中學(xué)考試數(shù)學(xué)二次函數(shù)動點(diǎn)問題 因動點(diǎn)產(chǎn)生地面積問題

1、實(shí)用文檔 文案大全 因動點(diǎn)產(chǎn)生的面積問題 例1 2013年蘇州市中考第29題 如圖1，已知拋物線212yxbxc?（b、c是常數(shù)，且c0）與x軸交于A、B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)），與y軸的負(fù)半軸交于點(diǎn)C，點(diǎn)A的坐標(biāo)為(1,0) （1）b_，點(diǎn)B的橫坐標(biāo)為_（上述結(jié)果均用含c的代數(shù)式表示）；（2）連結(jié)BC，過點(diǎn)A作直線AE/BC，與拋物線交于點(diǎn)E點(diǎn)D是x軸上一點(diǎn)，坐標(biāo)為(2,0)，當(dāng)C、D、E三點(diǎn)在同一直線上時，求拋物線的解析式； （3）在（2）的條件下，點(diǎn)P是x軸下方的拋物線上的一動點(diǎn)，連結(jié)PB、PC設(shè)PBC的面積為S 求S的取值范圍； 若PBC的面積S為正整數(shù)，則這樣的PBC共有_個 圖1

2、動感體驗(yàn) 請打開幾何畫板文件名“13蘇州29”，拖動點(diǎn)C在y軸負(fù)半軸上運(yùn)動，可以體驗(yàn)到，EHA與COB保持相似點(diǎn)擊按鈕“C、D、E三點(diǎn)共線”，此時EHDCOD拖動點(diǎn)P從A經(jīng)過C到達(dá)B，數(shù)一數(shù)面積的正整數(shù)值共有11個 請打開超級畫板文件名“13蘇州29”，拖動點(diǎn)C在y軸負(fù)半軸上運(yùn)動，可以體驗(yàn)到，EHA與COB保持相似點(diǎn)擊按鈕“C、D、E三點(diǎn)共線”，此時EHDCOD拖動點(diǎn)P從A經(jīng)過C到達(dá)B，數(shù)一數(shù)面積的正整數(shù)值共有11個 思路點(diǎn)撥 1用c表示b以后，把拋物線的一般式改寫為兩點(diǎn)式，會發(fā)現(xiàn)OB2OC 2當(dāng)C、D、E三點(diǎn)共線時，EHACOB，EHDCOD 3求PBC面積的取值范圍，要分兩種情況計(jì)算，P在

3、BC上方或下方 4求得了S的取值范圍，然后羅列P從A經(jīng)過C運(yùn)動到B的過程中，面積的正整數(shù)值，再數(shù)一數(shù)個數(shù)注意排除點(diǎn)A、C、B三個時刻的值 滿分解答 實(shí)用文檔 文案大全 （1）b12c?，點(diǎn)B的橫坐標(biāo)為2c （2）由2111()(1)(2)222yxcxcxxc?，設(shè)E1(,(1)(2)2xxxc? 過點(diǎn)E作EHx軸于H 由于OB2OC，當(dāng)AE/BC時，AH2EH 所以1(1)(2)xxxc?因此12xc?所以(12,1)Ecc?當(dāng)C、D、E 三點(diǎn)在同一直線上時，EHCODHDO? 所以1212ccc?整理，得2c23c20解得c2或12c?（舍去） 所以拋物線的解析式為213222yxx? （

4、3）當(dāng)P在BC下方時，過點(diǎn)P作x軸的垂線交BC于F 直線BC的解析式為122yx? 設(shè)213(,2)22Pmmm?，那么1(,2)2Fmm?，2122FPmm? 所以SPBCSPBFSPCF 221()24(2)42BCFPxxFPmmm?因此當(dāng)P在BC下方時，PBC的最大值為4當(dāng)P在BC上方時，因?yàn)镾ABC5，所以SPBC5 綜上所述，0S5 若PBC的面積S為正整數(shù)，則這樣的PBC共有11個 考點(diǎn)伸展 點(diǎn)P沿拋物線從A經(jīng)過C到達(dá)B的過程中，PBC的面積為整數(shù)，依次為（5），4，3，2，1，（0），1，2，3，4，3，2，1，（0） 當(dāng)P在BC下方，S4時，點(diǎn)P在BC的中點(diǎn)的正下方，F(xiàn)是BC

5、的中點(diǎn) 實(shí)用文檔 文案大全 例 2 2012年菏澤市中考第21題 如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中放置一直角三角板，其頂點(diǎn)為A(0, 1)、B(2, 0)、O(0, 0)，將此三角板繞原點(diǎn)O逆時針旋轉(zhuǎn)90°，得到三角形ABO （1）一拋物線經(jīng)過點(diǎn)A、B、B，求該拋物線的解析式； （2）設(shè)點(diǎn)P是第一象限內(nèi)拋物線上的一個動點(diǎn)，是否存在點(diǎn)P，使四邊形PBAB的面積是ABO面積的4倍？若存在，請求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由； （3）在（2）的條件下，試指出四邊形PBAB是哪種形狀的四邊形？并寫出它的兩條性質(zhì) 圖1來源:zzs#* 動感體驗(yàn) 請打開幾何畫板文件名“12菏澤21”

6、，拖動點(diǎn)P在第一象限內(nèi)的拋物線上運(yùn)動，可以體驗(yàn)到，當(dāng)四邊形PBAB是等腰梯形時，四邊形PBAB的面積是ABO面積的4倍 請打開超級畫板文件名“12菏澤21”，拖動點(diǎn)P在第一象限內(nèi)的拋物線上運(yùn)動，可以體驗(yàn)到，當(dāng)四邊形PBAB是等腰梯形時，四邊形PBAB的面積是ABO面積的4倍 思路點(diǎn)撥 1四邊形PBAB的面積是ABO面積的4倍，可以轉(zhuǎn)化為四邊形PBOB的面積是 ABO面積的3倍 2聯(lián)結(jié)PO，四邊形PBOB可以分割為兩個三角形 3過點(diǎn)向x軸作垂線，四邊形PBOB也可以分割為一個直角梯形和一個直角三角形 滿分解答 （1）AOB繞著原點(diǎn)O逆時針旋轉(zhuǎn)90°，點(diǎn)A、B的坐標(biāo)分別為(1, 0) 、

7、(0, 2) 因?yàn)閽佄锞€與x軸交于A(1, 0)、B(2, 0)，設(shè)解析式為ya(x1)(x2)， 代入B(0, 2)，得a1來%#源:*&中教網(wǎng) 所以該拋物線的解析式為y(x1)(x2) x2x2 實(shí)用文檔 文案大全 （2）SABO1 如果S四邊形PBAB4 SABO4，那么S四邊形PBOB3 SABO3如圖2，作PDOB，垂足為D 設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為 (x，x2x2) 232'1111(')(22)22222PBODSDOBOPDxxxxxx?梯形2321113(2)(2)22222PDBSDBPDxxxxx? 所以2'''2+2PDBPBADP

8、BODSSSxx?四邊形梯形解方程x22x23，得x1x21 所以點(diǎn)P的坐標(biāo)為(1，2) 圖2 圖3 圖4 （3）如圖3，四邊形PBAB是等腰梯形，它的性質(zhì)有：等腰梯形的對角線相等；等腰梯形同以底上的兩個內(nèi)角相等；等腰梯形是軸對稱圖形，對稱軸是經(jīng)過兩底中點(diǎn)的直線 考點(diǎn)伸展 第（2）題求四邊形PBOB的面積，也可以如圖4那樣分割圖形，這樣運(yùn)算過程更簡單 '11'222PBOPSBOxxx?22112(2)222PBOPSBOyxxxx? 所以2'''2+2PBOPBOPBADSSSxx?四邊形 甚至我們可以更大膽地根據(jù)拋物線的對稱性直接得到點(diǎn)P：作AOB關(guān)

9、于拋物線的對稱軸對稱的BOE，那么點(diǎn)E的坐標(biāo)為(1，2) 而矩形EBOD與AOB、BOP是等底等高的，所以四邊形EBAB的面積是ABO面積的4倍因此點(diǎn)E就是要探求的點(diǎn)P 例 3 2012年河南省中考第23題 實(shí)用文檔 文案大全 如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，直線112yx?與拋物線yax2bx3交于A、B兩點(diǎn)，點(diǎn)A在x軸上，點(diǎn)B的縱坐標(biāo)為3點(diǎn)P是直線AB下方的拋物線上的一動點(diǎn)（不與點(diǎn)A、B重合），過點(diǎn)P作x軸的垂線交直線AB于點(diǎn)C，作PDAB于點(diǎn)D （1）求a、b及sinACP的值； （2）設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為m 用含m的代數(shù)式表示線段PD的長，并求出線段PD長的最大值；連結(jié)PB，線段PC把PDB分

10、成兩個三角形，是否存在適合的m的值，使這兩個三角形的面積比為910？若存在，直接寫出m的值；若不存在，請說明理由 圖1 動感體驗(yàn) 請打開幾何畫板文件名“12河南23”，拖動點(diǎn)P在直線AB下方的拋物線上運(yùn)動，可以體驗(yàn)到，PD隨點(diǎn)P運(yùn)動的圖象是開口向下的拋物線的一部分，當(dāng)C是AB的中點(diǎn)時，PD達(dá)到最大值觀察面積比的度量值，可以體驗(yàn)到，左右兩個三角形的面積比可以是910，也可以是109 思路點(diǎn)撥 1第（1）題由于CP/y軸，把ACP轉(zhuǎn)化為它的同位角 2第（2）題中，PDPCsinACP，第（1）題已經(jīng)做好了鋪墊 3PCD與PCB是同底邊PC的兩個三角形，面積比等于對應(yīng)高DN與BM的比 4兩個三角形的

11、面積比為910，要分兩種情況討論 滿分解答 （1 ）設(shè)直線112yx?與y軸交于點(diǎn)E，那么A(2,0)，B(4,3)，E(0,1)在RtAEO中，OA2，OE1 ，所以5AE? 所以25sin5AEO? 因?yàn)镻C/EO，所以ACPAEO 因此25sin5ACP? 將A(2,0)、B(4,3)分別代入yax2bx3，得4230,16433.abab? 解得12a? ，12b? （2）由211(,3)22Pmmm?，1(,1)2Cmm?， 實(shí)用文檔 文案大全 得221111(1)(3)42222PCmmmmm? 所以2225251595sin(4)(1)55255PDPCACPPCmmm?所以PD

12、 的最大值為955 （3）當(dāng)SPCDSPCB910時，52m?； 當(dāng)SPCDSPCB109 時，329m? 圖2 考點(diǎn)伸展 第（3）題的思路是：PCD與PCB是同底邊PC的兩個三角形，面積比等于對應(yīng)高DN與BM的比 而252511coscos(4)(2)(4)5525DNPDPDNPDACPmmmm?， BM4m 當(dāng)SPCDSPCB910 時，19(2)(4)(4)510mmm?解得52m?當(dāng)SPCDSPCB109 時，110(2)(4)(4)59mmm? 解得329m? 實(shí)用文檔 文案大全 例 4 2011年南通市中考第28題 如圖1，直線l經(jīng)過點(diǎn)A(1，0) ，且與雙曲線myx?(x0)交

13、于點(diǎn)B(2，1)過點(diǎn)(,1)Ppp?(p1)作x 軸的平行線分別交曲線myx?(x0) 和myx?(x0)于M、N兩點(diǎn) （1）求m的值及直線l的解析式；（2）若點(diǎn)P在直線y2上，求證：PMBPNA； （3）是否存在實(shí)數(shù)p，使得SAMN4SAMP？若存在，請求出所有滿足條件的p的值；若不存在，請說明理由 圖1 動感體驗(yàn) 請打開幾何畫板文件名“11南通28”，拖動點(diǎn)P在射線AB上運(yùn)動，可以體驗(yàn)到，當(dāng)直線MN經(jīng)過（0，2）點(diǎn)時，圖形中的三角形都是等腰直角三角形；AMN和AMP是兩個同高的三角形，MN4MP存在兩種情況 思路點(diǎn)撥 1第（2）題準(zhǔn)確畫圖，點(diǎn)的位置關(guān)系盡在圖形中 2第（3）題把SAMN4S

14、AMP轉(zhuǎn)化為MN4MP，按照點(diǎn)M與線段NP的位置關(guān)系分兩種情況討論 滿分解答 （1）因?yàn)辄c(diǎn)B(2，1) 在雙曲線myx?上，所以m2設(shè)直線l的解析式為ykxb?，代入點(diǎn)A(1，0)和點(diǎn)B(2，1)，得0,21.kbkb? 解得1,1.kb? 所以直線l的解析式為1yx? （2）由點(diǎn)(,1)Ppp?(p1)的坐標(biāo)可知，點(diǎn)P在直線1yx?上x軸的上方如圖2，當(dāng)y2時，點(diǎn)P的坐標(biāo)為(3，2)此時點(diǎn)M的坐標(biāo)為(1，2)，點(diǎn)N的坐標(biāo)為(1，2) 實(shí)用文檔 文案大全 由P(3，2)、M(1，2)、B(2，1)三點(diǎn)的位置關(guān)系，可知PMB為等腰直角三角形由P(3，2)、N(1，2)、A(1，0)三點(diǎn)的位置關(guān)系

15、，可知PNA為等腰直角三角形所以PMBPNA 圖2 圖3 圖4 （3）AMN和AMP是兩個同高的三角形，底邊MN和MP在同一條直線上 當(dāng)SAMN4SAMP時，MN4MP 如圖3，當(dāng)M在NP上時，xMxN4(xPxM)因此222()4(1)xxxx? 解得1132x? 或1132x?（此時點(diǎn)P在x軸下方，舍去） 此時1132p? 如圖4，當(dāng)M在NP的延長線上時，xMxN4(xMxP)因此222()4(1)xxxx? 解得152x? 或152x?（此時點(diǎn)P在x軸下方，舍去） 此時152p? 考點(diǎn)伸展 在本題情景下，AMN能否成為直角三角形？ 情形一，如圖5，AMN90°，此時點(diǎn)M的坐標(biāo)為

16、（1，2），點(diǎn)P的坐標(biāo)為（3，2）情形二，如圖6，MAN90°，此時斜邊MN上的中線等于斜邊的一半 不存在ANM90°的情況 圖5 圖6 實(shí)用文檔 文案大全 例5 2010年廣州市中考第25題 如圖1，四邊形OABC是矩形，點(diǎn)A、C的坐標(biāo)分別為(3,0)，(0,1)點(diǎn)D是線段BC上的動點(diǎn)（與端點(diǎn)B、C不重合），過點(diǎn)D作直線12yxb?交折線OAB于點(diǎn)E （1）記ODE的面積為S，求S與b的函數(shù)關(guān)系式； （2）當(dāng)點(diǎn)E在線段OA上時，若矩形OABC關(guān)于直線DE的對稱圖形為四邊形O1A1B1C1，試探究四邊形O1A1B1C1與矩形OABC的重疊部分的面積是否發(fā)生變化？若不變，求出

17、重疊部分的面積；若改變，請說明理由 圖1 動感體驗(yàn) 請打開幾何畫板文件名“10廣州25”，拖動點(diǎn)D由C向B運(yùn)動，觀察S隨b變化的函數(shù)圖象，可以體驗(yàn)到，E在OA上時，S隨b的增大而增大；E在AB上時，S隨b的增大而減小雙擊按鈕“第（3）題”，拖動點(diǎn)D由C向B運(yùn)動，可以觀察到，E在OA上時，重疊部分的形狀是菱形，面積不變雙擊按鈕“第（2）題”可以切換 思路點(diǎn)撥 1數(shù)形結(jié)合，用b表示線段OE、CD、AE、BE的長 2求ODE的面積，要分兩種情況當(dāng)E在OA上時，OE邊對應(yīng)的高等于OC；當(dāng)E在AB邊上時，要利用割補(bǔ)法求ODE的面積 3第（3）題中的重疊部分是鄰邊相等的平行四邊形 4圖形翻著、旋轉(zhuǎn)等運(yùn)動中

18、，計(jì)算菱形的邊長一般用勾股定理 滿分解答 (1)如圖2，當(dāng)E在OA上時，由12yxb?可知，點(diǎn)E的坐標(biāo)為(2b,0)，OE2b此時SSODE 112122OEOCbb? 如圖3，當(dāng)E在AB上時，把y1代入12yxb?可知，點(diǎn)D的坐標(biāo)為(2b2,1)，CD2b2，BD52b把x3代入12yxb?可知，點(diǎn)E的坐標(biāo)為3(3,)2b?，AE 32b?，BE 52b?此時來% SS矩形OABCSOAE SBDE SOCD 實(shí)用文檔 文案大全 1315133()()(52)1(22)22222bbbb?252bb? (2)如圖4，因?yàn)樗倪呅蜲1A1B1C1與矩形OABC關(guān)于直線DE對稱，因此DMDN，那么

19、重疊部分是鄰邊相等的平行四邊形，即四邊形DMEN是菱形 作DHOA，垂足為H由于CD2b2，OE2b，所以EH2 設(shè)菱形DMEN的邊長為m在RtDEH中，DH1，NH2m，DNm，所以12(2m)2m2解 得54m?所以重疊部分菱形DMEN的面積為54 圖2 圖3 圖4 考點(diǎn)伸展 把本題中的矩形OABC繞著它的對稱中心旋轉(zhuǎn)，如果重疊部分的形狀是菱形（如圖5），那么這個菱形的最小面積為1，如圖6所示；最大面積為53，如圖7所示 圖5 圖6 圖7 實(shí)用文檔 文案大全 例 6 2010年揚(yáng)州市中考第28題 如圖1，在ABC中，C90°，AC3，BC4，CD是斜邊AB上的高，點(diǎn)E在斜邊AB上

20、，過點(diǎn)E作直線與ABC的直角邊相交于點(diǎn)F，設(shè)AEx，AEF的面積為y （1）求線段AD的長； （2）若EFAB，當(dāng)點(diǎn)E在斜邊AB上移動時， 求y與x的函數(shù)關(guān)系式（寫出自變量x的取值范圍）； 當(dāng)x取何值時，y有最大值？并求出最大值 （3）若點(diǎn)F在直角邊AC上（點(diǎn)F與A、C不重合），點(diǎn)E在斜邊AB上移動，試問，是否存在直線EF將ABC的周長和面積同時平分？若存在直線EF，求出x的值；若不存在直線EF，請說明理由 圖1 備用圖 動感體驗(yàn) 請打開幾何畫板文件名“10揚(yáng)州28”，拖動點(diǎn)E在AB上運(yùn)動，從y隨x變化的圖象可以體驗(yàn)到，當(dāng)F在AC上時，y隨x的增大而增大；當(dāng)F在BC上時，y隨x變化的圖象是開口

21、向下的拋物線的一部分，y的最大值對應(yīng)拋物線的頂點(diǎn)雙擊按鈕“第（3）題”，我們已經(jīng)設(shè)定好了EF平分ABC的周長，拖動點(diǎn)E，觀察圖象，可以體驗(yàn)到，“面積AEF”的值可以等于3，也就是說，存在直線EF將ABC的周長和面積同時平分雙擊按鈕“第（2）題”可以切換。 思路點(diǎn)撥 1第（1）題求得的AD的長，就是第（2）題分類討論x的臨界點(diǎn) 2第（2）題要按照點(diǎn)F的位置分兩種情況討論 3第（3）題的一般策略是：先假定平分周長，再列關(guān)于面積的方程，根據(jù)方程的解的情況作出判斷 滿分解答 (1) 在RtABC中， AC3，BC4，所以AB5在RtACD中，39cos355ADACA? (2) 如圖2，當(dāng)F在AC上時

22、，905x?在RtAEF中，4tan3EFAEAx?所以21223yAEEFx?如圖3，當(dāng)F在BC上時，955x?在RtBEF中，3tan(5)4EFBEBx?所 以21315288yAEEFxx? 當(dāng)905x?時，223yx? 的最大值為5425； 實(shí)用文檔 文案大全 當(dāng)955x? 時，231588yxx? ?23575)8232x?( 的最大值為7532 因此，當(dāng)52x?時，y 的最大值為7532 圖2 圖3 圖4 (3)ABC的周長等于12，面積等于6先假設(shè)EF平分ABC的周長，那么AEx，AF6x，x的變化范圍為3x5因 此1142sin(6)(6)2255AEFSAEAFAxxxx?

23、解方程2(6)35xx? ，得1362x? 因?yàn)?362x?在3x5范圍內(nèi)（如圖4），因此存在直線EF將ABC的周長和面積同時平分 考點(diǎn)伸展 如果把第（3）題的條件“點(diǎn)F在直角邊AC上”改為“點(diǎn)F在直角邊BC上”，那么就不存在直線EF將ABC的周長和面積同時平分 先假設(shè)EF平分ABC的周長，那么AEx，BE5x，BFx1 因此21133sin(5)(1)(45)22510BEFSBEBFBxxxx? 解方程23(45)310xx?整理，得2450xx?此方程無實(shí)數(shù)根 例7 2009年蘭州市中考第29題 如圖1，正方形 ABCD中，點(diǎn)A、B的坐標(biāo)分別為（0，10），（8，4），點(diǎn)C在第一象限動點(diǎn)

24、P在正方形ABCD的邊上，從點(diǎn)A出發(fā)沿ABCD勻速運(yùn)動，同時動點(diǎn)Q以相同速度在x軸上運(yùn)動，當(dāng)P點(diǎn)到D點(diǎn)時，兩點(diǎn)同時停止運(yùn)動，設(shè)運(yùn)動的時間為t秒 （1）當(dāng)P點(diǎn)在邊AB上運(yùn)動時，點(diǎn)Q的橫坐標(biāo)x（長度單位）關(guān)于運(yùn)動時間t（秒）的函數(shù)圖象如圖2所示，請寫出點(diǎn)Q開始運(yùn)動時的坐標(biāo)及點(diǎn)P運(yùn)動速度； （2）求正方形邊長及頂點(diǎn)C的坐標(biāo)； （3）在（1）中當(dāng)t為何值時，OPQ的面積最大，并求此時P點(diǎn)的坐標(biāo) （4）如果點(diǎn)P、Q保持原速度速度不變，當(dāng)點(diǎn)P沿ABCD勻速運(yùn)動時，OP與PQ能否相等，若能，寫出所有符合條件的t的值；若不能，請說明理由 實(shí)用文檔 文案大全 圖1 圖2 動感體驗(yàn) 請打開幾何畫板文件名“09蘭州29”，拖動點(diǎn)Q在x軸上運(yùn)動，可以體驗(yàn)到，點(diǎn)Q運(yùn)動的起點(diǎn)為（1，0）；當(dāng)P在AB上時，OPQ的面積隨x變化的圖象是開口向下的拋物線的一部分；觀察點(diǎn)P與OQ的垂直平分線的位置關(guān)系，可以體驗(yàn)到，有兩個時刻，PO=PQ雙擊按鈕“POPQ，P在AB上”和“POPQ，P在CD上”，可以準(zhǔn)確顯示POPQ 思路點(diǎn)撥 1過點(diǎn)B、C、P向x軸、y軸作垂線段，就會構(gòu)造出全等的、相似的直角三角形，出現(xiàn)相等、成比例的線段，用含有t的式子表示這些線段是解題的基礎(chǔ) 2求點(diǎn)C的坐標(biāo)，為求直線B