八年級數(shù)學(xué)上冊平面圖形的鑲嵌教案北師大版

1、平面圖形的鑲嵌教學(xué)設(shè)計教學(xué)設(shè)計思想本節(jié)內(nèi)容需一課時講授；本課是典型的數(shù)學(xué)與現(xiàn)實生活親密聯(lián)系的一節(jié)課從現(xiàn)實的、 有教學(xué)意義的情境動身，以同學(xué)四周生活中的實例：地板、墻面、服裝圖案的平面圖形的鑲嵌照片作為引例，符合同學(xué)的年齡特點與生活體會，并能激發(fā)同學(xué)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的愛好，讓同學(xué)在生動詳細(xì)的情境中來探究正三角形、正四邊形、正五邊形、 正六邊形的鑲嵌，使同學(xué)的數(shù) 學(xué)學(xué)習(xí)過程布滿了觀看、試驗、猜想、驗證、推理與溝通等豐富多彩的數(shù)學(xué)活動老師的教學(xué)設(shè)計充分考慮同學(xué)主體性的發(fā)揮，讓同學(xué)經(jīng)受自主“做數(shù)學(xué)”的過程教學(xué)目標(biāo)（一）學(xué)問與技能1表達(dá)平面圖形的鑲嵌的定義2知道多邊形鑲嵌的條件（二）過程與方法1經(jīng)受探究多邊形鑲

2、嵌（鑲嵌）條件的過程，進(jìn)一步進(jìn)展同學(xué)的合情推理才能2通過探究平面圖形的鑲嵌，知道任意一個三角形、四邊形或正六邊形可以鑲嵌，并能運用這幾種圖形進(jìn)行簡潔的鑲嵌設(shè)計（三）情感、態(tài)度與價值觀1在探究活動過程中，培育同學(xué)的合作溝通意識和肯定的審美情感，使同學(xué)進(jìn)一步體會平面圖形在現(xiàn)實生活中的廣泛應(yīng)用2在探干脆活動中，開發(fā)、培育同學(xué)的制造性思維，使其理論聯(lián)系實際 教學(xué)重點多邊形鑲嵌的條件教學(xué)難點運用三角形、四邊形或正六邊形進(jìn)行簡潔的鑲嵌設(shè)計教學(xué)方法啟示、爭論式教具預(yù)備各種地板圖片、投影片、剪刀、硬紙片數(shù)張教學(xué)過程巧設(shè)情形問題，引入課題師同學(xué)們好，老師問大家一個問題：你家鋪有地板磚嗎？專心愛心專心1生齊鋪有地

3、板磚師那你家鋪的地板磚是什么圖形呢？生甲正方形生乙正六邊形師 很好，我們常常能見到各種建筑物的地板，墻面或者是服裝面料，發(fā)覺它們常用各種正多邊形地磚鋪砌成美麗的圖案（出示投影，展現(xiàn)各種地板圖片）師這些地板美麗嗎？生齊特別美麗師 很好，這種用外形、大小完全相同的一種或幾種平面圖形進(jìn)行拼接，彼此之間不留間隙，不重疊地鋪成一片，這就是平面圖形的鑲嵌這節(jié)課我們來探究平面圖形的鑲嵌 講授新課師 平面圖形的鑲嵌，又稱做平面圖形的密鋪，在平面上鑲嵌需留意：各種圖形拼接后要既無縫隙，又不重疊大家情愿美化生活環(huán)境嗎？生齊情愿師 好，那我們先來探究多邊形鑲嵌的條件，大家拿出預(yù)備好的剪刀和硬紙片分組來做一做（ 1）

4、用外形、大小完全相同的三角形能否鑲嵌？（ 2）用同一種四邊形可以鑲嵌嗎？用硬紙板剪制如干外形、大小完全相同的四邊形做試驗，并與同伴溝通（ 3）在用三角形鑲嵌的圖案中，觀看每個拼接點處有幾個角？它們與這種三角形的三個內(nèi)角有什么關(guān)系？（ 4）在用四邊形鑲嵌的圖案中，觀看每個拼接點處的四個角與這種四邊形的四個內(nèi)角有什么關(guān)系？專心愛心專心2（同學(xué)動手制作、老師強調(diào)：）師大家要留意：三角形、四邊形的外形，可以是任意的，但裁剪出的每種圖形肯定是全等形（同學(xué)分組拼接、爭論，查找規(guī)律，老師巡察指導(dǎo)）生甲用外形、大小完全相同的三角形可以鑲嵌由于三角形的內(nèi)角和為180°，所 以，用 6 個這樣的三角形就

5、可以組合起來鑲嵌成一個平面從用三角形鑲嵌的圖案中，觀看到： 每個拼接點處有6 個角， 這 6 個角分別是這種三角 形的內(nèi)角（其中有三組分別相等），它們可以組成兩個三角形的內(nèi)角，它們的和為360°生乙用同一種四邊形也可以鑲嵌，在用四邊形鑲嵌的圖案中，觀看到： 每個拼接點處的四個角恰好是一個四邊形的四個內(nèi)角四邊形的內(nèi)角和為360°，所以它們的和為 360°生丙從拼接活動中，我們知道了：要用幾個外形、大小完全相同的圖形不留間隙、不重疊地鑲嵌一個平面，需使得拼接點處的各角之和為360°師同學(xué)們總結(jié)得特別好，通過探究活動，我們得知：用外形、大小完全相同的四邊形或三

6、角形可以鑲嵌一個平面，那么其他的多邊形能否鑲嵌？下面大家來想一想，議一議（ 1）正六邊形能否鑲嵌？簡述你的理由（ 2）分析如下圖，爭論正五邊形不能鑲嵌（ 3）仍能找到能鑲嵌的其他正多邊形嗎？（同學(xué)分析、爭論、歸納）62 180生甲正六邊形能鑲嵌由于正六邊形的每個內(nèi)角都是：6=120°, 在每個拼接點處，恰好能容納下3 個內(nèi)角，而且相互不重疊，沒有間隙生乙正五邊形的每個內(nèi)角都是108°， 360 不是 108 的整數(shù)倍如下列圖，在每個拼接點處，三個內(nèi)角之和為324°，小于360°，而四個內(nèi)角之和都大于360°師很好，乙同學(xué)說的也就是：在每個拼結(jié)處

7、，拼三個內(nèi)角不能保證沒間隙，而拼四個角時，必定有重疊現(xiàn)象專心愛心專心3生丙老師， 我知道了， 要用正多邊形鑲嵌成一個平面的關(guān)鍵是看：這種正多邊形的一個內(nèi)角的倍數(shù)是否是360°， 在正多邊形里， 正三角形的每個內(nèi)角都是60°， 正四邊形的每個內(nèi)角都是90°， 正六邊形的每個內(nèi)角都是120°，這三種多邊形的一個內(nèi)角的倍數(shù)都是 360°，而其他的正多邊形的每個內(nèi)角的倍數(shù)都不是360°，所以說：在正多邊形里只有正 三角形、正四邊形、正六邊形可以鑲嵌，而其他的正多邊形不行鑲嵌 n2 180師很好，事實上，對于正n 邊形，它的每一個內(nèi)角都為n,

8、在每個拼接點處，設(shè)可以將m個內(nèi)角彼此無重疊、無縫隙地拼接在一起，由于這些角的和應(yīng)為360°，n2 180因此有n× m=360°此式可化為：（m 2）（ n 2） =4m、n 都是正整數(shù)因此： m 2,n 2 都是 4 的因子 所以， m、n 的取值僅有三種可能，即：m6m4m3n3n4n6這正是正多邊形的三種可以鑲嵌的情形當(dāng)然，一般三角形、四邊形也可以鑲嵌雖然它們的內(nèi)角未必都相等師這是用一種正多邊形鑲嵌平面的三種情形，圖案美麗嗎？生齊美麗師好，下來我們可以利用多邊形設(shè)計一些美麗的圖案m（ m2）n平面鑲嵌圖案3專心愛心專心44567生老師，我們爭論了用正多邊形鑲

9、嵌平面，那非正多邊形能否鑲嵌一個平面呢？師 這個問題我們以后要涉及到，由于用非正多邊形鑲嵌平面比較復(fù)雜，所以這節(jié)課我們不進(jìn)行爭論課堂練習(xí)1如圖，在一個正方形的內(nèi)部按圖示（1）的方式剪去一個正三角形，并平移，形成如圖（ 2）所示的新圖案，以這個圖案為“基本單位”能否進(jìn)行鑲嵌？說說你的理由答案： 可以進(jìn)行鑲嵌由于正方形是可以鑲嵌的這個題只是在整個鑲嵌圖案中，將其中一個正方形的某一部分平移到了另一正方形的相應(yīng)部位，因而它也是可以鑲嵌的（二）試一試同時用邊長相同的正八邊形和正方形能否鑲嵌？用硬紙板為材料進(jìn)行試驗答案：可以鑲嵌專心愛心專心5（同學(xué)進(jìn)行操作，來試驗，從而得證） 課時小結(jié)本節(jié)課我們通過活動，

10、探討， 知道任意一個三角形，四邊形或正六邊形可以鑲嵌成一個平面，并且探究出正多邊形鑲嵌的條件即：一種正多邊形的一個內(nèi)角的倍數(shù)是否是360° 活動與探究探究用兩種正多邊形鑲嵌平面的條件過程：讓同學(xué)先從簡潔的兩種正多邊形開頭探究（ 1）正三角形與正方形正方形的每個內(nèi)角是90°，正三角形的每個內(nèi)角是60°，對于某個拼結(jié)點處，設(shè)有x個 60°角，有y 個 90°角，就： 60x+90y=360即 ： 2x+3y=12 又 x 、y 是正整數(shù)解得： x=3,y=2即：每個頂點處用正三角形的三個內(nèi)角，正方形的兩個內(nèi)角進(jìn)行拼接（如下圖）（ 2）正三角形與正六邊形正三角形的每個內(nèi)角是60°， 正六邊形的每個內(nèi)角是120°， 對于某個拼結(jié)點處，設(shè)有x 個 60°角，有y 個 120°角，即： 60x+120y =360°即 x+2y=6x、y 是正整數(shù)x解得：y4x2或1y2即：每個頂點處用四個正三角形和一個正六邊形，或者用二個正三角形和兩個正六邊形，如下圖專心愛心專心6（ 3）正三角形和正十二邊形與前一樣爭論，得每個頂點處用一個正三角形和兩個正十二邊形由以上爭論可找到鑲嵌平面的條件結(jié)論：由