軸對(duì)稱綜合提高練習(xí)

1、軸對(duì)稱綜合提高練習(xí) 知識(shí)點(diǎn)撥1. 非等腰三角形中邊角的不等關(guān)系：在一個(gè)三角形中，如果兩邊不相等，那么它們所對(duì) 的角也不相等， 大邊對(duì)大角； 如果兩角不相等， 那么它們所對(duì)的邊也不相等， 大角對(duì)大邊 可 利用圖和圖證明這兩個(gè)事實(shí)yACOA a），關(guān)于ABAC，BAC30°，AD 為 BC 邊上的高， P點(diǎn)在 AC 的最小值為 4，則 ABC 的面積為（ ）D. 642. 平面直角坐標(biāo)系中，關(guān)于坐標(biāo)軸夾角平分線對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)特征：如圖，如果點(diǎn) 的坐標(biāo)是（ a， b），那么點(diǎn) A 關(guān)于一、三象限角平分線對(duì)稱的點(diǎn)B 的坐標(biāo)是（ b，二、四象限角平分線對(duì)稱的點(diǎn) C 的坐標(biāo)是（ b， a）點(diǎn) A

2、 在其他象限時(shí)這一規(guī)律仍然成 立，只要兩點(diǎn)關(guān)于一、三象限角平分線對(duì)稱，其橫、縱坐標(biāo)互換位置；關(guān)于二、四象限角平 分線對(duì)稱，其橫、縱坐標(biāo)變號(hào)后互換位置 能力提升類例 1 已知等腰 ABC 中，上， E 點(diǎn)在 AD 上，若 PE ECA. 8 B. 16 C. 32B（2，4）、C（ 1，2）、D（1，2）、E（3，1）、F（3，例 2 已知點(diǎn) A （ 2， 4）、1）是平面直角坐標(biāo)系內(nèi)的 6 個(gè)點(diǎn)，選擇其中三個(gè)點(diǎn)連成一個(gè)三角形，剩下三個(gè)點(diǎn)連成另一 個(gè)三角形，若這兩個(gè)三角形關(guān)于 y 軸對(duì)稱，就稱為一組對(duì)稱三角形，那么，坐標(biāo)系中能找出 組對(duì)稱三角形yA4B3C2DE1F-4 -3 -2 -1 O12

3、34綜合運(yùn)用類例 3 如圖所示， 把正方形紙片 ABCD 對(duì)折后打開， 折痕為 MN ，再把頂點(diǎn) D 折到 MN 上的一點(diǎn) P 上，折痕為 CE，把頂點(diǎn) A 折到 MN 上的同一點(diǎn)，折痕為 BF，請(qǐng)回答下列問題：（1）線段 PC、PB 與正方形的邊長有什么關(guān)系？（2） CPB 的度數(shù)是多少？（3）還能知道哪些角的度數(shù)？請(qǐng)指出來例4180°已知：如圖所示， ABC 求證： PBPC PA是等邊三角形， P 是三角形外的一點(diǎn)， 且 ABP ACP思維拓展類例 5 如圖所示，在 ABC 中，ABAC，F(xiàn)是 AC 上一點(diǎn)，在 BA 延長線上取一點(diǎn) E 使 AEAF，連結(jié) EF并延長，交 BC

4、 于 D，求證： EFBC D例 6 如圖所示， ABC 的邊 BC 在直線 l 上， AC BC，且 AC BC； EFP的邊 FP 也在直線 l 上，邊 EF 與邊 AC 重合，且 EF FP， EF FP（ 1）在圖 1 中，請(qǐng)你通過觀察測量，猜想并寫出AB 與 AP 所滿足的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系；（2）將 EFP沿直線 l向左平移到圖 2的位置時(shí)， EP 交 AC 于點(diǎn) Q，連結(jié) AP、BQ， 猜想并寫出 BQ 與 AP 所滿足的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系，請(qǐng)證明你的猜想；（3）將 EFP沿直線 l向左平移到圖 3的位置時(shí)， EP的延長線交 AC 的延長線于點(diǎn) Q，連結(jié) AP 、 BQ，你認(rèn)為（

5、 2）中所猜想的 BQ 與 AP 的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系還成立嗎？若成立，給出證明；若不成立，請(qǐng)說明理由圖1圖2EA、等腰三角形中常用到的輔助線1. 通常作底邊的高、中線或頂角平分線；2. 底邊有中點(diǎn)時(shí)，常常連底邊上的中線；3. 截長補(bǔ)短法在證明多條線段的和差關(guān)系時(shí)常用此法，特別是在已知條件中有角平分 線時(shí)，一般是在長邊上截取短邊，構(gòu)造全等三角形以上添加輔助線的最終目的是： 通過等腰三角形、 角平分線、 線段的垂直平分線、 全等 三角形把分散的邊角關(guān)系進(jìn)行集中二、幾何證明題的分析方法 從已知條件入手，運(yùn)用定義、定理、 公理逐步推出結(jié)論的方法叫做綜合法 從要證明的 結(jié)論出發(fā)，根據(jù)定義、性質(zhì)、定理、

6、公理，尋找能使結(jié)論成立的條件，一直追溯到能使結(jié)論 成立的條件與已知條件吻合的方法叫做分析法 在解幾何問題時(shí)， 兩種方法常結(jié)合使用， 使 問題順利解決在直角三角形中，如果一個(gè)銳角等于30°，那么它所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半（ 1）該性質(zhì)揭示了 30°角直角三角形的邊的數(shù)量關(guān)系的特殊性（ 2）此性質(zhì)的前提是 “在直角三角形中” 在解題時(shí)，如果只知道一個(gè)三角形有一個(gè)角為 30 °，就說這個(gè)角的對(duì)邊等于某鄰邊的一半，是錯(cuò)誤的 （3）該性質(zhì)主要應(yīng)用于計(jì)算和證明線段的倍分關(guān)系（4）該性質(zhì)的逆命題也是真命題，即：在直角三角形中，如果一條直角邊等于斜邊的 一半，那么這條直角邊所對(duì)

7、的角是 30°、選擇題1. 一個(gè)人站在平面鏡前，哪一面鏡子里是他的像？（ ）2. 如圖所示，在 RtABC 中， B90°， ED 是 AC 的垂直平分線，交 AC 于點(diǎn) D，交 BC 于點(diǎn) E已知 BAE 10°，則 C 的度數(shù)為（）A. 30° B. 40° C. 50° D. 60°3. 等腰三角形中，有一個(gè)角是C50°，則它的一條腰上的高與底邊的夾角是（A. 25°B. 40°C. 25°或 40°D. 以上都不對(duì)*4. 在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，有等腰三角形AOB ， O

8、是坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn) A 的坐標(biāo)是（ a，b），B 的坐標(biāo)為（ ）底邊 AB 的中線在第一、三象限的角平分線上，則點(diǎn)A. （ b， a）B. （ a， b）C. （a， b）D. （ a， b）5. 如圖，B 是線段 AC 的中點(diǎn)，過點(diǎn) C 的直線 l 與 AC 成 60°的角，在直線 l 上取一點(diǎn) P， 使得 APB30°，則滿足條件的點(diǎn) P 的個(gè)數(shù)是（）A. 3 個(gè) B. 2 個(gè) C. 1 個(gè) D. 不存在P6. 如圖所示， ABP 與 CDP 是兩個(gè)全等的等邊三角形，且 PA PD有下列四個(gè)結(jié)論： PBC15°；ADBC；直線 PC與AB垂直；四邊形 ABCD 是

9、軸對(duì)稱圖形其 中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)為（ ）A. 1 個(gè) B. 2 個(gè)C. 3 個(gè)D. 4 個(gè)C、填空題7. 小明把一張長方形的紙對(duì)折 2 次，描上一個(gè)四邊形，再剪去這個(gè)圖形（鏤空） ，展開長方形紙，得到如下圖案，設(shè)折痕為 l1、l2、 l3，觀察圖形并填空：l1l2l3四邊形與四邊形關(guān)于 成軸對(duì)稱；折痕 l2 既是 與的對(duì)稱軸；又是 與的對(duì)稱軸；從整體看也是 與 的對(duì)稱軸8. 在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn) A、B、C、D 的坐標(biāo)分別為（ 1，3）、（ 2， 4）、（1，3）、 2， 4），則線段 AB 與 CD 的位置關(guān)系是 9. 如圖所示，直線 AB、CD 相交于點(diǎn) O若 OM ON MN ，那么 A

10、PQ CQP D10. 如圖所示，在 ABC 中， B C，F(xiàn)DBC 于 D，DEAB 于 E， AFD 158則 EDF 等于 DC三、綜合運(yùn)用11. 如圖所示， AD 是ABC 中BAC 的平分線， P是 AD 上的任一點(diǎn)，且 AB >AC，求 證： AB AC >PBPCC12. 一艘輪船由西向東航行，在 A 處測得小島 P 的方位是北偏東 75°， 又航行 7 海里后， 在 B 處測得小島 P 的方位是北偏東 60 °，若小島周圍 3.8 海里內(nèi)有暗礁，問該船一直向東 航行有無觸礁的危險(xiǎn)13. 已知：如圖， ABC 中， BC 邊中垂線 ED 交 BC

11、于 E，交 BA 延長線于 D ，過 C 作11CFBD 于 F，交 DE 于 G，DF2BC，試證明： FCB 2BC14. 如圖所示， ABC 中， AB AC ， A 100°， BD 平分 ABC ，求證： BCBD AD15. （ 1）已知 ABC 中， A90°， B 67.5°，請(qǐng)畫一條直線把這個(gè)三角形分割成 兩個(gè)等腰三角形 （把所有不同的分割方法都畫出來，要在圖中標(biāo)出相等兩角的度數(shù) ）（ 2）已知 ABC 中， C 是其最小的內(nèi)角，過頂點(diǎn) B 的一條直線把這個(gè)三角形分割成了 兩個(gè)等腰三角形，請(qǐng)?zhí)角?ABC 與C 之間的關(guān)系例 1 一點(diǎn)通： 設(shè)點(diǎn) P

12、關(guān)于 AD 的對(duì)稱點(diǎn)為點(diǎn) P'，則點(diǎn) P'一定在 AB 上，且 CP' AB 時(shí) P'E EC 的值最小，即 PEEC 的值最小所以在 Rt ACP '中 BAC 30°， AC 2CP'8，11所以 AB8，CP'4所以 SABC12AB ·CP'21×8×416PC答案：B 點(diǎn)評(píng)：線段最短問題一般與軸對(duì)稱有關(guān)， 解答本題的關(guān)鍵是通過作某線段端點(diǎn)的對(duì) 稱點(diǎn)， 將兩條線段之和的最小問題轉(zhuǎn)化為點(diǎn)到直線的距離問題本題有兩種作法：一、作點(diǎn)P關(guān)于 AD 的對(duì)稱點(diǎn) P'；二、作點(diǎn) C 關(guān)于直線

13、 AD 的對(duì)稱點(diǎn)，由等腰三角形的對(duì)稱性可知， 這個(gè)點(diǎn)就是點(diǎn) B ，連結(jié) BE 即可例 2 一點(diǎn)通： 很明顯 ACE 和 BDF 關(guān)于 y 軸對(duì)稱本題的難點(diǎn)在于確定是否還有其他的 對(duì)稱三角形， 分成兩組，答案：因?yàn)檫@ 6 個(gè)點(diǎn)可以組成很多三角形， 兩組中不能有重復(fù)的點(diǎn)， 4，如圖所示：如 ABC還應(yīng)注意， 這樣的對(duì)稱三角形是把 6 個(gè)點(diǎn) 和BAD 雖然關(guān)于 y 軸對(duì)稱，但不符合題意第三點(diǎn)只能是 y 軸左側(cè)剩下的那一點(diǎn)或它的對(duì)稱點(diǎn)， 即 ACE 與 BDF，ACFMN ，又得到折痕 EC、點(diǎn)評(píng)： 成三角形， 與BDE 等，共 6組，其中 ACE 與BDF 重復(fù)出現(xiàn) 3次，所以一共有 4 組對(duì)稱三角

14、形 如 果不按規(guī)律，則很容易造成漏解 例 3 一點(diǎn)通： 此題利用軸對(duì)稱圖形的性質(zhì)，首先得到折痕（對(duì)稱軸）BF，它們所在的直線都是對(duì)稱軸，即CPE與 CDE 關(guān)于 CE 所在的直線對(duì)稱， ABF 與PBF 關(guān)于 BF 所在的直線對(duì)稱，根據(jù)軸對(duì)稱的性質(zhì)可得到對(duì)應(yīng)邊相等，對(duì)應(yīng)角相等，從而 得出 PBC 是等邊三角形這個(gè)事實(shí)答案：（1）由折疊的性質(zhì)得：線段 PC、PB 均等于正方形的邊長， PCPB；（2）由（ 1） 可知， PCPBBC，所以 PBC 是等邊三角形，所以 CPB60°；（3）由（ 1）、（ 2）可 知： 1 2 3 4 75°， 5 630°， 7 8

15、9 1015°， MFP MEP30°， EPF120°， NPF NPE120°，等等點(diǎn)評(píng)： 此題提供了一種通過折疊裁剪等邊三角形的方法，要記住喲！例 4 一點(diǎn)通： 欲證 PBPCPA，可考慮將 BP、PC 轉(zhuǎn)移到同一條直線上，將問題轉(zhuǎn)化為證 明線段相等，由條件 ABP ACP 180°，此題較適合補(bǔ)短，即延長 PC 到 D，使 CD BP，連結(jié) AD ，證明 APPD 即可也可以延長 BP 到點(diǎn) D，使 PDPC，連結(jié) CD答案： 延長 PC到點(diǎn) D，使 CDBP，連結(jié) AD ABP ACP180°， ACPAB ACACD 18

16、0°， ABP ACD 在 ABP 和ACD 中， ABP ACD ， ABPBPCD ACD （ SAS）， AP AD ， BAP CAD BAP PAC60°， CAD PAC60°，即 PAD60°， PAD 是等邊三角形 PCCDPDPA PBPCPAD點(diǎn)評(píng)：求多條線段間的長度關(guān)系時(shí)有兩條主要的思路， 一是找出與所求線段相等的線段， 等量代換；二是利用截長補(bǔ)短法例 5 一點(diǎn)通：證明兩線垂直，可證明其夾角為90°，已知條件中沒有與 90°有關(guān)的條件，本題解法較多，可分為兩類：一是不添加輔助線，利用平角或三角形內(nèi)角和通過計(jì)算求B

17、DE 的度數(shù)二是構(gòu)造出直角作等腰三角形的對(duì)稱軸，如圖和圖，可構(gòu)造直角；如 圖、，其原理一樣，都是先作垂直，再證明有關(guān)線段的位置關(guān)系；如圖，把 DE 構(gòu)造 成一個(gè)等腰三角形的對(duì)稱軸答案： 證法 1： AB AC ， B C， EAF2BAEAF， E AFE， BAC 2E EAF BAC 180°， 2E2B180°， EB 90°， BDE 90°，即 EFBC 證法 2：過點(diǎn) A 作 AGBC 于 G，如圖所示 AE AF ， AFE E， BAC AFE E2AFE在等腰三角形 ABC 中， AG BC ， BAC 2 GAC ， GAC AFE

18、， AG ED， AGBC，EFBC1證法 3：過點(diǎn) A 作 AHEF于 H ，如圖所示 AEAF，AHEF， EAH 21EAF AB AC ， B C，又 EAF B C， B 2 EAF EAH B ，AH BC ， AH EF， EFBC證法 4：過點(diǎn) C作 MCBC 于 C，交 BA 的延長線于 M ，如圖所示 M B 90°， ACB ACM 90°，又 B ACB ， M ACM AEF AFE ，且 AEF AFE M ACM 180° MAC ， M AEF EF MC ， EF BC證法 5：過 E作ENEF于 E，交 CA 的延長線于 N，如

19、圖所示 EN EF，NEA AEF 90°， N EFN 90°， AEF AFE ， N NEA 又 B C，且BC N NEA 180° BAC，NC，NEBC，NEEF， EFBC B ACB ， B P ED BP，即 EFBC 證法 6：過點(diǎn) E作 EP AC ，交 BC的延長線于點(diǎn) P，如圖所示 EPAC， P ACB ， AEF ，點(diǎn)評(píng)：ENABDD PEF AFE ， AFE AEF， PEFEFBC ，這些方法可分成兩類：一是由角之間的關(guān)系利 用三角形內(nèi)角和來證；二是利用等腰三角形的軸對(duì)稱性構(gòu)造具有垂直關(guān)系的線段例 6一點(diǎn)通： 第（ 1）問易解，

20、第（ 2）、（3）問先猜測結(jié)論再證明，因?yàn)閳D 2 和圖 3是平移 變換過程中兩個(gè)不同的狀態(tài)，所以其結(jié)論和證明方法應(yīng)該類似從圖2和圖 3來看， BQ 和AP 的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系比較容易猜測，是相等且垂直的關(guān)系關(guān)鍵是如何證明， BQ 和 AP相距較遠(yuǎn)，可考慮利用三角形全等來證； 線段 BQ 和AP不相交，可延長 BQ與AP相交， 利用角之間的關(guān)系證明其夾角是90°答案：（ 1）AB AP， AB AP（2）BQAP；BQAP證明：由已知得 EFFP，EFFP， EPF45°，又 AC BC ， CQP CPQ 45°， CQCP，又 BC AC ， BCQ ACP

21、90°， RtBCQRtACP，BQAP；延長 BQ交 AP于點(diǎn) M，RtBCQRtACP， CBQ CAP ，又 CBQ CQB 90°， CQB AQM ， CAP AQM 90°， BQ AP；（ 3）成立，證明： EPF45°， CPQ45°，又 AC BC ， CQP CPQ45°， CQCP，又 BCAC， BCQ ACP 90°， RtBCQRtACP， BQAP；延長 QB 交 AP 于點(diǎn) N，則 PBN CBQ， BQC CBQ 90°， APC PBN 90°， BQAP點(diǎn)評(píng)： 這是一

22、道與平移變換有關(guān)的圖形探索問題，解答這類問題時(shí)， 應(yīng)重點(diǎn)分析變換過程中變化的量和不變的量在本題中RtBCQ RtACP 是一種始終不變的關(guān)系，它也正是 BQAP、BQ AP 的原因一、選擇題1. B 解析：注意觀察褲子上的圖案，在抱球的那一側(cè)2. B 解析：由題意可知， BAE 2C90°，所以 C 40°13. C 解析：如果這個(gè)角是頂角，那么底角是2（ 180° 50°） 65°，此時(shí)一腰上的高與底邊的夾角是 90° 65° 25°；如果這個(gè)角是底角，那么一腰上的高與底邊的夾角是 90° 50

23、6; 404. A 解析：利用本講專家點(diǎn)撥中的規(guī)律方法可求B 作 BP1AB 交直線 l 于點(diǎn) P1，則 AP1B30°作 AP25. B 解析：如圖所示，過點(diǎn) l 于點(diǎn) P2，則 AP 2B30°6. D 解析：根據(jù)題意，PBC 15°易證；可通過同旁內(nèi)角互補(bǔ)證得AD BC；延CQB90°，即 PCAB ；因?yàn)?AD 長 CP 交 AB 于點(diǎn) Q ，可通過三角形內(nèi)角和證明BC，所以過點(diǎn) P與 AD 垂直的直線必與 BC 垂直，這條直線也同時(shí)平分 AD 和 BC，所以有 四邊形 ABCD 是軸對(duì)稱圖形二、填空題7. l1； ； ； 和 和8. 關(guān)于 y

24、軸對(duì)稱9. 240° 解析：因?yàn)?OMONMN，所以 OMN 是等邊三角形，所以 MON 60°， 所以 AOM 120° APQ 、 CQP、 AOM 是OPQ 的三個(gè)外角，其和是 360°，所 以 APQ CQP 360° 120° 240°10. 68° 解析：在 RtBDE 和 RtCFD 中， B C，所以 BDE CFD 180° AFD 22°，所以 EDF90° 22° 68°三、綜合運(yùn)用11. 證明：在 AB 上取一點(diǎn) E，使 AE AC ，連結(jié)

25、PE，易得 AEP ACP，所以 PE PC在 BEP 中，BEPE>PB，即（ AB AC ） PC> PB，所以 AB AC > PB PCDC12. 解：依題意畫圖，則 AB7 海里，過點(diǎn) P作 PCAB 于 C，則由題意可知 PBC 30°， APB PBC PAB30° 15°15°， PABAPB，PBAB7 11（海里）PC12PB21×73.5（海里）PC<3.8 海里，該船一直向東航行有觸礁的危險(xiǎn)北1113. 證明：如圖，連結(jié) CD， DE 垂直平分 BC，CE2BC， DF2BC， CE DF由 CF

26、BD，DEBC 得 DFG CEG90°，又 FGD EGC， FGD EGC（AAS ）EGFG，DGCG，DGEGCGFG，即 DECF在 BCF 和BDE BB11中， BFCBED90°， BFC BED（ AAS ）， BD BC DF 2BC 2BD ，DE CF2 21CF 是 BD 的中垂線， BCF 2BCD又DE 是 BC 的中垂線， B BCD，1BCF 21B或連結(jié) BG，如圖，證得FGD EGC，有 FGEG， BG 是DBC的平分線，1GBC 2DBC 又DE 是 BC 的中垂線， GBC FCB，即 FCB 112 DBC 14. 證明：本題可采用“截長”或“補(bǔ)短”兩種方法如圖，在BC 上截取 BFBA ，BEBD在 ABC 中， A 100°， AB AC ， ABC C 40° BD 平分 AB FBABC ，在 ABD 和FBD 中， ABD FBD， ABD FBD （ SAS） AD DF， BD BD1DBF2ABC 20°， BFDA100°在 BDE 中， BDBE， DBC20°，1 BED 2（180° 20°） 80°， DFE 180° BFD 80°