4..垂直于弦的直徑

1、24.12 垂直于弦的直徑教學設計義務教育課程標準實驗教科書（人教版）數(shù)學九年級上冊設計理念從學生已有的生活經(jīng)驗和認知基礎出發(fā)，讓學生主動地實行學習。通過動手操作讓學生理解圓是軸對稱圖形以及它的對稱軸；通過推理讓學生理解垂徑定理及其推論，理解其證明，并會用它解決相關的證明與計算問題。從而感受感受數(shù)學源于生活，更好地理解數(shù)學知識的意義，體現(xiàn)“人人學有價值數(shù)學”的新課程理念。整個數(shù)學設計流程突出以學定教，激發(fā)學生探究、發(fā)現(xiàn)數(shù)學的興趣和欲望體現(xiàn)“設計問題化，過程活動化，活動練習化，練習要點化，要點目標化，目標課標化”的要求，將教學過程設計為有一定梯次的遞進式活動序列。學情分析教學對象是九年級學生，九

2、年級學生的心理特點（追求效率、喜歡精簡、喜歡快節(jié)奏）和已有的知識基礎（已學過軸對稱、中心對稱、圓的基本概念），所以，在教學中采取的是從折紙開始，引導學生從已知的、熟悉的知識入手，讓學生自己在某一種環(huán)境下不知不覺中使用舊知識的鑰匙去打開新知識的大門，進入新知識的領域，從不同角度去分析、解決新問題，通過探索發(fā)現(xiàn)、夯實基礎、更上層樓和解決問題等環(huán)節(jié)發(fā)掘不同層次學生的不同水平，從而達到發(fā)展學生思維水平的目的。知識分析 作為圓這章的第一個重要性質，它研究的是垂直于弦的直徑和這弦的關系。該性質是圓的軸對稱性的演繹，也是今后證明圓中線段相等、角相等、弧相等、垂直關系的重要依據(jù)，同時為后面圓的計算和作圖提供了

3、方法和依據(jù)。學習目標知識與技能（1）通過觀察實驗，使學生理解圓的軸對稱性。（2）掌握垂徑定理及其推論，理解其證明，并會用它解決相關的證明與計算問題。過程與方法經(jīng)歷探索垂徑定理及其推論的過程，進一步體會和理解研究幾何圖形的各種方法。情感態(tài)度與價值觀（1）結合本課教學特點，向學生實行愛國主義教育和美育滲透。（2）激發(fā)學生探究、發(fā)現(xiàn)數(shù)學的興趣和欲望。教學重點垂徑定理、推論及其應用教學難點發(fā)現(xiàn)并證明垂徑定理教學方法“嘗試指導，效果回授”教學法學法指導發(fā)現(xiàn)法、練習法、合作學習。教學資源借助PPT軟件展示引例及變式訓練題組，增大課堂容量，吸引學生眼球，最大限度地激發(fā)學生的學習興趣，優(yōu)化課堂結構，提升課堂教

4、學效率。教學評價1、評價量規(guī)：隨堂提問、練習反饋、作業(yè)反饋2、評價策略：堅持“即時評價與激勵評價相結合，定量化評價與定性化評價相統(tǒng)一”的原則，最大限度地做到面向全體學生，充分注重學生的個性差異，將學生自評、生生互評和教師概括引領、激勵測進式點評有機結合，既有即興評價，又有概要性評價；既有學生的自評，又有師生、生生之間的互評，力求在評價中協(xié)助學生理解自我、建立自信，使其逐步養(yǎng)成獨立思考、自主探索、合作交流的學習習慣。教學流程活動流程活動內(nèi)容及目的活動一 創(chuàng)設情境，導入新課（46分）以本縣“雙高普九”迎驗和教育創(chuàng)強為載體，以趙州橋的形狀為背景創(chuàng)設問題情境，在揭示課題的同時協(xié)助學生理解數(shù)學與生活的密

5、切關系，激發(fā)其求知欲；通過問題2故舊導新，協(xié)助其發(fā)掘新知固著點?；顒佣?誘導嘗試，探究新知（1516分）出示教材P81探究，以此引領學生探究發(fā)現(xiàn)結論?；顒尤?變式訓練，鞏固新知（1415分）通過有梯次的兩到例題和一組練習題，鞏固定理，達到舉一反三，觸類旁通。活動四 全課小結，內(nèi)化新知（45分）將知識歸類細化，納入已有的知識體系?；顒游?推薦作業(yè)，延展新知（23分）分類推薦、分層要求，將探究興趣由課內(nèi)延伸到課外；即時捕捉學生學習狀況，適時實行有效診斷評價、反饋補救、長善救失。教 學 程 序問題與情境師生互動媒體使用與教學評價活動一創(chuàng)設情境，導入新課1300多年前,我國隋朝建造的趙州石拱橋(如圖)

6、的橋拱是圓弧形,它的跨度(弧所對是弦的長)為 37.4 m,拱高(弧的中點到弦的距離,也叫弓形高)為7.2m,你能求出主橋拱的半徑嗎？通過這節(jié)課的學習，我們就會很容易解決這個問題。【教師活動】教師利用多媒體出示趙州橋圖片，介紹趙州橋資料：世界上現(xiàn)存最早、保存最好的石拱橋，被譽為“華北四寶之一”，充分體現(xiàn)了我國勞動人民的創(chuàng)造智慧?！緦W生活動】學生觀察、分析、體會，初步感知。【媒體使用】（1）出示問題（2）出示問題中的趙州橋圖片?！举p 析】（1）問題旨在協(xié)助學生理解數(shù)學與生活的密切關系，激發(fā)其求知欲，使“課伊始，趣已生”。（2）結合趙州橋資料的介紹，想學生實行愛國主義教育和美育滲透?；顒佣?誘導嘗

7、試，探究新知（一）實驗發(fā)現(xiàn)實驗：用紙剪一個圓（課前布置學生做好），沿著圓的任意一條直徑對折，重復做幾次，你發(fā)現(xiàn)了什么？由此你能得到什么結論？（）圓是軸對稱圖形嗎？（）如果是,它的對稱軸是什么?你能找到多少條對稱軸？（）你是用什么方法解決上述問題的?（）圓是中心對稱圖形嗎？（）如果是,它的對稱中心是什么?（）你又是用什么方法解決這個問題的?（二）探索如圖1,AB是O的一條弦,作直徑CD,使CD AB,垂足為M.OABCDM(1)這個圖形是軸對稱圖形嗎?若是,那么它的對稱軸是什么?(2)你能發(fā)現(xiàn)圖中有哪些相等的線段和弧?請說明理由.。通過上面的問題我們就能得到下面的定理：垂直于弦的直徑平分弦，并且

8、平分弦所對的兩條弧。（三）驗證已知：在O中，CD是直徑，AB是弦，CDAB，垂足為E。求證：OABCDM分析：如圖，連接OA、OB，則OA=OB，結合軸對稱證明。下列圖形是否具備垂徑定理的條件？OA(四)推論的探究通過上述類似的方法可得：平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦所對的兩條弧。注意：根據(jù)垂徑定理與推論可知對于一個圓和一條直線來說。如果具備（1）過圓心 （2）垂直于弦 （3）平分弦（4）平分弦所對的優(yōu)弧 （5）平分弦所對的劣弧上述五個條件中的任何兩個條件都能夠推出其他三個結論。判斷（1）垂直于弦的直線平分弦，并且平分弦所對的弧. ( )（2）弦所對的兩弧中點的連線，垂直于弦，并

9、且經(jīng)過圓心. ( )（3）圓的不與直徑垂直的弦必不被這條直徑平分. ( )（4）平分弦的直徑垂直于弦，并且平分弦所對的兩條弧 ( )（5）圓內(nèi)兩條非直徑的弦不能互相平分（ ）【教師活動】（1）組織學生實驗操作，引導學生發(fā)現(xiàn)結論。（2）用電腦演示過程。（3）對學生動手總結的結論給出適當?shù)脑u價?！緦W生活動】（1）學生折疊實驗，觀察分析，總結結論，解決問題1、2。（2）合作交流，將自己的結論與師生實行交流。（3）學生先自主、在合作，完成證明過程。養(yǎng)成良好的分析問題和解決問題的水平和習慣。（4）對于定理的驗證和推論后設計的聯(lián)系積極思考，踴躍回答。（5）注重并評價同伴解決問題的方法?！久襟w使用】依次出示

10、實驗和問題1、2【賞 析】（1）讓學生親自動手實行試驗、探究、得出結論，的求知欲望。（2）通過探索中提出的問題引導學生探究、發(fā)現(xiàn)垂徑定理，初步感知。（3）教師通過引導學生自主、合作、探究、驗證結論，培養(yǎng)學生分析問題，解決問題的意識和水平?；顒尤?變式訓練，鞏固新知例如圖，在以O為圓心的兩個同心圓中,大圓的弦AB交小圓于C、D兩點。求證：AC = BDABCDO例2 1300多年前,我國隋朝建造的趙州石拱橋(如圖) 的橋拱是圓弧 形,它的跨度(弧所對是弦的長)為 37.4 m,拱高(弧的中點到弦的距離,也叫弓形高)為7.2m,求橋拱的半徑(精確到0.1m). 耐心填一填:B1、如圖1,在圓O中,

11、若MNAB,MN為直徑,則_, _, _. ·AMNCO圖一2. 如圖2,已知圓O的半徑OA長為5,直徑MN垂直于AB,AB長為8, 則OC的長為( ) A. 3 B. 6 C. 9 D. 103. 如圖2:MN為圓O的直徑,AB為弦,MN垂直于AB于 點C,則下列結論錯誤的是( )A. AOC= BOC B.AC=BC C.MC=NC D.AN=BN OABNMC圖二4、如圖1，在O中, AB是 弦, OC = OD。求證：AC = BD ABCDOABCDO圖1 圖2 5、如圖2，在O中, CD是弦, OA = OB。求證：AC = BD【教師活動】（1）出示例1，引導學生分析解

12、題關鍵。強調輔助線的重要性。（2）出示例2，和本節(jié)課的引入相呼應，引導學生用本節(jié)課所學知識解決問題。（3）出示鞏固練習（耐心填一填），每道題讓學生適當思考后作答。（4）及時對學生的作答情況給予評價，對重點問題進行強化、點拔方法、總結規(guī)律，關注學生中存在的共性問題，做好補教。對于好的做法加以鼓勵表揚?！緦W生活動】（1）積極參與解決問題，配合老師，共同完成例1（2）將實際問題轉化成數(shù)學問題，努力思考趙州橋一例中提出的問題。（3）獨立完成耐心填一填，再將自己的成果與集體進行交流、評價。【媒體使用】（1）出示例1、例2及其答案；（2）出示耐心填一填的有關題目?！举p 析】（1）靈活運用已有知識，強調輔助

13、線的功能，使學生掌握一個解題技巧。（2）例2將本節(jié)課開始設下的疑問拿出來做一解決，使學生有一種收獲感和成就感。（3）將實際問題轉化為數(shù)學問題。培養(yǎng)學生的應用意識和能力。（4）多媒體的使用 有利于節(jié)時增效，吸引學生眼球，最大限度地激發(fā)學生的學習興趣，優(yōu)化課堂結構，提高課堂教學效率?；顒铀?全課小結，內(nèi)化新知（1）自主小結：對自己談本節(jié)課有哪些收獲？對同伴談在學習本節(jié)內(nèi)容時應注意什么？對老師談本節(jié)課學習中還有哪些疑惑？（2）教師概括小結，重點強調：1.圓的對稱性2.垂徑定理及推論3.技巧：重要輔助線是過圓心作弦的垂線4.思路：（由）垂徑定理構造Rt（結合）勾股定理建立方程【教師活動】引導學生自主小結的基礎上，進行概括小結，教師應關注學生的表現(xiàn)，包括知識掌握情況、情緒狀況等。【學生活動】按要求，進行自主小結，注意傾聽同伴意見，反思梳整存在問題。【媒體使用】（略）【賞 析】使所學知識條理化、系統(tǒng)化；讓學生在交流中共享，在反思中提升。活動五 推薦作業(yè)，深化新知1、必做題 教材第89頁習題24.1第8題，第90頁12題。2、選做題已知：在半徑為5cm的O中，兩條平行弦AB，CD分別長8cm、6cm.求：兩條平行弦間的距離?！窘處熁顒印空n件展示作業(yè)題【學生活動】按照要求自主