高一數(shù)學(xué)必修第一冊2019(A版)_《指數(shù)》教材分析

1、4.1 指數(shù)一、本節(jié)知識結(jié)構(gòu)框圖二、重點、難點重點：實數(shù)指數(shù)冪的運算及其性質(zhì). 難點：用有理數(shù)指數(shù)冪逼近無理數(shù)指數(shù)冪. 三、教科書編寫意圖及教學(xué)建議指數(shù)函數(shù)是以指數(shù)為自變量的一類函數(shù)，其定義域為實數(shù)集. 為研究指數(shù)函數(shù)，需要把指數(shù)冪運算的范圍進一步推廣. 類似于先把整數(shù)推廣到有理數(shù)，然后把有理數(shù)推廣到實數(shù)一樣， 本節(jié)教科書也是將指數(shù)冪由整數(shù)指數(shù)冪推廣到有理數(shù)指數(shù)冪，然后推廣到實數(shù)指數(shù)冪，進而為指數(shù)函數(shù)的學(xué)習(xí)奠定基礎(chǔ). 在指數(shù)冪運算的推廣過程中， “整數(shù)指數(shù)冪的運算性質(zhì)在有理數(shù)指數(shù)冪、實數(shù)指數(shù)冪中仍然成立”是核心思想. 對此，學(xué)生在初中學(xué)習(xí)整數(shù)指數(shù)冪時，在由正整數(shù)指數(shù)冪到負(fù)整數(shù)指數(shù)冪的推廣過程中

2、已經(jīng)有所體會，本節(jié)教學(xué)中要讓學(xué)生進一步體會 . 學(xué)習(xí)指數(shù)冪的運算， 必須解決無理數(shù)指數(shù)冪的問題. 與對無理數(shù)的理解一樣，對無理數(shù)指數(shù)冪的理解是本節(jié)教學(xué)的難點. 對此，教科書通過“用有理數(shù)指數(shù)冪逼近無理數(shù)指數(shù)冪”的思想引入無理數(shù)指數(shù)冪. 教學(xué)中，可以類比初中用有理數(shù)逼近無理數(shù)的教學(xué)， 讓學(xué)生通過經(jīng)歷從“過剩近似值”和“不足近似值”兩個方向，用有理數(shù)指數(shù)冪逼近無理數(shù)指數(shù)冪的過程；然后在數(shù)軸上表示這些“過剩近似值”和“不足近似值”的對應(yīng)點，發(fā)現(xiàn)這些點逼近一個確定的點， 其對應(yīng)的數(shù)就是這個無理數(shù)指數(shù)冪 . 由此讓學(xué)生體會其中的極限思想，并從數(shù)和形兩個角度認(rèn)識到25是一個確定的實數(shù)，進而理解無理數(shù)指數(shù)冪

3、. 4.1.1n 次方根與分?jǐn)?shù)指數(shù)冪學(xué)生在初中已經(jīng)學(xué)習(xí)過整數(shù)指數(shù)冪，在冪函數(shù)的學(xué)習(xí)中，接觸過形如12s的以分?jǐn)?shù)為指數(shù)的冪， 那么這種以分?jǐn)?shù)為指數(shù)的冪的意義是什么？它具有怎樣的運算性質(zhì)？它和整數(shù)指數(shù)冪有什么聯(lián)系和區(qū)別？這些都是自然而然要研究的問題.教科書就是從這樣的問題出發(fā)引入本節(jié)內(nèi)容. 平方、開平方以及立方、開立方是學(xué)生熟悉的運算，它們兩兩互為逆運算.為了一般化，教科書首先把平方根、立方根的概念推廣到n次方根，介紹 n次方根的性質(zhì)；然后在此基礎(chǔ)上，建立n次方根與分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的關(guān)系，說明分?jǐn)?shù)（有理數(shù)）指數(shù)冪的意義，并把整數(shù)指數(shù)冪的運算性質(zhì)推廣到有理數(shù)指數(shù)冪的情形. 1. n次方根的概念及其性質(zhì)初中

4、階段，我們由平方、 立方的運算，引入了平方根、 立方根 . 類比平方根、立方根與平方、 立方之間的關(guān)系， 因為4( 2)16，所以把2叫做16的4次方根；同樣，由于5232，所以把 2叫做32的5次方根 . 以此類推，就可以得出n 次方根的概念 . 這種推廣以具體的例子為載體，由特殊到一般，由具體到抽象，學(xué)生理解起來并不困難，通過n 次方根的概念，也容易得到其性質(zhì)，即（1）當(dāng) n是奇數(shù)時， 正數(shù)的 n次方根是一個正數(shù)， 負(fù)數(shù)的 n次方根是一個負(fù)數(shù). 這時， a的 n次方根用符號na 表示. （2）當(dāng) n 是偶數(shù)時，正數(shù)的n次方根有兩個，這兩個數(shù)互為相反數(shù). 這時，正數(shù) a的正的 n次方根用符號

5、na 表示，負(fù)的 n 次方根用符號na 表示，正的 n次方根與負(fù)的 n次方根可以合并寫成(0)na a. （3）負(fù)數(shù)沒有偶次方根 . （4）0的任何次方根都是 0，記作00n. 進一步，根據(jù) n次方根的意義，可以把實數(shù)的n次方根推廣到 n次根式，實現(xiàn)數(shù)到式的推廣，而且數(shù)的性質(zhì)可以自然地推廣到式，這就是數(shù)式通性在n 次根式中的表現(xiàn)，由此我們?nèi)菀椎玫浇炭茣?05頁探究欄目中問題的答案：當(dāng)n為奇數(shù)時，nnaa ；當(dāng)n為偶數(shù)時，,0,|,0.nnaaaaaa2. 例1的設(shè)計及教學(xué)例1的作用是鞏固 n 次方根的概念， 以及前面探究得到的關(guān)于nna 的性質(zhì) . 前3個小題涉及的都是具體的數(shù)，第4小題涉及字

6、母 . 解決問題時，要特別注意當(dāng)n為偶數(shù)時最后結(jié)果的準(zhǔn)確表示以及化簡. 例如對于最后一個小題，由于涉及字母a，b，其結(jié)果要用絕對值的形式表示，所以需要對這兩個字母的大小關(guān)系進行分類討論之后再化簡 . 3. n次方根與分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的關(guān)系以n次方根的概念及其性質(zhì)為基礎(chǔ)，教科書進一步研究了n次方根與分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的關(guān)系 . 對于根式的被開方數(shù)的指數(shù)與根指數(shù)，存在整除與不能整除兩種情況. 教科書首先通過具體的實例說明， 當(dāng)根式的被開方數(shù)， 如10a（看成冪的形式）的指數(shù) 10能被根指數(shù) 5整除時，根式510a可以表示為分?jǐn)?shù)指數(shù)冪105a的形式 . 這樣，就把10a的5次方根與分?jǐn)?shù)指數(shù)冪105a聯(lián)系起來，這種

7、聯(lián)系是非常自然的 . 整除的情況研究清楚了，自然就會提出“當(dāng)根式的被開方數(shù)的指數(shù)不能被根指數(shù)整除時，根式是否也可以表示為分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的形式”的問題. 這也就是教科書105頁的“思考”提出的問題， 這是一個非常重要的問題， 這個問題突破了， 分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的推廣就順理成章了 . 教科書仍然是通過具體的實例，說明根據(jù)n次方根的概念及其性質(zhì)，當(dāng)根指數(shù)不能整除被開方數(shù)的指數(shù)時，為了使整數(shù)指數(shù)幕的運算性質(zhì)，如nkknaa仍然成立，根式可以表示為分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的形式，如2323(0)aaa，12(0)bbb，5544(0)ccc.在將 n次方根表示為分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的過程中，核心思想是指數(shù)冪的運算性質(zhì)仍然成立 . 這種兼

8、容性為運算帶來極大的方便，這同時說明了n 次方根表示為分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的合理性 . 至此，關(guān)于正數(shù)的正分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的意義*0,1mnmnaaam nnn. 就順理成章了 . 于是，在條件0a，m，*nn，1n下，根式都可以寫成分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的形式，指數(shù)由整數(shù)推廣到了正分?jǐn)?shù). 類似正整數(shù)指數(shù)冪到負(fù)整數(shù)指數(shù)冪的推廣，根據(jù)正分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的意義， 可以規(guī)定正數(shù)的負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的意義*110,1mnmnmnaam nnaan. 負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的規(guī)定，是完全類比負(fù)整數(shù)指數(shù)冪的規(guī)定. 這種規(guī)定是合理的，它保持了正分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的運算性質(zhì). 同樣地，與0的整數(shù)指數(shù)冪的意義相仿， 我們規(guī)定：0的正分?jǐn)?shù)指數(shù)冪等于 0，0的負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪

9、沒有意義 . 規(guī)定了分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的意義以后， 指數(shù)冪xa中指數(shù) x 的取值范圍就從整數(shù)拓展到了有理數(shù) . 由上可知，教科書通過具體實例的歸納，由具體到抽象，由特殊到一般，建立了分?jǐn)?shù)指數(shù)冪與 n 次方根的關(guān)系：分?jǐn)?shù)指數(shù)冪是n次方根的一種表示形式，兩者是統(tǒng)一的 . 同時這種表示為后面的運算帶來了極大的方便. 另外，通過根式與分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的互化，可以鞏固、加深對于根式和分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的理解. 4. 有理數(shù)指數(shù)冪的運算性質(zhì)對有理數(shù)指數(shù)冪的運算性質(zhì)， 下面通過 n 次方根與有理數(shù)指數(shù)冪的關(guān)系給出證明. 我們以（ 1）為例. 首先考慮0r，0s的情況 . 由于 r ，s是有理數(shù)， 所以nrm，spq，其中 m，n

10、，p，q都是正整數(shù)，且 m與 n互質(zhì)，p與q互質(zhì)，所以qnpmqnpmqnqnmpmpmpmprsnpmqnpmqnp mqrspmpmpmpmpma aa aaaaaa aaaaa. 對于0r，0s的情形，可以轉(zhuǎn)化為正分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的情形進行證明. 5. 例2例4的設(shè)計及說明例2通過具體的數(shù)字運算，鞏固分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的概念、意義以及分?jǐn)?shù)指數(shù)冪中指數(shù)的運算性質(zhì) . 例3通過一般表達式的運算，鞏固分?jǐn)?shù)指數(shù)冪和n次方根的互相轉(zhuǎn)化，特別是把 n次方根轉(zhuǎn)化為分?jǐn)?shù)指數(shù)冪進行運算，把結(jié)果表示為分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的形式. 例4具有一定的綜合性， 需要綜合運用 n次方根、分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的概念， 分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的運算性質(zhì)， 以及式的加

11、減乘除等進行運算， 目的是鞏固有理數(shù)指數(shù)冪的運算性質(zhì) . 例3與例4中，為了考慮問題的方便，而且主要是理解有關(guān)概念及運算性質(zhì)，我們假定作為被開方數(shù)的字母均為正數(shù). 實際上，考慮到后面學(xué)習(xí)指數(shù)函數(shù)及對數(shù)函數(shù)，字母為負(fù)數(shù)有時沒有意義. 4.1.2 無理數(shù)指數(shù)冪及其運算性質(zhì)1. 如何理解無理數(shù)指數(shù)冪指數(shù)冪中的指數(shù)由整數(shù)推廣到有理數(shù)，比較自然，理解起來也不難. 但是，指數(shù)是無理數(shù)時，這個指數(shù)冪有沒有意義？如果有意義，其意義是什么？有理數(shù)指數(shù)冪的意義比較明顯，它可以看成n 次方根，但無理數(shù)指數(shù)冪的意義就沒有那么明顯 . 在有理數(shù)擴充到實數(shù)的過程中，無理數(shù)的產(chǎn)生既有實際的背景，又有數(shù)學(xué)背景，如單位正方形對

12、角線的長度. 但是冪的指數(shù)由有理數(shù)推廣到實數(shù)，指數(shù)變?yōu)闊o理數(shù)，很難有實際背景，這完全是數(shù)學(xué)理性思維的結(jié)果. 不過這種推廣，從思維的角度看，也是自然的. 在有理數(shù)推廣到實數(shù)的過程中， 我們通過有理數(shù)的不足近似值和過剩近似值，運用夾逼方法，認(rèn)識了無理數(shù)2 ，得出它的近似值，并說明它是無限不循環(huán)小數(shù)，給出2 是無理數(shù)的證明 . 同樣，對于無理數(shù)指數(shù)冪， 可以運用有理數(shù)推廣到無理數(shù)的經(jīng)驗， 通過有理數(shù)指數(shù)冪逐步逼近無理數(shù)指數(shù)冪的方法，認(rèn)識無理數(shù)指數(shù)冪的意義 . 對于無理數(shù)指數(shù)冪的認(rèn)識， 教科書安排了一個探究欄目， 從具體的25開始.假設(shè)25有意義，由2 的不足近似值 x（有理數(shù)）和過剩近似值y（有理數(shù)

13、），根據(jù)有理數(shù)指數(shù)冪的意義， 利用計算工具，計算相應(yīng)的5x，5y的值，并填入表中 .可以發(fā)現(xiàn)， 當(dāng)2 的不足近似值 x和過剩近似值y逐漸逼近2 時，相應(yīng)的近似值都趨向于同一個數(shù) . 這時，從差55xy趨向于 0，也可以進一步說明5x，5y都趨向于同一個數(shù)，這個數(shù)就是25. 也就是說，25是一串逐漸增大的有理數(shù)指數(shù)冪1.41.411.4141.41425,5,5,5,和另一串逐漸減小的有理數(shù)指數(shù)冪1.51.421.4151.41435,5,5,5,逐步逼近的結(jié)果 . 由于實數(shù)與數(shù)軸上的點一一對應(yīng)，這一過程也可以在數(shù)軸上標(biāo)示出來（如教科書圖 4.1-1 ）. 逐步逼近后，根據(jù)我們的想象和推斷，這個

14、點在數(shù)軸上存在，而且是唯一的，它是一個確定的實數(shù)，這個數(shù)就是25. 無論是2 還是25，為了認(rèn)識這些數(shù)的意義， 我們在數(shù)軸上先選取這個數(shù)附近一個小區(qū)間內(nèi)的數(shù)， 通過不斷縮小區(qū)間的長度， 讓區(qū)間端點的值從區(qū)間的左右兩個方向不斷增大的方向（單調(diào)遞增）和不斷減小的方向（單調(diào)遞減），逐漸向中間逼近， 在“單調(diào)有界數(shù)列必有極限”的基本事實支持下，判定2 ，25不僅在數(shù)軸上確實存在，而且是唯一的. 這種研究問題的方法是現(xiàn)代數(shù)學(xué)中常用的方法： 選取點所在的一個鄰域， 運用無限分割的方法， 將點所在區(qū)間不斷縮小，得到區(qū)間套，然后運用極限，得到研究問題的答案. 這種方法在后面學(xué)習(xí)導(dǎo)數(shù)、積分等內(nèi)容時，學(xué)生會感受得

15、更加深刻. 教科書通過“探究”中的表格和圖4.1-1 的數(shù)軸這兩種方式展示逐步逼近的過程. 用表格展示數(shù)據(jù)，呈現(xiàn)具體的數(shù)值，非常醒目；用數(shù)軸表示數(shù)值，可以從宏觀、整體上把握變化的趨勢，兩者結(jié)合，相得益彰. 這樣逐漸逼近的過程，比較直觀，學(xué)生不難理解 . 通過逼近，使學(xué)生認(rèn)識任何正數(shù)的實數(shù)次冪都是確定的實數(shù)這樣一個結(jié)論 . 教學(xué)時，可以利用計算工具計算， 將2 的不足近似值和過剩近似值逐步精確，從而更好地看到25的不足近似值和過剩近似值逼近25的過程；也可以利用信息技術(shù)作圖，在數(shù)軸上將25附近逐步放大，直觀展示上述逼近過程，加深學(xué)生對于無理數(shù)指數(shù)冪的理解. 教科書接下來安排了一個思考欄目，讓學(xué)生

16、類比25的探究過程，探究32.32也是一個確定的實數(shù)，在數(shù)軸上有唯一的點與它對應(yīng). 在上述研究的基礎(chǔ)上，教科書給出結(jié)論：一般地，無理數(shù)指數(shù)冪(0,)aa為無理數(shù)是一個確定的實數(shù) . 這個結(jié)論使得以后能在實數(shù)范圍內(nèi)定義指數(shù)函數(shù)，在區(qū)間(0,)內(nèi)定義對數(shù)函數(shù) . 這樣，我們把指數(shù)冪(0)xaa中指數(shù)x的取值范圍由整數(shù)拓展到有理數(shù)，并進一步拓展到實數(shù)，即任何正數(shù)的實數(shù)指數(shù)冪是一個確定的實數(shù) . 應(yīng)當(dāng)注意的是，在指數(shù)冪xa中，通常要限定0a這個條件 . 這是為了保證后續(xù)的指數(shù)函數(shù)xya 對于任意實數(shù) x 都有意義 . 因為只有正數(shù)的任何實數(shù)次冪才都有意義，如果底數(shù)是 0， 那么指數(shù)就不能為 0或負(fù)數(shù)，否則就沒