四年級下冊數(shù)學講義-培優(yōu)專題講練：第4講巧算與速算(無答案)人教版

1、第 4 講 巧算與速算二巧點晴方法和技巧數(shù)列中的數(shù)稱為項，第一個數(shù)叫第一項，又叫首項；第二個數(shù)叫 第二項最后一個數(shù)叫末項。如果一個數(shù)列從第二項開始，每一項與它前面一項的差都相等， 就稱這個數(shù)列為等差數(shù)列。后一項與前一項的差叫做這個數(shù)列的公 差。如：1, 3. 5. 7,是等差數(shù)列，公差為2;5, 10, 15, 20是等差數(shù)列，公差為 5。 在等差數(shù)列中,有如下規(guī)律：總和二首項+末項X項數(shù)寧2 項數(shù)=末項一首項公差+ 1 第n項二首項+ n - 1x公差巧指導例題精講A級沖刺名校根底點晴例 1 求下面各數(shù)列有多少項。(1) 2, 5, 8,65, 68(2) 1, 3, 5，97, 99分析與

2、解 由觀察可知 1 2都是等差數(shù)列。1首項 =2，末項 =68，公差=3，所以，項數(shù)二68- 2寧 3+仁66- 3+ 1=23 2首項 =1，末項 =99，公差 =2，所以，項數(shù)二99- 1寧 2+仁98- 2+ 1=50做一做1等差數(shù)列7, 11, 15,-, 195。問這個數(shù)列共有多少項？例 2計算：12+5+8+-+65+6822+4+6+-+2021-1+3+5+-+2007分析與解 由觀察可知 12都是等差數(shù)列。1項數(shù)二68-2- 3+ 1=23總和二首項+末項X項數(shù)寧2=2 + 68X 23- 2=8052解法一 原式=2 + 2021X 1004-2- 1 + 2007X 10

3、04-2=1004解法二 原式=2-1+4-3+-+ 2021-2007=1X 1004=1004小結 在計算等差數(shù)列的總和時, 要先用項數(shù)公式求出項數(shù), 然后再 用總和公式求出總和。做一做 2 計算：(1) 2 + 4+6+ + 98+ 100(2) 51 + 52+53+ 99+ 100【例 3】計算：1 - 2003 + 2-2003+ 3 - 2003 + 2001 - 2003+ 2002-2003 + 2003 -2003分析與解 如果按照原式的順序，先算各個商，再求和，既繁又難。由于除數(shù)都相同，被除數(shù)組成一個等差數(shù)列：1, 2, 3, 4,，2001, 2002， 2003，所以

4、可根據(jù)除法的運算性質，先求全部被除數(shù)的各，再 求商。解 原式=(1+2 + 3+ + 2002+ 2003)- 2003=(1+ 2003)X 2003- 2-2003=1002小結 此題解法巧在根據(jù)題目的特點,運用除法性質進行轉化。 計算中又應用乘除混合的簡化運算,使整個解答顯得簡潔明快。做一做 3 計算：15-49+17-49+19-49+21-49+23-49+25-49+27-49B級培優(yōu)競賽更上層樓【例4】求等差數(shù)列3, 5, 7的第10項和第100項。分析與解 在這個等差數(shù)列中首項 =3,公差 =2,項數(shù)=10,100,直接代入通項公式即可求得。第 10 項=3+( 10- 1)X

5、 2=21第 100 項=3+( 100)X 2=201做一做4求等差數(shù)列5, 8, 11,的第21項和第35項。【例 5】有 20 個朋友聚會，見面時如果每人都和其他人握手 1 次,這 20 個人一共握手多少次？分析與解 設20個人分別為A1, A2, A,，A20,我們從A開始 按順序分析：A和A, A3, A，Ao這19個人每人握手一次，共握手19次；由于AA握過手，所以A只能和A3, A, A,Ao這18個 人每人握手一次,共握手 18 次；由于AA, A握過手，所以A只能和A, A, A,，Ao這 17 個人每人握手一次,共握手 17 次；以此類推，A19只能和A20握手1次。這 2

6、0 個人總共握手的次數(shù)為：1 + 2 + 3+ 18+ 19=(1 + 19)x 19- 2=190(次)答：這 20 個人一共握手 190 次。小結 握手次數(shù)等于從 1 開始的連續(xù)自然數(shù)的和,其中最大的自 然數(shù)比人數(shù)少 1,如果有 n 個人握手,且每個人和其他人都只握手一 次，那么握手的總次數(shù)為1 + 2 + 3+( n 1)。做一做 5 如果參加宴會的每一個人都和其他人握手 1 次,宴會 結束時,統(tǒng)計出一共握手 28 次。問參加宴會的一共有多少人？例 6】如下列圖所示,這是一個堆放鋼管的 V 形架。如果 V 開架上一共放有465根鋼管，問最上面一層有多少根鋼管?分析與解通過仔細觀察可知，從

7、最下面一層到最上面一層每一 層堆放的鋼管根數(shù)組成一個等差數(shù)列。此外還可發(fā)現(xiàn)鋼管擺放的層數(shù) 與最上面一層的根數(shù)相同，即第幾層就有幾根鋼管，那么(1 + n)x n寧2=465(1 + n) x n=930觀察到n和(n+1)是相鄰的兩個自然數(shù)，所以只要把 930分 成兩個相鄰自然數(shù)的積即可。這樣，930=30x 31。所以，最上面一層有30根鋼管。答：最上面一層有30根鋼管。做一做6在一個七層高的書架上放了 497本書，上面一層總比 下面一層少7本書。問最上面一層放了多少本書？C級(選學)決勝總決賽勇奪冠軍【例7】假設干同樣的盒子排成一排。小明把 50多個同樣的棋子 分裝在盒里，其中只有一個盒子

8、里沒有裝棋子，然后他出去了。小光 從每個裝有棋子的盒子里各拿出一個棋子放在空的盒子里，再把盒子 重新排一下。小明回來仔細查看一番，沒發(fā)現(xiàn)有人動過這些盒子里的棋子。你知道盒子有多少個嗎？分析與解 先分析盒子里棋子個數(shù)的分配情況，因為原有的空盒 不空，而小明沒發(fā)現(xiàn)有人動過，所以，現(xiàn)必須有一個新的空盒，按題 意，這個空盒原應有 1 個棋子。仿上推理，現(xiàn)裝 1 個棋子的盒子里， 原應有2個棋子；現(xiàn)裝2個棋子的盒子里，原應有3個棋子所以, 原盒子里的棋子從少到多應依次是0, 1, 2, 3,，再計算棋子總數(shù)，確定盒子個數(shù)。依題意，0+ 1 + 2 + 3+ =50多而，0+ 1 +2+3+ + 9=45

9、0+1 + 2 + 3+10=550+ 1 + 2 + 3+ 11=66故共有 55 個棋子, 11 個盒子。做一做 7 有 10 只盒子,能不能把 44 只乒乓球放到盒子里去, 使各盒子里的乒乓球數(shù)不相等？巧練習溫故知新四A級沖刺名校根底點晴1.1 +2+3+ 2002+ 20032.2 +6+ 3+ 12+ 4+18+5+ 24+ 6+ 303.等差數(shù)列4, 8, 12, 16,中第99項是多少?4.1 2+ 3- 4 + 5一2002 + 20035.等差數(shù)列0, 6, 12, 18,中第31項是多少？在這個數(shù)列中，2400 是第幾項？B級培優(yōu)競賽更上層樓6 . 2000 1 998 4

10、 2 1 999 1 997 1 995 3 1 7. 求 1100這 100個數(shù)中所有 3的倍數(shù)以外的數(shù)的和。8. 小紅從五月一日開始寫大字。 她第一天寫了 4 個,以后每天比 前一天多寫相同的數(shù)量的字。 結果全月一共寫了 589 個大字, 小紅每 天比前一天多寫幾個大字？9. 兄弟分錢問題：兄弟共十人,來分十萬元。 十人十個等,差數(shù)卻均勻。 長多幼弟少,老八六千元。 每級差多少,誰能說得清？10. 計算所有三位自然數(shù)之和。C級選學決勝總決賽勇奪冠軍11. 求所有被 4除余 2的兩位數(shù)之和。12. 把從1開始的所有奇數(shù)進行分組，其中每組的第一個數(shù)都等 于此組中所有數(shù)的個數(shù)，如1，3, 5,

11、7，9, 11，13，15，17, 19, 21, 23，25，27, 29，,79，81，,那么第 5 組中所 有數(shù)的和是多少？13. 有一堆粗細均勻的圓木，堆成如下列圖的形狀，最上面一層有6根，每向下一層增加一根。假設最下面一層有 94根，問：這堆圓木 共有多少根？14. 一個正三角形ABC每邊長1米。在每邊上從頂點開始每隔2 厘米取一點，然后從這些點出發(fā)作兩條直線，分別和其他兩平行如 右下列圖，這些平行張相交在三角形 ABC中得到許多邊長為2厘米的 三形。1求邊長為2厘米的三角形的個數(shù)；2求所作平行線段的總長度。15. 右下列圖是一個五邊形點陣，中心一個點算第一層，第二層每 邊兩個點正五

12、邊形頂點處有一點為相鄰兩邊公用，第三層每邊三 個點，第四層每邊四個點，其余類推。假設該五邊形點陣共有100層,那么點陣中的點的總數(shù)有多少？巧總結本節(jié)我的收獲是：。 缺乏之處有:。智慧泉數(shù)學回文清代，北京有個酒樓叫“天然居。一次，乾隆皇帝觸景生情， 以酒樓為題寫對聯(lián)，上聯(lián)是：客上天然居，居然天上客。但是，這位博學多才的皇帝苦苦思索，卻寫不出下聯(lián)， 直到很久 以后，才有位讀書人給出了下聯(lián):僧游云隱寺，寺隱云游僧與此類似，數(shù)學里也有“回文式 。我們借用上面的對聯(lián)組成這樣一個式子：僧游X云隱寺二寺隱云X游僧現(xiàn)在要問：不同的漢字用不同的數(shù)字 09代替，這個算式能 成立嗎？能，而且不止一個：12X 231

13、=132X 21，12 X 462=264X 21， 13 X 341=143X 31，13 X 682=286X 31我們看到，這類等式不僅外形整齊、對稱， “內部構造也很巧 妙：每個等式中兩位數(shù)的十位數(shù)字和三位數(shù)的百位數(shù)字的乘積， 正好 等于兩位數(shù)的個位數(shù)字和三位數(shù)的個位數(shù)字的乘積； 等式中的三位數(shù) 的十位數(shù)字恰好等于個位數(shù)字和百位數(shù)字和和。 例如，在12X 231 = 132X 12 中，1 X 2=2X 1,且 3=2 + 1;在 12X 693=396X 21 中，1X 6=2 X 3，且 9=63 等。掌握了這兩個特點, 就容易寫出這類等式了, 并且能夠容易地看 出,關鍵是找出滿足

14、第一個特點的四個數(shù)字, 從而三位數(shù)的十位數(shù)字 也就確定了。例如, 3X 6=9X 2,這時三位數(shù)的十位數(shù)字是 6+ 2=8, 可得等式39X 682=286X 93當然,也可以由 9X 2=3X 6,又 2+ 6=8,得93X 286=682X 39這兩種形式反映了同樣四個數(shù)之間的關系, 可以看做是一個等式的兩種形式那么這類等式共有多少個呢？我們可從1開始，依次取2, 3,9進行組合，然后再從2開始， 依次取3, 4,，9,進行組合，看能組合成多少不完全相同的 4個 數(shù)字的乘積，并且第2個、第4個數(shù)字的和不大于9,就能有多少個 不同的等式。1 x 2=2X 1,又 2+仁3,1X 3=3x 1

15、,又 3+ 1=4,1 x 4=4x 1,又 4+仁5,于是有 12X 231 = 132X 21;于是有 13X 341=143X 31;于是有 14X 451 = 154X 41;依此類推，共可得出33個不同等式。數(shù)學里還有“回文數(shù)，其特征是：從左到右讀與從右到左讀完 全一樣，例如，101, 32123, 9999等。兩個相同位數(shù)的回文數(shù)，如果各位相加時能夠“就地消化，不發(fā)生進位情況，那么其和仍是一個回文數(shù)。同樣，當兩個回文數(shù)相減 時規(guī)定要用大數(shù)減小數(shù)，如果不需要從上一位“借，那么其差也是 一個回文數(shù)。例如：5 6 3 6 55 7 7 5+ 1 2 6 2 1 2 2 2 26 8 9

16、8 63 5 5 3有趣的是，某些回文數(shù)在相加時即使要發(fā)生“進位，其和數(shù)卻 依然是個回文數(shù)。例如：+ 8 8 8 81 2 2 2 1 1 2 2 2 1我們的回文數(shù)的模式是aaa 共n個a與bbb 共n個 b,而且a與b應滿足關系式a + b=11，以及1v a , bV 10。假設你遇到一個不是回文數(shù)的普通數(shù)，怎樣才能使它“變 成回文數(shù)呢？方法很簡單，只要把這個數(shù)加上它的逆序數(shù)就行 了，這稱為一次“操作或“變換，把這種“操作反復進 行下去，到頭來你就可以得出一個回文數(shù)。這就是有名的“回文數(shù)猜測，它至今仍然是個謎：說它正 確，卻無法證明；說它不正確又找不出一個反例?？赡艹蔀檎f明“回文數(shù)猜測不成立的是 196,因為有人用 電子計算機對這個數(shù)進行了幾十萬步計算，仍然沒有出現(xiàn)回文 數(shù)，但是卻沒有人能證明這個數(shù)永遠產生不了回文數(shù)。數(shù)學家還對“回文質數(shù)“進行了大量研究， 發(fā)現(xiàn)了另外一些“謎。101 , 131, 353, 919,這些自然數(shù)既是回文數(shù)，又是質數(shù)， 叫做“回文質數(shù)“。第一個謎是：回文質數(shù)是無窮多個嗎？數(shù)學家猜測它有無窮 多個，但也僅僅是