導(dǎo)體、絕緣體和半導(dǎo)體的能帶模型

1、§5-6導(dǎo)體、絕緣體和半導(dǎo)體的能帶模型盡管所有的固體都包含大量有電子，但有些固體具有很好的電子導(dǎo)電性能， 而另一些固體則觀察不到任何電子的導(dǎo)電性。對(duì)于固體為什么分為導(dǎo)體、絕緣 體和半導(dǎo)體呢？這一基礎(chǔ)事實(shí)曾長(zhǎng)期得不到解釋，能帶論對(duì)這一問(wèn)題給出了一 個(gè)理論說(shuō)明，并由此逐步發(fā)展成為有關(guān)導(dǎo)體、絕緣體和半導(dǎo)體的現(xiàn)代理論。晶體中電子有能量本征值分裂成一系列能帶，每個(gè)能帶均由 N 個(gè)準(zhǔn)連續(xù)能 級(jí)組成(N為晶體原胞數(shù))，所以，每個(gè)能帶可容納2N個(gè)電子。晶體電子從最低 能級(jí)開始填充，被電子填滿的能帶稱作滿帶，被電子部分填充的能帶稱為不滿 帶，沒(méi)有電子填充的能帶稱為空帶。能帶論解釋固體導(dǎo)電的基本觀點(diǎn)是：

2、滿帶 電子不導(dǎo)電，而不滿帶中的電子對(duì)導(dǎo)電有貢獻(xiàn)。5. 6. 1滿帶電子不導(dǎo)電從前面的知識(shí)中，已經(jīng)知道，晶體中電子能量本征值E(k)是k的偶函數(shù)，則利用(5-5-11)，可以證明v(-k)=-v(k)，即v(k)是k的奇函數(shù)。一個(gè)完全填 滿的電子能帶，電子在能帶上的分布，在 k 空間具有中心對(duì)稱性，即一個(gè)電子 處于k態(tài)，其能量為E(k)，則必有另一個(gè)與其能量相同的 E(- k)= E( k)電子處于 -k 態(tài)。當(dāng)不存在外電場(chǎng)時(shí)，盡管對(duì)于每一個(gè)電子來(lái)證，都帶有一定的電流-ev，但是k態(tài)和-k態(tài)的電子電流-ev(k)和-ev(- k)正好一對(duì)對(duì)相互抵消，所以說(shuō)沒(méi)有 宏觀電流。當(dāng)存在外電場(chǎng)或外磁場(chǎng)時(shí)，

3、電子在能帶中分布具有 k 空間中心對(duì)稱性的情 況仍不會(huì)改變。以一維能帶為例，圖 5-6-1 中 k 軸上的點(diǎn)子表示簡(jiǎn)約布里淵區(qū) 內(nèi)均勻分布的各量子態(tài)的電子。如上所述，在外電場(chǎng) E 的作用下，所有電子所 處的狀態(tài)都以速度dk eE dTh(5-6-1)F圖5-6-1外場(chǎng)下滿帶電子的運(yùn)動(dòng)沿k軸移動(dòng)。由于布里淵區(qū)邊界A和 A兩點(diǎn)實(shí)際上代表同一狀態(tài)，在電子 填滿布里淵區(qū)所有狀態(tài)即滿帶情況 下，從A點(diǎn)稱動(dòng)出去的電子同時(shí)就從 A點(diǎn)流進(jìn)來(lái)，因而整個(gè)能帶仍處于均 勻分布填滿狀態(tài)，并不產(chǎn)生電流。5. 6. 2不滿帶的電子導(dǎo)電圖5-6-2給出不滿帶電子填充的情況，沒(méi)有外電場(chǎng)時(shí)，電子從最低能級(jí)開 始填充，而且k態(tài)和

4、-k態(tài)總是成對(duì)地被電子填充的，所以總電流為零。存在外 電場(chǎng)時(shí)，整個(gè)電子分布將向著電場(chǎng)反方向移動(dòng)，由于電子受到聲子或晶格不完 整性的散射作用，電子的狀態(tài)代表點(diǎn)不會(huì)無(wú)限地稱動(dòng)下去，而是稍稍偏離原來(lái) 的分布，如圖5-6-2 (b)所示。當(dāng)電子分布偏離中心對(duì)稱狀況時(shí)，各電了所荷載 的電流中將只有一部分被抵消，因而總電流不為零。外加電場(chǎng)增強(qiáng)，電子分布 更加偏離中心對(duì)稱分布，未被抵消的電子電流就愈大，晶體總電流也就愈大。 由于不滿帶電子可以導(dǎo)電，因而將不滿帶稱作導(dǎo)帶。(b)有外電場(chǎng)5.6.3導(dǎo)體、絕 緣體與半 導(dǎo)體的能 帶模型圖5-6-2 不滿帶電子在k空間的分布2/6下載文檔可編輯我們可以通過(guò)考察晶體電

5、子填充能帶的狀況來(lái)判斷晶體的導(dǎo)電性能。如果 晶體電子恰好填滿了最低的一系列能帶，能量再高的能帶都是空的，而且最高 的滿帶與最低的空帶之間存在一個(gè)很寬的禁帶（如 Eg 5eV ），那么，這種晶體 就是絕緣體。圖5-6-3 （c）給出了這種晶體電子填充能帶的狀況。如果晶體的 能帶中，除了滿帶外，還有不滿帶，那么，這種晶體就是金屬。半導(dǎo)體晶體電 子填充能帶的狀況與絕緣體的沒(méi)有本質(zhì)不同，只是最高滿帶與最低空帶之間的 帶隙較窄（為Eg 13eV ）,這樣，在T=OK時(shí)，晶體是不導(dǎo)電的，在 TH OK時(shí)， 將有部分電子從滿帶頂部被激發(fā)到空帶的底部，使最高的滿帶及最低的空帶都 變成部分填充電子的不滿帶，晶體

6、因而具有一定的導(dǎo)電能力。圖 5-6-3 畫出導(dǎo) 體、絕緣體與半導(dǎo)體電子填充能帶的模型。堿金屬（如鋰、鈉、鉀等）及貴金屬（如金、銀等）每個(gè)原胞只含一個(gè)價(jià)電子。當(dāng)N個(gè)這類原子結(jié)合成固體時(shí)，N個(gè)電子就占據(jù)著能帶中N個(gè)最低的量子 態(tài)。其余 N 個(gè)能量較高的量子態(tài)則是空的，即能帶是半滿的（每個(gè)能帶可容納 2N個(gè)電子）。因此，所有堿金屬、貴金屬晶體都是導(dǎo)體。惰性氣體原子的電子殼 層是閉合的，電子數(shù)是偶數(shù)，所以總是將最低能帶填滿，而較高的能帶空著。 這些元素形成的固體是絕緣體的典型例子。金剛石、硅和鍺的原胞含有兩個(gè)四 價(jià)原子，故每個(gè)原胞含有八個(gè)價(jià)電子，正好填滿價(jià)電子所形成的能帶。所以， 這些純凈的晶體在T=

7、OK時(shí)是絕緣體。堿土金屬（如鈣、鍶、鋇等）的每個(gè)原胞 含有兩個(gè) s 電子，正好填滿 s 帶，堿土金屬晶體似乎應(yīng)該是絕緣體，實(shí)際上卻 是良導(dǎo)體。原因在于s帶與上面的能帶發(fā)生交疊（如圖5-6-3 （b）的情況）,2N 個(gè) s 電子在未完全填滿 s 帶時(shí)，就開始填充上面那個(gè)能帶，造成兩個(gè)不滿帶。 因此，堿土金屬晶體是導(dǎo)體。五族元素鉍、銻、砷等的晶體，每個(gè)原胞內(nèi)含有 兩個(gè)電子，所以原胞內(nèi)含有偶數(shù)個(gè)電子。這些晶體也應(yīng)該是絕緣體，但它們卻有一定的導(dǎo)電性。原因在于這些晶體的能帶有交疊，只是交疊部分較少，使能 對(duì)與導(dǎo)電的電子濃度遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于正常金屬中的電子濃度，電阻率比正常金屬大約 105倍，因而被稱作半金屬。由

8、此可見(jiàn)，若晶體的原胞含有奇數(shù)個(gè)價(jià)電子，這種 晶體必是導(dǎo)體；原胞含有偶數(shù)個(gè)價(jià)電子的晶體，如果能帶交疊，則晶體是導(dǎo)體或半金屬，如果能帶沒(méi)有交疊，禁帶窄的晶體就是半導(dǎo)體，禁帶寬的則是絕 緣體。滿帶中如缺了少數(shù)電子就會(huì)產(chǎn)生一定的導(dǎo)電性，這種近滿帶的情形在半導(dǎo) 體的問(wèn)題中特別重要。要描述近滿帶中電子的運(yùn)動(dòng)，由于涉及到數(shù)目很大的電 子集體運(yùn)動(dòng)，因而在表述上十分不便。為此，我們引入空穴的概念，將大量電 子的集體運(yùn)動(dòng)等價(jià)地變?yōu)槊枋錾贁?shù)空穴的概念，從而大大簡(jiǎn)化了有關(guān)近滿帶的 問(wèn)題。為了說(shuō)明空穴的概念并證明用電子和空穴兩種描述方法的等價(jià)性，我們不 妨假設(shè)滿帶中只有某一個(gè)狀態(tài) k未被電子占據(jù)，此時(shí)能帶是不滿的，因而

9、應(yīng)有 電流產(chǎn)生，以j (k)表示。為計(jì)算j (k)，我們假想在空的k態(tài)中放入一個(gè)電子, 這個(gè)電子的電流等于-ev (k)。但是k態(tài)加入這個(gè)電子后，能帶又成為滿帶，所 以，總的電流應(yīng)為零，從而有：j(k) ev(k) 0(5-6-2)即j(k) ev(k)(5-6-3)上式表明，當(dāng)k態(tài)缺少一個(gè)電子時(shí)，近滿帶的總電流就如同一個(gè)具有正電荷e的粒子，以空狀態(tài)k的電子速度v (k)所產(chǎn)生的。dv(k) 1 dtm* (k)-(5-6-4)* * 考慮mx mydv(k) eE在電場(chǎng)E的作用下，近滿帶中所有電子的狀態(tài)都以式(5-5-14 )的規(guī)律變 化，空狀態(tài)也按同樣規(guī)律變化。因而空狀態(tài)的加速度為(eE)

10、 mZ球形等能面的簡(jiǎn)單情況，上式變?yōu)椋篸tm；(k)(5-6-5)由于滿帶頂?shù)碾娮颖容^容易受熱而激發(fā)到導(dǎo)帶，因此空狀態(tài)多位于能帶頂 附近。在能帶頂附近m；為負(fù)值，為此我們定義空穴有效質(zhì)量為：* *mh k me k (5-6-6)則有dv(k) eE dtmh(k)(5-6-7)由上面的討論我們得到下列結(jié)論：當(dāng)滿帶頂附近有空狀態(tài)k時(shí)，整個(gè)能帶中的電子運(yùn)動(dòng)，以及電流在外場(chǎng)作用下的變化，完全如同存在一個(gè)帶正電荷e，具有正有效質(zhì)量m*、速度v( k)的粒子情況一樣，這樣一個(gè)假想的粒子稱為空穴。空穴概念的引入，使得滿帶頂附近缺少一些電子的問(wèn)題和導(dǎo)帶底有少數(shù)電 子的問(wèn)題十分相似。然而應(yīng)該強(qiáng)調(diào)指出，我們雖然賦于空穴有效質(zhì)量、電荷等 屬性，但它并不是客觀存在的一種實(shí)物聞子，而只是客觀物質(zhì)一一電子集體運(yùn) 動(dòng)