八年級(jí)數(shù)學(xué)競(jìng)賽講座第二十二講直角三角形的再發(fā)現(xiàn)人教新課標(biāo)版

1、其次十二講直角三角形的再發(fā)覺直角三角形是一類特別三角形， 有著豐富的性質(zhì)： 兩銳角互余、 斜邊的平方是兩直角邊的平方和、 斜邊中線等于斜邊一半、 30°所對(duì)的直角邊等于斜邊一半等， 在學(xué)習(xí)了相像三角形的學(xué)問后，我們利用相像三角形法，能得到應(yīng)用極為廣泛的結(jié)論如圖，在 rt abc中， c=90°， cd ab 于 d，就有：2221同一三角形中三邊的平方關(guān)系：ab =ac+bc，222222ac =ad+cd， bc=cd+bd2角的相等關(guān)系：a= dcd， b=acd3線段的等積式：由面積得ac × bc=ab× cd；由 acd cbd abc，得 c

2、d2=ad× bd， ac2=ad× ab， bc2=bd×ab以直角三角形為背景的幾何問題，常以以下圖形為載體，綜合了全等三角形、相像三角形、等腰三角形，特別四邊形等豐富的學(xué)問注 直角三角形被斜邊上的高分成的3 個(gè)直角三角形相像， 由此導(dǎo)出的等積式的特點(diǎn)是：一線段是兩個(gè)三角形的公共邊，另兩條線段在同始終線上，這些等積式廣泛應(yīng)用于與直角三角形問題的運(yùn)算與證明中例題求解【例 1】等腰三角形abc的底邊長(zhǎng)為8cm，腰長(zhǎng) 5cm，一動(dòng)點(diǎn) p在底邊上從b向 c以 025cm秒的速度移動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)p 運(yùn)動(dòng)到 pa與腰垂直的位置時(shí)，點(diǎn)p 運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為江蘇省常州市中考題思路點(diǎn)撥為求

3、 bp需作出底邊上的高，就得到與直角三角形相關(guān)的基本圖形，留意動(dòng)態(tài)過程2【例 2】如圖，在矩形abcd中， ae bd于 e，s 矩形 abcd=40cm， sabe： s dba=1： 5，就ae的長(zhǎng)為 a 4cmb 5cmc6cmd 7cm青島市中考題思路點(diǎn)撥從題設(shè)條件及基本圖形入手，先建立ab、ad的等式【例 3】 如圖，在 rt abc中， bac90°， ab ac，db為 bc的中點(diǎn)， e 為 ac上一點(diǎn)，點(diǎn) g在 be 上，連結(jié)dg并延長(zhǎng)交ae于 f，如 fge=45°(1) 求證： bd× bc bg× be；(2) 求證： ag be；

4、(3) 如 e 為 ac的中點(diǎn)，求ef：fd 的值（鹽城市中考題）思路點(diǎn)撥發(fā)覺圖形中特別三角形、基本圖形、線段之間的關(guān)系是解本例的基礎(chǔ)1證明 gbd cbe；2 證明 abg eba；3 利用相像三角形，把求線段的比值ef 的值轉(zhuǎn)化為求其他fd【例 4】如圖， h、q分別是正方形abcd的邊 ab、bc 上的點(diǎn)，且bh=bq，過 b 作 hc的垂線，垂足為p求證： dppq“祖沖之杯”邀請(qǐng)賽試題思路點(diǎn)撥因 bpq+ qpc=90°，要證 dp pq，即證 qpc+dpc=90°，只需證 bpq=dpc，只要證明bpq cpd即可注題設(shè)條件有中點(diǎn)，圖形中有與直角三角形相關(guān)的基

5、本圖形，給我們以豐富的聯(lián)想，單獨(dú)應(yīng)用或組合應(yīng)用可推出很多結(jié)論因此， 讀者應(yīng)不拘泥于給出的思路點(diǎn)撥，多角度探究與摸索，查找更多更好的解法，以培育我們發(fā)散思的才能【例 5】已知 abc中， bc>ac，ch是 ab 邊上的高，且滿意b 的關(guān)系，井加以證明武漢市選拔賽試題ac 2bc 2ah ，摸索討 a 與bh思路點(diǎn)撥由題設(shè)條件易想到直角三角形中的基本圖形、基本結(jié)論，可猜想出a與b 的關(guān)系， 解題的關(guān)鍵是綜合運(yùn)用勾股定理、比例線段的性質(zhì)，推導(dǎo)判定兩個(gè)三角形相像的條件注 構(gòu)造逆命題是提出問題的一個(gè)常用方法，本例是在直角三角形被斜邊上的高分成的相像三角形得出結(jié)論基礎(chǔ)上提出的一個(gè)逆命題，讀者你能提

6、出新的問題嗎.并加以證明學(xué)力訓(xùn)練1 如圖，已知正方形abcd的邊長(zhǎng)是1， p 是 cd邊的中點(diǎn) ，點(diǎn) q在線段 bc上，當(dāng) bq=時(shí)，三角形adp與三角形qcp相像云南省中考題2 如圖， rt abc中， cd為斜邊 ab上的高， df cb于 e，如 be=6， ce=4，就ad=3如圖， 平行四邊形abcd中，ab=2，bc=2 3 ，ac=4，過 ac的中點(diǎn) o作 ef ac交 ad于 e，交 bc于 f，就 ef= 重慶市競(jìng)賽題4 p 是 rt abc的斜邊 bc上異于 b、c 的一點(diǎn)，過點(diǎn)p 作直線截 abc，使截得的三角形與abc相像，滿意這樣條件的直線共有a 1 條b 2 條c

7、3 條d 4 條2001年安徽省中考題25在 abc中， ad是高，且ad=bd× cd，那么 bac的度數(shù)是 a 小于 90°b等于 90° c 大于 90°d不確定6 如 圖，矩形 abcd中， ab=3 ， bc=3， aebd于 e，就 ec=a7b 25c215d212227如圖，在矩形abcd中， e 是 cd的中點(diǎn)， be ac交 ac于 f，過 f 作 fg ab交 ae 于 g，求證： ag af× fc8如圖，在平行四邊形abcd中， dbc 45°， de bc于 e， bf cd于 f， de、bf相交于h，

8、bf、ad的延長(zhǎng)線相交于g2求證； 1ab=bh； 2ab =ga× he青島市中考題9如圖，在 rt abc中， acb 90°， ad平分 cab交 bc于點(diǎn) d，過點(diǎn) c作 ce ad于 e，ce的延長(zhǎng)線交ab于點(diǎn) f，過點(diǎn) e 作 eg bc交 ab于點(diǎn) g，ae× ad=16， ab=4 5(1) 求證： ce=ef；(2) 求 eg的長(zhǎng)河南省中考題10如圖，直角梯形abcd中， a 90°， acbd，已知 bcad江蘇省競(jìng)賽題k ，就ac =bd11如圖，在rt abc中，兩條直角邊ab、 ac的長(zhǎng)分別為l 厘米、 2 厘米，那么直角的角平

9、分線的長(zhǎng)度等于厘米bd=9，那么 ab 的長(zhǎng)為“我愛 數(shù)學(xué)”中學(xué)數(shù)學(xué)夏令營(yíng)試題13如圖， abc為等腰直角三角形，c=90°，如1 ac，1ad=ce=小關(guān)系是 3312如圖， 點(diǎn) d、e 分別在 abc的邊 ac和 bc上， c 90°，de ab，且 3de=2ab，ae=13，bc，就 1 與 2 的大a 1> 2b 1< 2c 1=2d無(wú)法確定天津市競(jìng)賽題14如圖， abc中， cd ab交 ab于點(diǎn) d，有以下條件： a= bcd； a+bcd= adc； bdcdbc ；ac2=bd× babc其中，肯定能判定abc是直角三角形的共有a 0

10、 個(gè)b 1 個(gè)c2 個(gè)d 3 個(gè)2003年河南省競(jìng)賽題15如圖，在直角梯形abcd中， ab=7，ad=2， dc=3，假如邊ad上的點(diǎn) p 使得以 p，a、d為頂點(diǎn)的三角形和以p、 b、c 為頂點(diǎn)的三角形相像，那么這樣的點(diǎn)p 有 a 1 個(gè)b2 個(gè)c 3 個(gè)d 4 個(gè)16如圖，在rt abc中， acb=90°， cd是角平分線， debc交 ac于點(diǎn) e， df ac 交bc于點(diǎn) f求證： 1 四邊形 cedf是正方形； 2cd山東省競(jìng)賽題2=ae× bf17如圖，在rt abc中， bca=90°， cd ab于 d，已知 rt abc的三邊長(zhǎng)都是整數(shù)，且

11、bd=113，求 rt bcd與 rt acd的周長(zhǎng)之比全國(guó)中學(xué)數(shù)學(xué)聯(lián)賽題18如圖，在rt abc中， c=90°， a 的平分線ad交 bc邊于 d，求證： 昆明市競(jìng)賽題ac 2ad 2bc2bd19如圖，已知邊長(zhǎng)為a 的正方形abcd，在 ab、ad上分別取點(diǎn)p、s，連結(jié) ps，將 rt sap繞正方形中心o旋轉(zhuǎn) 180°得 rt qcr，從而得四邊形pqrs試判定四邊形pqrs能否變化成矩形 .如能，設(shè) pa= x，sa=y ，請(qǐng)說(shuō)明x 、y 具有什么關(guān)系時(shí)，四邊形pqrs是矩形；如不能，請(qǐng)說(shuō)明理由山東省濟(jì)南市中考題 20如圖，在abc中， acb 90°cd 2bd 2adbd(1) 當(dāng)點(diǎn) d在斜邊 ab內(nèi)時(shí)，求證：；bc 2ab(2) 當(dāng)點(diǎn) d與點(diǎn) a 重合時(shí)， 1 中的等式是否存在.請(qǐng)說(shuō)明理由；(3) 當(dāng)點(diǎn) d在 ba 的延長(zhǎng)線上時(shí)，1 中的等式是否存在.請(qǐng)說(shuō)明理由 全國(guó)中學(xué)數(shù)