實(shí)數(shù)的概念與性質(zhì)

1、第六講實(shí)數(shù)的概念及性質(zhì)數(shù)是隨著客觀實(shí)際與社會(huì)實(shí)踐的需要而不斷擴(kuò)充的.從有理數(shù)到無(wú)理數(shù)，經(jīng)歷過(guò)漫長(zhǎng)曲折的過(guò)程，是一個(gè)巨大的飛躍，由于引入無(wú)理數(shù)后， 數(shù)域就由有理數(shù)域擴(kuò)充到實(shí)數(shù)域，這樣，實(shí)數(shù)與數(shù)軸上的點(diǎn)就建立了對(duì)應(yīng)的關(guān)系. 由于引入開方運(yùn)算，完善了代數(shù)的運(yùn)算平方根、立方根的概念和性質(zhì)，是學(xué)習(xí)二次根式、 一元二次方程等知識(shí)的基礎(chǔ).平方根、立方根是最簡(jiǎn)單的方根，建立概念的方法，以及它們的性質(zhì)是進(jìn)一步學(xué)習(xí)偶次方根、奇次方根的基礎(chǔ).有理數(shù)和無(wú)理數(shù)統(tǒng)稱為實(shí)數(shù)，實(shí)數(shù)有下列重要性質(zhì)：1. 有理數(shù)都可以寫成有限小數(shù)或循環(huán)小數(shù)的形式，都可以表示成分?jǐn)?shù)-的形式；無(wú)理數(shù)是p無(wú)限不循環(huán)小數(shù)，不能寫成分?jǐn)?shù)q的形式，這里p、

2、q是互質(zhì)的整數(shù)，且 p 0 .P2. 有理數(shù)對(duì)加、減、乘、除是封閉的，即任何兩個(gè)有理數(shù)的和、差、積、商還是有理數(shù)； 無(wú)理數(shù)對(duì)四則運(yùn)算不具有封閉性，即兩個(gè)無(wú)理數(shù)的和、差、積、商不一定是無(wú)理數(shù).例題求解【例1】若a、b滿足3. a 5 b 3=7,則S= 2、a 3b的取值圍是 .（全國(guó)初中數(shù)學(xué)聯(lián)賽試題）思路點(diǎn)撥 運(yùn)用.a、b的非負(fù)性，建立關(guān)于 S的不等式組.注：古希臘的畢達(dá)哥拉斯學(xué)派認(rèn)為，宇宙間的一切現(xiàn)象都能歸結(jié)為整數(shù)或整數(shù)之比.但是該學(xué)派的成員希伯索斯發(fā)現(xiàn)邊長(zhǎng)為1的正方形的對(duì)角線長(zhǎng)度既不是整數(shù)，也不是整數(shù)的比所能表示，這嚴(yán)重地沖擊了當(dāng)時(shí)希臘人的傳統(tǒng)見(jiàn)解，這一事件在數(shù)學(xué)史上稱為第一次數(shù)學(xué)危機(jī).希

3、伯索斯的發(fā)現(xiàn)沒(méi)有被畢達(dá)哥拉斯學(xué)派的信徒所接受，相傳畢氏學(xué)派就因這一發(fā)現(xiàn)而把希伯索斯投入海中處死.【例2設(shè)a是一個(gè)無(wú)理數(shù)，且 a、b滿足ab a- b+仁0,則b是一個(gè)（）A .小于0的有理數(shù)B .大于0的有理數(shù) C.小于0的無(wú)理數(shù) D .大于0的無(wú)理數(shù)（市選拔賽試題） 思路點(diǎn)撥 對(duì)等式進(jìn)行恰當(dāng)?shù)淖冃?，建立a或b的關(guān)系式.【例3已知a、b是有理數(shù)，且3 0，求a、b的值.32412420思路點(diǎn)拔把原等式整理成有理數(shù)與無(wú)理數(shù)兩部分，運(yùn)用實(shí)數(shù)的性質(zhì)建立關(guān)于a、b的方程組.【例4 （1）已知a、b為有理數(shù)，x ,y分別表示5 7的整數(shù)部分和小數(shù)部分， 且滿足axy+by2=1，求a+b的值.（市競(jìng)賽題

4、）設(shè)x為一實(shí)數(shù)，x表示不大于x的最大整數(shù)，求滿足77.66x= 77.66x+1的整數(shù)x 的值.（省競(jìng)賽題）思路點(diǎn)撥（1）運(yùn)用估算的方法，先確定x，y的值，再代入xy+by2= 1中求出a、b的值；（2）運(yùn)用x的性質(zhì)，簡(jiǎn)化方程.注：設(shè)x為一實(shí)數(shù)，則 兇表示不大于x的最大整數(shù)，x又叫做實(shí)數(shù)x的整數(shù)部分，有以 下基本性質(zhì)：（1）x 1<x < x （2）若 y< x，則y < x （3）若 x 為實(shí)數(shù)，a 為整數(shù)，則x+a= x+ a .【例5】 已知在等式ax b s中，a、b、c、d都是有理數(shù)，x是無(wú)理數(shù)，解答：ex d（1）當(dāng)a、b、c、d滿足什么條件時(shí)，s是有理數(shù)；

5、（2）當(dāng)a、b、c、d滿足什么條件時(shí)，s是無(wú)理數(shù).（“希望杯”邀請(qǐng)賽試題）思路點(diǎn)撥 （1）把s用只含a、b、c、d的代數(shù)式表示； 從以下基本性質(zhì)思考： 設(shè)a是有理數(shù)，r是無(wú)理數(shù)，那么a+r是無(wú)理數(shù)；若 a豐0,則a r也是無(wú)理數(shù)；r的倒數(shù)-也是無(wú)理數(shù)，解本例的關(guān)鍵之一還需運(yùn)用分式的性質(zhì)，對(duì)a、b、c、d取值進(jìn)行詳r細(xì)討論.注：要證一個(gè)數(shù)是有理數(shù)，常證這個(gè)數(shù)能表示威幾十有理數(shù)的和，差，積、商的形式；要證 一個(gè)數(shù)是無(wú)理數(shù)，常用反證法，即假設(shè)這個(gè)數(shù)是有理數(shù)，設(shè)法推出矛盾.學(xué)力訓(xùn)練1 .已知 x、y 是實(shí)數(shù)， .3x4 y2 6y90，若 axy 3x y，則 a=.（2002年個(gè)數(shù)的平方根是 a2

6、b2和4a 6b 13，那么這個(gè)數(shù)是 .3. 方程.上y5. y 18 0的解是.4 .請(qǐng)你觀察思考下列計(jì)算過(guò)程：T112 = 121 ,.12111 ;同樣T 1112=12321 ,.12321111 ;由此猜想 .1234567898 7654321.（市中考題）5. 如圖，數(shù)軸上表示1、2的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為 A、B,點(diǎn)B關(guān)于點(diǎn)A的對(duì)稱點(diǎn)為C,則點(diǎn)C所表示的數(shù)是（）CABA. V2 1 B. 1 v'2 C. 2 42D . V2 2（省中考題）6. 已知x是實(shí)數(shù)，則.x . x 的值是（）1 1 1A . 1B . 1 C.1D.無(wú)法確定的（“希望杯”邀請(qǐng)賽試題）7 .代數(shù)式-X

7、、x 1 x 2的最小值是（）A. 0B . 12 C . 1 D.不存在的（“希望杯”邀請(qǐng)賽試題）&若實(shí)數(shù)a、b滿足（a b 2）2 b 2a 30，求2b+a- 1的值.（省中考題）9 細(xì)心觀察圖形，認(rèn)真分析各式，然后解答問(wèn)題.（、1）2 1 2 , Si ; （. 2）2 1 3 , S2 ； （、3）22 2、.3$ :（1）請(qǐng)用含有n（n是正整數(shù)）的等式表示上述變化規(guī)律；推算出OAio的長(zhǎng)；10.已知實(shí)數(shù)1a b、c滿足2a求出Si2+S22+S32+S2io的值.（市中考題）,2b c c2 c -0，貝U a(b+c)=411. 設(shè)x、y都是有理數(shù)，且滿足方程 （丄 ）x

8、）y 40 ,那么x y的值是2332（“希望杯邀請(qǐng)賽試題）12. 設(shè)a是一個(gè)無(wú)理數(shù)，且 a、b滿足ab+a b= 1，貝U b=.（省競(jìng)賽題）13. 已知正數(shù)a、b有下列命題： 若 a=1, b = 1,則.ab 1 ；15 3 若a 2,b 2，則 ab2 ； 若 a= 2, b=3，則.ab | ； 若 a=1, b=5，則 ab 3 .根據(jù)以上幾個(gè)命題所提供的信息，請(qǐng)猜想，若 a=6, b=7，則、ab（黃岡市競(jìng)賽題）114 .已知：1 aa1，那么代數(shù)式1 a的值為（）aa<5廠A .B .二 C .、5D .522（市競(jìng)賽題）15 .設(shè)x表示最接近x的整數(shù)(x豐n+0.5 ,

9、 n為整數(shù))，則、1 2 + 2 3 + . 3 4 +、100 101 的值為()A . 5151 B . 5150 C. 5050 D. 5049(“五羊杯”邀請(qǐng)賽試題)a b16.設(shè) a<b<0, a2 b2 4ab，則的值為()a bA .-3 B.6 C. 2 D. 3(全國(guó)初中數(shù)學(xué)競(jìng)賽題)h 11117 .若a、b、c為兩兩不等的有理數(shù)，求證：2 2 2為有理數(shù).(a b)2 (b c)2 (c a)2為300克，當(dāng)把鐵塊放在天平的右盤中時(shí)，稱得它的質(zhì)量為900克，求這一鐵塊的實(shí)際質(zhì)量.(省中考題).19. 閱讀下面材料，并解答下列問(wèn)題：在形如ab=N的式于中，我們已經(jīng)

10、研究過(guò)兩種情況：已知a和b,求N，這是乘方運(yùn)算，已知 b和N，求a,這是開方運(yùn)算. 現(xiàn)在我們研究第三種情況；已知a和N，求b,我們把這種運(yùn)算叫做對(duì)數(shù)運(yùn)算.定義：如果 ab=N (a>0 ,1, N>0)，貝U b叫做以a為底的N的對(duì)數(shù)，記作 b=log aN .例如：因?yàn)?3=8，所以log28=3;因?yàn)?-3=-，所以log2 = 3.8 8(1) 根據(jù)定義計(jì)算： log3 8仁: log33=: log3l=；如果 logx 16=4，那么 x= .(2) 設(shè) ax=M , ay = N，貝V logaM=x ; logaN = y(a>0, a 1, N>0 ,

11、M , N 均為正數(shù)).用logAM , logAN的代數(shù)式分別表示logaMN及l(fā)og a，并說(shuō)明理由.N(市中考題)ax b20. 設(shè)y, a、b、c、d都是有理數(shù)，x是無(wú)理數(shù).求證：cx d(1) 當(dāng)bc=ad時(shí)，y是有理數(shù)；(2) 當(dāng)bc豐ad時(shí)，y是無(wú)理數(shù).設(shè)厶ABC的三邊分別是a、b、c,且a2c28b24ab 4bc 0 ,試求AABC的形狀.【例求解】«221+5>>021 孑一 14H-3f>053ft B 由條件得 <al)(6-l)-0 PU 為無(wú)MB.ttd-10.IH6-l-0.W5=»l 巳知和得(卜+*&一2*)

12、 +(4-4】魯)方7*0 且*Q-尋、T 吉0 * <由條件柯 19-21 + 51.19161-14-3iS>0. |6| >0>«因?yàn)閍、b是有見(jiàn)敷庚以a = 31«4<1)V 2<5-77<3.Z. jf=2*=3-“ y+6" = l.a 2 (3-“)+6(3 #* = 1.即 <-2a-66)/7 -2a-66-03 +1-0*4<2)V i«( 77.66一7Lr+0.34幻又-77.66"一78.嫌方段化為7&r + 0. 3U -78x+kW0. 34x=l>

13、;由此fl»原方鶴的“為 x-3.4.5.+ (6a+16*-l)=O. V sb 為右兀效丁«+6-1.(rx+</) +6«5“ + </當(dāng)O.dX0 時(shí).S-yft4|0 時(shí).S_-其中于“用敬心+"無(wú)敬丄一乎“理敗上使S為有"時(shí) 0乎0.即皿僚上知.-fo-r 0且dHO或<=0且Qrd時(shí)S是有理ft. "當(dāng)lo如o時(shí)且 血0是尢理徽,當(dāng)"0腐耳等+話5 奠屮產(chǎn)足有理敷"七是無(wú)兀敷 b弓是有J1敷所以當(dāng)6-乎#0.即AcMad.S為無(wú)埋孔上知當(dāng) r-0.a#0.rf*o A cO.bcad

14、【學(xué)力訓(xùn)第】1169卞 A 由<x-r)>0 且(<-x»0.W x-<QO7. B 由簽件得vy1N0. H x>2.jttH77+ xI + /r-2>VI+ >/?- i +2=71+1工-20a+62=»0 OA|.= /?8 字.f. (1)S.M D 由la| - 14-l>0./.«>0.(y 4-e)1* (-1一 J + 4.15- C "V«rO+l)=*+0S”_025VCr + 0$F :. x< /x(r+l)<+0.!. A L/7fr-*-1)1 = 從*fJKX：.l + 2+J4- 100 - 5050A 3+6aAa 6)* F2a6s+6 /込 a_6_ VZab.町口遷環(huán)r+rz+TT(丄 4丄+丄 f Qf )(i-r)1(7-ar5-廠八設(shè)鐵塊的盤為m千丸天平的左右宵長(zhǎng)分耕為Z. ./,= 300厶(D900人 XOI9 w1 a/,-270000/,/,pi- 7270000519. 6(ft)19. (1)D4b(2)1iO0i乙巳才+屮如總之上一，證踴略.20不他網(wǎng)時(shí)為0臺(tái)IN，尢威義若c«0.由Ar Jd.dO.得-()此時(shí)，#為有理賈若d=0JM r#0由& M.UU-0