17頁/共20頁syLd22kaa20dsintt0szLd22kak20dtt2222kak故重心坐標(biāo)為),0,0(k作業(yè)作業(yè)P188 3 (3) , (4) , (6) , (7)5 第二節(jié) 第18頁/共20頁2. L為球面為球面2222Rzyx標(biāo)面的交線