高中數(shù)學必修三算法知識點總結

1、名可道教育科技有限公司高中數(shù)學必修3 知識點總結第一章算法初步1.1.1算法的概念1、算法概念：在數(shù)學上，現(xiàn)代意義上的“算法”通常是指可以用計算機來解決的某一類問題是程序或步驟，這些程序或步驟必須是明確和有效的，而且能夠在有限步之內(nèi)完成. 2. 算法的特點 : (1)有限性：一個算法的步驟序列是有限的，必須在有限操作之后停止，不能是無限的. (2)確定性：算法中的每一步應該是確定的并且能有效地執(zhí)行且得到確定的結果，而不應當是模棱兩可. (3)順序性與正確性：算法從初始步驟開始，分為若干明確的步驟，每一個步驟只能有一個確定的后繼步驟，前一步是后一步的前提，只有執(zhí)行完前一步才能進行下一步，并且每一

2、步都準確無誤，才能完成問題. (4)不唯一性：求解某一個問題的解法不一定是唯一的，對于一個問題可以有不同的算法. (5)普遍性：很多具體的問題，都可以設計合理的算法去解決，如心算、計算器計算都要經(jīng)過有限、事先設計好的步驟加以解決. 1.1.2程序框圖1、程序框圖基本概念：（一）程序構圖的概念：程序框圖又稱流程圖，是一種用規(guī)定的圖形、指向線及文字說明來準確、直觀地表示算法的圖形。一個程序框圖包括以下幾部分：表示相應操作的程序框；帶箭頭的流程線；程序框外必要文字說明。（二）構成程序框的圖形符號及其作用程序框名稱功能起止框表示一個算法的起始和結束，是任何流程圖不可少的。輸入、輸出框表示一個算法輸入和

3、輸出的信息，可用在算法中任何需要輸入、輸出的位置。處理框賦值、計算，算法中處理數(shù)據(jù)需要的算式、公式等分別寫在不同的用以處理數(shù)據(jù)的處理框內(nèi)。判斷框判斷某一條件是否成立，成立時在出口處標明“是”或“Y” ；不成立時標明“否”或“N” 。名可道教育科技有限公司學習這部分知識的時候，要掌握各個圖形的形狀、作用及使用規(guī)則，畫程序框圖的規(guī)則如下：1、使用標準的圖形符號。2、框圖一般按從上到下、從左到右的方向畫。3 、除判斷框外，大多數(shù)流程圖符號只有一個進入點和一個退出點。判斷框具有超過一個退出點的唯一符號。4、判斷框分兩大類，一類判斷框“是”與“否”兩分支的判斷，而且有且僅有兩個結果；另一類是多分支判斷，

4、有幾種不同的結果。5、在圖形符號內(nèi)描述的語言要非常簡練清楚。（三） 、算法的三種基本邏輯結構：順序結構、條件結構、循環(huán)結構。1 、順序結構：順序結構是最簡單的算法結構，語句與語句之間，框與框之間是按從上到下的順序進行的，它是由若干個依次執(zhí)行的處理步驟組成的，它是任何一個算法都離不開的一種基本算法結構。順序結構在程序框圖中的體現(xiàn)就是用流程線將程序框自上而下地連接起來，按順序執(zhí)行算法步驟。如在示意圖中，A 框和 B 框是依次執(zhí)行的，只有在執(zhí)行完A 框指定的操作后，才能接著執(zhí)行 B框所指定的操作。2、條件結構：條件結構是指在算法中通過對條件的判斷根據(jù)條件是否成立而選擇不同流向的算法結構。條件 P是否

5、成立而選擇執(zhí)行A框或 B框。無論 P條件是否成立，只能執(zhí)行A 框或 B框之一，不可能同時執(zhí)行A 框和B框，也不可能A框、 B框都不執(zhí)行。一個判斷結構可以有多個判斷框。3 、循環(huán)結構： 在一些算法中，經(jīng)常會出現(xiàn)從某處開始，按照一定條件，反復執(zhí)行某一處理步驟的情況，這就是循環(huán)結構，反復執(zhí)行的處理步驟為循環(huán)體，顯然，循環(huán)結構中一定包含條件結構。循環(huán)結構又稱重復結構，循環(huán)結構可細分為兩類：（1 ） 、一類是當型循環(huán)結構，如下左圖所示，它的功能是當給定的條件P 成立時，執(zhí)行A 框，A 框執(zhí)行完畢后，再判斷條件P 是否成立，如果仍然成立，再執(zhí)行A 框，如此反復執(zhí)行A 框，直到某一次條件P 不成立為止，此時

6、不再執(zhí)行A 框，離開循環(huán)結構。（2 ） 、另一類是直到型循環(huán)結構，如下右圖所示， 它的功能是先執(zhí)行， 然后判斷給定的條件P 是否成立， 如果 P 仍然不成立，則繼續(xù)執(zhí)行 A 框，直到某一次給定的條件P成立為止，此時不再執(zhí)行A 框，離開循環(huán)結構。當 型循環(huán)結構直到型循環(huán)結構注意：1 循環(huán)結構 要 在 某 個 條 件下終止循環(huán)，這就需要條件結構來判斷。因此，循環(huán)結構中一定包含條件結構，但不允許 “死循環(huán)”。2 在循環(huán)結構中都有一個計數(shù)變量和累加變量。計數(shù)變量用于記錄循環(huán)次數(shù)，累加變量用于輸出結A B A 成立不成立P 不成立P 成立A 名可道教育科技有限公司果。計數(shù)變量和累加變量一般是同步執(zhí)行的，

7、累加一次，計數(shù)一次。1.2.1輸入、輸出語句和賦值語句1 、輸入語句（1）輸入語句的一般格式（2） 輸入語句的作用是實現(xiàn)算法的輸入信息功能； （3） “提示內(nèi)容”提示用戶輸入什么樣的信息，變量是指程序在運行時其值是可以變化的量；（4）輸入語句要求輸入的值只能是具體的常數(shù)，不能是函數(shù)、變量或表達式；（5）提示內(nèi)容與變量之間用分號“；”隔開，若輸入多個變量，變量與變量之間用逗號“，”隔開。2、輸出語句（1）輸出語句的一般格式（ 2）輸出語句的作用是實現(xiàn)算法的輸出結果功能；（3） “提示內(nèi)容”提示用戶輸入什么樣的信息，表達式是指程序要輸出的數(shù)據(jù)；（4）輸出語句可以輸出常量、變量或表達式的值以及字符。

8、3、賦值語句（1）賦值語句的一般格式（2）賦值語句的作用是將表達式所代表的值賦給變量；（3）賦值語句中的“”稱作賦值號，與數(shù)學中的等號的意義是不同的。賦值號的左右兩邊不能對換，它將賦值號右邊的表達式的值賦給賦值號左邊的變量；（4）賦值語句左邊只能是變量名字，而不是表達式，右邊表達式可以是一個數(shù)據(jù)、常量或算式；（5）對于一個變量可以多次賦值。注意： 賦值號左邊只能是變量名字，而不能是表達式。如：2=X是錯誤的。賦值號左右不能對換。如“A=B ” “B=A ”的含義運行結果是不同的。不能利用賦值語句進行代數(shù)式的演算。（如化簡、因式分解、解方程等）賦值號“= ”與數(shù)學中的等號意義不同。122 條件語

9、句1、條件語句的一般格式有兩種：（1）IFTHENELSE語句； （2）IFTHEN語句。 2、IFTHEN ELSE 語句IFTHEN ELSE語句的一般格式為圖1，對應的程序框圖為圖2。圖形計算器格式INPUT “提示內(nèi)容”；變量INPUT “提示內(nèi)容”，變量PRINT “提示內(nèi)容”；表達式圖形計算器格式Disp “提示內(nèi)容”，變量變量表達式圖形計算器格式表達式變量IF 條件THEN語句 1 ELSE 語句 2 END IF 否是滿足條件？語句 1 語句 2 名可道教育科技有限公司圖 1 圖 2 分析：在 IFTHEN ELSE 語句中，“條件”表示判斷的條件， “語句 1”表示滿足條件時

10、執(zhí)行的操作內(nèi)容；“語句 2”表示不滿足條件時執(zhí)行的操作內(nèi)容；END IF 表示條件語句的結束。計算機在執(zhí)行時，首先對IF后的條件進行判斷，如果條件符合，則執(zhí)行 THEN后面的語句1；若條件不符合，則執(zhí)行ELSE 后面的語句2。3、IFTHEN語句IFTHEN語句的一般格式為圖3，對應的程序框圖為圖4。注意： “條件”表示判斷的條件； “語句”表示滿足條件時執(zhí)行的操作內(nèi)容，條件不滿足時，結束程序； END IF 表示條件語句的結束。計算機在執(zhí)行時首先對IF 后的條件進行判斷，如果條件符合就執(zhí)行THEN 后邊的語句，若條件不符合則直接結束該條件語句，轉而執(zhí)行其它語句。123 循環(huán)語句循環(huán)結構是由循

11、環(huán)語句來實現(xiàn)的。對應于程序框圖中的兩種循環(huán)結構，一般程序設計語言中也有當型（WHILE 型）和直到型（ UNTIL型）兩種語句結構。即WHILE語句和 UNTIL語句。1、WHILE語句（1）WHILE語句的一般格式是對應的程序框圖是（2）當計算機遇到WHILE語句時，先判斷條件的真假，如果條件符合，就執(zhí)行WHILE與 WEND 之間的循環(huán)體；然后再檢查上述條件，如果條件仍符合，再次執(zhí)行循環(huán)體，這個過程反復進行，直到某一次條件不符合為止。這時，計算機將不執(zhí)行循環(huán)體，直接跳到WEND 語句后，接著執(zhí)行WEND 之后的語句。因此，當型循環(huán)有時也稱為“前測試型”循環(huán)。2、UNTIL語句（1）UNTI

12、L 語句的一般格式是對應的程序框圖是（2）直到型循環(huán)又稱為“后測試型”循環(huán)，從UNTIL型循環(huán)結構分析，計算機執(zhí)行該語句時，先執(zhí)行一次循環(huán)體，然后進行IF 條件 THEN語句END IF （圖 3）滿足條件？語句是否（圖 4）WHILE 條件循環(huán)體WEND 滿足條件？循環(huán)體否是滿足條件？循環(huán)體是否DO 循環(huán)體LOOP UNTIL 條件名可道教育科技有限公司條件的判斷， 如果條件不滿足， 繼續(xù)返回執(zhí)行循環(huán)體，然后再進行條件的判斷，這個過程反復進行，直到某一次條件滿足時，不再執(zhí)行循環(huán)體，跳到LOOP UNTIL語句后執(zhí)行其他語句，是先執(zhí)行循環(huán)體后進行條件判斷的循環(huán)語句。分析： 當型循環(huán)與直到型循環(huán)

13、的區(qū)別：（先由學生討論再歸納）（1）當型循環(huán)先判斷后執(zhí)行，直到型循環(huán)先執(zhí)行后判斷；在 WHILE語句中，是當條件滿足時執(zhí)行循環(huán)體，在UNTIL語句中，是當條件不滿足時執(zhí)行循環(huán)1.3.1 輾轉相除法與更相減損術1、輾轉相除法。也叫歐幾里德算法，用輾轉相除法求最大公約數(shù)的步驟如下：（1） ：用較大的數(shù)m除以較小的數(shù)n 得到一個商0S和一個余數(shù)0R； （2） ：若0R0，則 n 為 m ，n 的最大公約數(shù)； 若0R0，則用除數(shù) n 除以余數(shù)0R得到一個商1S和一個余數(shù)1R； （3） ： 若1R0，則1R為 m ，n 的最大公約數(shù)； 若1R0，則用除數(shù)0R除以余數(shù)1R得到一個商2S和一個余數(shù)2R； ,

14、依次計算直至nR0，此時所得到的1nR即為所求的最大公約數(shù)。2、更相減損術我國早期也有求最大公約數(shù)問題的算法，就是更相減損術。在九章算術中有更相減損術求最大公約數(shù)的步驟：可半者半之，不可半者，副置分母 ?子之數(shù)，以少減多，更相減損，求其等也，以等數(shù)約之。翻譯為：（1） ：任意給出兩個正數(shù)；判斷它們是否都是偶數(shù)。若是，用2 約簡；若不是，執(zhí)行第二步。（2） ：以較大的數(shù)減去較小的數(shù)，接著把較小的數(shù)與所得的差比較，并以大數(shù)減小數(shù)。繼續(xù)這個操作，直到所得的數(shù)相等為止，則這個數(shù)（等數(shù)）就是所求的最大公約數(shù)。例 2 用更相減損術求98 與 63的最大公約數(shù) . 分析： （略）3、輾轉相除法與更相減損術的

15、區(qū)別：（1）都是求最大公約數(shù)的方法，計算上輾轉相除法以除法為主，更相減損術以減法為主，計算次數(shù)上輾轉相除法計算次數(shù)相對較少，特別當兩個數(shù)字大小區(qū)別較大時計算次數(shù)的區(qū)別較明顯。（2）從結果體現(xiàn)形式來看，輾轉相除法體現(xiàn)結果是以相除余數(shù)為0 則得到，而更相減損術則以減數(shù)與差相等而得到1.3.2 秦九韶算法與排序1、秦九韶算法概念：f(x)=anxn+an-1xn-1+.+ a1x+a0求值問題f(x)=anxn+an-1xn-1+.+ a1x+a0=( anxn-1+an-1xn-2+.+ a1)x+a0 =( anxn-2+an-1xn-3+.+ a2)x+a1)x+a0 =.=(.( anx+a

16、n-1)x+an-2)x+.+a1)x+a0求多項式的值時，首先計算最內(nèi)層括號內(nèi)依次多項式的值，即v1=anx+an-1 然后由內(nèi)向外逐層計算一次多項式的值，即v2=v1x+an-2 v3=v2x+an-3 .vn=vn-1x+a0 名可道教育科技有限公司這樣，把 n 次多項式的求值問題轉化成求n 個一次多項式的值的問題。2、兩種排序方法：直接插入排序和冒泡排序1、直接插入排序基本思想：插入排序的思想就是讀一個，排一個。將第個數(shù)放入數(shù)組的第個元素中，以后讀入的數(shù)與已存入數(shù)組的數(shù)進行比較，確定它在從大到小的排列中應處的位置將該位置以及以后的元素向后推移一個位置，將讀入的新數(shù)填入空出的位置中 （由于算法簡單，可以舉例說明）2、冒泡排序基本思想：依次比較相鄰的兩個數(shù), 把大的放前面 , 小的放后面 . 即首先比較第1 個數(shù)和第2 個數(shù) , 大數(shù)放前 ,小數(shù)放后 . 然后比較第 2個數(shù)和第 3 個數(shù) .直到比較最后兩個數(shù). 第一趟結束 , 最小的一定沉到最后. 重復上過程 , 仍從第 1個數(shù)開始 , 到最后第 2 個數(shù) . 由于在排序過程中總是大數(shù)往前, 小數(shù)往后 ,相當氣泡上升 , 所以叫冒泡排序.1.3.3 進位制1、概念：進位制 是一種記數(shù)方式， 用有限的數(shù)字在不同的位置表示不同的數(shù)值。可使用數(shù)字符號的個數(shù)稱為基數(shù)，基數(shù)為 n