分類加法計(jì)數(shù)原理與分步乘法計(jì)數(shù)原理

1、§1.1分類加法計(jì)數(shù)原理與分步乘法計(jì)數(shù)原理一、內(nèi)容與解析（一）內(nèi)容：分類加法計(jì)數(shù)原理與分步乘法計(jì)數(shù)原理；（二）解析：本節(jié)課要學(xué)的內(nèi)容分類加法計(jì)數(shù)原理與分步乘法計(jì)數(shù)原理指的是分類加法計(jì)數(shù)原理的定義、分步乘法計(jì)數(shù)原理的定義、兩個(gè)原理應(yīng)用，其核心是兩個(gè)計(jì)數(shù)原理, 懂得它關(guān)鍵就是要體會(huì)兩個(gè)計(jì)數(shù)原理的基本思想及其應(yīng)用方法；同學(xué)已經(jīng)學(xué)過加法、 乘法，本節(jié)課的內(nèi)容要與之建立相關(guān)聯(lián)系；由于它們不僅是推導(dǎo)排列數(shù)、組合數(shù)運(yùn)算公式的依據(jù)，而且其基本思想方法貫穿本章內(nèi)容的始終, 所以在本章有重要的位置， 是本學(xué)科的重要內(nèi)容；教學(xué)的重點(diǎn)是兩個(gè)計(jì)數(shù)原理，解決重點(diǎn)的關(guān)鍵是結(jié)合實(shí)例闡述兩個(gè)計(jì)數(shù)原理的基本內(nèi)容，分析原

2、理的條件和結(jié)論，特殊是要留意使用對(duì)比的方法，引導(dǎo)同學(xué)熟識(shí)它們的異同；二、目標(biāo)及其解析：（一）教學(xué)目標(biāo)1懂得分類加法計(jì)數(shù)原理； 2懂得分步乘法計(jì)數(shù)原理； 3會(huì)應(yīng)用兩個(gè)計(jì)數(shù)原懂得決簡潔的實(shí)際問題.（二）解析（ 1）懂得分類加法計(jì)數(shù)原理就是指將一個(gè)復(fù)雜問題分解為如干各個(gè)擊破；“類別”，然后分類解決，（ 2）懂得分步乘法計(jì)數(shù)原理就是指將一個(gè)復(fù)雜問題分解為如干驟進(jìn)行細(xì)致分析，再整合為一個(gè)完整的過程；“步驟”，先對(duì)每一個(gè)步（ 3） 會(huì)應(yīng)用兩個(gè)計(jì)數(shù)原懂得決簡潔的實(shí)際問題就是指依據(jù)詳細(xì)問題的特點(diǎn)挑選對(duì)應(yīng)的原理；三、問題診斷分析在本節(jié)課的教學(xué)中，同學(xué)可能遇到的問題是如何挑選對(duì)應(yīng)的原懂得決詳細(xì)問題，產(chǎn)生這一問題的

3、緣由是同學(xué)無法把詳細(xì)的問題特點(diǎn)與兩個(gè)計(jì)數(shù)的基本思想聯(lián)系起來；要解決這一問 題，在本節(jié)教學(xué)時(shí)先實(shí)行通過典型的、同學(xué)熟識(shí)的實(shí)例，經(jīng)過抽象概括而得出兩個(gè)計(jì)數(shù)原理，然后依據(jù)從單一至綜合的方式，支配比較多的例題，引導(dǎo)同學(xué)逐步體會(huì)兩個(gè)計(jì)數(shù)原理的基本 思想及其應(yīng)用方法；四、教學(xué)支持條件分析五、教學(xué)過程一引入課題先看下面的問題：從我們班上推選出兩名同學(xué)擔(dān)任班長，有多少種不同的選法？把我們的同學(xué)排成一排，共有多少種不同的排法？要解決這些問題，就要運(yùn)用有關(guān)排列、組合學(xué)問. 排列組合是一種重要的數(shù)學(xué)計(jì)數(shù)方法.總的來說，就是討論按某一規(guī)章做某事時(shí)，一共有多少種不同的做法.設(shè)計(jì)意圖 :在運(yùn)用排列、 組合方法時(shí)， 常常要

4、用到分類加法計(jì)數(shù)原理與分步乘法計(jì)數(shù)原理.這節(jié)課，我們從詳細(xì)例子動(dòng)身來學(xué)習(xí)這兩個(gè)原理.問題 1.分類加法計(jì)數(shù)原理師生活動(dòng) :問題 1.1：用一個(gè)大寫的英文字母或一個(gè)阿拉伯?dāng)?shù)字給教室里的座位編號(hào)，總共能夠編出多少種不同的號(hào)碼？問題 1.2： 從甲地到乙地，可以乘火車，也可以乘汽車.假如一天中火車有3 班，汽車有 2 班.那么一天中，乘坐這些交通工具從甲地到乙地共有多少種不同的走法？問題 1.3：你能說說以上兩個(gè)問題的特點(diǎn)嗎？結(jié)論:分類加法計(jì)數(shù)原理完成一件事有兩類不同方案，在第1 類方案中有 m 種不同的方法，在第 2 類方案中有 n 種不同的方法 . 那么完成這件事共有種不同的方法 .nmn問題

5、1.4： 假如完成一件事有三類不同方案，在第1 類方案中有m1 種不同的方法，在第2 類方案中有m2 種不同的方法，在第3 類方案中有m3 種不同的方法，那么完成這件事共有多少種不同的方法？問題 1.5：假如完成一件事情有類不同方案，在每一類中都有如干種不同方法，那么應(yīng)當(dāng)如何計(jì)數(shù)呢？一般歸納：完成一件事情， 有 n 類方法， 在第 1 類方法中有m1 種不同的方法， 在第 2 類方法中有m2 種不同的方法在第 n 類方法中有mn 種不同的方法 .那么完成這件事共有nm1m2mn種不同的方法 .懂得分類加法計(jì)數(shù)原理：分類加法計(jì)數(shù)原理針對(duì)的是“分類”問題，完成一件事要分為如干類，各類的方法相互獨(dú)立

6、，各類中的各種方法也相對(duì)獨(dú)立，用任何一類中的任何一種方法都可以單獨(dú)完成這件事問題 2.分步乘法計(jì)數(shù)原理師生活動(dòng) :問題 2.1： 用前 6 個(gè)大寫英文字母和1 9 九個(gè)阿拉伯?dāng)?shù)字，以教室里的座位編號(hào)，總共能編出多少個(gè)不同的號(hào)碼？用列舉法可以列出全部可能的號(hào)碼：分析：a1 , a2 ,，b1 , b2 ,的方式給我們?nèi)钥梢赃@樣來摸索：由于前6 個(gè)英文字母中的任意一個(gè)都能與9 個(gè)數(shù)字中的任何一個(gè)組成一個(gè)號(hào)碼，而且它們各不相同，因此共有6× 9 = 54 個(gè)不同的號(hào)碼問題 2.2： 你能說說這個(gè)問題的特點(diǎn)嗎？結(jié)論： 分步乘法計(jì)數(shù)原理完成一件事有兩類不同方案，在第1 類方案中有 m 種不同的

7、方法，在第 2 類方案中有 n 種不同的方法 . 那么完成這件事共有種不同的方法 .nmn問題 2.3：假如完成一件事需要三個(gè)步驟，做第1 步有m1 種不同的方法，做第2 步有m2 種不同的方法，做第3 步有m3 種不同的方法，那么完成這件事共有多少種不同的方法？問題 2.4：假如完成一件事情需要個(gè)步驟，做每一步中都有如干種不同方法，那么應(yīng)當(dāng)如何計(jì)數(shù)呢？一般歸納：完成一件事情， 需要分成 n 個(gè)步驟， 做第 1 步有m1 種不同的方法， 做第 2 步有 m2 種不同的方法做第 n 步有mn 種不同的方法 .那么完成這件事共有nm1m2mn種不同的方法 .懂得分步乘法計(jì)數(shù)原理：分步計(jì)數(shù)原理針對(duì)的

8、是“分步”問題，完成一件事要分為如干步，各個(gè)步驟相互依存，完成任何其中的一步都不能完成該件事，只有當(dāng)各個(gè)步驟都完成后，才算完成這件事.問題 2.5：分類加法計(jì)數(shù)原理與分步乘法計(jì)數(shù)原理異同點(diǎn)？相同點(diǎn)：都是完成一件事的不同方法種數(shù)的問題不同點(diǎn)：分類加法計(jì)數(shù)原理針對(duì)的是“分類”問題，完成一件事要分為如干類，各類的方 法相互獨(dú)立，各類中的各種方法也相對(duì)獨(dú)立，用任何一類中的任何一種方法都可以單獨(dú)完成 這件事，是獨(dú)立完成；而分步乘法計(jì)數(shù)原理針對(duì)的是“分步”問題，完成一件事要分為如干 步，各個(gè)步驟相互依存，完成任何其中的一步都不能完成該件事，只有當(dāng)各個(gè)步驟都完成后，才算完成這件事，是合作完成.例 1.在填寫

9、高考理想表時(shí)，一名高中畢業(yè)生明白到，a,b 兩所高校各有一些自己感愛好的強(qiáng)項(xiàng)專業(yè)，詳細(xì)情形如下：a 高校b 高校生物學(xué)數(shù)學(xué)化學(xué)會(huì)計(jì)學(xué)醫(yī)學(xué)信息技術(shù)學(xué)物理學(xué)法學(xué)工程學(xué)假如這名同學(xué)只能選一個(gè)專業(yè)，那么他共有多少種挑選呢？分析：由于這名同學(xué)在a , b兩所高校中只能挑選一所，而且只能挑選一個(gè)專業(yè)，又由于兩 所高校沒有共同的強(qiáng)項(xiàng)專業(yè)， 因此符合分類加法計(jì)數(shù)原理的條件解：這名同學(xué)可以挑選a ,b 兩所高校中的一所 在 a 高校中有5 種專業(yè)挑選方法， 在 b 高校中有4 種專業(yè)挑選方法又由于沒有一個(gè)強(qiáng)項(xiàng)專業(yè)是兩所高校共有的，因此依據(jù)分類加法計(jì)數(shù)原理，這名同學(xué)可能的專業(yè)挑選共有5+4=9（種） .變式： 如

10、仍有 c 高校，其中強(qiáng)項(xiàng)專業(yè)為：新聞學(xué)、金融學(xué)、人力資源學(xué).那么，這名同學(xué)可能的專業(yè)挑選共有多少種？.例 2.一螞蟻沿著長方體的棱,從的一個(gè)頂點(diǎn)爬到相對(duì)的另一個(gè)頂點(diǎn)的最近路線共有多少條？解:從總體上看 ,如,螞蟻從頂點(diǎn) a 爬到頂點(diǎn) c1 有三類方法 ,從局部上看每類又需兩步完成,所以,第 一 類 , m1 = 1×2 = 2 條第 二 類 , m2 = 1×2 = 2 條第 三 類 , m3 = 1×2 = 2 條所以, 依據(jù)加法原理 , 從頂點(diǎn) a 到頂點(diǎn) c1 最近路線共有n = 2 + 2 + 2 = 6條例 3.設(shè)某班有男生30 名，女生 24 名. 現(xiàn)

11、要從中選出男、女生各一名代表班級(jí)參與競賽，共有多少種不同的選法？分析：選出一組參賽代表，可以分兩個(gè)步驟第l步選男生第 2 步選女生解：第 1 步，從30 名男生中選出 1 人，有 30 種不同挑選；第 2 步，從 24 名女生中選出 1 人，有24 種不同挑選依據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理，共有30×24 =720種不同的選法例 4 . 如圖,要給地圖 a、b、c、d 四個(gè)區(qū)域分別涂上3 種不同顏色中的某一種 ,答應(yīng)同一種顏色使用多次 ,但相鄰區(qū)域必需涂不同的顏色,不同的涂色方案有多少種？解:按地圖 a 、b、c、d 四個(gè)區(qū)域依次分四步完成,第一步 ,m1 = 3種,其次步 ,m2 = 2種,

12、第三步 ,m3 = 1種,第四步 ,m4 = 1種,所以依據(jù)乘法原理 , 得到不同的涂色方案種數(shù)共有n = 3 × 2 × 1× 1 = 6變式1，如圖 ,要給地圖 a 、b、c、d 四個(gè)區(qū)域分別涂上3 種不同顏色中的某一種 ,答應(yīng)同一種顏色使用多次 ,但相鄰區(qū)域必需涂不同的顏色,不同的涂色方案有多少種？2 如顏色是 2 種， 4 種， 5 種又會(huì)什么樣的結(jié)果呢？六、小結(jié)1分類加法計(jì)數(shù)原理完成一件事有兩類不同方案，在第1 類方案中有 m 種不同的方法，在第 2 類方案中有 n 種不同的方法 . 那么完成這件事共有種不同的方法 .nmn2分步乘法計(jì)數(shù)原理完成一件事有兩類不同方案，在第1 類方案中有 m 種不同的方法，在第 2 類方案中有 n 種不同的方法 . 那么完成這件事共有nmn種不同的方法 .七、目標(biāo)檢測1填空： 1）一件工作可以用2 種方法完成，有5 人只會(huì)用第1 種方法完成，另有4 人只會(huì)用第 2 種方法完成，從中選