高數(shù)下期末考試試卷及答案

1、精品文檔. 2017 學(xué)年春季學(xué)期高等數(shù)學(xué)（二） 期末考試試卷（a）注意：1、本試卷共 3 頁(yè)； 2、考試時(shí)間110 分鐘； 3 、姓名、學(xué)號(hào)必須寫(xiě)在指定地方一、單項(xiàng)選擇題（8 個(gè)小題，每小題2 分，共 16 分）將每題的正確答案的代號(hào) a、b、 c 或 d 填入下表中1已知a與b都是非零向量，且滿足abab，則必有（）. (a)0ab(b)0ab(c)0a b(d)0ab2.極限2222001lim()sinxyxyxy( ). (a) 0 (b) 1 (c) 2 (d)不存在3下列函數(shù)中，dff的是 ( ).（a）( , )fx yxy（b）00( ,),f x yxycc 為實(shí)數(shù)（c）2

2、2( , )f x yxy（d）( , )exyfx y4函數(shù)( ,)(3)f x yxyxy，原點(diǎn)(0,0)是( , )f x y的( ).（ a）駐點(diǎn)與極值點(diǎn)（b）駐點(diǎn)，非極值點(diǎn)（ c）極值點(diǎn)，非駐點(diǎn)（d）非駐點(diǎn)，非極值點(diǎn)5 設(shè) 平 面 區(qū) 域22: (1)(1)2dxy， 若1d4dxyi，2d4dxyi，33d4dxyi，則有（）. （a）123iii（b）123iii（c）213iii（d）312iii6設(shè)橢圓l：13422yx的周長(zhǎng)為l，則22(34)dlxys?（）. (a) l(b) l 3(c) l 4(d) l127設(shè)級(jí)數(shù)1nna為交錯(cuò)級(jí)數(shù)，0 ()nan，則（）. (a)

3、 該級(jí)數(shù)收斂(b)該級(jí)數(shù)發(fā)散(c)該級(jí)數(shù)可能收斂也可能發(fā)散(d)該級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂8. 下列四個(gè)命題中，正確的命題是（）. （a）若級(jí)數(shù)1nna發(fā)散，則級(jí)數(shù)21nna也發(fā)散（b）若級(jí)數(shù)21nna發(fā)散，則級(jí)數(shù)1nna也發(fā)散（c）若級(jí)數(shù)21nna收斂，則級(jí)數(shù)1nna也收斂（d）若級(jí)數(shù)1|nna收斂，則級(jí)數(shù)21nna也收斂二、填空題 (7 個(gè)小題，每小題2 分，共 14 分) 1. 直線3426030 xyzxyza與z軸相交，則常數(shù)a為 .2設(shè)( ,)ln(),yf x yxx則(1,0)yf_ _. 3函數(shù)( ,)f x yxy在(3,4)處沿增加最快的方向的方向?qū)?shù)為 . 4設(shè)22:2dxyx，二

4、重積分()ddxy= . 5設(shè)fx是連續(xù)函數(shù)，22(, )|09x y zzxy，22()df xyv在柱面坐標(biāo)系下的三次積分為.6. 冪級(jí)數(shù)11( 1)!nnnxn的收斂域是 .7. 將函數(shù)21,0( )1,0 xf xxx以2為周期延拓后，其傅里葉級(jí)數(shù)在點(diǎn)x處收斂于.題號(hào)一二三四總分得分閱卷人得分題號(hào)1 2 3 4 5 6 7 8 答案閱卷人得分三峽大學(xué)試卷紙教學(xué)班號(hào)序號(hào)學(xué)號(hào)姓名答題不要超過(guò)密封線精品文檔. 三、綜合解答題一（5 個(gè)小題，每小題7 分，共 35 分，解答題應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟）1設(shè)( ,)xuxf xy，其中f 有連續(xù)的一階偏導(dǎo)數(shù)，求ux，uy解：2求曲面 e

5、3zzxy在點(diǎn) (2,1,0) 處的切平面方程及法線方程解：3. 交換積分次序，并計(jì)算二次積分0sinddxyxyy解：4 設(shè)是由曲面1,xxyxyz及0z所圍成的空間閉區(qū)域，求23d d dixy z x y z. 解：5求冪級(jí)數(shù)11nnnx的和函數(shù)( )s x，并求級(jí)數(shù)12nnn的和解：閱卷人得分三峽大學(xué)試卷紙教學(xué)班號(hào)序號(hào)學(xué)號(hào)姓名答題不要超過(guò)密封線精品文檔. 四、綜合解答題二（5 個(gè)小題，每小題7 分，共 35 分，解答題應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟）1. 從斜邊長(zhǎng)為1 的一切直角三角形中，求有最大周長(zhǎng)的直角三角形解2計(jì)算積分22()dlxys?，其中l(wèi)為圓周22xyax(0a)解：

6、3利用格林公式， 計(jì)算曲線積分22()d(2)dlixyxxxy y?，其中l(wèi)是由拋物線2yx和2xy所圍成的區(qū)域d的正向邊界曲線4 計(jì)算dx s，為平面1zyx在第一卦限部分.解：5利用高斯公式計(jì)算對(duì)坐標(biāo)的曲面積分d dd dd dx yy zz xs+蝌，其中為圓錐面222zxy介于平面0z及1z之間的部分的下側(cè).解：閱卷人得分三峽大學(xué)試卷紙教學(xué)班號(hào)序號(hào)學(xué)號(hào)姓名答題不要超過(guò)密封線xo2yx2xyyd 精品文檔. 2017 學(xué)年春季學(xué)期高等數(shù)學(xué)（二） 期末考試試卷 (a) 答案及評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)一、單項(xiàng)選擇題（8 個(gè)小題，每小題2 分，共 16 分）1已知a與b都是非零向量，且滿足abab，則必有（

7、 d ）(a)0ab； (b)0ab； (c)0a b； (d)0a b2. 極限2222001lim()sinxyxyxy ( a ) (a) 0； (b) 1； (c) 2； (d)不存在 . 3下列函數(shù)中，dff的是 ( b )；（a）( , )f x yxy；（b）00( , ),f x yxyc c 為實(shí)數(shù)；（c）22( , )f x yxy；（d）( , )exyfx y.4函數(shù)( ,)(3)f x yxyxy，原點(diǎn)(0,0)是( , )f x y的( b ).（ a）駐點(diǎn)與極值點(diǎn)；（b）駐點(diǎn)，非極值點(diǎn)；（ c）極值點(diǎn)，非駐點(diǎn)；（d）非駐點(diǎn)，非極值點(diǎn).5 設(shè) 平 面 區(qū) 域d：22

8、(1)(1)2xy， 若1d4dxyi，2d4dxyi，33d4dxyi，則有（ a ）（a）123iii；（b）123iii；（c）213iii；（d）312iii6設(shè)橢圓l：13422yx的周長(zhǎng)為l，則22(34)dlxys?（d ） (a) l； (b) l 3； (c) l 4； (d) l127設(shè)級(jí)數(shù)1nna為交錯(cuò)級(jí)數(shù)，0 ()nan，則（ c ） (a)該級(jí)數(shù)收斂； (b)該級(jí)數(shù)發(fā)散；(c) 該級(jí)數(shù)可能收斂也可能發(fā)散； (d) 該級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂8. 下列四個(gè)命題中，正確的命題是（ d ）（a）若級(jí)數(shù)1nna發(fā)散，則級(jí)數(shù)21nna也發(fā)散；（b ）若級(jí)數(shù)21nna發(fā)散，則級(jí)數(shù)1nna也發(fā)

9、散；（c ）若級(jí)數(shù)21nna收斂，則級(jí)數(shù)1nna也收斂；（d ）若級(jí)數(shù)1|nna收斂，則級(jí)數(shù)21nna也收斂二、填空題 (7 個(gè)小題，每小題2 分，共 14 分) 1. 直線3426030 xyzxyza與z軸相交，則常數(shù)a為3 。2設(shè)( ,)ln(),yf x yxx則(1,0)yf_1_ 3函數(shù)( ,)f x yxy在(3,4)處沿增加最快的方向的方向?qū)?shù)為24設(shè)22:2dxyx，二重積分()ddxy= 5設(shè)fx是連續(xù)函數(shù)，22(, )|09x y zzxy，22()df xyv在柱面坐標(biāo)系下的三次積分為22392000dd()dfz6. 冪級(jí)數(shù)11( 1)!nnnxn的收斂域是(,).7

10、. 函數(shù)21,0( )1,0 xf xxx，以2為周期延拓后，其傅里葉級(jí)數(shù)在點(diǎn)x處收斂于22.三、綜合解答題一（5 個(gè)小題，每小題7 分，共 35 分.解答題應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟）1設(shè)( ,)xuxf xy，其中 f 有連續(xù)的一階偏導(dǎo)數(shù)，求ux，uy解：12uxfxffxy4 分222uxfyy. 7 分2求曲面3zezxy在點(diǎn) (2,1,0) 處的切平面方程及法線方程解：令,e3zfx y zzxy，2 分(,)( , ,e1)zxyzfffy xn，(2,1,0)(1,2,2)n，4 分所以在點(diǎn) (2,1,0) 處的切平面方程為(2)2(1)20 xyz，題號(hào)1 2 3 4

11、5 6 7 8 答案d a b b a d c d 精品文檔. 即2240 xyz；6 分法線方程為21122xyz. 7 分3. 交換積分次序，并計(jì)算二次積分0sinddxyxyy；解：0sinddxyxyy =00sinddyyyxy 4 分=0sin d2y y 7 分4設(shè)是由曲面1,xxyxyz及0z所圍成的空間區(qū)域，求23d d dixy zx y z解：注意到曲面zxy經(jīng)過(guò)x軸、y軸，2 分=(, , ) : 0,0,01x y zzxyyxx 4 分故12323000d d ddddxxyixy zx y zxyxy zz=36417 分5求冪級(jí)數(shù)11nnnx的和函數(shù)( )s x

12、，并求級(jí)數(shù)12nnn的和解：11( )nns xnx，(0)1s，由已知的馬克勞林展式：11,| 11nnxxx，2 分有11( )()(1)1nns xxx=21(1)x，| 1x，5 分12nnn=11122nnn=11( )22s=2 7 分四、綜合解答題二（5 個(gè)小題，每小題7 分，共 35 分.解答題應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟）1. 從斜邊長(zhǎng)為1 的一切直角三角形中，求有最大周長(zhǎng)的直角三角形解 設(shè)兩個(gè)直角邊的邊長(zhǎng)分別為x，y，則221xy，周長(zhǎng)1cxy，需求1cxy在約束條件221xy下的極值問(wèn)題 2 分設(shè)拉格朗日函數(shù)22( , , )1(1)l x yxyxy，4 分令22

13、120 ,120,1,xyfxfyxy解方程組得22xy為唯一駐點(diǎn)， 6 分又最大周長(zhǎng)一定存在，故當(dāng)22xy時(shí)有最大周長(zhǎng). 7 分2計(jì)算積分22()dlxys?，其中l(wèi)為圓周22xyax(0a)解：l的極坐標(biāo)方程為cosa，22；2 分則22d() ddsa，4 分所以3222322222()ddcosd2laxysaa?7 分或解：l的形心( ,)(,0)2ax y，l的周長(zhǎng)a，22()dlxys?=dlax s?=ax a=32a3利用格林公式，計(jì)算曲線積分22()d(2)dlixyxxxyy?，其中l(wèi)是由拋物線2yx和2xy所圍成的區(qū)域d的正向邊界曲線解：22()d(2)dlixyxxxyy?ddxdy3 分210ddxxxy5 分13 7 分4 計(jì)算dx s，為平面1zyx在第一卦限部分.解：在xoy面上的投影區(qū)域?yàn)?0,0(1:yxyxdxy，2 分又, 1,1,1:yzxzyxz故dxdyds3，4 分所以11003336xyxdxdsxdxdydxxdy. 7 分或解：由對(duì)稱(chēng)性，113()336xd