圖形的旋轉(zhuǎn)變換在中考數(shù)學(xué)試題中的應(yīng)用

1、圖形的旋轉(zhuǎn)變換在解題中的應(yīng)用 內(nèi)容摘 要 ：平面圖形的變換主要有平移 , 軸對(duì)軸 , 旋轉(zhuǎn) ,相似等幾種 , 旋轉(zhuǎn)變換是一種重要的幾何變換 , 一些久思不得其解的試題 , 若能正確運(yùn)用 旋轉(zhuǎn)變換 , 就能開(kāi)拓學(xué)生解題思路 , 提高學(xué)習(xí)興趣 , 使問(wèn)題迎刃而解 , 關(guān)鍵詞 ：旋轉(zhuǎn)變換 ,解題應(yīng)用前言隨著新課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)施 ,其基本理念對(duì)近幾年中考數(shù)學(xué)命題改革產(chǎn)生了重大影響，新課程標(biāo)準(zhǔn)下初中數(shù)學(xué)教材增添了圖形變化問(wèn)題 ,使數(shù)學(xué)更貼近生活，更有利于培養(yǎng)學(xué)生實(shí)踐與操作能力 , 形成空間觀念和運(yùn)動(dòng)變化意識(shí)。因此幾何變換這一重要數(shù)學(xué)思想 ,在近幾年中考、競(jìng)賽試題中頻頻出現(xiàn) ,這使得數(shù)學(xué)試題解題方法和技巧更加靈

2、活多變。 旋轉(zhuǎn)變換是幾何變換中基本變換， 由于旋轉(zhuǎn)變換只改變圖形的位置 ,而不改變其形狀大小 , 這使得原來(lái)分散的已知條件和結(jié)論， 通過(guò)旋轉(zhuǎn)變換幾何圖形重新組合 ,產(chǎn)生新圖形 , 進(jìn)而揭示條件與結(jié)論之間內(nèi)在的聯(lián)系 , 找出解題的途徑。下面結(jié)合例題談?wù)勑D(zhuǎn)變換在平面幾何解題中應(yīng)用。一 , 有關(guān)旋轉(zhuǎn)變換的知識(shí)1, 旋轉(zhuǎn)變換的定義 ：由一個(gè)圖形改變?yōu)榱硪粋€(gè)圖形 , 在改變過(guò)程中 , 原圖形上的所有點(diǎn)都繞一個(gè)固定的點(diǎn) , 按同一個(gè)方向 , 轉(zhuǎn)動(dòng)同一個(gè)角度 , 這樣的圖形改變叫做旋轉(zhuǎn)變換 , 簡(jiǎn)稱(chēng)旋轉(zhuǎn) , 這個(gè)固定的點(diǎn)叫做旋轉(zhuǎn)中心 ,這個(gè)轉(zhuǎn)動(dòng)的角度叫做 旋轉(zhuǎn)角。例如 , 如圖 1將 ABC 繞點(diǎn) O 按

3、逆時(shí)方向旋轉(zhuǎn) 80 0 得 A1B1C1, 在這里點(diǎn) O 叫做旋轉(zhuǎn)中心 , 旋轉(zhuǎn)方向旋轉(zhuǎn)是逆時(shí)針 , 旋轉(zhuǎn)角是 80 02, 旋轉(zhuǎn)變換 的性質(zhì)： 1旋轉(zhuǎn)變換不改變圖形的圖狀和大小 , 2對(duì)應(yīng)點(diǎn)到 旋轉(zhuǎn)中心的距離都相等 , 3對(duì)應(yīng)點(diǎn)與 旋轉(zhuǎn)中心連線所成的角度等于 旋轉(zhuǎn)的角3, 補(bǔ)充知識(shí) , 三角形旋轉(zhuǎn)變換的定理 1：若將三角形以一頂點(diǎn)為中心 , 旋轉(zhuǎn)某一角度 , 則笫三邊的新舊位置亦夾成此角度的交角下面先來(lái)證明這個(gè)定理如圖 2, 設(shè) ABC 以點(diǎn) A 為中心 ,逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)一個(gè)角度后處于 A1B1C1 的位置,AD 為ABC 的 BC 上的高 ,AD1為新位置A1B1C1 的 B1C1 上的高 ,

4、 如圖 BC 與 B1C1 交于點(diǎn) P,求證 , BC 與 B1C1 交角為證明： , 由 AB旋轉(zhuǎn) 角后 , 到達(dá) AB1的的1BC,ADB1 C1, 而今AD1, DAD1,在四邊形 DA D1,P中而 AD也轉(zhuǎn)到 AD 的的位置, ADPA D1,0,1,四點(diǎn)共圓 , BPB DADP B 180 圓 A,D,P, D三角形旋轉(zhuǎn)變換的定理 2 ：若相似三角形中的一個(gè)三角形的兩邊分別垂直于另一個(gè)三角形的兩邊 , 則笫三邊也互相垂直。如圖 3. 在 ABC 和 DEF 中 ,DEAB,DFAC , 則 EF BC證明 ：將 DEF 作平移變換 , 便 D 與 A 重合, 設(shè)其位罝為 AE1F

5、1,11AB, 同樣如右圖 DE AB, 而 DEAE， AEAF1AC, 對(duì) ABC 及 AE 1F1 來(lái)說(shuō) , 它們繞著 A 點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn) 900,1111由定理 1 可知 ,E FBC, EF EF,EFBC, 二, 怎樣進(jìn)行 旋轉(zhuǎn)變換我們?cè)诮忸}時(shí) , 常常會(huì)遇到題設(shè)和結(jié)論中的某些元素 , 它們之間的關(guān)系 , 在原位罝上不易發(fā)現(xiàn) , 使我們很難思考 , 尤其是初學(xué)的學(xué)生更感到束手無(wú)策 , 這時(shí) , 若采取適當(dāng)?shù)淖儞Q這里只談一種 旋轉(zhuǎn)變換 , 將它們從原來(lái)的位罝變到一種新的位罝 , 使元素間的關(guān)系顯示得非常清楚 , 這樣變換后 , 就有利于我們利用某一定理完成解題工作 , 特別是題設(shè)中有相

6、等的線段 , 如等腰三角形 , 等邊三角形 , 正方形 , 一條線段被中點(diǎn)分成兩個(gè)相等部分 , 等等 , 這時(shí) , 我們更可嘗試運(yùn)用 , 現(xiàn)舉數(shù)例加以說(shuō)明。1, 以正三角形為基礎(chǔ)的圖形的旋轉(zhuǎn)變換例 1,p 為正 ABC內(nèi)一點(diǎn) ,PC 3,PA 4,PB 5,求正三角形的邊長(zhǎng)，分析：本題中線段 PA,PB,PC 如能設(shè)法使之成為同一三角形的三邊 , 就找到了解題途征 考慮到 ABC 是正三角形 , 為此把 BCP繞 C 點(diǎn)逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn) 60°得 ACP解：以 C為中心 , 將 BCP逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn) 60°, 那么 B落在 A 點(diǎn),P 落在 P點(diǎn) , 連接 P P由旋轉(zhuǎn)變換的

7、性質(zhì)可知 , BCP ACP , CP C P, PCP BCA 60°, PCP是正三角形 ,PP PC 3,P A PB5, PA 4, 因?yàn)?22222所以 AP P是直角三角形 AP P 90° ,3 45,即PPPAPA ,作 AR垂直于 PC于 R, 那么 , APR 180° 60° 90° 30° , AR2,PR23 ,RC323 在直角三角形 ARC中,ACAR2CR2 2512 3這個(gè)例子可推廣為 ,若,p 為正 ABC內(nèi)一點(diǎn) , PAl,PB m,PC n, 求 ABC的邊長(zhǎng) ,其結(jié)果為m2nl32, 以正方形

8、為基礎(chǔ)的圖形的旋轉(zhuǎn)變換例 2, 已知：在正方形 ABCD內(nèi)有 AEF, EAF45°,E,F分別在 BC,CD上任意滑動(dòng) ,如圖 ,求證： 1 AEF 的高為定值 , 2EF BEFD證明：把 ABE繞點(diǎn) A 按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn) 90° , 在正方形外得 ADG, 則 AE AG, BEDG, FAG EAF 45°, AEF AGF, 故 AHAD定長(zhǎng) , 且 EFFG BEFG3. 以等腰三角形為基礎(chǔ)的圖形的旋轉(zhuǎn)變換例 3,已知： ABC 中， AB AC，在 AB C 內(nèi)有一點(diǎn) P，使 APB > APC，求證： PC > PB證明： 將 APC

9、繞點(diǎn) A 旋轉(zhuǎn)至 AP B ，如圖 , 連結(jié) PP ，由旋轉(zhuǎn)變換的性質(zhì)可知 , APC APB, 則 AP AP，PCPB, APC APB，因?yàn)?APB > APC，所以 AP B > APB，由于 APP APP ，所以 BPC > BP P ，于是有 BP> BP，而 PB P C ，所以 PC > PB 4, 旋轉(zhuǎn) 180°中心對(duì)稱(chēng)條件中有中點(diǎn)戓中線例 4, 在 ABC中, 點(diǎn)D是AB邊上的中點(diǎn) ,E 丶F分別是 AC丶BC上的點(diǎn) , 試證明 ,DEF的面積不超過(guò) ADE和 BDF的面積之和分析：考慮如何把 ADE和 BDF拼成一塊圖形 ,然后和

10、 DEF的面積比較 ,證明：以 D為對(duì)稱(chēng)中心 , 把 ADE旋轉(zhuǎn) 180°變換成 BDE1, 則四邊形 BFDE1是凸四邊形 , SADE SBDFS BDE1 SBDF S四邊形 BFDE1SDE1F S DEF當(dāng) E和A重合或 F和 B重合時(shí) , 上式取等號(hào)小結(jié)：從以上數(shù)例可知 , 以正三角形 , 正方形 , 等腰三角形 , 線段的中點(diǎn)或中線為基礎(chǔ)的圖形的旋轉(zhuǎn)變換 , 一般步驟是： 1確定旋轉(zhuǎn)中心： , 正三角形 , 正方形一般以頂點(diǎn)為旋轉(zhuǎn)中心 , 等腰三角形一般繞頂角的頂點(diǎn)旋轉(zhuǎn) , 中線一般繞中點(diǎn)旋轉(zhuǎn) 1 確定旋轉(zhuǎn)對(duì)象即被變換的圖形 , 一般把某一個(gè)三角形旋轉(zhuǎn)到新的位罝, 例1

11、, 例2, 例3, 例4都是如此, 2 確定旋轉(zhuǎn)的方向和角度 , 旋轉(zhuǎn)的方向 只有順時(shí)針或逆時(shí)針 , 旋轉(zhuǎn)的角度正三角形旋轉(zhuǎn)角一般 600 , 正方形旋轉(zhuǎn)角一般為 90 0, 等腰三角形旋轉(zhuǎn)角一般為頂角的度數(shù)三 , 旋轉(zhuǎn)變換的應(yīng)用1. 直接運(yùn)用性質(zhì)解題 1如右圖所示 , 把 ABC 繞點(diǎn) C 順時(shí)針旋轉(zhuǎn) 350 后, 得到 A1B1C, A1B1 交 AC 于點(diǎn) D, 若A1DC900, 則 A的度數(shù)是 ,A350,. B500,. C550, . D600, 2如圖 , COD 是 AOB 繞點(diǎn) O 旋轉(zhuǎn) 400 后所得的圖形 , 點(diǎn) C 恰好在 AB 上, AOD900,則 B 的度數(shù)是

12、度 3如下圖 1所示 , 已知在 AOB 與 DEF 中 ,AB EF B E,ECBD, 顯然有 ABC FED, 若圖形經(jīng)過(guò)平移和旋轉(zhuǎn)得到圖 2 且有 EDB 250, A660,則 AMD 的度數(shù)是 度 , 若將圖形繼續(xù) 旋轉(zhuǎn)后得到圖 3, 此時(shí) D,.F,B 三點(diǎn)在同一條直線上 , 且有 DE2DF, 連結(jié) EB, 已知 EFB 的面積為 5cm 2, 則四邊形 ABED 的面積為多少？答案 1迭 B, 2 B 的度數(shù)是 600 3 AMD 的度數(shù)是 8902四邊形 ABED 的面積為 15 cm例 5,有甲乙丙三個(gè)村莊 , 要在中間建一供水站向三村送水 , 現(xiàn)要確定供水站的位置 ,

13、使所需管道總長(zhǎng)最小 ,解： 首先實(shí)際問(wèn)題數(shù)學(xué)化 ,在 ABC 內(nèi)求一點(diǎn) O, 使 OAOBOC最小 , 由此可見(jiàn) , 所找的位置點(diǎn) O 實(shí)際上就是 ABC 的費(fèi)馬點(diǎn)證明費(fèi)馬點(diǎn) , a當(dāng) ABC 所有內(nèi)角 <120°時(shí)如圖 ,O 是銳角 ABC 內(nèi)一點(diǎn) , 且 AOB BOC COA 120°,P 是 ABC 內(nèi)異于 O 的仼意一點(diǎn) ,求證： PA PBPC OAOBOC分析：這里的兩組線段 PAPBPC和 OAOBOC都不在同一條線段上 , 難以比較 , 我們?cè)O(shè)法通過(guò)旋轉(zhuǎn)變換 , 使 OA,OB,OC 接成一條線段 ,注意到 AOB BOC COA 120°

14、, 若旋轉(zhuǎn)角等于60°, 可能成功 ,證明：, 不仿認(rèn)為 P在 ABC 內(nèi), 把 OAB 繞 B 點(diǎn)逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)到 OAB, 點(diǎn) P 轉(zhuǎn)到 OAB 內(nèi)的點(diǎn) P,連結(jié) PA,PP,OO 則 OBO,PBP都是正三角形 , O O OB, ,O A OA ,PA PA, P P PB. A OB AOB120°, BOC120° ,故有 C,O,O,A 共線 ,旦 ACOAOO OCOAOB OC,PA P P PCPAPB PC, 無(wú)論 P在 ABC 內(nèi)的位罝如何 , 由干 P 與 O 不重合 , 知 APPC 是折線 , 其長(zhǎng)度大于線段 AC 的長(zhǎng)度 , , P

15、APBPC OAOB OC b如果三角形有一個(gè)內(nèi)角大于或等于 120°，這個(gè)內(nèi)角的頂點(diǎn)就是費(fèi)馬點(diǎn)證略 ,3, 用旋轉(zhuǎn)變換的方法解作圖題我們?cè)谘芯孔鲌D題時(shí)， 一般都先進(jìn)行分析 假定要求作的圖形認(rèn)為可以作出， 可先畫(huà)一個(gè)草圖來(lái)表示 若作圖的問(wèn)題比較簡(jiǎn)單， 已知的元素和求作的元素間關(guān)系明顯，直接有定理可用，則可立即進(jìn)行作圖但有不少題目，卻不是這樣往往圖形中的各種元素不是集中在一起， 分散相離，很難用定理把兩者聯(lián)系起來(lái)， 這就會(huì)使我們產(chǎn)生無(wú)從落筆的困難， 尤其是初學(xué)者更是如此 此時(shí)，不仿采取各種變換的方法， 如合同變換， 相似變換等等 這里只談合同變換中一種旋轉(zhuǎn)變換通過(guò)圖形中某些元素的旋轉(zhuǎn)變

16、換， 使之相對(duì)集中， 顯現(xiàn)出已知與求作中元素之間的關(guān)系 ,，揭露出它們的內(nèi)在聯(lián)系 ，從而得到作圖方法下面通過(guò)一 - 些實(shí)例，說(shuō)明如何運(yùn)用旋轉(zhuǎn)變換來(lái)解作圖例 6,求作一個(gè)正三角形，使它的三個(gè)頂點(diǎn)分別落在已知三條平行線上已知三條平行線 L 1,L2, 和 L3 如圖求作一個(gè)正三角形 ABC, 使 A,B,C 三點(diǎn)分別落在， L1,L2, 和與 L3 上分析：假定已經(jīng)作得正 ABC ，如右圖在 L1 上我們可以任取一點(diǎn) A ，作為正 ABC 的一個(gè)頂點(diǎn)。再在 L2 上取一點(diǎn) B，連結(jié) AB 作為正三角形的一邊顯然，其第三個(gè)頂點(diǎn) C 不一定剛落在 L3 上我們?yōu)榱藦囊椎诫y，先放棄這個(gè)第三頂點(diǎn)必須在 L

17、3 上的條件這樣，就有了很大的“自由度 ，在 L2 上可以任取一點(diǎn)又為了簡(jiǎn)單 ,方便，我們可以過(guò) A 作 ABL2 ，與 L2 相交于 B也就是說(shuō)，在 L2 上取一點(diǎn) B，使 AB L2，從而以 AB 為一邊作出一個(gè)正 AB C，如上圖這時(shí)一般說(shuō)來(lái)， C點(diǎn)不會(huì)恰巧落在 L3 上所以現(xiàn)在的問(wèn)題是如何把 C 移到 L3 上去， 很容易想到 (假定正 ABC 已經(jīng)作得如圖 )只要將 AB B 繞著 A 點(diǎn)，以逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn) 6 OO，即可到達(dá) AC C 的位置作法：在 L1 上任取一點(diǎn) A, 過(guò) A 作 AB1L2 與 L2 交于 B1,以 AB1 為一邊作正 AB1C1 過(guò) C1 作 AC1C90

18、0, C1C與 L3 相交干 C 點(diǎn), 連結(jié) AC 作 CAB600 與 L2 相交干 B, 連結(jié) BC, 即得 ABC,(2) 繼續(xù)證： B1A C1BAC60 , B11AC, 又 ABAC, AB10C11BAABC1C 900, AB 1B AC 1C, ABAC, 但 BAC 600, ABC 為正三角形 , 亦即為所求之三角形4,用旋轉(zhuǎn)變換的方法解中考題例 7, （07年臨沂市）如圖 6 1，已知 ABC中， ABBC1， ABC90°，把一塊含 30°角的直角三角板 DEF的直角頂點(diǎn) D放在 AC的中點(diǎn)上 ( 直角三角板的短直角邊為 DE，長(zhǎng)直角邊為 DF) ，將直角三角板 DEF繞 D點(diǎn)按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)。 (1) 在圖 6 1中， DE交 AB于M，DF交 BC于N。證明 DMDN；在這一旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，直角三角板 DEF與ABC的重疊部分為四邊形 DMBN，請(qǐng)說(shuō)明四邊形 DMBN的面積是否發(fā)生變化？若發(fā)生變化，請(qǐng)說(shuō)明是如何變化的？若不發(fā)生變化，求出其面積；旋轉(zhuǎn)至如圖 62的位置，延長(zhǎng) AB交DE于M，延長(zhǎng) BC交 DF于N，DMDN是否仍然成立？若成立，請(qǐng)給出證明；若不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由；(3) 繼續(xù)旋