高等數(shù)學課件：9-2-2-3二重積分的計算

1、解解 dxexy不不能能用用初初等等函函數(shù)數(shù)表表示示先先改改變變積積分分次次序序.原原式式 xxxydyedxI2211 121)(dxeexx.2183ee 2xy xy 數(shù)數(shù)表表示示。的的原原函函數(shù)數(shù)不不能能用用初初等等函函注注意意：xxeexxx1,ln1,sin2 積積分分次次序序的的選選擇擇原原則則： （1 1） 第第一一原原則則函函數(shù)數(shù)原原則則：必必須須保保證證各各層層積積分分的的原原函函數(shù)數(shù) 能能夠夠求求出出。 （2 2） 第第二二原原則則區(qū)區(qū)域域原原則則：若若積積分分區(qū)區(qū)域域是是X X 型型（或或Y Y 型型） 則則先先對對積積分分或或 ) ( xy。 （3 3） 第第三三原原

2、則則分分塊塊原原則則：若若積積分分區(qū)區(qū)域域既既是是X X 型型又又是是Y Y 型型 且且滿滿足足第第一一原原則則時時， 要要使使積積分分分分塊塊最最少少。 5 5利利用用積積分分區(qū)區(qū)域域的的對對稱稱性性和和被被積積函函數(shù)數(shù)的的奇奇偶偶性性簡簡化化計計算算 （1 1）若）若21DD 與與關(guān)于關(guān)于軸軸 y對稱，則對稱，則 ),( .),(),( , 0 ),( .),(),( ,),(2),(1為奇函數(shù)為奇函數(shù)關(guān)于關(guān)于即即時時當當為偶函數(shù)為偶函數(shù)關(guān)于關(guān)于即即時時當當xyxfyxfyxfxyxfyxfyxfdxdyyxfdxdyyxfDD （2 2）若）若21DD 與與關(guān)于關(guān)于軸軸 x對稱，則對稱，

3、則 ),( .),(),( , 0 ),( .),(),( ,),(2),(1為奇函數(shù)為奇函數(shù)關(guān)于關(guān)于即即時時當當為偶函數(shù)為偶函數(shù)關(guān)于關(guān)于即即時時當當yyxfyxfyxfyyxfyxfyxfdxdyyxfdxdyyxfDD （3 3）若）若21DD 與與關(guān)于原點對稱，則關(guān)于原點對稱，則 ),(),( .),(),( , 0 ),(),( .),(),( ,),(2),(1為奇函數(shù)為奇函數(shù)關(guān)于關(guān)于即即時時當當為偶函數(shù)為偶函數(shù)關(guān)于關(guān)于即即時時當當yxyxfyxfyxfyxyxfyxfyxfdxdyyxfdxdyyxfDD （4 4）若積分區(qū)域）若積分區(qū)域關(guān)于關(guān)于D直線直線xy 對稱對稱 （DxyD

4、yx ),(),(） ，） ， 則則 dxdyxyfdxdyyxfDD ),(),(。 ) 1 , 1 () 1 , 1( ) 1, 1( oxy1DD 1D與與2D關(guān)關(guān)于于 y 軸軸對對稱稱， 3D與與4D關(guān)關(guān)于于 x 軸軸對對稱稱， 將將I分分為為兩兩個個二二重重積積分分，記記 dxdyxyID 1，dxdyyxID sincos2。 xy 關(guān)于關(guān)于 x 和關(guān)于和關(guān)于 y 都是奇函數(shù)，都是奇函數(shù)， 021 dxdyxyDD,043 dxdyxyDD，01 dxdyxyID。 解解：將將區(qū)區(qū)域域D分分為為四四個個子子區(qū)區(qū)域域：1D、2D、3D、4D。 ) 1 , 1 () 1 , 1( )

5、1, 1( oxy1D2D3D4D yxsincos是是關(guān)關(guān)于于 y 的的奇奇函函數(shù)數(shù)，關(guān)關(guān)于于 x 的的偶偶函函數(shù)數(shù)， dxdyyxdxdyyxDDD 121sincos2sincos， 0sincos43 dxdyyxDD， dxdyyxdxdyyxIDD 1sincos2sincos2， 從從而而dxdyyxIIID 1sincos221， 故故等等式式（1 1） 、 （3 3）不不成成立立；等等式式（2 2）成成立立。 oxy1D2D3D4D（一）把二重積分（一）把二重積分 dyxfD),(化為極坐標形式化為極坐標形式 設(shè)設(shè)函函數(shù)數(shù)),(yxf在在閉閉區(qū)區(qū)域域 D 上上連連續(xù)續(xù)。區(qū)區(qū)域

6、域 D 的的邊邊界界 曲曲線線為為)(1 和和)(2 ， ，其其中中 )(1 ， )(2 在在, 上上連連續(xù)續(xù)。 oxD )(1 )(2 假設(shè)從極假設(shè)從極O 點點出發(fā)且穿過閉區(qū)域出發(fā)且穿過閉區(qū)域 D 內(nèi)部的射內(nèi)部的射 線與線與 D 的邊界曲線相交不多于兩點。的邊界曲線相交不多于兩點。 用用以以極極點點為為中中心心的的一一族族同同心心圓圓：常常數(shù)數(shù) ，以以及及從從極極點點 出出發(fā)發(fā)的的一一族族射射線線： 常常數(shù)數(shù)，把把 D 分分成成 n 個個小小閉閉區(qū)區(qū)域域，除除 了了包包含含邊邊界界點點的的一一些些小小閉閉區(qū)區(qū)域域外外，小小閉閉區(qū)區(qū)域域的的面面積積可可 i 計計算算如如下下： i i i i

7、ii i ii Dox極坐標系中的面積元素極坐標系中的面積元素即即 DDddfdyxf)sin,cos(),(。 又又可可寫寫成成 DDddfdxdyyxf )sin,cos(),( 故故iiiniiiiidiniiidff 1010)sin ,cos(lim) ,(lim （二二）把把二二重重積積分分的的極極坐坐標標形形式式化化為為二二次次積積分分 oxD)(2 )(1 oxDD)(2 )(1 一一般般地地，先先對對積積分分 后后對對積積分分 。 )()(21)sin ,cos(d)sin,cos( Ddfddf1 1極極點點在在積積分分區(qū)區(qū)域域 D 的的外外部部 )()( :21D )(0

8、 :D )( oxD則則 )(0)sin ,cos(d)sin,cos( Ddfddf 2 2極極點點在在積積分分區(qū)區(qū)域域 D 的的邊邊界界上上 3 3極極點點在在積積分分域域 D 的的內(nèi)內(nèi)部部 D： )(020，則則有有 ox)( D 2 0 )(0)sin ,cos(d)sin,cos( Ddfddf解解：D： 1cossin120. xyo dfddyyxfdxxx1 cossin1 2 1 1 )sin,cos(),(0210 4cos24 4 3 0 2 4 cos38 dddI 解：解：.2920)(sin)sin1(316 240 doxy4 4 cos2（1 1） dyxRD2

9、22，D 為圓為圓Rxyx 22所圍成的區(qū)域。所圍成的區(qū)域。 解解：把把區(qū)區(qū)域域 D 的的邊邊界界曲曲線線的的直直角角 坐坐標標方方程程Rxyx 22化化為為極極坐坐 標標方方程程，得得 cosR，于于是是有有 D： cos022R dRddyxRRD22 cos 0 22222 cosRxoD 22023 cos22)(31dRR 22 33)sin1(31dR 20 33)sin1(32dRsin32220 30 3 ddR)43(93223233 RR。 解解：D： 2140， （2 2） dxyDarctan ，D：4122 yx，0 y，xy 所所圍圍成成的的區(qū)區(qū)域域。 2 4 2

10、4 1010cossinarctanarctan dddddxyD.6432332212122224210 xoy解解：由由對對稱稱性性，得得 dxdyyxaVD 22244 D： cos2020a。 例例 4球體球體22224azyx 被圓柱面被圓柱面)0(222 aaxyx 所截得的（含在圓柱面內(nèi)的部分）立體的體積。所截得的（含在圓柱面內(nèi)的部分）立體的體積。 oxyz22224azyx axyx222 D cos20222022244 44aDdaddxdyyxaV)322(332)sin1(33232033 adaoxy cos2aD例例 5 5求求三三葉葉玫玫瑰瑰線線 3sina所所圍

11、圍成成的的面面積積。 解：解： 3sin 0 0 66 6aDdddS ox6 da3sin0206216 dada6602022)6cos1(233sin3.46sin61232620aa 在極坐標系中，閉區(qū)域在極坐標系中，閉區(qū)域D D的面積的面積 DDddd 若若D如圖，則如圖，則 . )()(212122)()(21 dddddD oxD)(2 )(1 )( oxD.)(212)(0 dddddD解解在極坐標系下在極坐標系下dxdyeDyx 22 aded0202 ).1(2ae 解解| ),(2221RyxyxD 2| ),(2222RyxyxD 0, 0 yx0 ,0| ),(RyR

12、xyxS 顯顯然然有有 21DSD , 022 yxe 122Dyxdxdye Syxdxdye22.222 Dyxdxdye1D2DSS1D2DRR2又又 SyxdxdyeI22 RyRxdyedxe0022;)(202 Rxdxe 1I 122Dyxdxdye Rded0022 );1(42Re 同理同理 2I 222Dyxdxdye);1(422Re 當當 R時時,41 I,42 I故故當當 R時時,4 I即即 20)(2dxex4 ,所求廣義積分所求廣義積分 02dxex2 .,21III );1(4)()1(4222220RRxRedxee 9.2.39.2.3二重積分的一般換元法則

13、二重積分的一般換元法則（1 1）),(),(vuyvux在在D 上上具具有有一一階階連連續(xù)續(xù)偏偏導導數(shù)數(shù)， （2 2）在）在上上D ， 0, vuyxvuJ， （3 3）變變換換 T：DD 是是一一對對一一的的， 定理定理 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)),(yxf在在xoy平面上的閉區(qū)域平面上的閉區(qū)域 D 上連續(xù)，上連續(xù)， 變換變換 T：),(),(vuyyvuxx ，將，將平面上的平面上的 uov閉區(qū)域閉區(qū)域 D 變?yōu)樽優(yōu)閤oy平面上的平面上的 D，且滿足，且滿足 則有則有 dudvvuJvuyvuxfdxdyyxfDD),(),(),(, 。 在在極極坐坐標標變變換換 sincosyx下下， cossin

14、sincos,yxJ， 按二重積分的換元公式，便得：按二重積分的換元公式，便得： DDddfdxdyyxf)sin,cos(,。 例例 8 8計算計算 Ddxdybyax22221，其中，其中 D 為橢圓為橢圓12222 byax 所圍成的所圍成的區(qū)域。區(qū)域。 解解：作作廣廣義義極極坐坐標標變變換換： sincosbyax，則則 abbbaayxJcossinsincos,， 1),(2222byaxyxD 20 , 10),(D， DDddabdxdybyax2222211 abddab 32120102。 oxyDxy 2xy22 3 xy2 xyuv1223oD . 33 , 22 ,

15、22 , 122 vxyvxyuxyuxy解：令解：令 xyvxyu2，則，則 313231uvyvux， D 的邊界曲線的邊界曲線 32 , 21 ),( vuvuDD ， uxyxyxyxyyxvuvuyxJ313121,1,222 ， 322113131vdvduududvuvdxdyxyDD. 2ln6523212ln312 v作作 業(yè)業(yè) 習習 題題 一一（P P169169）5 5（1 1）（）（4 4）；）；6 6（1 1）（）（2 2）（）（5 5）；）；7 7（2 2）；）；8 8（1 1）（）（4 4） ； 9 9（2 2） ；1010（2 2） ； 11; 11; 13（1） 。解解：拋拋物物線線2xy 把把 D 分分為為兩兩個個子子區(qū)區(qū)域域： 2 , 1),(21 yxxyxD， 0 , 1),(22xyxyxD 。 2xy D1D2oxy-1-11 12 2 22122),( ,),( ,DyxyxDyxxyxy 10310234)2(3423dxxdxx.235 被積函數(shù)被積函數(shù)2xy 在在 D 上是關(guān)于上是關(guān)于的的 x偶函數(shù)，積分偶函數(shù)，積分 區(qū)域區(qū)域 D 關(guān)于關(guān)于軸軸 y對稱，對稱，1D、2D也關(guān)于也關(guān)于軸軸 y對稱，故對稱，故 dxdyyxdxd