平行四邊形性質(zhì)和判定習(xí)題(答案詳細(xì))

1、平行四邊形性質(zhì)和判定習(xí)題1 .如圖，已知四邊形 ABCD為平行四邊形，(1)求證：BE=DF;(2)若 M、N分別為邊 AD、BC上的點(diǎn)，且 必說明理由).2 .如圖所示，？AECF的對角線相交十點(diǎn) O,AE XBD 于 E, CFXBD 于 F.i""""DB經(jīng)過點(diǎn)O,分別與AE,下門CF交十B, D.求證：四邊形ABCD是平行四邊形.3 .如圖，在四邊形 ABCD中，AB=CD , BF=DE , 分別為E, F.(1)求證：ABECDF;(2)若AC與BD交十點(diǎn) O,求證：AO=CO .4 .已知：如圖，在 4ABC 中，/BAC=90 °

2、;, DE、 AD ,求證：EF=AD .5 .如圖，已知 D是4ABC的邊AB上一點(diǎn)，CE DE交AC于點(diǎn)O,且OA=OC ,猜想線段CD與線 并加以證明.6 .如圖，已知，？ABCD中，AE=CF , M、N分另1 求證：四邊形MFNE是平行四邊形.，上3LxBEAE BDCDF是4ABC的中位線，連君接EF、2 -F 11st_C. £"/ AB ,段AE的大小關(guān)系和位置關(guān)系，BC是DE、BF的中點(diǎn)./A/A2/DfC7 .如圖，平行四邊形 ABCD , E、F兩點(diǎn)在對角線 BD上，且BE=DF ,連接AE , EC, CF, FA. 求證：四邊形AECF是平行四邊形

3、.8 .在？ABCD中，分別以 AD、BC為邊向內(nèi)作等邊 AADE和等邊ABCF,連接BE、DF.求證：四邊形 BEDF是 平行四邊形.9 .如圖所示，DB /AC,且DB=AC, E是AC的中點(diǎn)，求證：BC=DE .10 .已知：如圖，在梯形 ABCD中，AD / BC, AD=24cm , BC=30cm ,點(diǎn)P自點(diǎn)A向D以1cm/s的速度運(yùn)動(dòng)，到D點(diǎn)即停止.點(diǎn)Q自點(diǎn)C向B以2cm/s的速度運(yùn)動(dòng)，至U B點(diǎn)即停止，直線 PQ截梯形為兩個(gè)四邊形.問當(dāng)P, Q同時(shí)出發(fā)，幾秒后其中一個(gè)四邊形為平行四邊形?11 .如圖：已知 D、E、F分別是4ABC各邊的中點(diǎn), 求證：AE與DF互相平分.12.已

4、知：如圖，在 邊形.求證：四邊形?ABCD中，對角線 AC交BD于點(diǎn)O,四邊形AODE是平行四 ABOE、四邊形DCOE都是平行四邊形.13 .如圖，已知四邊形ABCD中，點(diǎn)E, F,G,H分別是 AB、CD、AC、BD的中點(diǎn)，并且點(diǎn)E、F、G、H有在同一條直線上.求證：EF和GH互相平分.14 .如圖：？ABCD 中，MN / AC,試說明 MQ=NP .15.已知：如圖所示，平行四邊形 于點(diǎn)E, F,點(diǎn)G, H分別為OA,ABCD的對角線AC, BDOC的中點(diǎn).求證：四邊形相交于點(diǎn)O, EF經(jīng)過點(diǎn)。并且分別和 AB, CD相交 EHFG是平行四邊形.16.如圖，已知在 ？ABCD中，E、F

5、是對角線BD上的兩點(diǎn),BE=DF ,點(diǎn)G、H分別在BA和DC的延長線上，且AG=CH ,連接 GE、EH、HF、FG.(1)求證：四邊形 GEHF是平行四邊形；(2)若點(diǎn)G、H分別在線段BA和DC上，其余條件不變，則(1)中的結(jié)論是否成立？(不用說明理由)17 .如圖，在4ABC中，D是AC的中點(diǎn)，E是線段BC延長線一點(diǎn)，過點(diǎn) A作BE的平行線與線段 ED的延長線 交于點(diǎn)F,連接AE、CF.(1)求證：AF=CE;(2)如果AC=EF ,且Z ACB=135。，試判斷四邊形 AFCE是什么樣的四邊形，并證明你的結(jié)論.18 .如圖平行四邊形 ABCD中，/ABC=60°,點(diǎn)E、F分別在

6、CD、BC的延長線上，AE/ BD , EFXBF ,垂足為點(diǎn)F, DF=2(1)求證：D是EC中點(diǎn)；(2)求FC的長.19 .如圖，已知 4ABC是等邊三角形，點(diǎn) D、F分別在線段 BC、AB上，/ EFB=60 °, DC=EF .(1)求證：四邊形 EFCD是平行四邊形；(2)若 BF=EF,求證：AE=AD .20 .如圖，四邊形 ABCD , E、F、G、H分別是 AB、BC、CD、DA的中點(diǎn).(1)請判斷四邊形 EFGH的形狀？并說明為什么；(2)若使四邊形 EFGH為正方形，那么四邊形 ABCD的對角線應(yīng)具有怎樣的性質(zhì)?21 .如圖，AACD、AABE> BCF均

7、為直線 BC同側(cè)的等邊三角形.(1)當(dāng)ABAC時(shí)，證明：四邊形 ADFE為平行四邊形；(2)當(dāng)AB=AC時(shí)，順次連接A、D、F、E四點(diǎn)所構(gòu)成的圖形有哪幾類？直接寫出構(gòu)成圖形的類型和相應(yīng)的條件.522 .如圖，以4ABC的三邊為邊，在 BC的同側(cè)分別作三個(gè)等邊三角形即4ABD、 BCE、AACF,那么，四邊形 AFED是否為平行四邊形？如果是，請證明之，如 果不是，請說明理由.23 .在4ABC中，AB=AC，點(diǎn)P為4ABC所在平面內(nèi)一點(diǎn)，過點(diǎn) P分別作PE/AC交AB于點(diǎn)E, PF/AB交BC 于點(diǎn)D,交AC于點(diǎn)F.若點(diǎn)P在BC邊上（如圖1）,此時(shí)PD=0,可得結(jié)論：PD+PE+PF=AB .

8、請直接應(yīng)用上述信息解決下列問題：當(dāng)點(diǎn)P分別在 ABC內(nèi)（如圖2）, AABC外（如圖3）時(shí)，上述結(jié)論是否成立？若成立，請給予證明；若不成立，24 .如圖1, P為RtAABC所在平面內(nèi)任意一點(diǎn)（不在直線AC上），/ACB=90 °, M為AB邊中點(diǎn).操作：以 PA、PC為鄰邊作平行四邊形 PADC,連續(xù)PM并延長到點(diǎn)E,使ME=PM，連接DE .探究：（1）請猜想與線段DE有關(guān)的三個(gè)結(jié)論；（2）請你利用圖2,圖3選擇不同位置的點(diǎn) P按上述方法操作；（3）經(jīng)歷（2）之后，如果你認(rèn)為你寫的結(jié)論是正確的，請加以證明；如果你認(rèn)為你寫的結(jié)論是錯(cuò)誤的，請用圖2或圖3加以說明；（注意：錯(cuò)誤的結(jié)論，

9、只要你用反例給予說明也得分）（4）若將RtABC”改為任意4人30 其他條件不變，利用圖 4操作，并寫出與線段 DE有關(guān)的結(jié)論（直接寫答 案）.25 .在一次數(shù)學(xué)實(shí)踐探究活動(dòng)中，小強(qiáng)用兩條直線把平行四邊形ABCD分割成四個(gè)部分， 使含有一組對頂角的兩個(gè)圖形全等；(1)根據(jù)小強(qiáng)的分割方法，你認(rèn)為把平行四邊形分割成滿足以上全等關(guān)系的直線有 組;(2)請?jiān)趫D中的三個(gè)平行四邊形中畫出滿足小強(qiáng)分割方法的直線；(3)由上述實(shí)驗(yàn)操作過程，你發(fā)現(xiàn)所畫的兩條直線有什么規(guī)律？26.如圖，在直角梯形ABCD 中，AB/CD, / BCD=Rt / , AB=AD=10cm ,BC=8cm .點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，以每秒D

10、C方向向點(diǎn)C運(yùn)動(dòng).已知?jiǎng)狱c(diǎn)3cm的速度沿折線 ABCD方向運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)Q從點(diǎn)D出發(fā)，以每秒2cm的速度沿線段P、Q同時(shí)發(fā)，當(dāng)點(diǎn) Q運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)C時(shí)，P、Q運(yùn)動(dòng)停止，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為 t.(1)求CD的長；(2)當(dāng)四邊形PBQD為平行四邊形時(shí)，求四邊形 PBQD的周長；(3)在點(diǎn)P、點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)過程中，是否存在某一時(shí)刻，使得4BPQ的面20cm2?若存在，請求出所有滿足條件的t的值；若不存在，請說明理由.27.已知平行四邊形的三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為O (0, 0)、A (2, 0)、B (1, 1),則第四個(gè)頂點(diǎn) C的坐標(biāo)是多少?BC邊上的高DE、DF,且28 .已知平行四邊形 ABCD的周長為36cm,過D作

11、AB , |DE=4V3cm,朋=5遮5求平行四邊形abcd的面積.29 .如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知 。為原點(diǎn)，四邊形 ABCD為平行四邊形，A、B、C的坐標(biāo)分別是 A (-3, ,河,B (- 2, 3&)，C (2, 3、匹)，點(diǎn)D在第一象限.(1)求D點(diǎn)的坐標(biāo)；(2)將平行四邊形 ABCD先向右平移 6個(gè)單位長度，再向下平移 的四邊形AiBiCiDl四個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)是多少？(3)求平行四邊形 ABCD與四邊形AiBiCiDl重疊部分的面積？6個(gè)單位長度所得30 .如圖所示.？ABCD中，AF平分/BAD交BC于F, DE XAF 交 CB 于 E.求證：BE=CF .5的形狀

12、(不答案與評分標(biāo)準(zhǔn)AE ±BD 于 E, CFXBD 于 F.1.如圖，已知四邊形 ABCD為平行四邊形, (1)求證：BE=DF;(2)若 M、N分別為邊AD、BC上的點(diǎn)，且 DM=BN，試判斷四邊形 MENF 必說明理由).考點(diǎn)：平行四邊形的判定與性質(zhì)；全等三角形的判定與性質(zhì)。分析：(1)根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)和已知條件證明ABECDF即可得到BE=DF;MENF的形狀.(2)根據(jù)平行四邊形的判定方法：有一組對邊平行且相等的四邊形為平行四邊形判定四邊形 解答：(1)二.四邊形ABCD是平行四邊形， . AB=CD , AB / CD , . / ABD= / CDB , AEXBD

13、 于 E, CFXBD 于 F/ AEB= /CFD=90 °, AABEACDF (A. A, S.), BE=DF ;(2)四邊形 MENF是平行四邊形. 證明：有(1)可知：BE=DF , 四邊形ABCD為平行四邊行，AD / BC,/ MDB=MBD , DM=BN ,ADNFABNE ,NE=MF , /MFD=/NEB,/ MFE= / NEF,MF / NE,四邊形MENF是平行四邊形.D點(diǎn)評：本題考查了平行四邊形的性質(zhì)以及平行四邊形的判定和全等三角形的判定以及全等三角形的性質(zhì).2 .如圖所示，？AECF的對角線相交于點(diǎn) O, DB經(jīng)過點(diǎn)O,分別與AE ,CF交于B,

14、D.求證：四邊形 ABCD是平行四邊形.考點(diǎn)：平行四邊形的判定與性質(zhì)；全等三角形的判定與性質(zhì)。專題：證明題。分析：平行四邊形的對角線互相平分，對角線互相平分的四邊形是平行四邊形.解答：證明：二.四邊形AECF是平行四邊形. OE=OF, OA=OC , AE / CF,. / DFO= / BEO , / FDO= / EBO ,.AFDOAEBO ,. OD=OB OA=OC四邊形ABCD是平行四邊形.點(diǎn)評：本題考查平行四邊形的性質(zhì)定理和判定定理，以及全等三角形的判定和性質(zhì).3 .如圖，在四邊形 ABCD中，AB=CD , BF=DE , AE ± BD , CFXBD,垂足分別為

15、 E, F.(1)求證：ABECDF;(2)若AC與BD交于點(diǎn) O,求證：AO=CO .考點(diǎn)：平行四邊形的判定與性質(zhì)；全等三角形的判定與性質(zhì)。專題：證明題。分析：(1)由 BF=DE ,可得 BE=CF,由 AEXBD , CF± BD ,可得 /AEB= /CFD=90°,又由 AB=CD ,在直角三角 形中利用HL即可證得：ABE0CDF;(2)由ABECDF,即可得/ABE=/CDF,根據(jù)內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行，即可得 AB /CD,又由AB=CD , 根據(jù)有一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形，即即可證得四邊形 ABCD是平行四邊形，則可得 AO=CO . 解答：

16、證明：(1) .BF=DE,BF- EF=DE - EF, 即 BE=DE , AEXBD , CF± BD,/ AEB= Z CFD=90 °, AB=CD , RtAABERtACDF (HL);(2) AABEACDF,/ ABE= / CDF, AB / CD, AB=CD ,四邊形ABCD是平行四邊形， AO=CO .點(diǎn)評：此題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)與平行四邊形的判定與性質(zhì).此題難度不大，解題的關(guān)鍵是要注意數(shù)形 結(jié)合思想的應(yīng)用.4 .已知：如圖，在4ABC中，/BAC=90°, DE、DF是4ABC的中位線，連接EF、月 AD .求證：EF=AD

17、.考點(diǎn)：平行四邊形的判定與性質(zhì)；三角形中位線定理。DF專題：證明題。一分析：由DE、DF是4ABC的中位線，根據(jù)三角形中位線的性質(zhì)，即可求得四邊形AEDF是平行四邊形，又 / BAC=90。，則可證得平行四邊形 AEDF是矩形，根據(jù)矩形的對E,角線相等即可得EF=AD .解答：證明：DE, DF是4ABC的中位線，DE / AB , DF / AC, 四邊形AEDF是平行四邊形，又 / BAC=90 °,平行四邊形AEDF是矩形， EF=AD .點(diǎn)評：此題考查了三角形中位線的性質(zhì)，平行四邊形的判定與矩形的判定與性質(zhì).此題綜合性較強(qiáng)，但難度不大， 解題的關(guān)鍵是注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用.A

18、5 .如圖，已知 D是 ABC的邊AB上一點(diǎn)，CE / AB , DE交AC于點(diǎn)O,/飛、且OA=OC ,猜想線段CD與線段AE的大小關(guān)系和位置關(guān)系，并加以證明.考點(diǎn)：平行四邊形的判定與性質(zhì)。專題：探究型。/分析：根據(jù)CE / AB , DE交AC于點(diǎn)O,且OA=OC ,求證 ADO且ECO,然后求證RC 四邊形ADCE是平行四邊形，即可得出結(jié)論.解答：解：猜想線段CD與線段AE的大小關(guān)系和位置關(guān)系是：平行且相等.證明：.CE/AB, / DAO= / ECO,OA=OC , AADOAECO, AD=CE , 四邊形ADCE是平行四邊形， CD止AE .點(diǎn)評：一！題主要考查了平行四邊形的判定

19、與性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)的理解和掌握，解答此題的關(guān)鍵是求證MDO 0 ECO,然后可得證四邊形 ADCE是平行四邊形，即可得出結(jié)論.6 .如圖，已知，？ABCD中，AE=CF , M、N分別是 DE、BF的中點(diǎn).彳_冼求證：四邊形MFNE是平行四邊形./考點(diǎn)：平行四邊形的判定與性質(zhì)；全等三角形的判定與性質(zhì)。X/專題：證明題。,y /分析：平行四邊形的判定方法有多種，選擇哪一種解答應(yīng)先分析題目中給的哪一方面的F條件多些，本題所給的條件為M、N分別是DE、BF的中點(diǎn)，根據(jù)條件在圖形中的位置，可選擇利用'組對邊平行且相等的四邊形為平行四邊形”來解決.解答：證明：由平行四邊形可知，AD=CB , /DA

20、E=/FCB,X AE=CF ,ADAEABCF ,DE=BF , / AED= / CFB又,M、N分別是 DE、BF的中點(diǎn)，ME=NF又由 AB / DC,得 / AED= / EDCZ EDC= ZBFC, ME / NF四邊形MFNE為平行四邊形.7.如圖，平行四邊形 ABCD , E、F兩點(diǎn)在對角線 BD上，且 BE=DF ,連接 AE , EC, CF, FA.求證：四邊形AECF是平行四邊形.考點(diǎn)：平行四邊形的判定與性質(zhì)。專題：證明題。分析：根據(jù)兩條對角線相互平分的四邊形是平行四邊形即可證明四邊形ADBCAECF是平行四邊形.解答：證明：連接AC交BD于點(diǎn)O,四邊形ABCD為平行

21、四邊形，OA=OC , OB=OD . BE=DF , .1. OE=OF .四邊形AECF為平行四邊形.點(diǎn)評：平行四邊形的判定方法共有五種，應(yīng)用時(shí)要認(rèn)真領(lǐng)A。3C會(huì)它們之間的聯(lián)系與區(qū)別，同時(shí)要根據(jù)條件合理、靈活地選擇方法.8.在？ABCD中，分別以 AD、BC為邊向內(nèi)作等邊 ADE 和等邊 4BCF ,:Z連接BE、DF.求證：四邊形 BEDF是平行四邊形.考點(diǎn)：平行四邊形的判定與性質(zhì)；全等三角形的判定與性質(zhì)；等邊三角形的 專題：證明題。分析：由題意先證 / DAE= / BCF=60 °,再由SAS證 DCF且 BAE ,解答：證明：二.四邊形ABCD是平行四邊形，CD=AB ,

22、 AD=CB , / DAB= / BCD .又 AADE和4CBF都是等邊三角形，DE=BF , AE=CF ./ DAE= Z BCF=60 °. / DCF= / BCD - / BCF ,/ BAE= / DAB - / DAE ,/ DCF= / BAE .ADCFABAE (SAS).性質(zhì)。zxs/繼而題目得證.一1點(diǎn)評：平行四邊形的判定方法共有五種，應(yīng)用時(shí)要認(rèn)真領(lǐng)會(huì)它們之間的聯(lián)系與區(qū)別，同時(shí)要根據(jù)條件合理、靈活地 選擇方法.DF=BE .四邊形BEDF是平行四邊形.點(diǎn)評：本題考查了平行四邊形的判定與性質(zhì)，熟練掌握性質(zhì)定理和判定定理是解題的關(guān)鍵.平行四邊形的五種判定 方法

23、與平行四邊形的性質(zhì)相呼應(yīng)，每種方法都對應(yīng)著一種性質(zhì)，在應(yīng)用時(shí)應(yīng)注意它們的區(qū)別與聯(lián)系.9.如圖所示,DB /AC,且DB=AC, E是AC的中點(diǎn)，求證:考點(diǎn)：平行四邊形的判定與性質(zhì)。專題：證明題。分析：可根據(jù)一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形證明四邊形 形，即可證明 BC=DE .解答：證明：.E是AC的中點(diǎn)，X/DB=AC, 2DB=EC .又 DB / EC,四邊形DBCE是平行四邊形.BC=DE .點(diǎn)評：本題考查了平行四邊形的判定與性質(zhì)，熟練掌握性質(zhì)定理和判定定理是解題的關(guān)鍵.平行四邊形的五種判定 方法與平行四邊形的性質(zhì)相呼應(yīng)，每種方法都對應(yīng)著一種性質(zhì)，在應(yīng)用時(shí)應(yīng)注意它們的區(qū)別與聯(lián)系.

24、10.已知：如圖，在梯形 ABCD中，AD 以1cm/s的速度運(yùn)動(dòng)，至ij D點(diǎn)即停止.點(diǎn) 停止，直線PQ截梯形為兩個(gè)四邊形.問當(dāng) 行四邊形？考點(diǎn)：平行四邊形的判定與性質(zhì)；梯形。 專題：動(dòng)點(diǎn)型。/ BC, AD=24cm , BC=30cm，點(diǎn) P 自點(diǎn) A 向 D 月Q自點(diǎn)C向B以2cm/s的速度運(yùn)動(dòng)，至U B點(diǎn)即P, Q同時(shí)出發(fā),幾秒后其中一個(gè)四邊形為平* Q分析：若四邊形PDCQ或四邊形APQB是平行四邊形，那么 出時(shí)間.解答：解：設(shè)P, Q同時(shí)出發(fā)t秒后四邊形PDCQ或四邊形 CQ=2t, BQ=30 - 2t.QD=CQ或AP=BQ,根據(jù)這個(gè)結(jié)論列出方程就可以求APQB是平行四邊形，

25、根據(jù)已知得到AP=t, PD=24 - t,(1)若四邊形PDCQ是平行四邊形，則 PD=CQ(2)若四邊形 APQB是平行四邊形，則 AP=BQ.24-t=2t，t=8,8秒后四邊形PDCQ是平行四邊形；.t=30 - 2t，t=10，10秒后四邊形 APQB是平行四邊形點(diǎn)評：此題主要考查了平行四邊形的性質(zhì)與判定，不過用運(yùn)動(dòng)的觀點(diǎn)結(jié)合梯形的知識(shí)出題學(xué)生不是很適應(yīng).11.如圖：已知 D、E、F分別是4ABC各邊的中點(diǎn), 求證：AE與DF互相平分.考點(diǎn)：平行四邊形的判定與性質(zhì)；三角形中位線定理。專題：證明題。分析：要證AE與DF互相平分，根據(jù)平行四邊形的判定，就必須先四邊形 平行四邊形.解答：證

26、明：-. D> E、F分別是4ABC各邊的中點(diǎn)，根據(jù)中位線定理知:ADEF 為DE / ACEF / ABDE=AF ,EF=AD ,四邊形ADEF為平行四邊形.故AE與DF互相平分.點(diǎn)評：本題考查了平行四邊形的判定與性質(zhì)，熟練掌握性質(zhì)定理和判定定理是解題的關(guān)鍵.三角形的中位線的性質(zhì) 定理，為證明線段相等和平行提供了依據(jù).12 .已知：如圖，在 ？ABCD中，對角線 AC交BD于點(diǎn)O,四邊形 AODE是平行 四邊形.求證：四邊形 ABOE、四邊形DCOE都是平行四邊形.考點(diǎn)：平行四邊形的判定與性質(zhì)。專題：證明題。分析：因?yàn)椋緼BCD , OB=OD ,又AODE是平行四邊形，AE=OD

27、,所以AE=OB , 又AE / OD,根據(jù)平行四邊形的判定，可推出四邊形ABOE是平行四邊形.同理，也可推出四邊形 DCOE是平行四邊形.解答：證明： ?ABCD中，對角線 AC交BD于點(diǎn)O,OB=OD , 又四邊形AODE是平行四邊形，AE / OD 且 AE=OD ,AE / OB 且 AE=OB , 四邊形ABOE是平行四邊形， 同理可證，四邊形 DCOE也是平行四邊形. 點(diǎn)評：此題要求掌握平行四邊形的判定定理：有一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形.13 .如圖，已知四邊形 ABCD中，點(diǎn)E, F, G, H分別是AB、CD、AC、 并且點(diǎn)E、F、G、H有在同一條直線上.求證：EF

28、和GH互相平分.考點(diǎn)：平行四邊形的判定與性質(zhì)。 專題：證明題。分析：要證明EF和GH互相平分，只需構(gòu)造一個(gè)平行四邊形，運(yùn)用平行四平行四邊形的對角線互相平分即可證明.解答：證明：連接EG、GF、FH、HE,點(diǎn)E、F、G、H分別是 AB、CD、AC、BD 的中點(diǎn).在 ABC 中，EG=BC;在 ADBC 中，HF=BC, 22EG=HF . 同理EH=GF .四邊形EGFH為平行四邊形.EF與GH互相平分.點(diǎn)評：本題考查的是綜合運(yùn)用平行四邊形的性質(zhì)和判定定理.熟練掌握性質(zhì)定理和判定定理是解題的關(guān)鍵.平行四 邊形的五種判定方法與平行四邊形的性質(zhì)相呼應(yīng)，每種方法都對應(yīng)著一種性質(zhì)， 在應(yīng)用時(shí)應(yīng)注意它們的

29、區(qū)別與聯(lián)系.14 .如圖：？ABCD 中，MN / AC,試說明 MQ=NP .考點(diǎn)：平行四邊形的判定與性質(zhì)。專題：證明題。分析：先證AMQC為平行四邊形，得 AC=MQ ,再證APNC為平行四邊形，得 AC=NP ,進(jìn)而求解. 解答：證明：二.四邊形ABCD是平行四邊形， .AM / QC, AP / NC.又MN /AC,四邊形AMQC為平行四邊形，四邊形 APNC為平行四邊形.AC=MQ AC=NP .MQ=NP .點(diǎn)評：本題考查的知識(shí)點(diǎn)為：兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形.15.已知：如圖所示，平行四邊形ABCD的對角線AC, BD相交于點(diǎn)O, EF經(jīng)過點(diǎn)。并且分別和 AB , C

30、D相交于點(diǎn)E, F,點(diǎn)G, H分別為OA, OC的中點(diǎn).求證：四邊形 EHFG是平行四邊形.考點(diǎn)：平行四邊形的判定與性質(zhì)；全等三角形的判定與性質(zhì)。專題：證明題。分析：要證四邊形EHFG是平行四邊形，需證 OG=OH , OE=OF ,可分別由四邊形 ABCD是平行四邊形和 OEBAOFD 得出.解答：證明：如答圖所示，點(diǎn)O為平行四邊形 ABCD對角線AC, BD的交點(diǎn)， OA=OC , OB=OD . G, H分別為OA, OC的中點(diǎn)， .OG=-ioA, OH=J-OC, 22OG=OH . 又 AB / CD, .1. / 1 = / 2.在AOEB和OED中，/ 1 = /2, OB=O

31、D , /3=/4, AOEBAOFD , .OE=OF.四邊形EHFG為平行四邊形.點(diǎn)評：此題主要考查平行四邊形的判定：對角線互相平分的四邊形是平行四邊形.16.如圖，已知在 ？ABCD中，E、F是對角線 BD上的兩點(diǎn)，BE=DF ,點(diǎn)G、H分別在BA和DC的延長線上，且 AG=CH ,連接 GE、EH、HF、FG.（1）求證：四邊形 GEHF是平行四邊形；（2）若點(diǎn)G、H分別在線段BA和DC上，其余條件不變，則（1）中的結(jié)論是否成立？（不用說明理由）考點(diǎn)：平行四邊形的判定與性質(zhì)；全等三角形的判定與性質(zhì)。專題：證明題；探究型。分析：（1）先由平行四邊形的性質(zhì)， 得AB=CD , AB / C

32、D,根據(jù)兩直線平行內(nèi)錯(cuò)角相等得 / GBE=Z HDF ,再由SAS可證GBEHDF,利用全等的性質(zhì)，證明 / GEF= / HFE ,從而得 GE / HF ,又GE=HF ,運(yùn)用一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形得證.（2）仍成立.可仿照（1）的證明方法進(jìn)行證明. 解答：（1）證明：二四邊形ABCD是平行四邊形, .AB=CD, AB /CD,/ GBE= / HDF .又 AG=CH , .1. BG=DH .又,.BE=DF, AGBEAHDF .GE=HF , /GEB=/HFD, . / GEF= / HFE , .GE/ HF, 四邊形GEHF是平行四邊形.（2）解：仍成立.

33、（證法同上）點(diǎn)評：本題考查的知識(shí)點(diǎn)為：一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形.17.如圖，在4ABC中，D是AC的中點(diǎn)，E是線段BC延長線一點(diǎn)，過點(diǎn) A作BE的平行線與線段 ED的延長線 交于點(diǎn)F,連接AE、CF.（1）求證：AF=CE;（2）如果AC=EF ,且Z ACB=135。，試判斷四邊形 AFCE是什么樣的四邊形，并證明你的結(jié)論.考點(diǎn)：平行四邊形的判定與性質(zhì)；正方形的判定。專題：證明題。分析：（1）由AF / EC ,根據(jù)平行線的性質(zhì)得到 / DFA= / DEC , / DAF= / DCE ,而DA=DC ,易證得 DAF且 DCE , 得到結(jié)論；(2)由AF / EC, AF=

34、CE ,根據(jù)平行四邊形的判定得到四邊形AFCE是平行四邊形，再根據(jù)對角線相等即 AC=EF ,可判斷平行四邊形 AFCE是矩形，貝U / FCE= / CFA=90 °,通過/ACB=135 °,可得到/FCA=135。- 90 =45°,則易判斷矩形 AFCE是正方形.解答：（1）證明：.AF/EC,/ DFA= / DEC , / DAF= / DCE , D是AC的中點(diǎn)，DA=DC ,ADAFADCE ,AF=CE ;(2)解：四邊形 AFCE是正方形.理由如下： AF / EC, AF=CE ,四邊形AFCE是平行四邊形，X /AC=EF , 平行四邊形A

35、FCE是矩形，/ FCE=Z CFA=90 °,而 / ACB=135 °,ZFCA=135°-90 =45O,/ FAC=45 °,FC=FA, .矩形AFCE是正方形.點(diǎn)評：本題考查了平行四邊形的判定與性質(zhì)：一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形.也考查了矩形、正方形 的判定方法.18.如圖平行四邊形 ABCD中，/ABC=60°,點(diǎn)E、F分別在CD、BC的延長線上，AE/ BD , EFXBF ,垂足為點(diǎn)F, DF=2(1)求證：D是EC中點(diǎn)；(2)求FC的長.考點(diǎn)：平行四邊形的判定與性質(zhì)。分析：(1)根據(jù)平行四邊形的對邊平行可以得到AB

36、 /CD,又AE / BD ,可以證明四邊形 ABDE是平行四邊形，所以AB=DE，故D是EC的中點(diǎn)；(2)連接EF,則4EFC是直角三角形，根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半可以得到4CDF是等腰三角形，再利用/ ABC=60 °推得/ DCF=60°,所以4CDF是等邊三角形，F(xiàn)C=DF , FC的長度即可求出.解答：(1)證明：在平行四邊形 ABCD中，AB / CD,且 AB=CD ,又 AE / BD ,四邊形ABDE是平行四邊形， . AB=DE ,CD=DE , 即D是EC的中點(diǎn)；(2)解：連接 EF, -. EFXBF, .EFC是直角三角形，又.是E

37、C的中點(diǎn)，DF=CD=DE=2 ,在平行四邊形ABCD中，AB/CD, / ABC=60 °,/ ECF= Z ABC=60 °, . ACDF是等邊三角形，F(xiàn)C=DF=2 .故答案為：2 .點(diǎn)評：本題主要考查了平行四邊形的性質(zhì)與判定，直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半以及等邊三角形的判定,熟練掌握性質(zhì)定理并靈活運(yùn)用是解題的關(guān)鍵，(2)中連接EF構(gòu)造出直角三角形比較重要.19.如圖，已知 4ABC是等邊三角形，點(diǎn) D、F分別在線段 BC、AB上，/ EFB=60 °, DC=EF .(1)求證：四邊形 EFCD是平行四邊形；(2)若 BF=EF,求證：AE=AD

38、 .考點(diǎn)：平行四邊形的判定；全等三角形的判定與性質(zhì)；等邊三角形的性質(zhì)。專題：證明題。分析：(1)由4ABC是等邊三角形得到 Z B=60 °,而/EFB=60°,由此可以證明 EF / DC,而DC=EF ,然后即可證 明四邊形EFCD是平行四邊形；(2)如圖，連接 BE,由BF=EF , / EFB=60 °可以推出4EFB是等邊三角形，然后得到EB=EF , /EBF=60°,而DC=EF ,由此得至ij EB=DC ,又 ABC是等邊三角形，所以得到 /ACB=60 °, AB=AC ,然后即可證明 AEBADC ,利用全等三角形的性質(zhì)就

39、 證明AE=AD .解答：證明：(1) . ABC是等邊三角形，/ ABC=60 °, / EFB=60 °,/ ABC= / EFB, .EF/DC (內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行)，DC=EF ,四邊形EFCD是平行四邊形；(2)連接BE BF=EF , / EFB=60 °, . AEFB是等邊三角形，EB=EF , / EBF=60 °DC=EF ,EB=DC , AABC是等邊三角形， / ACB=60 °, AB=AC , / EBF= / ACB , AAEBAADC ,AE=AD .點(diǎn)評：此題把等邊三角形和平行四邊形結(jié)合在一起，首先利

40、用等邊三角形的性質(zhì)證明平行四邊形，然后利用等邊三 角形的性質(zhì)證明全等三角形，最后利用全等三角形的性質(zhì)解決問題.20.如圖，四邊形 ABCD , E、F、G、H分別是 AB、BC、CD、DA的中點(diǎn).(1)請判斷四邊形 EFGH的形狀？并說明為什么；(2)若使四邊形 EFGH為正方形，那么四邊形 ABCD的對角線應(yīng)具有怎樣的性質(zhì)?考點(diǎn)：平行四邊形的判定；三角形中位線定理；正方形的性質(zhì)。專題：證明題。分析：(1)連接AC,利用中位線定理即可證明四邊形EFGH是平行四邊形；ABCD的對角(2)由于四邊形EFGH為正方形，那么它的鄰邊互相垂直且相等，根據(jù)中位線定理可以推出四邊形線應(yīng)該互相垂直且相等.解答

41、：解：(1)如圖，四邊形 EFGH是平行四邊形.連接 AC, E、F分別是 AB、BC的中點(diǎn)， .EF/AC, EF=-1aC2同理 HG / AC,HG3CEF / HG , EF=HGEFGH是平行四邊形；(2)四邊形ABCD的對角線垂直且相等.假若四邊形EFGH為正方形，它的每一組鄰邊互相垂直且相等，根據(jù)中位線定理得到四邊形ABCD的對角線應(yīng)該互相垂直且相等.點(diǎn)評：此題主要考查了三角形的中位線定理，及平行四邊形的判定，正方形的性質(zhì)等知識(shí).21 .如圖，AACD、AABE> BCF均為直線 BC同側(cè)的等邊三角形.(1)當(dāng)ABAC時(shí)，證明：四邊形 ADFE為平行四邊形；(2)當(dāng)AB=A

42、C時(shí)，順次連接A、D、F、E四點(diǎn)所構(gòu)成的圖形有哪幾類？直接寫出構(gòu)成圖形的類型和相應(yīng)的條件.考點(diǎn)：平行四邊形的判定；全等三角形的判定與性質(zhì)；等邊三角形的性質(zhì)。專題：證明題。分析：(1)要證明ADEF是平行四邊形，可通過證明EF=AD , DF=AE來實(shí)現(xiàn)，AD=AC , AE=AB ,那么只要證明 ABCADFC 以及FEBCAB 即可.AD=DC , CF=CB ,又因?yàn)?/ FCB= / ACD=60 °,那么都減去一個(gè) / ACE 后可得出ZBCA= /FCD,那么就構(gòu)成了 SAS, AABCADFC,就能求出AE=DF ,同理可通過證明 FEBCAB 得出EF=AD .(2)可

43、按/ BAC得度數(shù)的不同來分情況討論，如果 / BAC=60 °, / EAD+ / BAC+ / DAC=180 °,因此，A與F重 合A、D、F、E四點(diǎn)所構(gòu)成的圖形為一條線段.當(dāng)/BAC用0°時(shí)，由(1) AE=AB=AC=AD ,因此A、D、F、E四點(diǎn)所構(gòu)成的圖形是菱形.解答：(1)證明：.ABE、4BCF為等邊三角形，AB=BE=AE , BC=CF=FB , / ABE= / CBF=60 °./ CBA= / FBE .AABCAEBF.EF=AC乍CZ 又ADC為等邊三角形，CD=AD=AC ./EF=AD .同理可得AE=DF .$C四邊

44、形AEFD是平行四邊形.(2)解：構(gòu)成的圖形有兩類，一類是菱形，一類是線段.當(dāng)圖形為菱形時(shí)， / BAC有0° (或A與F不重合、4ABC不為正三角形)當(dāng)圖形為線段時(shí)， / BAC=60。(或A與F重合、4ABC為正三角形).點(diǎn)評：本題的關(guān)鍵是通過三角形的全等來得出線段的相等，要先確定所要證得線段所在的三角形，然后看證明三角 形全等的條件是否充足，缺少條件的要根據(jù)已知先求出了.22 .如圖，以4ABC的三邊為邊，在 BC的同側(cè)分別作三個(gè)等邊三角形即4ABD、ABCE> AACF ,那么，四邊形AFED是否為平行四邊形？如果是，請證明之，如果不是，請說明理由.考點(diǎn)：平行四邊形的判

45、定；全等三角形的判定與性質(zhì)；等邊三角形的性質(zhì)。專題：探究型。分析：由等邊三角形的性質(zhì)易得 BEDBCA, ACBAACEF,從而得到 DE=FC=AF , AD=BC=EF ,再由兩組 對邊相等的四邊形是平行四邊形得到四邊形AFED是平行四邊形.解答：解：四邊形AFED是平行四邊形.證明如下:在ABED與4BCA中，BE=BC , BD=BA (均為同一等邊三角形的邊)/ DBE= / ABC=60 - / EBA ABEDABCA (SAS) DE=AC又 AC=AF DE=AF在 CBA 與 CEF 中，CB=CE , CA=CF/ ACB= / FCE=60 + / ACEACBAACE

46、F （SAS）BA=EFX BA=DA , .1. DA=EF故四邊形AFED為平行四邊形（兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形）點(diǎn)評：本題考查了平行四邊形的判定，在應(yīng)用判定定理判定平行四邊形時(shí)，應(yīng)仔細(xì)觀察題目所給的條件，仔細(xì)選擇 適合于題目的判定方法進(jìn)行解答，避免混用判定方法.23 .在4ABC中，AB=AC，點(diǎn)P為4ABC所在平面內(nèi)一點(diǎn)，過點(diǎn) P分別作PE / AC交AB于點(diǎn)E, PF / AB交BC 于點(diǎn)D,交AC于點(diǎn)F,若點(diǎn)P在BC邊上（如圖1）,此時(shí)PD=0,可得結(jié)論：PD+PE+PF=AB .請直接應(yīng)用上述信息解決下列問題：當(dāng)點(diǎn)P分別在 ABC內(nèi)（如圖2）, AABC外（如圖3）時(shí)

47、，上述結(jié)論是否成立？若成立，請給予證明；若不成立，PD, PE, PF與AB之間又有怎樣的數(shù)量關(guān)系，請寫出你的猜想，不需要證明.匚三考點(diǎn)：平行四邊形的性質(zhì)。專題：探究型。分析：在圖2中，因?yàn)樗倪呅蜳EAF為平行四邊形，所以PE=AF ,又三角形FDC為等腰三角形，所以FD=PF+PD=FC , 即 PE+PD+PF=AC=AB ，在圖 3中，PE=AF 可證，F(xiàn)D=PF PD=CF ,即 PF- PD+PE=AC=AB .解答：解：圖2結(jié)論：PD+PE+PF=AB ,入證明：過點(diǎn)P作MN / BC分別交AB , AC于M , N兩點(diǎn)，人、由題意得PE+PF=AM .四邊形BDPM是平行四邊形，

48、MB=PD .QPD+PE+PF=MB+AM=AB ,/ %即 PD+PE+PF=AB ,圖 2圖 3 結(jié)論：PE+PF- PD=AB .點(diǎn)評：此題主要考查了平行四邊形的性質(zhì)，難易程度適中，讀懂信息，把握規(guī)律是解題的關(guān)鍵.24.如圖1, P為RtAABC所在平面內(nèi)任意一點(diǎn)（不在直線AC上），/ACB=90 °, M為AB邊中點(diǎn).操作：以 PA、PC為鄰邊作平行四邊形 PADC,連續(xù)PM并延長到點(diǎn)E,使ME=PM，連接DE .探究：（1）請猜想與線段DE有關(guān)的三個(gè)結(jié)論；（2）請你利用圖2,圖3選擇不同位置的點(diǎn) P按上述方法操作；（3）經(jīng)歷（2）之后，如果你認(rèn)為你寫的結(jié)論是正確的，請加以

49、證明；如果你認(rèn)為你寫的結(jié)論是錯(cuò)誤的，請用圖2或圖3加以說明；（注意：錯(cuò)誤的結(jié)論，只要你用反例給予說明也得分）（4）若將RtABC”改為任意4人30 其他條件不變，利用圖 4操作，并寫出與線段 DE有關(guān)的結(jié)論（直接寫答 案）.圖1、 圖2國3圖J考點(diǎn)：平行四邊形的性質(zhì)；全等三角形的判定與性質(zhì)。專題：探究型。分析：連接BE,根據(jù)邊角邊可證三角形 PAM和三角形EBM全等，可得EB和PA既平行又相等，而 PA和CD既 平行且相等，所以 DE和BC平行相等，又BCXAC,所以DE也和AC垂直.以下幾種情況雖然圖象有所變化， 但是證明方法一致.解答：解：（1） DE/BC, DE=BC , DEL AC

50、.(2)如圖4,如圖5.(3)方法一：如圖6,連接BE, , PM=ME , AM=MB , / PMA= APMAAEMB . PA=BE , / MPA= / MEB , PA/ BE. 平行四邊形PADC, .PA/DC, PA=DC.BE / DC , BE=DC , 四邊形DEBC是平行四邊形.DE / BC , DE=BC ./ ACB=90 °, BCXAC , DEXAC .方法二：如圖7,連接BE, PB, AE , PM=ME , AM=MB , 四邊形PAEB是平行四邊形. .PA/BE, PA=BE, 余下部分同方法一：方法三：如圖8,連接PD,交AC于N,

51、平行四邊形PADC, AN=NC , PN=ND . AM=BM , AN=NC , MN / BC, MN=BC.2X PN=ND , PM=ME ,MN / DE, MN=±DE.2DE / BC , DE=BC . / ACB=90 °, BCXAC . DEXAC .(4)如圖 9, DE / BC, DE=BC .點(diǎn)評：此題主要考查了平行四邊形的性質(zhì)和判定，以及全等的應(yīng)用, 難易程度適中.25 .在一次數(shù)學(xué)實(shí)踐探究活動(dòng)中，小強(qiáng)用兩條直線把平行四邊形ABCD分割成四個(gè)部分， 使含有一組對頂角的兩個(gè)圖形全等；(1)根據(jù)小強(qiáng)的分割方法，你認(rèn)為把平行四邊形分割成滿足以上全

52、等關(guān)系的直線有無數(shù) 組;(2)請?jiān)趫D中的三個(gè)平行四邊形中畫出滿足小強(qiáng)分割方法的直線；(3)由上述實(shí)驗(yàn)操作過程，你發(fā)現(xiàn)所畫的兩條直線有什么規(guī)律？考點(diǎn)：平行四邊形的性質(zhì)。專題：作圖題。分析：注意由于平行四邊形是中心對稱圖形，故只要過它的對稱中心畫直線即可.解答：解：(1)無數(shù)；(2)作圖的時(shí)候要首先找到對角線的交點(diǎn)，只要過對角線的交點(diǎn)，任畫一條直線即可.如圖有：AE=BE=DF=CF ,AM=CN .(3)這兩條直線過平行四邊形的對稱中心(或?qū)蔷€的交點(diǎn))點(diǎn)評：平行四邊形是中心對稱圖形，平行四邊形的兩條對角線交于一點(diǎn)，這個(gè)點(diǎn)是平行四邊形的中心，也是兩條對 角線的中點(diǎn)，經(jīng)過中心的任意一條直線可將平行

53、四邊形分成完全重合的兩個(gè)圖形.26 .如圖，在直角梯形 ABCD中，AB /CD, / BCD=Rt /, AB=AD=10cm , BC=8cm .點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，以每秒3cm的速度沿折線 ABCD方向運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)Q從點(diǎn)D出發(fā)，以每秒2cm的速度沿線段 DC方向向點(diǎn)C運(yùn)動(dòng).已知?jiǎng)狱c(diǎn) P、Q同時(shí)發(fā)，當(dāng)點(diǎn) Q運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)C時(shí)，P、Q運(yùn)動(dòng)停止，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為 t.(1)求CD的長；(2)當(dāng)四邊形PBQD為平行四邊形時(shí)，求四邊形PBQD的周長；(3)在點(diǎn)P、點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)過程中，是否存在某一時(shí)刻，使得4BPQ的面積為20cm2?若存在，請求出所有滿足條件的t的值；若不存在，請說明理由.考點(diǎn)：平行四邊形的性質(zhì)；一元

54、二次方程的應(yīng)用；直角梯形。專題：動(dòng)點(diǎn)型。分析：(1)過點(diǎn)A作AM LCD于M,根據(jù)勾股定理，可以求出DM=6所以DC=16 .(2)當(dāng)四邊形PBQD為平行四邊形時(shí)，點(diǎn) P在AB上，點(diǎn)Q在DC上，如圖示，由題可得： BP=10-3t, DQ=2t , 所以可以列出方程 10-3t=2t,解得t=2,此時(shí)，BP=DQ=4 , CQ=12 ,在4CBQ中，根據(jù)勾股定理，求出 BQ即可.(3)此題要分三種情況進(jìn)行討論：即 當(dāng)點(diǎn)P在線段AB上，當(dāng)點(diǎn)P在線段BC上，當(dāng)點(diǎn)P在線段CD上, 根據(jù)三種情況點(diǎn)的位置，可以確定t的值.解答：解：(1)過點(diǎn)A作AM LCD于M ,根據(jù)勾股定理，AD=10 , AM=BC=8 ,. DM= J泌滬6,，CD=16;(2)當(dāng)四邊形PBQD為平行四邊形時(shí), 點(diǎn)P在AB上，點(diǎn) Q在DC上，如圖， 由題知：BP=10-3t, DQ=2t.103t=2t,解得 t=2此時(shí),BP=DQ=4 , CQ=121 乂國游+12?二 wn，四邊形 PBQD 的周長=2 (BP+BQ) =8+8V13；(3)當(dāng)點(diǎn)P在線段AB上時(shí)，即江七羋時(shí)，