橢圓定義及標(biāo)準(zhǔn)方程

1、第二章第二章 圓錐曲線與方程圓錐曲線與方程問問:解析幾何要解決的兩類基本問題是什么解析幾何要解決的兩類基本問題是什么?答答:(1)已知曲線研究其方程已知曲線研究其方程; (2)已知曲線方程研究其曲線的性質(zhì)已知曲線方程研究其曲線的性質(zhì).1F2F),(yxM回顧圓的定義及標(biāo)準(zhǔn)方程的學(xué)習(xí)過程及求法回顧圓的定義及標(biāo)準(zhǔn)方程的學(xué)習(xí)過程及求法:1、圓的定義：平面內(nèi)到定點(diǎn)的距離等于定長的點(diǎn)的軌跡、圓的定義：平面內(nèi)到定點(diǎn)的距離等于定長的點(diǎn)的軌跡2、求軌跡方程的基本步驟：求軌跡方程的基本步驟：（1）建立）建立適當(dāng)適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，用的坐標(biāo)系，用(x,y)表示曲線上任意一點(diǎn)表示曲線上任意一點(diǎn)M的坐標(biāo)；的坐標(biāo)；（2）寫出

2、適合條件）寫出適合條件P的點(diǎn)的點(diǎn)M的集合的集合(可以省略可以省略);（3）將條件）將條件P（M）坐標(biāo)化，列出方程）坐標(biāo)化，列出方程 ; （4）對方程化簡；）對方程化簡；（5）證明以化簡后的方程的解為坐標(biāo)的點(diǎn)都是曲線上的點(diǎn)）證明以化簡后的方程的解為坐標(biāo)的點(diǎn)都是曲線上的點(diǎn)(可以可以省略不寫省略不寫,如有特殊情況，如有特殊情況， 應(yīng)當(dāng)應(yīng)當(dāng)適當(dāng)適當(dāng)予以予以說明說明). 設(shè)想：設(shè)想： 平面內(nèi)與兩定點(diǎn)的距離的和等于平面內(nèi)與兩定點(diǎn)的距離的和等于定長的點(diǎn)的軌跡是什么呢？定長的點(diǎn)的軌跡是什么呢？返回求方程返回求方程返回解例返回解例22.1 橢圓定義及標(biāo)準(zhǔn)方程仙女座星系星系中星系中的橢圓的橢圓-“傳說中的傳說中的

3、”飛碟飛碟 平面內(nèi)平面內(nèi)與兩個與兩個定點(diǎn)定點(diǎn)F1、F2的距離的的距離的和和等于等于常數(shù)常數(shù)(大于大于|F1F2|) 的點(diǎn)的軌跡叫做的點(diǎn)的軌跡叫做橢圓橢圓。 這兩個定點(diǎn)叫做這兩個定點(diǎn)叫做橢圓的焦點(diǎn)橢圓的焦點(diǎn), 兩焦點(diǎn)之間的距離叫做兩焦點(diǎn)之間的距離叫做橢圓的焦距橢圓的焦距。 問題問題1：當(dāng)常數(shù)等于：當(dāng)常數(shù)等于|F1F2|時，點(diǎn)時，點(diǎn)M的軌跡是的軌跡是 ;問題問題2：當(dāng)常數(shù)小于：當(dāng)常數(shù)小于|F1F2|時，點(diǎn)時，點(diǎn)M的軌跡是的軌跡是 .線段線段F1F2不存在不存在一、橢圓定義：一、橢圓定義：二、橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：二、橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：1F2F),(yxMOxy 設(shè)設(shè)M(x,y)是橢圓上任一點(diǎn)，是橢圓上任一

4、點(diǎn)，由定義知：由定義知：aMFMF221()()aycxycx22222-如圖建立直角坐標(biāo)系如圖建立直角坐標(biāo)系 橢圓的焦距為橢圓的焦距為2c(c0) ，則，則F1(-c,0)、F2(c,0)，M與與F1、F2的距離的和等于常數(shù)的距離的和等于常數(shù)2a。分析：分析：（2）如何建系，）如何建系， 使得橢圓的使得橢圓的 方程較簡單？方程較簡單？（1）求橢圓的方）求橢圓的方 程出發(fā)點(diǎn)？程出發(fā)點(diǎn)？（定義）（定義）回顧求軌跡方程步驟回顧求軌跡方程步驟將方程移項后平方得：將方程移項后平方得：()()()222222244ycxycxaaycx-()222ycxacxa-兩邊再平方得：兩邊再平方得：222222

5、2222422yacacxaxaxccxaa-()()22222222caayaxca-1F2FxyO),(yxM由橢圓定義知：由橢圓定義知：0,2222-cacaca即()()aycxycx22222-(): 0 222得設(shè)-bbca222222bayaxb 這個方程叫做這個方程叫做橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，它所表示的橢圓的焦點(diǎn)在，它所表示的橢圓的焦點(diǎn)在x軸上，焦點(diǎn)是軸上，焦點(diǎn)是F1(-c ，0)、F2(c ，0)，其中，其中 c2=a2-b2 . 如果用類似的方法，建系時讓橢圓的焦點(diǎn)在如果用類似的方法，建系時讓橢圓的焦點(diǎn)在y軸上，軸上，可得出它的方程為：可得出它的方程為：()0 122

6、22babxay它也是橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程。它也是橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程。()0 12222babyax兩邊同除以兩邊同除以 得：得：22ba222222bayaxb1F2FxyO),(yxM yoF1F2Mx yxoF1F2M二、橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程二、橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：*兩種橢圓圖形的異同點(diǎn)兩種橢圓圖形的異同點(diǎn):兩種橢圓相對于坐標(biāo)系的位置不兩種橢圓相對于坐標(biāo)系的位置不 同，它們的焦同，它們的焦點(diǎn)坐標(biāo)也不同點(diǎn)坐標(biāo)也不同x、y下的分母大小不同。下的分母大小不同。同同:異：異：形狀相同形狀相同,大小相同，大小相同，a,c幾何意義相同，并且：幾何意義相同，并且：其中其中a最大最大,b,c大小無法確定。大小無法確定。()

7、0 12222babyax()0 12222babxay橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的再認(rèn)識：橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的再認(rèn)識：（1）橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的形式：左邊是兩個分式的平方和，右邊是）橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的形式：左邊是兩個分式的平方和，右邊是1（2）橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程中三個參數(shù)）橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程中三個參數(shù)a、b、c滿足滿足a2=c2+b2 。（3）由橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程可以求出三個參數(shù)）由橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程可以求出三個參數(shù)a、b、c的值。的值。（4）橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程中，）橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程中，x2與與y2的分母哪一個大，則焦點(diǎn)在的分母哪一個大，則焦點(diǎn)在 哪一個軸上，（哪一個軸上，（a總是最大）總是最大）或看焦點(diǎn)坐標(biāo)來決定或看焦點(diǎn)坐標(biāo)來決定a、b

8、。()0 12222babxay yoF1F2Mx yxoF1F2M二、橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程二、橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：()0 12222babyax1：判定下列橢圓的焦點(diǎn)在哪個坐標(biāo)軸，并指明：判定下列橢圓的焦點(diǎn)在哪個坐標(biāo)軸，并指明a2、b2， 寫出焦點(diǎn)坐標(biāo)。寫出焦點(diǎn)坐標(biāo)。11625)1(22yx答：在答：在 x 軸，軸，1169144)2(22yx答：在答：在 y 軸。軸。11) 3(2222mymx答：在答：在y 軸。軸。判斷橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的焦點(diǎn)在哪個軸上的準(zhǔn)則：判斷橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的焦點(diǎn)在哪個軸上的準(zhǔn)則： 焦點(diǎn)在分母大的那個軸上。焦點(diǎn)在分母大的那個軸上。課堂練習(xí)：課堂練習(xí)： a2=25,b2=16;（3，0

9、）.a2=169,b2=144; （0，5）a2=m2-1,b2=m2; （0，1）2 橢圓上一點(diǎn)橢圓上一點(diǎn)P到一個焦點(diǎn)的距離為到一個焦點(diǎn)的距離為5，則則P到另一個焦點(diǎn)的距離為（到另一個焦點(diǎn)的距離為（ ）A.5 B.6 C.4 D.10192522yxA3.已知橢圓的方程為已知橢圓的方程為 ，焦點(diǎn)在，焦點(diǎn)在X軸上，軸上，則其焦距為（則其焦距為（ ）A 2 B 2C 2 D 218222myx28m-m-2282-m222-mA4. ,焦點(diǎn)在焦點(diǎn)在y軸上的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程軸上的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是是 _.1, 6ca2213635yx跳到注跳到注小結(jié)：小結(jié)：本節(jié)課學(xué)習(xí)了橢圓的定義及標(biāo)準(zhǔn)方程本節(jié)課學(xué)習(xí)了

10、橢圓的定義及標(biāo)準(zhǔn)方程, 應(yīng)注意以下幾點(diǎn)應(yīng)注意以下幾點(diǎn): 橢圓的定義中橢圓的定義中a、b、c皆正，皆正，a2=b2+c2 ,其中其中2c是是 橢圓焦距；橢圓焦距； 要注意特征量要注意特征量a 、 b、c的幾何意義的幾何意義 ,它們確定橢它們確定橢圓的形狀圓的形狀. 焦點(diǎn)的位置由橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程中焦點(diǎn)的位置由橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程中x2,y2的分母大小的分母大小 或焦點(diǎn)坐標(biāo)來決定；或焦點(diǎn)坐標(biāo)來決定； 求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程之前應(yīng)先判斷焦點(diǎn)位置以便確求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程之前應(yīng)先判斷焦點(diǎn)位置以便確 定代入哪個方程解題定代入哪個方程解題. 作業(yè)作業(yè): 1、課課P33練習(xí)練習(xí)1、2 P39習(xí)題習(xí)題1。 2、世紀(jì)金榜世紀(jì)金榜P

11、18-19 基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)1、3、4 3、補(bǔ)充：若補(bǔ)充：若 表示橢圓，求表示橢圓，求k的取值范圍的取值范圍再見！再見！1162422-kykx注注：1.標(biāo)準(zhǔn)方程中的兩個參數(shù)標(biāo)準(zhǔn)方程中的兩個參數(shù)a和和b，確定了橢圓的，確定了橢圓的形狀和大小，是橢圓的形狀和大小，是橢圓的定形定形條件。條件。 3.由橢圓的定義和標(biāo)準(zhǔn)方程可知：確定橢圓的由橢圓的定義和標(biāo)準(zhǔn)方程可知：確定橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程需要三個條件：焦點(diǎn)位置、標(biāo)準(zhǔn)方程需要三個條件：焦點(diǎn)位置、 a、b的值。的值。 2.焦點(diǎn)焦點(diǎn)F1、F2的位置，是橢圓的的位置，是橢圓的定位定位條件，它條件，它決定橢圓焦點(diǎn)在坐標(biāo)系里的位置和標(biāo)準(zhǔn)方程的類型，決定橢圓焦點(diǎn)在坐標(biāo)

12、系里的位置和標(biāo)準(zhǔn)方程的類型，也就是說，知道了焦點(diǎn)的位置，標(biāo)準(zhǔn)方程只有一種形也就是說，知道了焦點(diǎn)的位置，標(biāo)準(zhǔn)方程只有一種形式，不知道焦點(diǎn)位置，其標(biāo)準(zhǔn)方程具有兩種類型。反式，不知道焦點(diǎn)位置，其標(biāo)準(zhǔn)方程具有兩種類型。反過來，只要知道方程的形式，就可以判定焦點(diǎn)位置。過來，只要知道方程的形式，就可以判定焦點(diǎn)位置。一般先定位后定形！一般先定位后定形！()04，()04，-例例 求適合下列條件的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程求適合下列條件的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程兩個焦點(diǎn)的坐標(biāo)分別是兩個焦點(diǎn)的坐標(biāo)分別是 、橢圓上一點(diǎn)到兩焦點(diǎn)距離的和等于橢圓上一點(diǎn)到兩焦點(diǎn)距離的和等于10192522 yx小結(jié)小結(jié)兩個焦點(diǎn)的坐標(biāo)分別是兩個焦點(diǎn)的坐標(biāo)分別

13、是(0,2)、(0,-2),并且經(jīng)過并且經(jīng)過-2523，解法解法1解法解法2求焦點(diǎn)在坐標(biāo)軸上，且經(jīng)過求焦點(diǎn)在坐標(biāo)軸上，且經(jīng)過A（ , -2 )和和B（ ，1） 兩點(diǎn)的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程。兩點(diǎn)的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程。32 3分析：分析： 由題設(shè)條件焦點(diǎn)在哪一個坐標(biāo)軸上不明確，橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方由題設(shè)條件焦點(diǎn)在哪一個坐標(biāo)軸上不明確，橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方 程有兩種情形，為了計算方便，可含糊地設(shè)其方程為程有兩種情形，為了計算方便，可含糊地設(shè)其方程為 mx2+ny2=1(m、n0且且mn) ,其中其中m、n的大小先不做確定，的大小先不做確定， 即先不考慮焦點(diǎn)位置，根據(jù)已知所給條件求出即先不考慮焦點(diǎn)位置，根據(jù)已知所給條件求出m、

14、n值后值后 再行判斷其焦點(diǎn)位置再行判斷其焦點(diǎn)位置 。： 求焦點(diǎn)在坐標(biāo)軸上，且經(jīng)過求焦點(diǎn)在坐標(biāo)軸上，且經(jīng)過A（ , -2 )和和B（ ，1）兩點(diǎn)的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程。兩點(diǎn)的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程。332解：解：設(shè)橢圓方程為：設(shè)橢圓方程為：mx2+ny2=1(m、n0) 因為橢圓過點(diǎn)因為橢圓過點(diǎn)A（ , -2 )和和B（ ，1），）， 故得故得 3m+4n=1與與12m+n=1 所以，所以， 所以，橢圓的方程為所以，橢圓的方程為 332151522yx51,151nm反思反思 ：在不明確焦點(diǎn)在哪個坐標(biāo)軸上時，通常要進(jìn)行：在不明確焦點(diǎn)在哪個坐標(biāo)軸上時，通常要進(jìn)行分類討論，但計算較分類討論，但計算較 為復(fù)雜。一般

15、可先設(shè)其方程為復(fù)雜。一般可先設(shè)其方程為為mx2+ny2=1(m、n0且且mn) ，只是此時，只是此時m、n 的大的大小還未確小還未確 定，用已知的條件來求出其值即可確定定，用已知的條件來求出其值即可確定X、Y型。型。 所以像這種求橢圓方程先假設(shè)其方程所以像這種求橢圓方程先假設(shè)其方程, 然后根據(jù)題目然后根據(jù)題目條件得出所求方程的方法條件得出所求方程的方法,我們稱之為我們稱之為待定系數(shù)法待定系數(shù)法。： 求焦點(diǎn)在坐標(biāo)軸上，且經(jīng)過求焦點(diǎn)在坐標(biāo)軸上，且經(jīng)過A（ , -2 )和和B（ ，1）兩點(diǎn)的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程。兩點(diǎn)的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程。332()0 12222babyax12xyoFFMy xoF2F1M(

16、)0 12222babxay定定 義義圖圖 形形標(biāo)準(zhǔn)方程標(biāo)準(zhǔn)方程焦焦 點(diǎn)點(diǎn)F(F(c c，0)0)F(0F(0，c)c)a,b,c的關(guān)系的關(guān)系c c2 2=a=a2 2-b-b2 2 |MF1|+|MF2|=2a (2a2c0)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程,焦距為2c,焦距為2c1、橢圓、橢圓 的焦距為的焦距為 222312xy21 2xy-所表示的曲線是所表示的曲線是 2、3、已知方程、已知方程 表示焦點(diǎn)在表示焦點(diǎn)在y軸上的橢圓，則軸上的橢圓，則 m的取值范圍是的取值范圍是221259xymm-4、已知橢圓、已知橢圓 上一點(diǎn)上一點(diǎn)P到其中一個焦點(diǎn)的距離為到其中一個焦點(diǎn)的距離為3， 則點(diǎn)則點(diǎn)P

17、到另一個焦點(diǎn)的距離是到另一個焦點(diǎn)的距離是2212516xy5、已知、已知F1， F2是橢圓是橢圓 的兩焦點(diǎn)，過的兩焦點(diǎn)，過F2的直線交橢圓的直線交橢圓于點(diǎn)于點(diǎn)A，B，若，若 ，則，則221169xy5AB 11AFBF22右半個右半個X X型橢圓型橢圓（8,258,25）7 71111練習(xí)：練習(xí)：例例2、已知點(diǎn)、已知點(diǎn)P是橢圓是橢圓4y2+5x2=20上的一點(diǎn)，上的一點(diǎn)，F(xiàn)1與與F2是焦點(diǎn)，且是焦點(diǎn)，且 F1PF2=600 ，求，求 F1F2P的周長與面積。的周長與面積。252334回顧求軌跡方程步驟回顧求軌跡方程步驟例例3：已知圓：已知圓A：(x3)2y2100，圓，圓A內(nèi)一定點(diǎn)內(nèi)一定點(diǎn) B

18、(3，0)，圓，圓P過過B點(diǎn)且與圓點(diǎn)且與圓A內(nèi)切，求圓心內(nèi)切，求圓心P的軌的軌 跡方程跡方程圓圓P與圓與圓A內(nèi)切，圓內(nèi)切，圓A的半徑為的半徑為10兩圓的圓心距兩圓的圓心距PA10r，222 51 6xy2a10，2cAB6，a5，c3b2a2c225916即點(diǎn)即點(diǎn)P的軌跡方程為的軌跡方程為 1解：設(shè)解：設(shè)PBr即即PAPAPBPB1010點(diǎn)點(diǎn)P的軌跡是以的軌跡是以A、B兩點(diǎn)為焦點(diǎn)的橢圓兩點(diǎn)為焦點(diǎn)的橢圓(大于大于AB)練習(xí)：已知練習(xí)：已知 B、C 是兩個定點(diǎn)，是兩個定點(diǎn)，|BC| = 6，且，且ABC的的 周長等于周長等于16，求頂點(diǎn)，求頂點(diǎn)A的軌跡方程的軌跡方程 .ABCxyO解：解： 建系如

19、圖，建系如圖， 由題意由題意|AB|+|AC|+|BC|=16， |BC| = 6，有 |AB|+|AC|=10， 由橢圓的定義知由橢圓的定義知：點(diǎn)點(diǎn)A的軌跡是橢圓的軌跡是橢圓，2c=6 , 2a=10， c=3 ，a=5 ，b2 = a2-c2 = 52-32 =16 .故頂點(diǎn)故頂點(diǎn)A的軌跡方程是：的軌跡方程是：1162522yx(y0) 小結(jié)：小結(jié)：1、先定位后定量；、先定位后定量；2、設(shè)方程技巧：焦點(diǎn)位置不確定時，不妨設(shè)其標(biāo)準(zhǔn)、設(shè)方程技巧：焦點(diǎn)位置不確定時，不妨設(shè)其標(biāo)準(zhǔn)方程為方程為mx2+ny2=1(m、n0且且mn)3、設(shè)方程技巧：與、設(shè)方程技巧：與有相同焦點(diǎn)的橢圓方有相同焦點(diǎn)的橢圓方

20、程不妨設(shè)為程不妨設(shè)為4、求動點(diǎn)的軌跡方程時：、求動點(diǎn)的軌跡方程時：若無法判斷曲線類型：用求曲線方程一般步驟若無法判斷曲線類型：用求曲線方程一般步驟;若可由若可由定義法定義法判斷出曲線類型：可直接套用現(xiàn)成結(jié)論。判斷出曲線類型：可直接套用現(xiàn)成結(jié)論。求出曲線的方程之后，要驗證方程是否有求出曲線的方程之后，要驗證方程是否有增根增根，如有，如有，應(yīng)在方程后應(yīng)在方程后注明限制條件注明限制條件。12222byax22221xyakbk橢圓過點(diǎn)橢圓過點(diǎn)A(2,A(2,3)3)，且與橢圓，且與橢圓9x2+4y2=36有相同的焦點(diǎn)。有相同的焦點(diǎn)。 求該橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程求該橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程1162422-kykx補(bǔ)充作業(yè)：補(bǔ)充作業(yè)：若若 表示橢圓，求表示橢圓，求k k的取值范圍的取值范圍 平面內(nèi)兩個定點(diǎn)的距離是平面內(nèi)兩個定點(diǎn)的距離是8 8，寫出到這兩個定點(diǎn)的距離，寫出到這兩個定點(diǎn)的距離 的和是的和是1010的點(diǎn)的軌跡方程的點(diǎn)的軌跡方程在平面直角坐標(biāo)系中