基于MATLAB的巴特沃斯濾波器

1、 數(shù)字信號處理課程設計 2015年 6 月 25 日目 錄一設計目的：2二設計要求：3三設計內容：33.1選擇巴特渦斯低通數(shù)據(jù)濾波器及雙線性變換法的原因33.2巴特沃思低通濾波器的基本原理43.3雙線性變換法原理53.4數(shù)字濾波器設計流程圖73.5數(shù)字濾波器的設計步驟7四用matlab實現(xiàn)巴特沃斯低通數(shù)字濾波器的仿真并分析84.1巴特沃斯低通數(shù)字濾波器技術指標的設置84.2用matlab實現(xiàn)巴特沃斯低通數(shù)字濾波器的仿真94.3波形圖分析：12五.總結與體會12六附錄 參考文獻14一設計目的： 該課程設計是測控技術與儀器專業(yè)的必修課，開設課程設計的目的使學生掌握數(shù)字信號處理的基本概念和基本理論，

2、能夠利用輔助工具進行FIR和IIR數(shù)字濾波器的設計，進行一維信號的頻譜分析，并進行仿真驗證。加強實踐教學環(huán)節(jié)，加強學生獨立分析、解決問題的能力，培養(yǎng)學生動手能力和解決實際問題的能力，實現(xiàn)寬口徑教育。(1)理解低通濾波器的過濾方法。(2)進一步熟悉低通濾波器的基本應用。(3)用仿真工具matlab軟件對設計的濾波器進行軟件和硬件仿真。(6)將對仿真結果進行比較，從而檢驗濾波器濾波性能的準確性。二設計要求： 地震發(fā)生時，除了會產生地震波，還會由地層巖石在斷裂、碰撞過程中所發(fā)生的震動產生次聲波。它的頻率大約在每秒十赫茲到二十赫茲之間（可以用11Hz和15Hz的兩個信號的和進行仿真，幅度可以分別設定為

3、1、2）。大氣對次聲波的吸收系數(shù)很小，因此它可以傳播的很遠，而且穿透性很強。通過監(jiān)測次聲波信號可以監(jiān)測地震的發(fā)生、強度等信息，因為自然界中廣泛存在著各種次聲波，這就對地震產生的次聲波產生了干擾（可以用白噪聲模擬，方差為5），需要采取一定的處理方法，才能檢測到該信號，要求設計檢測方案；并處理方法給出具體的軟件（可以以51系列單片機、STM32F407、TMS320F28335或TMS320F6745為例）。假設地震次聲波信號為x,輸入x=sin(2*11*t)+2*sin(2*15*t)和伴有白噪聲的合成信號，經過濾波器后濾除15Hz以上的分量，即只保留x=sin(2*11*t)+2*sin(2

4、*15*t)的分量信號，來驗證設計的濾波器是否達到了設計要求。三設計內容：3.1選擇巴特渦斯低通數(shù)據(jù)濾波器及雙線性變換法的原因（1）由于低通濾波器是組成其它濾波器的基礎，故選用低通濾波器；（2）在當今社會，數(shù)字信號的應用越來越廣泛，故選用數(shù)字信號；（3）巴特沃斯濾波器的特點是通頻帶的頻率響應曲線最平滑并且應用范圍最廣，故選巴特沃斯型濾波器； （4）為了不使數(shù)字濾波器在=附近產生頻譜混疊，故選用雙線性變換法。3.2巴特沃思低通濾波器的基本原理巴特沃斯低通數(shù)字濾波器的幅度平方函數(shù)用下式表示式中，N稱為濾波器的階數(shù)。當=0時，；時，是3dB截止頻率。在附近，隨加大，幅度迅速下降。幅度特性與與N的關系

5、如圖3.1所示。幅度下降的速度與階數(shù)N有關，N愈大，通帶愈平坦，過渡帶愈窄，過渡帶與阻帶幅度下降的速度愈快，總的頻響特性與理想低通濾波器的誤差愈小。圖3.1 巴特沃斯低通數(shù)字濾波器 圖3.2 三階巴特沃斯濾波器極點幅度特性與與N的關系 分布圖以替換，將幅度平方函數(shù)寫成的函數(shù) 復變量，此式表示幅度平方函數(shù)有2N個極點，極點用下式表示： （=0,1,2,3.） 2N個極點等間隔分布在半徑為的圓上（該圓稱為巴特沃斯圓），間隔為rad。例如N=3,極點間隔為/3rad，如圖3.2所示。 為形成因果穩(wěn)定的濾波器，2N個極點中只取平面左半平面的的N個極點構成Ha(s), 而右半平面的的N個極點構成Ha(-

6、s),Ha（s）的表達式為為使設計公式和圖表統(tǒng)一，將頻率歸一化。巴特沃斯低通數(shù)字濾波器采用對3dB截止頻率歸一化，歸一化后的系統(tǒng)函數(shù)為令,稱為歸一化頻率， 稱為歸一化復變量，這樣，巴特沃斯低通原型系統(tǒng)函數(shù)為 3.3雙線性變換法原理雙線性變換法是使數(shù)字濾波器的頻率響應與模擬濾波器的頻率響應相似的一種變換方法。為了克服多值映射的缺點，采用把整個s平面頻率壓縮方法，將整個頻率軸上的頻率范圍壓縮到-/T/T之間，再用轉換到Z平面上。也就是說，第一步先將整個S平面壓縮映射到S1平面的-/T/T一條橫帶里；第二步再通過標準變換關系將此橫帶變換到整個Z平面上去。這樣就使S平面與Z平面建立了一一對應的單值關系

7、，消除了多值變換性，也就消除了頻譜混疊現(xiàn)象。映射關系如圖3.3所示。設Ha（s）,經過非線性頻率壓縮后用，表示，這里用正切變換實現(xiàn)頻率壓縮： 圖3.3 雙線性變換的映射關系式中，T為采樣間隔，當從-/T經過0變化到/T時，由-經過0變化到+，實現(xiàn)了s平面上整個虛軸完全壓縮到平面上虛軸的+/T之間的轉換。即 代入,得到 再通過從平面轉換到z平面，得到 上式是S平面與Z平面之間的單值映射關系，這種變換都是兩個線性函數(shù)之比，因此稱為雙線性變換。雙線性變換法與沖激響應不變法相比，其主要的優(yōu)點是避免了頻率響應的混疊現(xiàn)象，雖然在線性方面有些欠缺，但是可以通過頻率的預畸來加以校正且計算比沖激響應不變法方便，

8、實現(xiàn)起來比較容易，所以，本設計選擇用雙線性變換法設計巴特沃斯低通濾波器。3.4數(shù)字濾波器設計流程圖數(shù)字濾波器技術指標指標參數(shù)變 換相應的模擬濾波器設計模擬濾波器離散化數(shù)字濾波器3.5數(shù)字濾波器的設計步驟數(shù)字濾波器的設計步驟：根據(jù)數(shù)字濾波器的技術指標先設計過渡模擬濾波器得到系統(tǒng)函數(shù)Ha(s),然后將Ha(s)按某種方法（本實驗采用雙線性變換法）轉換成數(shù)字濾波器的系統(tǒng)函數(shù)H（z）。具體為：（1）確定巴特沃斯數(shù)字低通濾波器的技術指標：通帶邊界頻率p,阻帶截止頻率s,通帶最大衰減p,阻帶最小衰減s。（2）將數(shù)字濾波器的技術指標轉換為模擬濾波器的技術指標。這里指p和s的變換而p和s保持不變。本題采用雙線

9、性變換法，其轉換公式為： （3）根據(jù)技術指標p、s、p和s用下面公式求出濾波器的階數(shù)。 （4） 根據(jù)N由表3.1求出歸一化極點和歸一化低通原型系統(tǒng)函數(shù)Ga(p)。表3.1巴特沃斯歸一化低通濾波器參數(shù) 分母因式階數(shù)B(p)=B1(p)B2(p)BN/2(p) N/2表示取大于等于N/2的最小整數(shù) 1（p2+1） 2 (p2+1.4142p+1) 3 (p2+p+1)(p+1)4 (p2+0.7654p+1)(p2+1.8478p+1)5 (p2+0.6180p+1)(p2+1.6180p+1)(p+1)6 (p2+0.5176p+1)(p2+1.4142p+1)(p2+1.9319p+1)7 (

10、p2+0.4450p+1)(p2+1.2470p+1)(p2+1.8019p+1)(p+1)8 (p2+0.3902p+1)(p2+1.1111p+1)(p2+1.6629p+1)(p2+1.9619p+1)9 (p2+0.3473p+1)(p2+p+1)(p2+1.5321p+1)(p2+1.8974p+1)(p+1)（5）將Ga（p）去歸一化，將代入Ga（p），得到實際的濾波器系統(tǒng)函數(shù)： 這里c為3dB截止頻率。（6）用雙線性變換法將模擬濾波器Ha(s)轉換成數(shù)字低通濾波器系統(tǒng)函數(shù)H(z)。轉換公式為：s=四用matlab實現(xiàn)巴特沃斯低通數(shù)字濾波器的仿真并分析4.1巴特沃斯低通數(shù)字濾波器技

11、術指標的設置通帶截至頻率p=15Hz, p=1dB阻帶截至頻率s=20Hz s=30dB采樣頻率為fs=1000Hz4.2用matlab實現(xiàn)巴特沃斯低通數(shù)字濾波器的仿真Matlab程序如下：clear all;%模擬地震信號，頻率是11hz和15hzfs=1000;dt=1/fs;f1=11;f2=15;n=500;t=0:n-1*dt; %時間序列x=sin(2*pi*f1*t)+2*sin(2*pi*f2*t); %信號figure(1);subplot(511);plot(t,x); %顯示原始信號title('模擬地震信號');%白噪聲信號%rand函數(shù)用來產生均值0.

12、5，方差約為1/12，幅值在01的偽隨機數(shù)%修改為均值為0，方差為5的白信號。p=5; %u1=rand(1,n);u1_mean=mean(u1);u1_var=var(u1);u=u1-u1_mean;u=u*sqrt(p/u1_var); %白噪聲信號subplot(512);plot(u(1:100);title('均勻分布白噪聲');%地震信號和白噪聲疊加y1=x+u; %疊加白噪聲subplot(513);plot(t,y1); title('地震信號和白噪聲疊加');%FIR帶通%m=20;%f=0 0.001 0.0015 0.004 0.005

13、 1;%a=0 0 1 1 0 0;%BB=firls(m,f,a);%bb=fftfilt(BB,y1);%subplot(313);%plot(t,bb);%fir低通%m=60;%f=0 0.03 0.04 1;%a=1 1 0 0;%BB=firls(m,f,a);%bb=fftfilt(BB,y1);%subplot(313);%plot(t,bb);%B=fir1(45,0.025);%bb=fftfilt(B,y1);%subplot(313);%plot(t,bb);%巴特沃斯wp=2*20/fs;ws=2*30/fs;Rp=1;As=30;N,wc=buttord(wp,ws

14、,Rp,As);B,A=butter(N,wc);bb=filter(B,A,y1);H,W=freqz(B,A);subplot(514);plot(W,abs(H);title('巴特沃斯幅頻特性');subplot(515);plot(t,bb);title('巴特沃斯濾波');用matlab濾波前后的信號波形變化如圖4.1所示：圖4.1 用matlab濾波前后的信號波形變化4.3波形圖分析：由技術指標得：設計的巴特沃斯低通數(shù)字濾波器為15Hz以內的信號能通過，而高于15Hz的信號將通不過濾波器。因此，我們設計一個輸入信號，其為：y=sin(2*11*t)

15、+2*sin(2*15*t)+u（u為白噪聲信號）。使其通過設計好的巴特沃斯低通數(shù)字濾波器，來驗證是否有地震發(fā)生。 如圖4.1所示，輸入信號為x=sin(2*20*t)+2*sin(2*100*t)+5*sin(2*200*t)，其圖形在1秒內重復了20次，故其頻率為20Hz，幅度為8，由sin(2*20*t)、2*sin(2*100*t)和5*sin(2*200*t)三個正弦波合成，從圖中可知，輸入信號的幅度與頻率與輸入信號的理論波形幾乎完全相同。而通過低通濾波器后信號只剩下一個，且在1秒內波形重復了20.25次，即周期為1/20.25s，其頻率為20.25Hz, 幅度為1，和輸入信號中的s

16、in(2*20*t)分量相差不大，但其頻率稍微有些失真，說明了設計的低通濾波器達到了要求。用matlab濾波后的信號比理論信號在1秒內大了1/4個周期，效果不錯，而用Simulink濾波后的信號周期沒變，幅度大了0.1，但濾波器控制不了幅度，幅度的變化說明存在外界干擾，說明噪聲較大，但從濾波效果來看也達到了設計要求。 綜述對設計結果與理論值的比較，其均存在一定的誤差，從側面說明對于任何實驗結果，在一定范圍內的誤差是允許的，其與理論值均有一定的誤差，這是不可避免的，其中的原因多種多樣，如實驗設計不合理，外界因素的干擾，信號衰減.對于這些，我們只能通過不斷改進設計原理、優(yōu)化設計步驟等措施來減小誤差

17、。同時，也告訴我們，任何理論結果要轉換成實際應用，均要進行一定的優(yōu)化，使其達到實際的應用要求。五.總結與體會 數(shù)字濾波器是一種對數(shù)字信號進行濾波處理以得到期望的響應特性的離散時間系統(tǒng)。它能夠有效的對數(shù)字信號進行過濾，過濾多數(shù)字信號中的干擾和多余成分，能夠保證通信過程的正常實現(xiàn)。本次實驗設計選擇了在通信系統(tǒng)中最常用，也是最基礎的巴特沃斯低通數(shù)字濾波器。根據(jù)給定的數(shù)字數(shù)字濾波器的技術指標，先設計過渡模擬濾波器得到系統(tǒng)函數(shù)Ha(s),然后將Ha(s)采用雙線性變換法轉換成數(shù)字濾波器的系統(tǒng)函數(shù)H（z）。在這個變換的過程中避免了頻率的混疊現(xiàn)象。然后根據(jù)數(shù)字濾波器的系統(tǒng)函數(shù)，編寫程序，分別運用matlab

18、和Simulink仿真工具對設計的巴特沃斯低通數(shù)字濾波器進行了仿真。經過幾次調試和對產生的仿真結果的分析，得到了在誤差允許范圍之內的低通數(shù)字濾波器。并且設計了驗證實驗。對一個由多個信號合成的數(shù)字信號進行編程，讓其通過讓所設計的濾波器。仿真結果與理論結果進行觀察比較，判定所設計的濾波器符合要求。經過本次課程設計，讓我們熟悉了巴特沃斯低通數(shù)字濾波器的基本知識和MATLAB的m語言及其相關模塊Simulink的應用，把課上的理論知識運用到實際中去，更近一步地鞏固了課堂上所學的理論知識，并能很好地理解與掌握數(shù)字信號處理中的基本概念、基本原理、基本分析方法。因為學過數(shù)字信號處理這門課，但這只是理論知識，通過實驗我們才能真正理解其意義。同時，進行matlab軟件及Simulink硬件仿真，用兩種方法將其設計出來。在設計過程中，我們遇到了由于理論知識的忘記、總體輪廓的設計、編程過少導致的不熟練、軟件尤其是Simulink模塊運用不熟練等問題，但是經過我們的思考討論和翻閱相關資料，最終這些問題得到了解決，設計出了符合標準的濾波器并通過相關信號進行了驗證。經過這次的課程設計，