初三數(shù)學(xué)中考復(fù)習(xí)：二次函數(shù)中特殊三角形的存在問(wèn)題

1、特別三角形存在性問(wèn)題一、等腰三角形存在性問(wèn)題【例 4】 如圖，拋物線(xiàn)y x2 mxn 與 x 軸交于 a， b 兩點(diǎn)，與 y 軸交于點(diǎn)c，拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸交x 軸于點(diǎn) d，已知 a 1，0 ，c0 ， 3 (1) 求拋物線(xiàn)的解析式解：把 a 1， 0 ，c0 ，3 代入y x2mxn，得解得拋物線(xiàn)的解析式為y x2 2x3.(2) 判定 acd 的外形，并說(shuō)明理由先確定點(diǎn) d 的坐標(biāo)，求出 acd 的各邊長(zhǎng)，然后判定 acd 的外形 解： acd 是等腰三角形由1 知，拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸為x1， d1 ，0 a 1，0 ，c0 ，3 ， ad 2， ac， cd . ac cd. acd 是等腰三角

2、形(3) 在拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸上是否存在點(diǎn)p，使 pcd 是以 cd 為腰的等腰三角形？假如存在，求出p 點(diǎn)的坐標(biāo)；假如不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由先找出全部符合條件的點(diǎn)， 然后再求線(xiàn)段長(zhǎng)確定p 點(diǎn)坐標(biāo)解：由 2 知 cd. cdp 是以 cd 為腰的等腰三角形， cp1dp2dp3 cd.過(guò)點(diǎn) c 作 cm 垂直對(duì)稱(chēng)軸于 m， mp1 md 3. dp1 6.符合條件的點(diǎn)p 的坐標(biāo)為 1 ，6 ，1 ， ，1 ， (4) 點(diǎn) p 是線(xiàn)段 bc 上的一動(dòng)點(diǎn)，是否存在這樣的點(diǎn)p，使 pcd 是等腰三角形？假如存在，求出p 點(diǎn)的坐標(biāo)，假如不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由先求出 bc 的解析式，分三種情形爭(zhēng)論運(yùn)算出m.解： b

3、3 ， 0 ，c0 ， 3 ，直線(xiàn) bc 的解析式為 y x 3.設(shè)點(diǎn) p m， m 3 m 0 c0 ，3 ， d1 ，0 ，222222 cp 2m ，dp m1 m 3 ， cd10. pcd 是等腰三角形：22當(dāng) cpdp 時(shí)，就 cp dp . 2m2 m1 2 m 3 2. m. p1.當(dāng) cpcd 時(shí)，就 cp2cd 2. 2m2 10. m或 m 舍去 p2 ， 3 當(dāng) dpcd 時(shí)，就 dp 2 cd 2 . m1 2 m 3 2 10. m4 或 m 0 舍去 p34 ， 1 綜上所述，符合條件的點(diǎn)p 的坐標(biāo)為， ， 3 或4 ， 1 (5) 設(shè)拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)為e，在其對(duì)稱(chēng)軸

4、的右側(cè)的拋物線(xiàn)上是否存在點(diǎn)p，使得 pec 是等腰三角形？如存在，求出符合條件的點(diǎn)p 的坐標(biāo)；如不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由分“以 ce 為底”和“以 ce 為腰”兩種情形爭(zhēng)論利用腰長(zhǎng)相等列關(guān)系式，再結(jié)合拋物線(xiàn)解析式，求出點(diǎn)p 的坐標(biāo)解：由 1 知， e 點(diǎn)坐標(biāo)為 1 ， 4 ，對(duì)稱(chēng)軸為直線(xiàn)x 1.如以 ce 為底邊，就 pepc.設(shè)點(diǎn) p 的坐標(biāo)為 x，y ，就2222 x 1 y4 x 3 y ，即 y4 x.又點(diǎn) px， y 在拋物線(xiàn)上， 4 x x2 2x 3.解得 x. 1，應(yīng)舍去 x， y 4 x .即點(diǎn) p 的坐標(biāo)為 .如以 ce 為一腰，由于點(diǎn)p 在對(duì)稱(chēng)軸右側(cè)的拋物線(xiàn)上，由拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)性

5、可知，點(diǎn) p 與點(diǎn) c 關(guān)于直線(xiàn) x1 對(duì)稱(chēng)，此時(shí) p 點(diǎn)坐標(biāo)為 2 ，3 綜上所述，符合條件的點(diǎn)p 坐標(biāo)為或 2 ，3 關(guān)于等腰三角形找點(diǎn) 作點(diǎn) 和求點(diǎn)的方法等腰三角形找點(diǎn) 作點(diǎn) 方法：以已知邊為邊長(zhǎng)，作等腰三角形，運(yùn)用“兩圓一線(xiàn)法”，在圖上找出存在點(diǎn)的個(gè)數(shù).問(wèn)題找點(diǎn)等腰三角形已知點(diǎn) a，b 和直線(xiàn) l ，在 l 上求點(diǎn) p，使 pab 為等腰三角形分別以點(diǎn) a，b 為圓心，以線(xiàn)段 ab 長(zhǎng)為半徑作圓，再作線(xiàn)段 ab 的垂直平分線(xiàn)，兩圓和垂直平分線(xiàn)與 l 的交點(diǎn)即為全部要求的 p 點(diǎn)等腰三角形求點(diǎn)方法：以已知邊為邊長(zhǎng)，在拋物線(xiàn)或坐標(biāo)軸或?qū)ΨQ(chēng)軸上找點(diǎn)， 與已知點(diǎn)構(gòu)成等腰三角形，先設(shè)所求點(diǎn)的坐標(biāo)

6、，然后求出三點(diǎn)間的線(xiàn)段長(zhǎng)度，分不同頂點(diǎn)進(jìn)行爭(zhēng)論二、直角三角形的存在性問(wèn)題【例 5】 如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線(xiàn)yax22x c 與 x 軸交于 a 1，0 ，b3 ，0 兩點(diǎn)，與 y 軸交于點(diǎn) c，點(diǎn) d 是該拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)2(1) 求拋物線(xiàn)的解析式和直線(xiàn)ac 的解析式；解：把 a 1，0 ，b3 ，0 代入yax 2x c，得解得2拋物線(xiàn)的解析式為y x 2x3.設(shè) ac 的解析式為 y kx3.把 a 1， 0 代入解析式，得k3.直線(xiàn) ac 的解析式為 y3x3.(2) 動(dòng)點(diǎn) e 在 y 軸上移動(dòng)，當(dāng) eac 是以 ac 邊為直角邊的直角三角形時(shí)，求點(diǎn)e 的坐標(biāo)22222解：設(shè) e

7、的坐標(biāo)為 0 ，t ac oa oc 1 3 10，22222eaoa oe 1 t ，22ce 3 t .222在 rteac 中， ac ea ce ， 101 2t2 3 t 2， 解得 t . 點(diǎn) e 的坐標(biāo)為 .(3) 摸索究： 在拋物線(xiàn)上是否存在點(diǎn) p，使以點(diǎn) a，p，c 為頂點(diǎn)， ac 為直角邊的三角形是直角三角形？如存在，懇求出符合條件的點(diǎn) p 的坐標(biāo)；如不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由分直角頂點(diǎn)在點(diǎn)a 處和點(diǎn) c 處兩種情形爭(zhēng)論解：存在直角頂點(diǎn)在點(diǎn)c 處如圖，過(guò)點(diǎn) c 作 cqac 交 x 軸于點(diǎn) q， acq 為直角三角形 又 coaq， coa qoc. . a 1，0 ，c0 ，3

8、， oa 1， oc 3. oq 9. q9 ，0 由 c0 ，3 ，q9 ， 0 可求出直線(xiàn) cq 的解析式為y x3.聯(lián)立方程解得 x10 舍去 ，x2 .當(dāng) x時(shí)， y. p1.直角頂點(diǎn)在點(diǎn)a 處如圖，過(guò)點(diǎn) a 作 ap2cq 交拋物線(xiàn)于點(diǎn)p2.設(shè)直線(xiàn) ap2 的解析式為 y x b， 把 a 1， 0 代入解析式，得× 1 b0， b .直線(xiàn) ap2 的解析式為 y x .聯(lián)立方程解得 x1 1 舍去 ， x2 ， 當(dāng) x時(shí)， y . p2.綜上所述，符合條件的點(diǎn)p 的坐標(biāo)為或 .(4) 在拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸上是否存在一點(diǎn)p，使得以 b，c，p 為頂點(diǎn)的三角形為直角三角形？如存在

9、，試求出點(diǎn)p 的坐標(biāo)；如不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由分直角頂點(diǎn)在點(diǎn)b 處、點(diǎn) c 處和點(diǎn) p 處三種情形爭(zhēng)論解：設(shè)點(diǎn) p1 ，m ， b3 ， 0 ， c0 ，3 bc218，2222pb 1 3 m m 4，222pc 1 m32 m 6m 10.當(dāng)以點(diǎn) c 為直角頂點(diǎn)時(shí)，222bc pc pb ，即 18 m26m10 m24，解得 m4.當(dāng)以點(diǎn) b 為直角頂點(diǎn)時(shí)， bc2 pb2 pc2，即2218 m 4 m 6m 10，解得 m 2.22當(dāng)以點(diǎn) p 為直角頂點(diǎn)時(shí)，pb2 pc2 bc2，即 m 4 m 6m 10 18，解得m1 ， m2 .綜上，存在點(diǎn)p，使得以點(diǎn) b，c， p 為頂點(diǎn)的三角

10、形為直角三角形，點(diǎn)p 的坐標(biāo)為1 ， 4 ，1 ， 2 ， .（ 5）作直線(xiàn) mn 平行于 x 軸，分別交線(xiàn)段ac， bc 于點(diǎn) m，n. 問(wèn)在 x 軸上是否存在點(diǎn) p，使得 pmn 是等腰直角三角形？假如存在，求出全部滿(mǎn)意條件的p 點(diǎn)的坐標(biāo)；假如不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由分三種情形進(jìn)行爭(zhēng)論：pmn 90°， pm mn； pnm90°， pnmn； mpn90°， pmpn.解：存在設(shè) m，n 的縱坐標(biāo)為 m，由 b3 ，0 ，c0 ，3 可求出直線(xiàn) bc 的解析式為 y x3. m，n3 m，m當(dāng) pmn90°， pmmn 時(shí)，如圖 1 所示， mn，pmm

11、， m， 解得 m，就 p 的橫坐標(biāo)為 . p.當(dāng) pnm90°， pnmn 時(shí)，同理可得 p.當(dāng) mpn90°， pmpn 時(shí)，作 mn 的中點(diǎn) q，連接 pq，就 pqm.又 pmpn， pq mn.就 mn2pq，即2m， 解得 m，點(diǎn) p 的橫坐標(biāo)為 . p.綜上，存在點(diǎn) p 使得 pmn 是等腰直角三角形，點(diǎn)p 的坐標(biāo)為，或 .關(guān)于直角三角形找點(diǎn)和求點(diǎn)的方法 找點(diǎn)：以已知邊為邊長(zhǎng)，作直角三角形，運(yùn)用兩線(xiàn)一圓法，在圖上找出存在點(diǎn)的個(gè)數(shù)所謂的“兩線(xiàn)”就是指以已知邊為直角邊，過(guò)已知邊的兩個(gè)端點(diǎn)分別作垂線(xiàn)與拋物線(xiàn)或坐標(biāo)軸或?qū)ΨQ(chēng)軸的交點(diǎn)，就是所求的點(diǎn)；“一圓”就是以已知邊為

12、直徑， 以已知邊的中點(diǎn)作圓， 與拋物線(xiàn)或坐標(biāo)軸或?qū)ΨQ(chēng)軸的交點(diǎn)即為所求的點(diǎn) 求點(diǎn)：以?xún)啥c(diǎn)為直角頂點(diǎn)時(shí)，兩直線(xiàn)相互垂直，就 k1 ·k2 1；以已知線(xiàn)段為斜邊時(shí)， 利用 k 型圖， 構(gòu)造雙垂直模型， 最終利用三角形相像求解， 或者三條邊分別用代數(shù)式表示之后，利用勾股定理求解212021 ·濰坊 如圖 1，拋物線(xiàn) y1 ax xc 與 x 軸交于點(diǎn) a 和點(diǎn) b1 ，0 ， 與 y 軸交于點(diǎn) c，拋物線(xiàn) y1 的頂點(diǎn)為 g，gmx 軸于點(diǎn) m. 將拋物線(xiàn) y1 平移后得到頂點(diǎn)為 b 且對(duì)稱(chēng)軸為直線(xiàn) l 的拋物線(xiàn) y2.(1) 求拋物線(xiàn) y2 的解析式；(2) 如圖 2，在直線(xiàn)

13、l 上是否存在點(diǎn) t，使 tac 是等腰三角形？如存在，懇求出全部點(diǎn) t 的坐標(biāo)；如不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；(3) 點(diǎn) p 為拋物線(xiàn) y1 上一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn) p 作 y 軸的平行線(xiàn)交拋物線(xiàn) y2 于點(diǎn) q， 點(diǎn) q 關(guān)于直線(xiàn) l 的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為 r. 如以 p， q，r 為頂點(diǎn)的三角形與 amg 全等，求直線(xiàn) pr 的解析式解： 1 依據(jù)題意，得解得 a，所以，拋物線(xiàn) y1的解析式為 y x2x.1拋物線(xiàn) y1 平移后得到拋物線(xiàn)y2，且頂點(diǎn)為 b1 ，0 ，拋物線(xiàn) y2的解析式為 y x1 2 ，22即 y2 x x.(2) 拋物線(xiàn) y2 的對(duì)稱(chēng)軸 l 為 x 1，設(shè) t1 ， t ，已知 a 3， 0

14、 ，c，過(guò)點(diǎn) t 作 tey 軸于 e，連接 tc，ta，就22222tc te ce 1 t t，2222222ta tb ab t 1 3 t 16，ac .2當(dāng) tcac 時(shí)，即 t t， 解得 t1， t2 ；當(dāng) taac 時(shí)，得 t216，無(wú)解；22當(dāng) tatc 時(shí)，得 t t t 16，解得 t3 .綜上所述，在拋物線(xiàn)y2 的對(duì)稱(chēng)軸 l 上存在點(diǎn) t，使 tac是等腰三角形，此時(shí)t 點(diǎn)的坐標(biāo)為t1 ，t2，t3.(3) 設(shè) p，就 q.q，r 關(guān)于 x1 對(duì)稱(chēng)，r.情形一：當(dāng)點(diǎn) p 在直線(xiàn) l 的左側(cè)時(shí)，2pq m m1m，qr 2 2m.又由于以 p，q， r 構(gòu)成的三角形與 a

15、mg 全等， 當(dāng) pqgm 且 qram 時(shí)， m0，可求得 p，即點(diǎn) p 與點(diǎn) c 重合r. 設(shè) pr 的解析式為 y kxb，就有解得 k，即 pr 的解析式為 y x.當(dāng) pqam 且 qrgm 時(shí)，無(wú)解 情形二：當(dāng)點(diǎn) p 在直線(xiàn) l 右側(cè)時(shí)，p q m2mm1，qr 2m 2， 同理可得 p， r .p r的解析式為y x.綜上所述，pr 的解析式為 y x或 y x.22.2021 ·海南 如圖 1，拋物線(xiàn) y ax bx3 交 x 軸于點(diǎn) a 1， 0 和點(diǎn) b3 ，0 (1) 求該拋物線(xiàn)所對(duì)應(yīng)的函數(shù)解析式；(2) 如圖 2，該拋物線(xiàn)與 y 軸交于點(diǎn) c，頂點(diǎn)為 f，點(diǎn)

16、d2 ，3 在該拋物線(xiàn)上求四邊形 acfd 的面積；點(diǎn) p 是線(xiàn)段 ab 上的動(dòng)點(diǎn) 點(diǎn) p 不與點(diǎn) a，b 重合 ，過(guò)點(diǎn) p 作 pqx 軸交該拋物線(xiàn)于點(diǎn)q，連接 aq， dq，當(dāng) aqd 是直角三角形時(shí)，求出全部滿(mǎn)意條件的點(diǎn)q 的坐標(biāo)解： 1 依據(jù)題意，得解得2拋物線(xiàn)的解析式為y x 2x 3.2 如答圖 1，連接 cd，22y x 2x3 x 1 4， f1 ，4 c0 ，3 ，d2 ， 3 ，cd2，且 cd x 軸s 四邊形 acfd s acdsfcdcd× yfya× 2×44.點(diǎn) p 在線(xiàn)段 ab 上， daq 不行能為直角當(dāng) aqd 為直角三角形時(shí)

17、，有adq 90°或 aqd90°，如答圖 2 所示 . 當(dāng) adq90°時(shí)，就 dqad.a 1， 0 ，d2 ，3 ，直線(xiàn) ad 的解析式為yx1.可設(shè)直線(xiàn) dq 的解析式為y x b.把 d2 ， 3 代入上式可求得b 5，直線(xiàn) dq 的解析式為 y x5.聯(lián)立直線(xiàn) dq 和拋物線(xiàn)的解析式可得解得q1 ，4 2. 當(dāng) aqd90°時(shí)，設(shè) q t， t 2t3 ， 設(shè)直線(xiàn) aq 的解析式為 y k1 xb1，把 a，q 坐標(biāo)代入上式可得，解得 k1 t 3 設(shè)直線(xiàn) dq 的解析式為 yk2x b2，同理可求得k2 t. aqdq，k1k2 1，即 t

18、 t 3 1，解得 t.當(dāng) t時(shí)， t22t3； 當(dāng) t時(shí)， t22t3.q 點(diǎn)坐標(biāo)為 ， 或 ， 綜上可知 q 點(diǎn)坐標(biāo)為 1 ，4 或 ， 或 ， 232021 ·邵陽(yáng) 如下列圖，將二次函數(shù)yx 2x1 的圖象沿 x 軸翻折，然后向右平移 1 個(gè)單位，再向上平移4 個(gè)單位，得到二次函數(shù)yax2 bxc 的圖象函數(shù) y x22x1 的圖象的頂點(diǎn)為點(diǎn)a. 函數(shù) yax2 bxc 的圖象的頂點(diǎn)為點(diǎn) b，并和 x 軸的交點(diǎn)為點(diǎn)c，d 點(diǎn) d 位于點(diǎn) c 的左側(cè) (1) 求函數(shù) y ax2 bxc 的解析式；(2) 從點(diǎn) a，c，d 三個(gè)點(diǎn)中任取兩個(gè)點(diǎn)和點(diǎn)b 構(gòu)造三角形，求構(gòu)造的三角形是等腰

19、三角形的概率；(3) 如點(diǎn) m 是線(xiàn)段 bc 上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn) n 是 abc 三邊上的動(dòng)點(diǎn)，是否存在以am 為斜邊的 rtamn，使 amn 的面積為 abc 面積的. 如存在，求tanman 的值；如不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由222解： 1 y x 2x1 x1的圖象沿 x 軸翻折，得 y x1 .22把 y x1向右平移 1 個(gè)單位，再向上平移4 個(gè)單位，得 y x 4.所求的函數(shù) y ax2 bxc 的解析式為 y x24.2 從點(diǎn) a， c，d 三個(gè)點(diǎn)中任取兩個(gè)點(diǎn)，能和點(diǎn)b 構(gòu)造的三角形有 bac， bad， bcd.a， b， c，d 的坐標(biāo)分別為 1，0 ， 0 ，4 ，2 ， 0 ， 2，0 可求得 ac3，ad1，cd4，ab， bc2，bd2，只有 bcd 為等腰三角形構(gòu)造的三角形是等腰三角形的概率p.3 存在 s abc ac· ob× 3×46.當(dāng)點(diǎn) n 在邊 ac 上時(shí)，點(diǎn) m 在邊 bc 上 在 rt amn 中， mn ac.設(shè)點(diǎn) n 的坐標(biāo)為 m，0 ，就 anm 1， 點(diǎn) m 的橫坐標(biāo)為 m.由 b0 ， 4 ，