高職高等數(shù)學(xué)教案第五章定積分及其應(yīng)用

1、學(xué)習(xí)必備歡迎下載第五章定積分及其應(yīng)用§5-1定積分概念與性質(zhì)一、兩個(gè)引例1曲邊梯形的面積曲邊梯形定義：由直線 x = a, x = b, y = 0 及曲線 y =f ( x) 所圍成的圖形稱為曲邊梯形。求曲邊梯形的面積方法：（ 1）分割任取分點(diǎn) a = x0 < x1 < x2< xn- 1 < xn = b ，把區(qū)間 a, b 分成 n 個(gè)子區(qū)間xi-1, xi (i = 1,2,) ，子區(qū)間長度為 D xi = xi - xi- 1 。（ 2）近似在子區(qū)間 xi- 1, xi (i = 1,2,) 上任取一點(diǎn) i( xi - 1 ixi ) ，則小曲邊梯

2、形面積可近似表示為 D Ai籇 f (i)xi 。（ 3）求和nn將 n 個(gè)小曲邊梯形近似面積相加，則曲邊梯形面積的近似為A = 邋D Ai?f (i)xi 。i= 1i = 1（ 4）極限時(shí)，令 = maxD x1 ,D x2 , ,D xn , ?n當(dāng) n ? ?0 ，則 A = lim?0?f (i)D xi。i= 12變速直線運(yùn)動(dòng)的路程設(shè)物體作直線運(yùn)動(dòng)，速度v = v(t ), t ? T1 ,T2 ，求這段時(shí)間內(nèi)物體所經(jīng)過的路程S。求路程方法：（ 1）分割任取分點(diǎn) T1 = t0 < t1 < t2< tn- 1 < tn = T2 ，把區(qū)間 T1, T2 分

3、成 n 個(gè)子區(qū)間1, Ti(i = 1,2,) ，子區(qū)間長度為 D ti = ti - ti- 1 。Ti-（ 2）近似在子區(qū)間 ti-1,ti (i = 1,2,) 中可看做勻速直線運(yùn)動(dòng)，則在其上任取一點(diǎn)i(ti - 1 iti ) ，學(xué)習(xí)必備歡迎下載則在子區(qū)間中路程可表示為D Si 籇 v(i)ti 。（ 3）求和將 n 個(gè)子區(qū)間路程相加，則總路程可近似為（ 4）極限當(dāng) n ? ? 時(shí)，令 = maxD t1, D t2 ,二、定積分定義nnS=DS?v() t。邋iiii= 1i = 1n,D tn , ? 0 ，則 S = lim?0 ? v(i)D ti 。i= 11. 定義： 設(shè)函

4、數(shù) f ( x) 在區(qū)間 a,b 上有界，在 a, b 中任意插入若干個(gè)分點(diǎn)a = x0 < x1 < x2< xn- 1 < xn = b將區(qū)間 a,b分成 n 子小區(qū)間 xi- 1 , xi (i = 1,2,) ，各子區(qū)間的長度為D xi = xi - xi- 1 ，在每個(gè)n子區(qū)間上任取一個(gè)點(diǎn)i(xi- 1 ixi ) ，作 f (i)D xi 的和式 ? f (i)xi ，i = 1令 = max D x1, D x2 , ,D xn 當(dāng) ? 0 時(shí)上式極限存在，則稱這個(gè)極限為函數(shù)f ( x) 在區(qū)間 a,b 上的定積分，記作bnaf (x) dx = lim?

5、0 ? f (i) xiòi = 1其中 f (x) 為被積函數(shù)，f ( x)dx 為被積表達(dá)式，x 為積分變量， a 為積分下限， b 為積分上限。bf (x)dx說明：（ 1）由定積分的定義可知：曲邊梯形的面積為A = òa變速直線運(yùn)動(dòng)的路程為T2S = òT1v(t)dt（ 2）定積分的值只與被積函數(shù)及積分區(qū)間有關(guān)，與區(qū)間分法和任取函數(shù)值無關(guān)，與積分變bbb量的字母選擇無關(guān)，即蝌a f ( x)dx =a f (t )dt =?af (u) dub（ 3）當(dāng) a = b 時(shí)， òaf (x)dx = 0學(xué)習(xí)必備歡迎下載bf (x)dx = -af

6、(x) dx（ 4） 蝌ab2. 定理定理1：設(shè) f (x) 在區(qū)間a, b上連續(xù)，則f (x) 在a,b上可積。定理 2：設(shè) f (x) 在區(qū)間 a,b 上有界，且只存在有限個(gè)第一類間斷點(diǎn)，則 f ( x) 在 a, b 上可積。3. 幾何意義若 f (x) > 0 ，則b；若 f (x) 0 ，則bòaf ( x)dx = Aòa f (x)dx = - A若 f (x) 在區(qū)間 a,b 上有正有負(fù)，則積分值等于f (x) 在 x 軸上方部分與下方部分面積差。例： 利用定義計(jì)算定積分11- x2 dxò0解： 幾何上此定積分表示半徑為1 的圓第一象限的面

7、積11-x2 dx =因此 ò04三、定積分的性質(zhì)b()b( )b( )性質(zhì)1： ( )蝌af x ? g x dxaf x dx ? ?ag x dxbkf (x)dx = kbf (x)dx性質(zhì) 2： 蝌aabcb性質(zhì) 3： 蝌af (x)dx =af (x)dx + ?cf (x)dx注： 不論 c 在 a, b 內(nèi)或外等式均成立性質(zhì) 4：如果在區(qū)間a,b上 f ( x) o1，則bb1蝌adx =adx = b - a性質(zhì) 5：如果在區(qū)間 a,b上 f ( x) 3bf ( x)dx 3bg( x)dxg( x) ，則 蝌aa性質(zhì) 6：若函數(shù) f ( x) 在區(qū)間 a,b上的

8、最大值 M 及最小值 m ，則bm(b - a) òaf (x)dxM (b - a)性質(zhì) 7( 定積分中值定理) ：如果函數(shù) f (x) 在閉區(qū)間 a, b上連續(xù)，則在區(qū)間a,b 上至少存在一個(gè)點(diǎn)bf ( x)dx = f ()(b- a)òa，使得學(xué)習(xí)必備歡迎下載|b() |b( ) |性質(zhì) 8：|蝌afx dxaf x dx§5-2微積分基本公式一、積分上限函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)a,b定義： 設(shè)函數(shù) f ( x) 在區(qū)間上連續(xù)，且設(shè)x 為a, b上的一點(diǎn)，則函數(shù)f ( x) 在子區(qū)間學(xué)習(xí)必備歡迎下載xxa, x上的定積分 òaf ( x)dx 存在，為了方便

9、起見， 將積分變量改寫為t ，則定積分為 òaf (t)dt ，記作 (x) ，即( )x( )dt，稱為積分上限函數(shù)。x = òaft定理： 如果函數(shù) f (x) 在區(qū)間a, b( )x( )a,b上連續(xù)，則積分上限函數(shù)在上有x = òaf t dt導(dǎo)數(shù)dxf(t )dt = f ( x), x ? a,b( x) =dx òa說明： (x) 是函數(shù) f ( x)在a, b上的一個(gè)原函數(shù)例1：求 ( )xln(14 )= òadt的導(dǎo)數(shù)x+ tdxln(1+ t4)dt =4)解：òa(x) =dxln(1+ xa例 2：求 (x)

10、 = òsec(t + 1)dt 的導(dǎo)數(shù)xdx解：sec(1)sec(1)()= -xdx òat +dt = -x +x2ò0sin tdt例 3：求 limx2x? 0xx2sin tdt(2sin tdt)= lim 2sin x = 1解： lim蝌02= lim02x 0xx 0( x )x02x例 4：求 (x) =xsin t2dt 的導(dǎo)數(shù)ò0解：= x2?(?sin xsin t dt x( x)ò0x) x2 x二、牛頓萊布尼茨公式定理： 如果函數(shù) F (x) 是連續(xù)函數(shù)f ( x) 在區(qū)間a,b上的一個(gè)原函數(shù)，則有bf (x

11、)dx = F (b) -F (a)òa此公式稱為牛頓萊布尼茨公式，也稱為微積分基本公式。學(xué)習(xí)必備歡迎下載說明： 為方便起見，F(xiàn) (b) - F (a) 也可記為 F ( x) ba ,F (x)ab 。證明： 已知函數(shù) F (x) 是連續(xù)函數(shù)f ( x) 的一個(gè)原函數(shù)( )x( )也是 f ( x) 的一個(gè)原函數(shù)積分上限函數(shù)x = òaf t dt則 (x) = F ( x) + C ，則 (b) = F (b) + C , (a) = F ( a) + C所以 (b) - (a) = F (b)-bF (a) ，即òaf ( x)dx = F (b) - F

12、( a)1例 1：求 ò04x3dx13dx = x4 10 = 14 - 04 = 1解： ò04x0 dx例 2：求 ò- 11+ x20dx0解：ò-1 1+ x2= arctan x- 1= arctan0 -arctan(- 1) =4e 1例 3：求 òdx1xe 1e解： ò1xdx = ln | x |1= ln e- ln1 = 11xe例 4：求ò-11+ ex dx1ex11xx11解：蝌-11+ ex dx =- 11+ exd (1+ e ) = ln 1+ e- 1= ln(1 + e) -ln(

13、1+e) = 1ì?2x + 1 x ? 01?x，求f ( x) dx例 5： f ( x) = í?ex < 0ò-1?10x1x0211蝌-1f ( x)dx =- 1?01+ x)= 2 -解：e dx +(2x + 1)dx = e-+ ( x0e學(xué)習(xí)必備歡迎下載1例 6：求 ò x dx- 110x)dx + ?01x20x2 1解：蝌-1x dx =- 1(-xdx = -+= 12 -12 0例 7：求 ò 1- cos2 xdx- -0解：蝌-2 sin xdx+?01- cos2xdx = -2 sin xdx=02c

14、osx- 2cosx = 4 2-0例 8：求 y = sin x 在 0,上與 x 軸所圍成圖形的面積解： A=ò0sin xdx = (- cosx) = 20§5-3定積分的換元積分法和分部積分法一、定積分換元積分法定理： 如果函數(shù) f(x) 在區(qū)間 a,b 上連續(xù)，函數(shù)x = (t ) 滿足(1)(t) 在,上有連續(xù)導(dǎo)數(shù)，且值域不越出a, b學(xué)習(xí)必備歡迎下載(2) () = a, () = b則有b() ()蝌afdx = f)(dtxtt注： 換元必?fù)Q限，換元后不必還原。例 1：求4xdxò01+ x解： 令x =t, x = t2 , dx =2tdt

15、x =0,t = 0; x =4, t =24xdx =2(2t -2+2)dt蝌01+x01+ t22=輊- 2t + 2ln(1 + t)= 2ln 3t犏0臌ln 2ex - 1dx例 2：求 ò0解： 令ex -1 = t, x =ln( t2 + 1), dx =t22tdt+ 1x =0,t = 0; x = ln 2, t = 1ln 2x12t211蝌0e-1dx =0t2dt = 2?0(1-2)dt+ 1t+ 1= 2(t -1arctant )0= 2 -2aa2 - x2 dx( a > 0)例 3：求 ò0解： 令 x =a sin t ,

16、dx =a costdtx = 0 ,t = 0 ;x = a , t=2aa2a2 -x2 dx =a22 cos2 tdt =?02 (1+ cos 2t )dt蝌002學(xué)習(xí)必備歡迎下載a21a2sin 2t2= t +=2204注： 例 3 也可以利用定積分的幾何意義求解，此定積分表示半徑為a 的圓在第一象限的面積。例 4：求24cos3 x sin xdxò0解：232342蝌04cos x sin xdx = -4cos xd cos x = - cos x= 100注： 換元必?fù)Q限，湊微分不換限。定理： 如果 f ( x) 在- a,a上連續(xù)（ 1）若函數(shù)為偶函數(shù)，則af

17、 (x)dx = 2af (x)dx蝌-a0（ 2）若函數(shù)為奇函數(shù)，則af (x)dx = 0ò-a34x sin x注： 利用此定理，可簡化奇偶函數(shù)在對(duì)稱區(qū)間上的積分，如ò- 3 1+ x2 + x4 dx = 0二、分部積分法 定理： 設(shè)函數(shù) u( x), v(x) 在區(qū)間a, b上有連續(xù)導(dǎo)數(shù)u ( x), v ( x) ，由導(dǎo)數(shù)公式?可得bbbu vdx，移項(xiàng)可得(uv) = u v + uvuv a = 蝌auv dx +abbbbbb，湊微分可得公式蝌auv dx = uv a -au vdx蝌audv = uv a -avdu此公式為定積分分部積分公式。2例 1

18、：求 ò x cos xdx022解：22蝌0xcos xdx = x sin x-sin xdx =+ cos x=+ 1000221例 2：求 òarcsin xdx0110 -1x解： 蝌arcsin xdx = xarcsin x02dx01-x學(xué)習(xí)必備歡迎下載1112-2(1- x)= +2 d (1- x22 ò01 12=+ (1- x ) 20= - 1 24例 3：求 ò1e x dx解： 令 x = t ，則 x = t 2 , dx =2tdt ， x = 1,t = 1; x =4,t = 242222蝌1e x dx = 21t

19、et dt = 2蝌1td (et ) = 2(tet )1- 21et dt2t 22= 4e - 2e-2e 1 =2e2sinn xdx例 4：求 I n= ò0I n = -蝌0解：2 sin n- 1 xd (cosx) = - cos x sinn - 1 x 0222 x)sin n- 2 xdx = (n- 1)= (n - 1)蝌0(1- sin+ 2 cosxd sinn- 1 x02 (sin n- 2 x - sinn x)dx022= (n - 1)蝌0sinn - 2 xdx- (n - 1)0sinn xdx則 I n = (n - 1)I n- 2 -

20、 (n - 1)I n ，即 I n = n- 1 I n- 2nI 2k=2k - 1 2k - 32k - 531I 02k鬃2k - 4鬃鬃22k - 242k 2k - 22k - 442I 2k+ 1 =鬃2k - 3鬃鬃I12k + 1 2k - 15322其中 I 0 = ò0dx =，I1=0sin xdx = 12ò綜上： I 2k =I 2k+ 1 =2k - 1 2k - 3 2k - 53 1 鬃鬃鬃?2k2k - 2 2k - 44 2 22k 2k - 22k -442鬃2k -3鬃鬃32k + 1 2k - 15注：2n2n2ncos xdx

21、=sin(-x)dx = - ?0sin (-x) d ( - x)蝌00222學(xué)習(xí)必備歡迎下載0令2nn2n2n-x = t ，則 蝌0cos xdx = - sintdt = 蝌0sintdt =0sinxdx22§5-4反常積分定義： 設(shè)函數(shù) f ( x) 在區(qū)間 a,+ ?) 上連續(xù)，取b > a，極限limb( )稱為函數(shù) f ( x) 在òafb?x dx無窮區(qū)間 a,+ ?) 上的反常積分，記為+ ?( )limb( )蝌affdx。x dx = b? ?ax若極限存在，則反常積分收斂；若極限不存在，則反常積分發(fā)散。f ( x) 在區(qū)間 (- ?, b

22、上的反常積分為b()limb()類似，函數(shù)蝌-?f x dx = a?af x dx函數(shù) f (x) 在區(qū)間 (- ?, ? ) 上的反常積分為+ ?f( )cf(x)dx +?c?f()dx蝌-?x dx =?x+ ?1ò-?例 1：求反常積分1+ x2 dx+ ?1 2+ ?dx = arctan x- ?= limarctanx -limarctanx =-(-) = 解：ò-? 1+ xx? x - ?22學(xué)習(xí)必備歡迎下載+ ?2xe- x2dx例 2：求反常積分 ò0+ ?- x2?- x22- x2 + ?解：蝌2xe dx = -ed (- x )

23、= -輊犏e00臌0= - ( lim-x2e-1)=1x?§5-5定積分的應(yīng)用一、定積分微元法求曲邊梯形面積：用任意一組分點(diǎn)把區(qū)間a, b 分成長度為(i =1,2) 的n各小區(qū)間，曲邊梯形的被分成 D xi￥n 個(gè)小曲邊梯形，每個(gè)小曲邊梯形的面積為D Ai籇 f (i)xi ，總面積為 A 籇 ? f (i)xi ，給i= 1￥b以極限可得 A = lim?0 ? f (i)D xi = òaf ( x)dx 。i= 1定積分微元法：一般地，若某一實(shí)際問題中所求量U 滿足：1. U 是與一個(gè)變量x ? a, b 有關(guān)的量學(xué)習(xí)必備歡迎下載2. U 對(duì)于 a,b有可加性3.

24、D U i 的近似可用f (i)D xi 表示則可用定積分來表示U ，步驟為：1.選取一個(gè)變量為積分變量，并確定變化區(qū)間a, b2.把 a, b分為 n 個(gè)小區(qū)間，dU = f (x)dxb3. U = ò f ( x)dxa二、直角坐標(biāo)系下平面圖形的面積方法： 1. 由 y = f ( x) ? 0, xa, x = b 及 x 軸所圍成圖形的面積為bf (x)dxA = òa2.由 y =f (x), y = g ( x)( f ( x) ? g(x) 及 x = a, x = b 所圍成圖形的面積為bA = ò f (x) - g( x)dxa3.由 x = ( y), x = ( y)( y) ? ( y) 及 y = c, y = d 所圍成圖形的面積為dA = ò(y)- ( y)dyc例 1：求由 y = x2 , y = 3x 所圍成圖形的面積解： 圖略ì2? y = x