隨機過程試題解答

1、1 西南交通大學2006-2007 學年第 ( 一) 學期考試試卷課程代碼課程名稱隨機過程 B 考試時間2007.1.24 題號一二三四五六七總成績得分一、（ 14 分）設二維隨機變量 (X,Y)的聯(lián)合概率密度函數(shù)為：其它010)1(24),(xyyxyxf試求: 在10y時, 求)|(yYXE。解：()( ,)Yfyfx y dx124(1)010yxydxy其 它212(1)010yyy其 它 (5分) 當10y時，(,)()Yfx yfy22(1)1(1)0 xyxy其 它 (5分) )|(yYXE(,)()()Yfx yxfx y dxxdxfy2121122 (1)(1)3(1)yy

2、yxx dxyy (4分) 二、（ 14 分）設離散型隨機變量X服從幾何分布：,2, 1)1(1kppkXPk試求X的特征函數(shù)，并以此求其期望)( XE與方差)( XD。解：1( )()()itXitkXktE eePXk (2分) 111(1)(1)(1)itkkitkkkkpeppepp1(1)(1)(1)(1)1(1)ititkitkppp ep eppp e2 1(1)1ititititpepep eqe (4分) 2( )(1)itXitipetqe00221(0)(1)(1)Xipepiiqeqp (2分) 3(1)( )(1)ititXitpeqetqe3(1)(0)(1)Xpq

3、q (2分) 所以：11(0)XEXip (2分) 22(1)(0)XqEXp22222(1)1()qqDXEXEXppp (2分) 三、（ 14 分）請寫出維納隨機過程的數(shù)學定義，均值函數(shù)，自相關函數(shù)與一維特征函數(shù)。答：1、設 W(t)是一個隨機過程，滿足：（1）(0)0)1P W (2分) （2）W( t) 是增量獨立的隨機過程 (2分) （3）0st，( )()WtWs2(0,()Nts (2分) 則稱 W( t) 為維納過程。 2 、0t，( )Wt2(0,)Nt,( )0EWt， (3分) 2( , )( )( )m in(, )WRs tEWs Wts t (3分) 222( ,

4、)tvWv te (2分) 3 四、（ 14分）設隨機過程),cos()(0tYtAtX，其中0是常數(shù)，A與Y是相互獨立的隨機變量，Y服從區(qū)間)2,0(上的均勻分布，A服從瑞利分布，其概率密度為000)(2222xxexxfxA試證明)(tX為寬平穩(wěn)過程。解：（ 1）)cos()()cos()(00YtEAEYtAEtmX20002220)cos(22dyytdxexx與t無關（4 分）（2）)()(cos)()cos()()(20222022AEYtEAEYtAEtXEtXdtetdxexAEtx02220223222221)(，202202022|2|222tttedtete所以)()(2

5、2tXEtX（5 分）（3）)cos()cos(),(201021YtAYtAEttRX)cos()cos(20102YtYtEAEdyttytt21)(cos)cos(2121202010202)(cos1202tt只與時間間隔有關，所以)(tX為寬平穩(wěn)過程。（ 5 分）五、（ 14 分）某商場為調(diào)查顧客到來的客源情況，考察了男女顧客來商場的人數(shù)。 假設男女顧客來商場的人數(shù)分別獨立地服從每分鐘2 人與每分鐘 3 人的泊松過程。（1） 試求到某時刻t時到達商場的總?cè)藬?shù)的分布；4 （2） 在已知t時刻以有 50人到達的條件下，試求其中恰有30位婦女的概率，平均有多少個女性顧客？解：設12( ),

6、( ),( )N tNtNt分別為（ 0, t）時段內(nèi)到達商場的男顧客數(shù)、女顧客數(shù)及總?cè)藬?shù)。（1） 由已知，1( )Nt為強度12的泊松過程，2( )Nt為強度23的泊松過程；故，( )N t為強度125的泊松過程；于是，5(5 )( )!kttP N tkek0,1, 2,k（5 分）（2）22( )30,( )50)( )30( )50)( )50)P NtN tP NtN tP N t30320221505( )30)( )20)(3 )/ 30 ! (2 )/ 20 !( )50)(5 )/ 50 !tttP NtP NtteteP N tte30320230302050505(3 )

7、/30 ! (2 )/ 20 !32()()(5 )/ 50 !55tttteteCte（5 分）一般地，50,2, 1,0,)52()53(50)(|)(50502kCtNktNPkkk故平均有女性顧客30535050)(|)(2tNtNE人（4 分）六、（ 15 分）設一個壇子中裝有4 個球，它們或是紅色的，或是黑色的。從壇子中隨機地取出一個球，并換入一個另一種顏色的球，經(jīng)過n次取球置換，令1),(nnX表示第n次取球后壇中的黑球數(shù)。（1）1),(nnX是否構成馬氏鏈 , 是否為齊次的，為什么 ? （2）試寫出其狀態(tài)空間與一步轉(zhuǎn)移概率矩陣。解：1),(nnX的參數(shù)集為1, 2, 3,Tn，

8、狀態(tài)集為0,1, 2, 3, 4E，當 X(n)的取值確定時， X(n+1)的取值完全由 X(n) 確定，故1),(nnX為馬氏鏈，（4 分）()(1)()ijPnP X nj X ni5 11,03,41,13411,1340jijiijiiijii或其 它（4 分）與 n 無關，故為齊次馬氏鏈。（2 分）（2）一步轉(zhuǎn)移概率矩陣為010001/ 403 / 40001/ 201/ 20003/ 401/ 400010（5 分）七、（ 15 分）設,2, 1),(nnX是獨立同分布隨機變量序列，其分布律為：14.06.011)(npnXi，（1）試給出,2, 1),(nnX的一步轉(zhuǎn)移矩陣，并畫出概率轉(zhuǎn)移圖；（2）令nknkXnY11),()(，計算概率0)4(,0)3(,0)2(,0)1(YYYYP。（1）,2,1),(nnX的一步轉(zhuǎn)移矩陣為0.60.40.60.4（3 分）