奧數(shù)訓練之二次根式

1、二次根式一、二次根式的兩個非負性.1） 、被開方數(shù)非負的應用：【a>0A例 1:已知：y= . 2x 一3 + ._3 2x+2.則 xy=.例 2：已知：b=2a6+62 則 a2-ab+b2=.4a+3b 、4a+3b例3:設(shè)均為不小于3的實數(shù).貝U pa 2 + Jb +1 + 1 -1 的最小值是.針對性訓練：1、 代數(shù)式x + . x-1 + 一 x - 2的最小值為.2、 求：a 4 +-2a + J -3a -a2 的值為.2）、結(jié)果非負【S0】的應用例1:已知： x 4 + （2x+y） 2=0則x-y的值為.針對性訓練習：1、已知：、m2+x2+y2+4x-6y+13=

2、0 貝U（ x+y） m 的值為2、 .:f10x -1+1有最小值I時 x=，這個最小值為 =.2 . x4 +1有最小值 時x=，這個最小值為= .9- 4 - x2的最大值為 ，最小值為 .3）、綜合應用.8例 1：已知：a2001 +卞'2000 - a =2003-a 求：a例題：已知：3 . x +5 y =7其中（x>0 ）求m=2 x -3 y的取值范圍針對性練習：1、已知：實數(shù) a滿足2004-a + Ja - 2005 =a則a-20042的值為4）、一個非負數(shù)轉(zhuǎn)化為另一個非負數(shù)的平方的應用【例 1:填空：y-2 y -1 =（）2例 2:已知：2（ . x

3、+ . y二 1 + . z二2） =x+y+z.求 的值.a = .a2 】例 3:已知 a+b2+Jc-1 一1 =4 Ja-2+2b-3求: a+2b-丄 c 的值.2針對性練習1、a,b,c 是實數(shù)，若 abc = 2、，求 a b c b c a cab 的值2、如果 4 xly -1 z -2 = x y z 9，那么 x+y+z 的值是多少二、 a2 = a的應用拓展為Va2b = a v'b反過來aJb = fa2b時要注意a符號例 1 ：設(shè) x<0.y<0.在 x、, y - . xy3 x3 y 化簡=. x yI例2 :若X -3 + J(x -1 f

4、 =2則x的取值范圍是 .例 3:已知：-2 <x< 1 則化簡、;(3x + 2 f -寸1-4x + 4x2 + 5x 321、若ab<0.則代數(shù)式 a2b應當化簡為2、a- 1化為最簡二次根式是:a3、根式a4、1若 <x<1將25、J(2x+1 _J(x_4 2 化簡得.=若數(shù)軸上表示 a的點在原點左邊，則化簡:2a a2的結(jié)果是6、1998 19992000 20011 的值等于.=1 :當 0<x<2 時.J 2* X/2 =例 2:. 20012003 2005 200716 =針對性練習：.1988 1989 1990 19911 -1

5、9892=三、實數(shù)的比較大小1）、平方法例 1 ：設(shè) a= 10 .b= . 7 +1.c= . 3+2 比較 a、b、c 的大小針對性練習：設(shè) a, 3 + , 7，.b= 46，c = . 2 8，6 = 2 5，比較a、b、c、d的大小為通過對上述問題的解決，你能得到怎樣的規(guī)律？你能證明你的結(jié)論嗎？2）、倒數(shù)法例題：已知：a= 101 - J00 .b=99 -、98 比較 a、b 的大小.1、已知 a = .3 -1,b = .、5 -、. 3,c =、7 -、5,d = . 9 -7比較a、b、c、d的大小為通過對例題和習題的解決，你認為具有怎樣特點的二次根式，在比較大小時，適合用倒

6、數(shù)法，比較的結(jié)果 用怎樣的規(guī)律？應用你總結(jié)的規(guī)律快速解決下面的問題問題：設(shè) a> 1, p 二.2006a1 -2006a, q 二.2006a -1 - 2006a ,r 二一 2006a -，2006a 1 ,s 二 2006a - 一 2006a -1 ,則 p, q, r, s 中值最小的一個是 3）、化分子或分母相同比較另一個例題：已知:- 1 - 1 、b +< c +比較 a、b、c 的大小VaCv ab4）、化同底或同指比較大小例題：比較233 522 611的大小.5）、根據(jù)數(shù)軸的位置比較大小例題:已知：b<0 0< a < b <c且=

7、b lac，比較a、b、c的大小 c c6）、做差比較法例題：已知：a、b、c均為正數(shù)且 a = b若x=a+b+c、y= . ab + bc + ac，比較x、y的大小1 1 1 已知：a、b、c為正數(shù)且 a = b若x= + a b c則x與y的大小關(guān)系是.7）、作商比較法1 1 1y= + +v'abv'bc v'ca例題：比較a 1與a 2的大小”a +2 Ha +3四、二次根式的運算：1）、巧用乘法公式若a=3b=2+6 *10求旦的值b例 1 ：計算：；2 . 3 5 2 3 - 5 2 - 3 5 ©屈2 .、3 52）、巧用因式分解例 1 ：計

8、算：.23 - 5 2 -2 - 35 彳例2 :計算： 2002 2001 20005 1-25 1-45 1+2002例3:化簡:x 4xy 4y、6151435 2a -、b - b例4:化簡:、10、14 、15216 4 3 3. 2.18、12 36Jab - 2b針對性練習:1、計算:2、滿足等式y(tǒng) + x y-、2003x -2003y + . 2003xy =2003的正整數(shù)對（x、y）的個數(shù)有多少個3）、巧用合并同類二次根式例題：已知：pq =0且p與q均為整數(shù)若2 . p +2 . 2q - 、32 =0成立，求：滿足條件的所有 p.q的值.已知整數(shù)x.y滿足.x +2

9、. y = , 50 .那么整數(shù)對（x.y ）的個數(shù)是 4）、巧用無理數(shù)特點C： 2D: 3'1<3 '1旨1+a+b-2 -<3 2丿<4 12 丿4例題：已知a.b是有理數(shù)且-1 . 3 =0 求 a、b 的值. 20針對性練習：1. 設(shè)a是一個無理數(shù)且 a.b滿足ab+a-b=1則b=.2. 設(shè)x.y都是有理數(shù).且滿足方程 x+ -y-4-二=0，求x-y的值123丿132丿b c b c5) 、巧用=+-a a a例題：化簡6 4.3 3.2.6332針對性練習:1、2、當n為奇數(shù)時化簡：12 .3、5、52、73. 2n -12、2 n 1. 2 n

10、 3+ + +_ (1 3)( .3.5)( .57)(、73)( . 2n T 仁2 n 1) ( 2n 12 n 3)6）、有關(guān)把無理數(shù)分成整數(shù)部分與小數(shù)部分的計算例1：寫出,13的整數(shù)部分是 小數(shù)部分是 .寫出2+ 6的小數(shù)部分 .3- -.5的小數(shù)部分 .寫出3 5 2的小數(shù)部分寫出了 -4 3的小數(shù)部分2 2寫出的8-3, 5小數(shù)部分例2:已知：9+ ,13與9- ,13的小數(shù)部分分別是 a和b求ab-3a+4b+8的值.1例3 :設(shè)a,b分別表示 的整數(shù)部分與小數(shù)部分求a2+（1+ J7）ab的值.3-（7例4、若設(shè).39 - 432的整數(shù)部分為a,小數(shù)部分為b,求11 的值a+b

11、 a+4b例5、求與最接近的整數(shù)J17-12、吃例6、m是n的小數(shù)部分，且 m2 n2 = 24，求m、n7）、有關(guān)重二次根式的化簡與計算例題：化簡下列各式.1） 若 a>0 b>0化簡：. 2 ab - a - b .=2） 若 aw0 bwo化簡：2.： ab - a - b =3）3 2 23 -2” 2=4）.7 - J5 - .16 -2、15 =5）108 .'3 - 2 2 =6）、. 0 .0 2 2 111 =7）、. 6 - . 356 J35. y 2 3 2y - 5.8）、已知X1x2 = . 4. 102 5 ,求X1X2的值8）、.23 -6.

12、6 -4 23十占23-6,10 4 3-2 2五、二次根式的條件求值.（即代數(shù)式求值）1）、直接代入法例題：已知：x=2- . 3 求7 43 x23.3的值.2）、先化簡所求再代入求值例題：已知:a是4- .、3的小數(shù)部分，求代入式車亠Ta，1的值為+4a +4 a +2a k a丿針對性練習:1.當a=d2.b=雖1時，代數(shù)式一汽八的值2a2-b22.已知x=1+ .3，求1x -23.4.已知：a=(=2 +J3求a22a 12a -a的值3）、先化簡已知再代入求值、3 - 13，1例題1:已知：xnV2 -1<2+11 .y= 1求x4+y4的值+1<3-1例題 2:設(shè)

13、a>0,b>0, ,.a .一a 、.b =3、.b .a 5、b 求 1；_例 1 ：已知：a>1，且 a2+2=14 求a_aab 的值.a-b + iab針對性練習：+43-42J3+J2/ 1 丄 i 心擊亠1、已知：x=.y=那么 二 2的值為.、3+丁2J3-、'2 x y2、已知實數(shù)a滿足a+x a2 +a3 =0那么a1 +a+1 =3、 已知：xy - y - 2 x 2 = 0 且 x2-4x+4=0，求.xy 的值4、正數(shù)m.n 滿足 m+ 4 . mn -2 . m -4 . n 4n = 3，5 28的值m 2、n 2002n "1

14、 - nIn n5、x二 ' n，y二 ' n ,門為自然數(shù)，如果2x2 197xy 2y2 =1993成立，求n的值 Jn +1 + J nJn +1 J n4）、整體代入包括：對稱式整體代入完全平方根式整體代入，構(gòu)造已知整體代入的值勺+ b例 2 :設(shè) a<b<0, a廠 12、 已知：a+4.(0<a<1)貝 a = a<a3、已知： x+y= 7 3 - 5 2 ,x-y= ,7.2-53,貝U xy=4、已知： a-b=、12 ,ab=1,b>0 貝U a+b=+b2=4ab，求的值a b例 3:已知：a+b= , J992.199

15、1 ,a-b=八 1992 -1991 求 ab 的值例 4:已知：a-b=2+ ：.< 3b-c=2- .； 3 求 a +b +c -ab-bc-ac 的值.例 5: 乂二丄打心-加1 .y= -求:x2-xy+y2 的值.2 2例 6、已知：x22y - . 3, y2 2x - 3,x = y,求 的值x y針對性練習1 11、 已知：a=, b=求下列各式的值.2+J32-J32 2(3) .a b+ab =1 1 2 2(1).= ( 2).a -ab+b =a +1 b +15、已知:=2，求x 9x1的值5）、平方法例1 ：已知:= Ja 一 丄，求、axx2_4x（用a

16、的代數(shù)式表示x 2 - x 4x V例 2:已知：x=- 2x2 - 3xy-4y2 (y<0)，求一的值 y例 3:已知：25 - x2 - 15 x2 =4，求 2x215 x2 的值.例 4、若 a = 1 Ja/2 +1 -£2，求 a2 + Fa4 + a +1 的值2 8 86）、放縮法例題1 :已知x+y=-4,xy=1求I + TI的值 y x例題：求代數(shù)式863 . 8 - 63的值7）、余式（或降次）法=十 i17例題：當 x= 3時.4x4-10x3-12x2+27x-4 的值是2針對性練習33-51、設(shè) x=貝卩(x+1)(x+2)(x+3)(x+4)=

17、22、若x= , 3 -1那么3 -2x2 -4x_2 =x 2x13、已知：1355x=那么一X3 + X2十一x+1的值為.214244、已知 X - =，求多項式(2x5+2x4-53x3-57x+54 ) 2°°3 的值2 21 十 V 2002/320025、已知：X，貝U 4x- 2005x - 2002()21A、0B、1C、4D、一48) 、制造有理化因式法例題：已知：.a 4. a -1 =5求.6 - 2 . a的值.9）、勾股構(gòu)造法例1 ：求代數(shù)式 x21x 2 9的最小值例2:已知：a.b均為正數(shù)且a+b=2求U= ； a2. b2 ' 1的

18、最小值.10）、規(guī)律探索法例題：化簡:1100,9999、1001 1 12J,23,22*34山 3.4例題:計算:1一 22014計算:+1.2010 * 201111）、換元法例題：化簡 y 2 3 2y- 2y-51、設(shè) x =、2001 . 2000 ,奧數(shù)訓練之二次根式檢測題y =吩2000 - .1999，則x,y的大小關(guān)系是（A、x > y B、x=yD、無法確定2、當x119943時，多項式(4x3 -1997X-1994)2001的值是（C、22001200123、化簡a -b2 ab -a的值是（一 ba - lb4、當m在可以取值范圍內(nèi)取不同的值時，代數(shù)式.27-

19、4m 2m2的最小值是（C、335、 滿足等式.2x h32 - 2. y的整數(shù)解有A、一組 B、兩組 C、三組D、四組6、設(shè)正整數(shù)a,m,n滿足；a2 -4 2 = m - n，則這樣的a,m,n的取值（）A、有一組B、有兩組C、多于兩組D、不存在A "AA7、 已知 a=+J2，則 a2 + Ja4 +a +1 的值等于（）28 8弋 2匚_ rrv'2A、B、-.2C、2.2D、248、設(shè)m = . 51,則m+ 的整數(shù)部分為 m9、 計算：，2001 2002 2003 2004 1 -20022=10、 若px -2 Jx -1和£ y _4jy _4互為相反數(shù)，則 I的值為 y11、已知x，那么12、化簡:23 -6 6 -4 23 +血13、設(shè)實數(shù) x,y,z 滿足 x y z = 4 i x - 5 y - 4 - Jz -3，求 x,y,z 的值14、已知 0v x v 1 v yv 2,求x2y2-2xy 4x-4y4, 1 _2xx2_y2-4y4 的值15、k 1 一.、 八 k 1、k1k為自然數(shù)，且2 23x +34xy+3y =1000求k的值-的值a16、設(shè)a為3 、5 - ； 3 - . 5的小數(shù)部分，b為；.6 3, 3 - 6 - 3,. 3的