數(shù)列解題技巧歸納總結(jié)

1、學(xué)習(xí)必備歡迎下載知識(shí)框架數(shù)列的分類(lèi)數(shù)列函數(shù)角度理解數(shù)列的通項(xiàng)公式的概念數(shù)列的遞推關(guān)系等差數(shù)列的定義 anan1d ( n2)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式 ana1( n 1)d等差數(shù)列n (a1an )na1n( n 1) d等差數(shù)列的求和公式 Sn22等差數(shù)列的性質(zhì) anamapaq (mn pq)兩個(gè)基anq( n2)等比數(shù)列的定義本數(shù)列an1等比數(shù)列的通項(xiàng)公式ana1qn 1等比數(shù)列a1an qa1 (1qn )1)數(shù)列Sn( q等比數(shù)列的求和公式1q1qna1 (q1)等比數(shù)列的性質(zhì) anamap aq (mnp q)公式法分組求和錯(cuò)位相減求和數(shù)列裂項(xiàng)求和求和倒序相加求和累加累積歸納猜想證明分期

2、付款數(shù)列的應(yīng)用其他掌握了數(shù)列的基本知識(shí)，特別是等差、等比數(shù)列的定義、通項(xiàng)公式、求和公式及性質(zhì)，掌握了典型題型的解法和數(shù)學(xué)思想法的應(yīng)用，就有可能在高考中順利地解決數(shù)列問(wèn)題。一、典型題的技巧解法1、求通項(xiàng)公式（ 1）觀察法。（2）由遞推公式求通項(xiàng)。對(duì)于由遞推公式所確定的數(shù)列的求解，通?？赏ㄟ^(guò)對(duì)遞推公式的變換轉(zhuǎn)化成等差數(shù)列或等比數(shù)列問(wèn)題。(1) 遞推式為 an+1=an+d 及 an+1=qan（ d， q 為常數(shù)）例 1、已知 a 滿足 a=a +2，而且 a =1。求 a 。nn+1n1n例 1、解 an+1-a n=2為常數(shù) a n 是首項(xiàng)為 1，公差為2 的等差數(shù)列 an=1+2（ n-1

3、）即 an=2n-1例 2、已知 an 滿足 an 11 an ，而 a12，求 an =？2學(xué)習(xí)必備歡迎下載（ 2）遞推式為 an+1=an+f （ n）例 3、已知 an 中 a11an1，求 an .， an 14n221解： 由已知可知 an 1an11 (111)(2n1)( 2n 1)22n2n1令 n=1， 2，（ n-1 ），代入得（ n-1 ）個(gè)等式累加，即（a -a） +（ a -a）+ +（ a -an-1）2132nan a1114n3(12n1)224n 說(shuō)明只要和 f （ 1） +f （ 2）+ +f （n-1 ）是可求的，就可以由an+1=an+f （ n）以 n

4、=1， 2，（ n-1 ）代入，可得 n-1 個(gè)等式累加而求 an。(3) 遞推式為 an+1=pan+q（ p，q 為常數(shù)）例 4、 an 中， a11，對(duì)于 n 1（n N）有 an3an 12 ，求 an .解法一： 由已知遞推式得a =3a+2， a =3an-1+2。兩式相減： a-a=3（ a -an-1）n+1nnn+1nn因此數(shù)列 a n+1-a n 是公比為 3 的等比數(shù)列，其首項(xiàng)為a2-a 1=（ 3× 1+2） -1=4n+1nn-1n+1nnnn-1nn-1-1 a -a=4·3 a =3a+2 3a +2-a =4· 3即 a =2

5、83; 3解法二： 上法得 a n+1-a n 是公比為3 的等比數(shù)列， 于是有： a2-a 1=4，a3-a 2=4·3，a4-a 3=4·32，an-a n-1 =4·3n-2 ，把 n-1 個(gè)等式累加得： an=2·3n-1-1(4) 遞推式為 an+1=p a n+q n （p，q 為常數(shù)）bn 12(bn bn 1 ) 由上題的解法，得： bn2nbn3(1n1)nbn32() an2n)2(3323(5) 遞推式為 an 2pan 1qan思路：設(shè) an 2pan 1qan , 可以變形為： an 2an 1(an 1an ) ，學(xué)習(xí)必備歡迎

6、下載想于是 a n+1- an 是公比為 的等比數(shù)列，就轉(zhuǎn)化為前面的類(lèi)型。求 an 。(6) 遞推式為 Sn 與 an 的關(guān)系式關(guān)系；（ 2）試用 n 表示 an。 Sn 1 Sn( an an 1 ) (n1 21n 1 )22 an 1 an an 11 an 11 an12n 122n上式兩邊同乘以2n+1 得 2n+1an+1=2nan+2 則2 nan 是公差為2 的等差數(shù)列。 2nan= 2+ （ n-1 ）· 2=2n2數(shù)列求和問(wèn)題的方法（ 1）、應(yīng)用公式法等差、等比數(shù)列可直接利用等差、等比數(shù)列的前n 項(xiàng)和公式求和，另外記住以下公式對(duì)求和來(lái)說(shuō)是有益的。學(xué)習(xí)必備歡迎下載1

7、 3 5 (2n-1)=n 2【例 8】 求數(shù)列 1，（ 3+5），（ 7+9+10），（ 13+15+17+19），前 n 項(xiàng)的和。解本題實(shí)際是求各奇數(shù)的和，在數(shù)列的前n 項(xiàng)中，共有 1+2+ +n= 1 n(n 1) 個(gè)奇數(shù)，2最后一個(gè)奇數(shù)為：1+ 1 n(n+1)-1× 2=n2+n-12因此所求數(shù)列的前n 項(xiàng)的和為（ 2）、分解轉(zhuǎn)化法對(duì)通項(xiàng)進(jìn)行分解、組合, 轉(zhuǎn)化為等差數(shù)列或等比數(shù)列求和?！纠?9】求和 S=1·（ n2-1 ） + 2 ·（ n2-2 2） +3·（ n2-3 2） + +n（ n2-n 2）解 S=n 2（ 1+2+3+ +n）

8、- （ 13+23+33+ +n3）（ 3）、倒序相加法適用于給定式子中與首末兩項(xiàng)之和具有典型的規(guī)律的數(shù)列，采取把正著寫(xiě)與倒著寫(xiě)的兩個(gè)和式相加，然后求和。例 10、求和： Sn3Cn16Cn23nCnn例 10、解 Sn0 Cn03Cn16Cn23nCnn S n=3n·2n-1（ 4）、錯(cuò)位相減法如果一個(gè)數(shù)列是由 一個(gè)等差數(shù)列與一個(gè)等比數(shù)列對(duì)應(yīng)項(xiàng)相乘構(gòu)成的 ，可把和式的兩端同乘以上面的等比數(shù)列的公比，然后錯(cuò)位相減求和例 11、 求數(shù)列 1， 3x ， 5x2, ,(2n-1)xn-1 前 n 項(xiàng)的和學(xué)習(xí)必備歡迎下載解設(shè) Sn=1+3+5x2+ +(2n-1)xn-1 (2)x=0時(shí)

9、， Sn=123(3) 當(dāng) x 0 且 x 1 時(shí)，在式兩邊同乘以x 得 xS n=x+3x +5x + +(2n-1)xn， - ，得 (1-x)S n=1+2x+2x 2+2x3+2xn-1 -(2n-1)x n(5) 裂項(xiàng)法：把通項(xiàng)公式整理成兩項(xiàng)( 式多項(xiàng) ) 差的形式，然后前后相消。常見(jiàn)裂項(xiàng)方法：例 12、求和11111 53 75 9(2 n 1)(2n 3)注：在消項(xiàng)時(shí)一定注意消去了哪些項(xiàng)，還剩下哪些項(xiàng)，一般地剩下的正項(xiàng)與負(fù)項(xiàng)一樣多。在掌握常見(jiàn)題型的解法的同時(shí)，也要注重?cái)?shù)學(xué)思想在解決數(shù)列問(wèn)題時(shí)的應(yīng)用。二、常用數(shù)學(xué)思想方法1函數(shù)思想運(yùn)用數(shù)列中的通項(xiàng)公式的特點(diǎn)把數(shù)列問(wèn)題轉(zhuǎn)化為函數(shù)問(wèn)題解

10、決?！纠?13】等差數(shù)列 a n 的首項(xiàng) a10，前 n 項(xiàng)的和為Sn，若Sl =Sk（l k）問(wèn)n 為何值時(shí)Sn 最大？此函數(shù)以n 為自變量的二次函數(shù)。f （ l ） =f （ k）a1 0S l =Sk （ l k），d0 故此二次函數(shù)的圖像開(kāi)口向下學(xué)習(xí)必備歡迎下載2方程思想【例 14】設(shè)等比數(shù)列 a n 前 n 項(xiàng)和為 Sn，若 S3+S6=2S9，求數(shù)列的公比q。分析本題考查等比數(shù)列的基礎(chǔ)知識(shí)及推理能力。解依題意可知q 1。如果 q=1，則 S3=3a1，S6=6a1， S9=9a1。由此應(yīng)推出a1=0 與等比數(shù)列不符。 q 1整理得q 3（ 2q6-q 3-1 ） =0 q0此題還可以作如下思考：33336S6=S3+q S3=（ 1+q ）S3 。S9=S3+q S6 =S3（ 1+q +q ），33663由 S3+S6=