整式乘法與因式分解綜合復習個性化教案

1、 個性化教案 （內(nèi)部資料，存檔保存，不得外泄） 海豚教育個性化教案 編號： 整式乘法與因式分解綜合指導一、復習目標1掌握冪的運算性質、整式乘法法則和因式分解的定義與方法，通過觀察、歸納、實驗、概括、逆向思維等，發(fā)展對問題的探究能力；2能夠運用冪的運算性質、整式乘法法則和乘法公式正確、合理地進行有關計算；理解整式乘法和因式分解的關系，能用提取公因式法和公式法對多項式進行因式分解；3了解零次冪和負整數(shù)次冪的意義，會用負整數(shù)次冪對一些較小的數(shù)用科學記數(shù)法加以表示；4通過冪的運算性質的歸納概括過程、整式乘法法則的歸納概括過程等，發(fā)展歸納思維和推理能力，通過從整式乘法法則到乘法公式的推導過程，發(fā)展演繹思

2、維和推理能力，通過對整式乘法和多項式的因式分解的關系的認識，發(fā)展從正、逆兩個方面認識事物的能力。整 式 的 乘 法冪的運算性質同底數(shù)冪相乘：單項式乘多項式多項式乘多項式乘法公式單項式乘多項式冪的乘方：積的乘方：用分配律轉化用分配律轉化提公因式法公式法因式分解逆用乘法分配律逆用乘法公式二、知識結構網(wǎng)絡3 / 15三、基礎知識回顧1冪的運算性質（1）同底數(shù)冪的乘法法則：同底數(shù)冪相乘，底數(shù)不變，指數(shù)相加。用字母表示為：（為正整數(shù)）。（2）冪的乘方法則：冪的乘方，底數(shù)不變，指數(shù)相乘. 用字母表示為：（都是正整數(shù)）。（3）積的乘方的法則：積的乘方等于把積中的每個因式分別乘方，再把所得的冪相乘. 用字母表

3、示為：（是正整數(shù)）。（4）同底數(shù)冪的除法法則：同底數(shù)冪相除，底數(shù)不變，指數(shù)相減。用字母可表示為：（，是正整數(shù)）。（5）零指數(shù)冪的意義：（），即任何非零數(shù)的0次冪都等于1。（6）負整數(shù)指數(shù)冪的意義：（，是正整數(shù)），即何非零數(shù)的次冪，都等于這個數(shù)的次冪的倒數(shù)。2整式的乘法（1）單項式乘以單項式的法則：單項式乘以單項式，把它們的系數(shù)、相同字母的冪分別相乘，其余字母連同它們的指數(shù)不變，作為積的因式。（2）單項式乘以多項式，就是根據(jù)乘法分配律用單項式的去乘以多項式的每一項，再把所得的積相加。（3）多項式乘以多項式的法則：多項式乘以多項式，先用一個多項式的每一項去乘以另一個多項式的每一項，再把所得的積相加

4、。3乘法公式（1）平方差公式：兩個數(shù)的和與這兩個數(shù)的差的積等于這兩個數(shù)的平方差，用公式表示為。平方差公式的結構特征是：公式左邊的兩個二項式中，一項完全相同，一項互為相反數(shù)，右邊是相同項的平方減去相反項的平方。（2）完全平方公式：兩數(shù)和（或差）的平方等于它們的平方和加上（或減去）它們乘積的2倍，用公式表示為。完全平方公式的結構特征是：兩個公式的左邊是一個二項式的完全平方，二者僅有一個“符號”不同,右邊都是二次三項式,其中有兩項是左邊二次項中每一項的平方,中間一項是左邊二項式中兩項乘積的2倍, 二者也只有一個“符號”不同.4因式分解（1）定義：因式分解指的是把一個多項式分解成幾個整式的乘積的形式。

5、（2）因式分解與整式乘法的關系：因式分解和整式乘法是互逆變形，因式分解是把和差化為積的形式，而整式乘法是把積化為和差的形式，雖然它們都是恒等變形，但卻是互逆的兩個過程。鑒于因式分解與整式乘法是互逆變形，因此可將因式分解的結果運用整式乘法還原成多項式，以檢驗因式分解的結果是否正確。（3）因式分解的方法：提公因式法和公式法。（4）因式分解的一般步驟：在分解因式時，要注意觀察題目本身的特點，按一定的思維順序正確選擇因式分解的方法。給一個多項式，首先看是否有公因式，有公因式先提取公因式（公因式的系數(shù)是多項式各項系數(shù)的最大公約數(shù)；公因式的字母取各項中都含有的字母，并且相同字母的指數(shù)取次數(shù)最低的），再看這

6、個多項式是幾項式，如果是二項式，就考慮能否運用平方差公式；如果是三項式，就考慮能否運用完全平方公式分解因式。需要注意的是在提取公因式后，要看括號內(nèi)剩下的式子能否運用公式接著分解，需要強調(diào)的是，一定要分解到每一個因式都不能分解為止。四、重點、難點提示重點：本章的重點是整式的乘除法，尤其是其中的乘法公式，以及用提公因式法和公式法分解因式。難點：本章的難點是乘法公式以及整式乘法和因式分解的區(qū)別與聯(lián)系。五、思想方法總結1由特殊到一般的思想本章中許多結論的得出都是先舉出一些具體的例子，然后找出它們的共性，再加以推廣，最后概括出一般化的結論，如同底數(shù)冪的乘法法則、冪的乘方與積的乘方的性質都是由特殊到一般的

7、探討過程得出的。2轉化思想在本章的學習和研究中，多次用到了轉化思想，例如：單項式乘以單項式問題，要轉化為有理數(shù)乘法；同底數(shù)冪相乘問題、單項式乘以多項式、多項式乘以多項式，都要轉化為單項式乘法等。3逆向變換思想本章所學的公式和法則均既可正向運用，又可逆向運用，學會逆用公式或變式運用公式，往往能使運算簡便。4數(shù)形結合思想“數(shù)無形，少直觀，形無數(shù)，難入微”。對于本章中一些整式乘法的法則及乘法公式的理解，若借助于幾何圖形可以起到直觀、形象的效果，能使學生從數(shù)、形兩方面更深一層的理解和記憶。六、注意事項1要正確區(qū)分冪的底數(shù)，如的底數(shù)是，而的底數(shù)則是；2要注意區(qū)分各種運算法則，尤其是冪的運算性質，不要將冪

8、的乘方與積的乘方相混淆，注意省略的指數(shù)是1，而不是0；3冪的運算性質成立的條件是，而同學們往往忽視這一條件。 4明確公式的結構特征是正確運用公式的前提條件，只有明確了結構特征，才能在不同的情況下正確運用公式。乘法公式中的字母可以是具體的數(shù)，也可以是單項式或多項式。明確了這一點，就可以在更廣的范圍內(nèi)應用乘法公式，例如在計算時，可將視為公式中的，將視為公式中的，再用平方差公式展開。 5提公因式的依據(jù)是乘法的分配律，提公因式時，容易出現(xiàn)“漏項”的錯誤，檢查是否漏項的方法，最好是用單項式乘以多項式的法則乘回去，進行驗證。也可以看看提公因式后，括號內(nèi)的項數(shù)是否與原多項式的項數(shù)一致，如果項數(shù)不一致，就說明

9、漏項了。6因式分解必須是恒等變形，因式分解必須分解到每個多項式因式都不能再分解為止。七、典型例題分析（一）考查冪的有關運算例1下列運算正確的是（ ）A. B. C. D. 分析：因為A是冪的乘方運算，指數(shù)應該相乘，不能相加，即，所以A錯誤；B是同底數(shù)冪相乘，指數(shù)應相加，即，所以B錯誤；積的乘方等于積中各因式乘方的積，所以，故C正確，而D不正確。解：選C。例2計算 得（ ）（A）1 （B）-1 （C） （D）分析：逆用積的乘方法則得.解：選A.例3已知，求的值分析：解這種有關指數(shù)方程的基本方法是：將左右兩邊變形為兩個冪相等的等式，且左右兩邊冪的底數(shù)相同，再根據(jù)兩個底數(shù)相同的冪相等，其指數(shù)必定相等

10、列出方程，解這個方程即可。注意到4是2的平方，左邊可寫成關于2的冪的形式，右邊也可寫成2的冪的形式，利用冪的性質就能解決此問題。解：，又，即。（二）考查整式的乘法運算例4若,求的值.分析：先利用單項式乘以單項式的法則求出，再由指數(shù)對應相等，建立方程組，即可求出的值。解：因為，又因，所以，故，解得，所以。例5有這樣一道題：“計算：的值，其中。甲同學把“”錯抄成“”，但他的計算結果也是正確的，你說這是怎么回事？ 分析：這是一道說理性試題，既然把“”錯抄成了“”，但計算結果正確，于是可以猜測此式子化簡后與的值無關。所以這時應從式子的化簡入手，揭開它的神秘面紗。解：因為，即原式化簡后得22，所以式子的

11、值與的取值無關，故把“”錯抄成“”計算結果也是正確的。（三）考查乘法公式例6如下圖，在邊長為的正方形中剪去一個邊長為的小正方形（），把剩下的部分拼成一個梯形，分別計算這兩個圖形陰影部分的面積，驗證了公式_.分析：這是一道與乘法公式相關的創(chuàng)新題，題目借助于圖形的分拆與拼接，通過圖形面積的不同表示形式，驗證了乘法公式。從左圖中可知陰影部分的面積是兩個正方形的面積之差，即，由右圖可知梯形的上底是，下底是，高為，所以梯形的面積為，根據(jù)陰影部分的面積相等，可得乘法公式。解：驗證的乘法公式是。例7已知，求的值。分析：完全平方公式的主要變形我們要熟悉：；。這道題用可以解決。解：由完全平方公式，得，所以。因為

12、，所以。例8計算：.分析：直接計算顯然非常繁瑣易錯，觀察該式中四個因式的規(guī)律，如果再增添一個因式便可連續(xù)應用平方差公式，問題就能迎刃而解。解：（四）考查因式分解的意義與方法例9下列各式由左邊到右邊的變形中，是分解因式的為( )（A） （B）（C） （D）分析：解答此類題目要充分理解分解因式的定義和具體要求。顯然（A）屬于整式乘法，（B）只是分解了局部，沒有完全化成整式的積的形式，而（D）雖然等式右邊是一個多項式，左邊是整式的積的形式，但由平方差公式可知是分解的結果，所以式子在變形過程中丟掉了“”，不屬于恒等變形，因而也不屬于分解因式。解：選（C）。例10已知x+y=1，求的值. 分析：通過已知

13、條件不能求出、的值，所以要考慮把所求式子進行變形，構造出的整體形式，因此觀察系數(shù)的特點，可考慮將所求的式子進行因式分解。解：。例11為整數(shù)，試證明的值一定能被12整除。分析：要證明的值能被12整除，只要將此式分解因式，使12成為其中的一個因式即可。解：，因為為整數(shù)，所以也為整數(shù)，故能被12整除，即的值一定能被12整除。（五）考查完全平方式例12多項式加上一個單項式后，使它能成為一個整式的完全平方，那么加上的單項式可以是_（填上一個你認為正確的即可）分析：根據(jù)完全平方公式的特點，若表示了的話，則有，所以，缺少的一項為，此時，；如果認為表示了的話，則有，所以，缺少的一項為，此時。從另外一個角度考慮

14、，“一個整式的完全平方”中所指的“整式”既可以是上面提到的多項式，以可以是單項式。注意到，所以，保留二項式中的任何一項，都是“一個整式的完全平方”，故所加單項式還可以是或者，此時有，或者。解：所加上的單項式可以是、或者。（六）考查歸納探究的能力例13在日常生活中如取款、上網(wǎng)等都需要密碼有一種用“因式分解”法產(chǎn)生的密碼，方便記憶原理是：如對于多項式，因式分解的結果是，若取x=9，y=9時，則各個因式的值是： =0，=18，=162，于是就可以把“018162”作為一個六位數(shù)的密碼對于多項式，取=10，=10時，用上述方法產(chǎn)生的密碼是：(寫出一個即可)分析：這是一道在分解因式的基礎上設計的與密碼有關的創(chuàng)新題，解決這個問題，必須理解密碼的轉換方法。要得到密碼，只需將分解因式即可。因為或等于或等于，取，時，所以產(chǎn)生的密碼為101030，或103010，或301010。解：101030，或103010，或301010。例14（200