第六節(jié)兩個重要極限65998

1、第一章第一章 函數(shù)與極限函數(shù)與極限第六節(jié)第六節(jié) 極限存在法則極限存在法則 兩個重要極限兩個重要極限夾逼準(zhǔn)則夾逼準(zhǔn)則準(zhǔn)則準(zhǔn)則 如果數(shù)列如果數(shù)列nnyx ,nz及及滿足下列條件滿足下列條件: :(1)nnnzxy (2),limaynn .limaznn );, 3 , 2 , 1( n那么數(shù)列那么數(shù)列nx的極限存在的極限存在, , 且且.limaxnn 注注: : 利用夾逼準(zhǔn)則求極限關(guān)鍵是構(gòu)造出利用夾逼準(zhǔn)則求極限關(guān)鍵是構(gòu)造出ny與與,nz并且并且ny與與nz的極限相同且容易求得的極限相同且容易求得. .夾逼準(zhǔn)則夾逼準(zhǔn)則如果當(dāng)如果當(dāng))(0 xux 或或mx |時時, ,有有(1)(2),()()(

2、xhxfxg ,)(lim)(0axgxxx ,)(lim)(0axhxxx 那么那么)(lim)(0 xfxxx 存在存在, , 且等于且等于.a準(zhǔn)則準(zhǔn)則i 例例1 求求.12111222lim nnnnn例例3 求求.)321(lim1nnnn 例例2 求求.)(1)1(11lim222 nnnnn例例4 求求).1(lim aannn例例5求求).0(!lim anann例例6 求求.!limnnnn 例例7求求.limnnn 例例8求證求證).0( 1lim aann例例9求極限求極限.1lim0 xxx單調(diào)有界準(zhǔn)則單調(diào)有界準(zhǔn)則如果數(shù)列如果數(shù)列滿足條件滿足條件nx,121 nnxxxx

3、,121 nnxxxx單調(diào)增加單調(diào)增加單調(diào)減少單調(diào)減少單調(diào)數(shù)列單調(diào)數(shù)列準(zhǔn)則準(zhǔn)則 單調(diào)有界數(shù)列必有極限單調(diào)有界數(shù)列必有極限. .例如例如, , 單調(diào)增加數(shù)列單調(diào)增加數(shù)列: :單調(diào)減少數(shù)列單調(diào)減少數(shù)列: :.11nxn .11nxn 例例10設(shè)有數(shù)列設(shè)有數(shù)列, 31 x,312xx ,31 nnxx求求.limnnx 例例11 設(shè)設(shè)為常數(shù)為常數(shù), ,0 a數(shù)列數(shù)列nx由下式定義由下式定義: :), 2, 1(2111 nxaxxnnn其中其中0 x為大于零的常數(shù)為大于零的常數(shù), , 求求.limnnx ac兩個重要極限兩個重要極限(1)1sinlim0 xxx)20(, xxaobo 圓心角圓心角

4、設(shè)單位圓設(shè)單位圓,tan,sinacxabxbdx 弧弧于于是是有有xobd.aco ，得，得作單位圓的切線作單位圓的切線,xoab的圓心角為的圓心角為扇形扇形,bdoab的高為的高為 例例12 求求.tanlim0 xxx例例13 求求.5sin3tanlim0 xxx例例14求求.cos1lim20 xxx 例例15 下列運(yùn)算過程是否正確下列運(yùn)算過程是否正確: :xxxxxxxxsintanlimsintanlim xxxxxxsinlimtanlim . 1 例例16 計(jì)算計(jì)算.3coscoslim20 xxxx 例例17 計(jì)算計(jì)算.cossin1lim20 xxxxx 例例18.sin

5、2tan2lim30 xxxx 計(jì)算計(jì)算exxx 11lim1.先考慮先考慮 取正整數(shù)取正整數(shù) 的情形的情形. .xn設(shè)設(shè),11nnnx nx是單調(diào)遞增的是單調(diào)遞增的; ;nx是有界的是有界的. . 故故nnx lim存在存在. . 記為記為. )71828. 2(11lim eennn2. 再考慮再考慮 為實(shí)數(shù)的情形為實(shí)數(shù)的情形. .x例例19 求求.11lim3 nnn例例20.)21(lim10 xxx 求求例例21 求求.11limxxx 例例22 求求.23lim2xxxx 例例23 求求.1lim22xxxx 例例24 計(jì)算計(jì)算.)(lim10 xxxxe 例例25 求極限求極限.

6、)(tanlim2tan4xxx 存在正整數(shù)存在正整數(shù),n使得當(dāng)使得當(dāng),nm nn 時時, ,數(shù)列數(shù)列nx收斂的充分必要條件收斂的充分必要條件是是:柯西極限存在準(zhǔn)則柯西極限存在準(zhǔn)則對于任意給定的對于任意給定的, 正數(shù)正數(shù)有有.| nmxx就就注注: : 柯西極限存在準(zhǔn)則又稱為柯西極限存在準(zhǔn)則又稱為柯西審斂原理柯西審斂原理, ,其幾何意義是其幾何意義是: :對于任意給定的正數(shù)對于任意給定的正數(shù), 一切具有足夠大號碼的點(diǎn)一切具有足夠大號碼的點(diǎn) 中中, ,nx小于小于. 在數(shù)軸上在數(shù)軸上任意兩點(diǎn)間的距離任意兩點(diǎn)間的距離,nn 1|,nnnxxc12nnsccc nsnx1 1、證明：若、證明：若有有

7、且且，而數(shù)列，而數(shù)列收斂，收斂，則數(shù)列則數(shù)列也收斂也收斂 1112nxn nx2 2、設(shè)、設(shè) ，利用柯西收斂定理證明，利用柯西收斂定理證明發(fā)散發(fā)散內(nèi)容小結(jié)內(nèi)容小結(jié)1. 夾逼準(zhǔn)則夾逼準(zhǔn)則如果數(shù)列如果數(shù)列nnyx ,及及nz滿足下列條件滿足下列條件 :);, 3 , 2 , 1()1( nzxynnn.lim,lim)2(azaynnnn 那么數(shù)列那么數(shù)列nx的極限存在，的極限存在，且且.limaxnn 2. 單調(diào)有界準(zhǔn)則單調(diào)有界準(zhǔn)則單調(diào)有界數(shù)列必有極限，單調(diào)有界數(shù)列必有極限，即單調(diào)增加有上界或即單調(diào)增加有上界或減少有下界的數(shù)列必有極限減少有下界的數(shù)列必有極限 .單調(diào)單調(diào)3. 兩個重要極限兩個重要極限; 1sinlim)1(0 xx