立體幾何線面平行問(wèn)題

1、aamlaaaa、知識(shí)點(diǎn)1 1）相交有且只有一個(gè)公共點(diǎn)；（ 2）平行 在同一平面內(nèi)，沒有公共點(diǎn)；（ 3）異面 不在任何一個(gè)平面內(nèi)，沒有公共點(diǎn)； 2. 公理 4 ：推理模式： /, /a b b c a c ?3. 等角定理： 4. 等角定理的推論 : 若兩條相交直線和另兩條相交直線分別平行 那么這兩條直線所成的銳角 （或直角 相等 .5. 空間兩條異面直線的畫法 6異面直線定理：連結(jié)平面內(nèi)一點(diǎn)與平面外一點(diǎn) 的直線，推理模式：,A B l B la怎?a ? A B與I 7 異面直線所成的角：已知兩條異面直線,a b，經(jīng)過(guò)空間任一點(diǎn)0作直線/, Ila a b b ”，a b '所成的角

2、的大 小與點(diǎn) O 的選擇無(wú)關(guān)，把 , a b ''所成的銳角（或直角）叫異面直線 , a b 所成的角 （或夾角）為了簡(jiǎn)便，點(diǎn) 0 20（ n8異面直線垂直：如果兩條異面直線所成的角是直角，則叫兩條異面直線垂 直兩條異面直線,ab垂直，記作a b丄.9求異面直線所成的角的方法：（ 1）通過(guò)平移，在一條直線上找一點(diǎn)，過(guò)該 點(diǎn)做另一直線的平行線； （210.兩條異面直線的公垂線、距離：和兩條異面直線 都垂直相交異面直線的的定義要注意 “相交 11.異面直線間的距離：兩條異面直線的公垂線在這兩條異面直線間的線段垂線段）的長(zhǎng)度，叫做兩條異面直線 間的距離.12. 直線和平面的位置關(guān)系（

3、 1）直線在平面內(nèi)（無(wú)數(shù)個(gè)公共點(diǎn)）；（ 2）直線和平面相交（有且只有一個(gè)公共點(diǎn)）；（ 3）直a13. 線面平行的判定定理：如果平面外的一條直線和平面內(nèi)的一條直線平行，那么這條直線和這個(gè)平面平行推理模式：,/I m I m l ? aaa14. 線面平行的性質(zhì)定理：如果一條直線和一個(gè)平面平行，經(jīng)過(guò)這條直線的平 面和這個(gè)平面相交，那么這條直線和交線平行.推理模式：/, , /I I m I m ? =? B aB二、基本題型1. 判斷題(對(duì)的打錯(cuò)的打“”(1) 垂直于兩條異面直線的直線有且只有一條()(2) 兩線段AB、CD不在同一平面內(nèi)，如果 AC =BD，AD =BC，貝U AB丄CD ( )

4、 (3)在正方體中，相鄰兩側(cè)面的一對(duì)異面的對(duì)角線所成的角為60o ()(4)四邊形的一邊不可能既和它的鄰邊垂直，又和它的對(duì)邊垂直()2. 右圖是正方體平面展開圖，在這個(gè)正方體中BM與ED平行；CN與BE是異面直線； CN與BM成60o角；DM 與BN垂直.以上四個(gè)命題中，正確命題的序號(hào)是()(A )(B ）（C ）（D 3已知空間四邊形ABCD.（1求證：對(duì)角線AC與BD是異面直線；（2若AC丄BD,E,F,G ,H分別這四條邊AB,BC,CD,DA的中點(diǎn)，試判 斷四邊形EFGH的形狀;（3若AB=BC = CD = DA,作出異面直線AC與BD的公垂線段.4 完成下列證明，已知直線 a、b、

5、c不共面，它們相交于點(diǎn)P , A a , D a , B b , E c求證：BD和AE證明：假設(shè)_共面于丫，則點(diǎn)A、E、B、 D 都在平面A a , D a ,二 _? 丫 .民 a ,二 P _.P b , B b , P c , E c 二 _? y _? Y 這與矛二 BD、5 , , , E F G H分別是空間四邊形四條邊,AB BC CD DA的中點(diǎn),（1）求證 四邊形E F G H是2）若AC丄BD時(shí),求證：E F G H為矩形；（3）若BD =2 , AC =6 ,求22HFEG+ ；( 4)若AC、BD成30o角,AC =6 , BD =4 ,求四邊形E F G H的面積；

6、(5)若 AB =BC =CD =DA =AC =BD =2 ,求 AC 與 BD 間的距離.6間四邊形A B C D中,2A D B C = , , E F分別是,A B C D的中點(diǎn),EF =, AD BC 7.在正方體 ABCD A 1B 1C 1D 1 中,求（1A1B 與 B 1D 1 所成 角;（2AC與BD 1所成角.AB=a, BC=b, A A '=c（a > b，求異8.在長(zhǎng)方體D C B A ABCD '''-中，已知 面直線B D與AC9.如圖，已知P是平行四邊形A B C D所在平面外一點(diǎn)，M、N分別;（2）若 4M N B C

7、=，PA =求異是A B、P C 1）求證：/M N平面PAD面直線P A與M N 10 .如圖，正方形A B C D與ABEF不在同一平面內(nèi)，M、N 分別在A C、B F上，且A M F N =求證：M N平面C B E F參考答案:1.( 1) X (2)X (3) V (4) X2. C3. 證明：（1 v ABCD是空間四邊形，二A點(diǎn)不在平面BCD上，而C 平面BCD, AC過(guò)平面BCD外一點(diǎn)A與平面BCD內(nèi)一點(diǎn)C,又v BD ?平面BCD,且C ? BD. AC與BD是異面直線.（2解如圖，v E,F分別為AB,BC的中點(diǎn)，二EF/AC,且 EF=21AC.同理 HG/AC,且 HG

8、=21AC.二EF平行且相等HG，二EFGH是平行四邊形.又v F,G分別為BC,CD的中點(diǎn)，二FG/BD, / EFG是異面直線AC與BD所 成的角.v AC 丄 BD, a/ EFG=90o.a EFGH是矩形.（3作法取BD中點(diǎn)E,AC中點(diǎn)F,連EF ,則EF即為所求.4. 答案：假設(shè)BD、AE共面于y則點(diǎn)A、E、B、D都在平面丫： A a ,D a , a a ? y P a , P 丫 .v P b , B b , P c , E c. a b ? y c ? y 這與 a、b、c a BD、AE 5. 證明（1）:連結(jié)，AC BD , v , E F是A B C ?的邊，AB BC

9、上的中點(diǎn)，a /E F A C ,同理，H G A C , a /E F H G ,同理，E H F G，所以，四邊形E F G H證明（2）:由（1）四邊形E F G H v /E F A C，/E H B D，a 由 AC 丄 BD 得，EF EH 丄，a E F G H 為矩形.解（3）:由（1）四邊形 E F G H t BD =2, AC =6, / 113, 122EF AC EH BD =由平行四邊形的對(duì)角線的性質(zhì)20 （22222=+=+EH EFHF EG .解（4）:由（1）四邊形 E F G H t BD =4, AC =6,二 113, 222又: HE F A C ,

10、 /E H B D , AC、BD 成 30o角，二 EF、EH 成 30o角,四邊形E F G H的面積330sin 0=?=EH EF S .解（5）:分別取 AC與BD的中點(diǎn)M、N,連接MN、MB、MD、NA、NC， t AB =BC =CD =DA =AC =BD =2 , / MB = MD = NA = NC = 3 / BD MNAC MN丄丄,二MN是AC與BD的公垂線段 且22NBMBMN二AC與BD間的距離為2.D B6.解：取B D中點(diǎn)G，連結(jié)，EG FG EF , v , E F分別是，AB CD的中點(diǎn), /, /, EG AD FG BC 且 111, 12E G A

11、 D F G B C =一 ?異面直線,AD BC所成的角即為,EG FG所成的角，在E G F ?中，2221cos 22EG FG EFEGF EG FG+- / =-?， 120EGF / =，異面直線 , AD BC 所成的角為 607.解（1如圖,連結(jié)BD,A 1D, v ABCD-A 1B 1C 1D 1是正方體，二DD 1平行且 相等BB 1. DBB 1D 1為平行四邊形，二BD/B1D 1. A 1B,BD,A 1D是全等的正 方形的對(duì)角線 A 1B=BD=A1D, A 1BD是正三角形，/ A 1BD=60ovZ A 1BD是銳角，/ A 1BD是異面直線 A 1B與B 1

12、D 1所成的角.二A 1B 與B 1D 1成角為60o . (2連BD交AC于O,取DD 1中點(diǎn)E,連EO,EA,EC. vO為 BD 中點(diǎn),OE/BD1. vZ EDA=90o = Z EDC,ED=ED,AD=DC, EDA EDC, EA=EC.在等腰 EAC 中,v O 是 AC 的中點(diǎn)，二 EO 丄 AC, aZ EOA=90o .又 Z EOA是異面直線AC與BD 1所成角，二AC與BD 1成角90o.8.解(1如圖,連結(jié)BD,A 1D,D'Cv ABCD-A 1B 1C 1D 1是正方體，二DD 1平行且相等BB 1. DBB 1D 1為平行四邊形, BD/B1D 1.

13、A 1B,BD,A 1D是全等的正方形的對(duì)角線 A1B=BD=A1D, A 1BD 是正三角形，/ A 1BD=60o ,vZ A 1BD是銳角, Z A 1BD是異面直線A 1B與B 1D 1所成的角. A 1B與B 1D 1成角為 60o .(2連BD交AC于O,取DD 1中點(diǎn)E,連EO,EA,EC. v O為BD中點(diǎn)， OE/BD1.vZ EDA=90o = Z EDC,ED=ED,AD=DC, EDA EDC, EA=EC.在等腰 EAC中，vO是AC的中點(diǎn)，二EO丄AC, aZ EOA=90o.又aZ EOA是異面直線AC與BD 1所成角，二AC與BD成角90o . 9.略證(1)取 PD 的中點(diǎn) H，連接 AH , DC NH DC NH 21, /=AMNH AM NH AM NH ?=?,/為平行四邊形 PAD AH PAD MN AH MN? , , /PAD MN / ?解（2:連接AC并取其中點(diǎn)為O，