大學(xué)文科數(shù)學(xué)2第二章無(wú)窮大量與無(wú)窮小量

1、五、無(wú)窮大量與無(wú)窮小量0( )( )( )( ).( )f xf xf xffxxxxx 若若在在某某個(gè)個(gè)變變化化過過程程中中，函函數(shù)數(shù)的的絕絕對(duì)對(duì)值值變變得得越越來來越越大大，且且想想多多大大就就會(huì)會(huì)有有多多大大，則則稱稱的的定定（極極限限是是無(wú)無(wú)窮窮大大，記記作作. .稱稱或或）無(wú)無(wú)窮窮大大量量為為，簡(jiǎn)簡(jiǎn)稱稱義義無(wú)無(wú)窮窮大大 01limxx ，+0lim l,nxx 1lim2,xx 11( )2,( )ln0)0,.(xh xxg xxxf xxx 函函數(shù)數(shù)分分別別稱稱為為過過程程中中的的無(wú)無(wú)窮窮大大量量1) 無(wú)窮大量無(wú)窮大量注注:無(wú)窮大是無(wú)窮大是變量變量,不能與很大的數(shù)混淆不能與很大的

2、數(shù)混淆.oxy01limxx +0lim lnxx 1lim2xx 注意注意: :（1）無(wú)窮大是）無(wú)窮大是變量變量,不能與很大的數(shù)混淆不能與很大的數(shù)混淆;（3）無(wú)窮大是一種特殊的無(wú)界變量）無(wú)窮大是一種特殊的無(wú)界變量,但是無(wú)但是無(wú) 界變量未必是無(wú)窮大界變量未必是無(wú)窮大.02lim( );xxf x （ ）切切勿勿將將認(rèn)認(rèn)為為極極限限存存在在( )cos (),.f xxx x 是是無(wú)無(wú)界界變變量量 但但不不是是無(wú)無(wú)窮窮大大量量110 2 0 4 0 6 .2.0.nnnanmnnam （） 數(shù)數(shù)列列，即即 ， ， ， ， ， ， 是是無(wú)無(wú)界界變變量量，但但不不是是無(wú)無(wú)窮窮大大量量因因無(wú)無(wú)法法找找

3、到到 ，使使對(duì)對(duì)于于，當(dāng)當(dāng)時(shí)時(shí)，都都有有再再如如: :（2）無(wú)窮小是無(wú)窮小是變量變量,不能與很小的數(shù)混淆不能與很小的數(shù)混淆.（3）零是可以作為無(wú)窮小的唯一的數(shù)零是可以作為無(wú)窮小的唯一的數(shù). 注：注：021lim nn2)無(wú)窮小量無(wú)窮小量( )( )2008f xf x 若若在在某某個(gè)個(gè)變變化化過過程程中中，函函數(shù)數(shù)的的絕絕對(duì)對(duì)值值變變得得越越來來越越小小，且且想想多多小小就就會(huì)會(huì)有有多多小小. .如如，年年北北京京奧奧運(yùn)運(yùn)會(huì)會(huì)倒倒計(jì)計(jì)時(shí)時(shí). .1.nxn 極極限限為為零零的的數(shù)數(shù)列列也也可可稱稱為為時(shí)時(shí)的的（無(wú)無(wú)窮窮小小量量）以以零零為為極極限限的的變變量量為為定定義義：在在某某個(gè)個(gè)變變化化過

4、過. .程程中中，簡(jiǎn)簡(jiǎn)稱稱無(wú)無(wú)窮窮小小量量無(wú)無(wú)窮窮小小. .xy1 oxyxy1 例例4, 0sinlim0 xx,01lim xx, 0)1(lim nnn( 1)nnn 數(shù)數(shù)列列是是當(dāng)當(dāng)時(shí)時(shí)的的無(wú)無(wú)窮窮小小. .sin0 xx函函數(shù)數(shù)是是當(dāng)當(dāng)時(shí)時(shí)的的無(wú)無(wú)窮窮小小. . 14 1213 1 o 1xx 函函數(shù)數(shù)是是當(dāng)當(dāng)時(shí)時(shí)的的無(wú)無(wú)窮窮小小. . 無(wú)窮小量與函數(shù)極限的關(guān)系無(wú)窮小量與函數(shù)極限的關(guān)系:證明證明必要性必要性,)(lim0axfxx 設(shè)設(shè)( )( ),xf xa令令 0lim( )0,xxx 因因而而 ( )( ).f xax 充分性充分性( )( ),f xax 若若 0( ),xo

5、xx 其其中中（）00lim( )lim( )xxxxf xax于于是是 0lim( ).xxaxa 00lim( )( )( ),( )()xxf xaf xaxxoxx 其其中中定定理理. .1.有限個(gè)無(wú)窮小量的代數(shù)和是無(wú)窮小量有限個(gè)無(wú)窮小量的代數(shù)和是無(wú)窮小量. 無(wú)窮小量的性質(zhì)：無(wú)窮小量的性質(zhì)： 例例5 0,sin,0,sinxxxxxx 當(dāng)當(dāng)時(shí)時(shí)與與都都是是無(wú)無(wú)窮窮小小量量所所以以 當(dāng)當(dāng)時(shí)時(shí)是是無(wú)無(wú)窮窮小小量量. .sinlimlim()in0 .1sxxxxxx 有有界界變變量量無(wú)無(wú)窮窮小小量量 2.無(wú)窮小量無(wú)窮小量與與有界變量有界變量的乘積仍是無(wú)窮小量的乘積仍是無(wú)窮小量. .3.有限

6、個(gè)有限個(gè)無(wú)窮小量無(wú)窮小量的乘積是無(wú)窮小量的乘積是無(wú)窮小量. . 例例6 22tan0tanxxxxx當(dāng)當(dāng)時(shí)時(shí)，與與都都是是無(wú)無(wú)窮窮小小量量，所所以以是是無(wú)無(wú)窮窮小小量量. . 4.常量常量與與無(wú)窮小量無(wú)窮小量的乘積仍是無(wú)窮小量的乘積仍是無(wú)窮小量. . 例例7 當(dāng)當(dāng) x 2時(shí)時(shí),sin(x2 ) 是無(wú)窮小量，所以是無(wú)窮小量，所以 3 sin(x2) 是當(dāng)是當(dāng)x 2時(shí)的無(wú)窮小量時(shí)的無(wú)窮小量. 無(wú)窮小與無(wú)窮大的關(guān)系無(wú)窮小與無(wú)窮大的關(guān)系 在在 x 變化同一過程中變化同一過程中,無(wú)窮大的倒數(shù)無(wú)窮大的倒數(shù)為無(wú)窮小為無(wú)窮小;恒不為零的無(wú)窮小的倒數(shù)為恒不為零的無(wú)窮小的倒數(shù)為無(wú)窮大無(wú)窮大.意義意義: : 關(guān)于無(wú)

7、窮大的討論關(guān)于無(wú)窮大的討論, ,都可歸結(jié)為關(guān)于都可歸結(jié)為關(guān)于無(wú)窮小的討論無(wú)窮小的討論. .無(wú)窮小量無(wú)窮小量1( )2xf x xxf21)( 021lim xx0212 xxx，時(shí)時(shí)，無(wú)窮大量無(wú)窮大量如如無(wú)窮小量無(wú)窮小量常數(shù)乘無(wú)窮小量常數(shù)乘無(wú)窮小量仍是無(wú)窮小量仍是無(wú)窮小量33232328l11132lim11m33ixxxxxxxxx 例例0 3 無(wú)窮小量分離法無(wú)窮小量分離法0123xxx 時(shí)時(shí)，是是無(wú)無(wú)窮窮大大量量. .無(wú)窮小量與有界變量乘積無(wú)窮小量與有界變量乘積是無(wú)窮小量是無(wú)窮小量. .1(3sin9 lim)lim(3sin)xxxxxxx 例例 32,yxyxyx 三三個(gè)個(gè)函函數(shù)數(shù)0,

8、0.x 當(dāng)當(dāng)時(shí)時(shí) 都都趨趨近近于于下面觀察它們趨于下面觀察它們趨于0的快慢程度的快慢程度. .無(wú)窮小量階的比較無(wú)窮小量階的比較23,yyyxxx 0,x 當(dāng)當(dāng)時(shí)時(shí)函數(shù)趨于函數(shù)趨于0的速度越來越快的速度越來越快20limxxx30limxxx極限值的不同極限值的不同, ,反映了趨向于零的反映了趨向于零的“快慢快慢”程度不同程度不同. .0, , 觀察各極限觀察各極限30 xx比比趨趨近近于于 的的速速度度要要慢慢得得多多. .20 xx比比 趨趨近近于于 的的速速度度要要快快得得多多. .yx 2yx 3yx 定義定義 設(shè)設(shè) ， 是是自自變變量量同同一一變變化化過過程程中中的的無(wú)無(wú)窮窮小小，00

9、lim( ).0( ).o 若若，則則稱稱 是是比比的的無(wú)無(wú)窮窮小小記記作作高高階階，03lim20 xxx203.xxx當(dāng)當(dāng)時(shí)時(shí)，是是比比高高階階的的無(wú)無(wú)窮窮小小2(3 )(0).xoxx 即即不定式不定式0lim( ).0 若若，則則稱稱 是是比比的的階階無(wú)無(wú)窮窮小小低低觀察各極限觀察各極限，1sinlim0 xxx0sin.xxx當(dāng)當(dāng)時(shí)時(shí)，與與是是等等價(jià)價(jià)無(wú)無(wú)窮窮小小sin(0).xx x 即即lim,.c 若若則則稱稱的的同同階階是是無(wú)無(wú)窮窮小小lim,1. 若若則則稱稱是是的的無(wú)無(wú)窮窮小小，記記作作等等價(jià)價(jià)xxysin 觀察各極限觀察各極限 兩兩個(gè)個(gè)無(wú)無(wú)窮窮大大量量之之比比也也是是不不定定式式，稱稱為為型型不不定定式式. .2,lnxxx 如如：時(shí)時(shí)屬屬于于型型不不定定