等腰直角三角形-學(xué)案

1、個(gè)性化學(xué)案等腰直角三角形適用學(xué)科初中數(shù)學(xué)適用年級(jí)初中二年級(jí)適用區(qū)域全國(guó)課時(shí)時(shí)長(zhǎng)（分鐘）60分鐘知識(shí)點(diǎn)1、等腰直角三角形的概念2、等腰直角三角形的性質(zhì)學(xué)習(xí)目標(biāo)1、認(rèn)識(shí)等腰直角三角形，知道等腰直角三角形各部分名稱、各個(gè)角的度數(shù)和各條邊的關(guān)系。2、通過(guò)實(shí)踐操作，拓寬學(xué)生的解題渠道，誘發(fā)求異思維，培養(yǎng)創(chuàng)新意識(shí)。學(xué)習(xí)重點(diǎn) 等腰直角三角形的定義及性質(zhì)的應(yīng)用學(xué)習(xí)難點(diǎn)等腰直角三角形的性質(zhì)的應(yīng)用學(xué)習(xí)過(guò)程一、 復(fù)習(xí)預(yù)習(xí)普通三角形共有（1）三角形三內(nèi)角和等于180°；（2）三角形的一個(gè)外角等于和它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角之和；（3）三角形的一個(gè)外角大于任何一個(gè)和它不相鄰的內(nèi)角；（4）三角形兩邊之和大于第三邊，兩邊

2、之差小于第三邊；（5）在同一個(gè)三角形內(nèi)，大邊對(duì)大角，大角對(duì)大邊.二、知識(shí)講解考點(diǎn)/易錯(cuò)點(diǎn)1 等腰直角三角形特有（1）兩底角等于45°。（2）兩腰相等。考點(diǎn)/易錯(cuò)點(diǎn)2等腰直角三角形中的四條特殊的線段：角平分線，中線，高，中位線.中線：頂點(diǎn)與對(duì)邊中點(diǎn)的連線，平分三角形。高：頂點(diǎn)到對(duì)邊垂足的連線。角平分線；頂點(diǎn)到兩邊距離相等的點(diǎn)所構(gòu)成的直線。中位線：任意兩邊中點(diǎn)的連線。考點(diǎn)/易錯(cuò)點(diǎn)3等腰直角三角形常見(jiàn)題型1、 多垂直、銳角相等2、 通過(guò)三線合一構(gòu)造全等3、利用垂直與等腰構(gòu)造全等三、例題精析【例題1】【題干】ABC中, BAC=90°, AB=AC, D為BC 上一點(diǎn),過(guò)B，C做B

3、EAD, CFAD求證: BE=EF+CF 【答案】BEAD,BAC=90° EBA=CAF 易證: EBA FAC AE=FC, BE=AF BE=EF+CF【解析】直角三角形中，兩銳角互余；結(jié)合三角形全等很容易得證【例題2】【題干】ABC中，BAC=90°，AB=AC， AB是BC邊上中線，ABF=CAE，求證：EFAC【答案】RtABC中，AD為中線 BD=AD，ABD=DAC=45° 又ABF=CAE DBF=DAE 易證：DBFDAE DE=DF， FED=C=45°EFAC【解析】通過(guò)三線合一構(gòu)造全等【例題3】 【題干】ABC中，BAC=90

4、°，AB=AC，BD F 平分ABC，CEBD交BD延長(zhǎng)線于E 求證：BD=2CE 【答案】證：BD平分ABC，且CEBE 延長(zhǎng)CE、BA交于F 易證：FBECBE FE=CE，ABDACF BD=CF=2CE 【解析】利用垂直與等腰構(gòu)造全等【例題4】【題干】如圖，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（1，0），點(diǎn)B在直線y=x上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)線段AB最短時(shí)，點(diǎn)B的坐標(biāo)為（）A、（0，0）B、（，）C、（，）D、（，）【答案】解：過(guò)A點(diǎn)作垂直于直線y=x的垂線AB，點(diǎn)B在直線y=x上運(yùn)動(dòng)，AOB=45°，AOB為等腰直角三角形，過(guò)B作BC垂直x軸垂足為C，則點(diǎn)C為OA的中點(diǎn)，則OC=BC=作圖可知B在x

5、下方，y的右方橫坐標(biāo)正，縱坐標(biāo)為負(fù)所以當(dāng)線段AB最短時(shí)，點(diǎn)B的坐標(biāo)為（，）故選B【解析】線段AB最短，說(shuō)明AB此時(shí)為點(diǎn)A到y(tǒng)=x的距離過(guò)A點(diǎn)作垂直于直線y=x的垂線AB，由題意可知：AOB為等腰直角三角形，過(guò)B作BC垂直x軸垂足為C，則點(diǎn)C為OA的中點(diǎn)，有OC=BC=，故可確定出點(diǎn)B的坐標(biāo)【例題5】【題干】ABC和AEF均為等腰直角三角形，其初始位置如圖所示，若AEF繞A點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，則BE與CF大小關(guān)系為（）A、BECFB、BE=CFC、BECFD、無(wú)法確定【答案】解：連接BE、CFABC和AEF均為等腰直角三角形，BA=BC，BAC=FAE，AF=AE，BAECAF，BE=CF故選B【解析

6、】連接BE、CF，證明BAECAF即可得到結(jié)論【例題6】【題干】下面的方格圖案中的正方形頂點(diǎn)叫做格點(diǎn)，圖1中以格點(diǎn)為頂點(diǎn)的等腰直角三角形共有4個(gè)，圖2中以格點(diǎn)為頂點(diǎn)的等腰直角三角形共有10個(gè)，圖3中以格點(diǎn)為頂點(diǎn)的等腰直角三角形共有28個(gè)，圖4中以格點(diǎn)為頂點(diǎn)的等腰直角三角形共有50個(gè)【答案】解答：解：第一空 4 （正方形邊長(zhǎng)為1，直角邊長(zhǎng)為1的等腰三角形有4個(gè) ）；第二空 4×2+2=10 （每個(gè)正方形都有4個(gè)邊長(zhǎng)為1的等腰直角三角形，還有2個(gè)直角邊長(zhǎng)為的就是以2為斜邊）第三空 4×4+2×4+4=28 （4個(gè)小正方形就是4×4，而相鄰的兩個(gè)小正方形都有2

7、個(gè)直角邊為的等腰直角三角形，這樣相鄰的有4對(duì)所以是2×4，然后再加上4個(gè)直角邊長(zhǎng)為2的）第四空 4×6+2×7+4×2+4=50（正方形邊長(zhǎng)為1，直角邊長(zhǎng)為1的等腰三角形有4×6個(gè)小正方形，7對(duì)相鄰的兩個(gè)小正方形，4對(duì)直角邊為2的大正方形，4個(gè)直角邊長(zhǎng)為的 斜邊為【解析】分析：根據(jù)正方形的性質(zhì)，知圖1中，連接2條對(duì)角線，可以有4個(gè)以格點(diǎn)為頂點(diǎn)的等腰直角三角形；圖2中，連接每個(gè)正方形的2條對(duì)角線，在圖1的基礎(chǔ)上，則共有4×2+2=10（個(gè)）以格點(diǎn)為頂點(diǎn)的等腰直角三角形；圖3中，在圖1和圖2的基礎(chǔ)上，則共有10×2+8=28（個(gè)

8、）以格點(diǎn)為頂點(diǎn)的等腰直角三角形；圖4中，在圖2和圖3的基礎(chǔ)上，分解為幾個(gè)（2）（3）的圖形，然后觀察形狀不是（2）（3）的四邊形中是否存在滿足條件的三角形，利用勾股定理的逆定理即可作出判斷四、課堂運(yùn)用【基礎(chǔ)】1. 如圖，ABC中，ADBC于D，BEAC于E，AD與BE相交于F，若BF=AC，則ABC的大小是（）A、40°B、45°C、50°D、60°分析：先利用AAS判定BDFADC，從而得出BD=DA，即ABD為等腰直角三角形所以得出ABC=45°解答：解：ADBC于D，BEAC于EBEA=ADC=90°FBD+BFD=90

9、6;，AFE+FAE=90°，BFD=AFEFBD=FAEBDF=ADC=90°，BF=ACBDFADC（ASA）BD=ADABC=BAD=45°故選B2. 用兩個(gè)全等的等腰直角三角形拼下列圖形：等腰三角形；等邊三角形；正方形；等腰梯形一定可以拼成的圖形有（）A、B、C、D、分析：可以將兩個(gè)直角三角形拼拼，即可得到可以拼成等腰三角形與正方形解答：解：如圖：B=B=45°，可以拼成等腰三角形；如圖：，可以拼成正方形；一定可以拼成的圖形有故選A3. 如圖，ABC中，C=Rt，AC=BC，AD是BAC的平分線，DEAB，垂足為E，若AB=10cm，則DBE的周

10、長(zhǎng)等于（）A、10cmB、8cmC、12cmD、9cm分析：根據(jù)角平分線性質(zhì)求出CD=DE，根據(jù)勾股定理求出AC=AE=AB，求出BD+DE=AE，即可求出答案解答：解：AD平分CAB，C=90°，DEAB，CD=DE，由勾股定理得：AC=，AE=，AE=AC=BC，DE+BD=CD+BE=BC，AC=BC，BD+DE=AC=AE，BDE的周長(zhǎng)是BD+DE+BE=AE+BE=AB=10故選A【鞏固】1. 如圖，在把易拉罐中的水倒入一個(gè)圓水杯的過(guò)程中，若水杯中的水在點(diǎn)P與易拉罐剛好接觸，則此時(shí)水杯中的水深為（）A、2cmB、4cmC、6cmD、8cm分析：易得易拉罐進(jìn)入水杯部分為等腰直

11、角三角形，底邊長(zhǎng)為8，可得底邊上的高讓10減去底邊上的高即為水深解答：解：易拉罐進(jìn)入水杯部分為等腰直角三角形，而斜邊與圓水杯底相等為8cmP點(diǎn)到杯口距離為4 cm水深為104=6cm故選C2. 如下圖，ABC中，C=90°，B=45°，AD是角平分線，DEAB于E，則下列結(jié)論不正確的是（）A、AC=AEB、CD=DEC、CD=DBD、AB=AC+CD分析：根據(jù)角平分線性質(zhì)求出CD=DE，根據(jù)勾股定理求出AC=AE，根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理求出B=BDE，推出BE=DE=CD，即可推出AB=AC+CD解答：解：B、AD是角平分線，DEAB，C=90°，CD=DE，故本

12、選項(xiàng)錯(cuò)誤；A、由勾股定理得：AC=，AE=，AC=AE，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；D、B=45°，DEAB，BDE=180°90°45°=45°=B，BE=DE=CD，AB=AE+BE=AC+CD，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；C、CD=DE，BDDE，BDCD，故本選項(xiàng)正確；故選C3. 如圖，將等腰直角ABC沿BC方向平移得到A1B1C1若BC=3，ABC與A1B1C1重疊部分面積為2，則BB1=分析：重疊部分為等腰直角三角形，設(shè)B1C=2x，則B1C邊上的高為x，根據(jù)重疊部分的面積列方程求x，再求BB1解答：解：設(shè)B1C=2x，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可知，重疊部分為等腰

13、直角三角形，則B1C邊上的高為x，×x×2x=2，解得x=（舍去負(fù)值），B1C=2，BB1=BCB1C=故答案為4. 如圖，以第個(gè)等腰直角三角形的斜邊長(zhǎng)作為第個(gè)等腰直角三角形的腰，以第個(gè)等腰直角三角形的斜邊長(zhǎng)做為第個(gè)等腰直角三角形的腰，依次類推，若第個(gè)等腰直角三角形的斜邊長(zhǎng)為厘米，則第個(gè)等腰直角三角形的斜邊長(zhǎng)為厘米分析：先設(shè)第個(gè)等腰直角三角形的斜邊是x，第個(gè)的等腰直角三角形的斜邊是x，那么第個(gè)等腰直角三角形的斜邊是2x，從而有第n個(gè)等腰直角三角形的斜邊是（）n1x，根據(jù)題意可得（）91x=16，解即可解答：解：設(shè)第個(gè)等腰直角三角形斜邊長(zhǎng)是x，根據(jù)題意得：（）91x=16，1

14、6x=16，x=【拔高】1. 以點(diǎn)A和點(diǎn)B為其中兩個(gè)頂點(diǎn)作位置不同的等腰直角三角形，一共可作出（）A、2個(gè)B、4個(gè)C、6個(gè)D、8個(gè)分析：利用等腰直角三角形的性質(zhì)來(lái)作圖，要注意分不同的直角頂點(diǎn)來(lái)討論解答：解：此題應(yīng)分三種情況：以AB為腰，點(diǎn)A為直角頂點(diǎn)；可作ABC1、ABC2，兩個(gè)等腰直角三角形；以AB為腰，點(diǎn)B為直角頂點(diǎn)；可作BAC3、BAC4，兩個(gè)等腰直角三角形；以AB為底，點(diǎn)C為直角頂點(diǎn)；可作ABC5、ABC6，兩個(gè)等腰直角三角形；綜上可知，可作6個(gè)等腰直角三角形，故選C2. 己知，如圖，在RtABC中，C=90°，以RtABC的三邊為斜邊分別向外作三個(gè)等腰直角三角形，其中H、E

15、、F是直角，若斜邊AB=3，則圖中陰影部分的面積為（）A、1B、2C、D、分析：在直角ABC中，C=90°，AB2=AC2+BC2，即可求證：陰影部分面積ACH和BCF的面積之和為ABE的面積，即陰影部分面積為2倍的ABE的面積，根據(jù)此等量關(guān)系即可求解解答：解：在直角ABC中，C=90°，AB2=AC2+BC2，根據(jù)等腰直角三角形面積計(jì)算方法，AEB的面積為×=，AHC的面積為×=，BCF的面積為×=，陰影部分面積為（AB2+AC2+BC2）=AB2，AB=3，陰影部分面積為×32=，故選C3. 如圖，以等腰三角形AOB的斜邊為直角邊

16、向外作第2個(gè)等腰直角三角形ABA1，再以等腰直角三角形ABA1的斜邊為直角邊向外作第3個(gè)等腰直角三角形A1BB1，如此作下去，若OA=OB=1，則第n個(gè)等腰直角三角形的面積Sn=分析：本題要先根據(jù)已知的條件求出S1、S2的值，然后通過(guò)這兩個(gè)面積的求解過(guò)程得出一般化規(guī)律，進(jìn)而可得出Sn的表達(dá)式解答：解：根據(jù)直角三角形的面積公式，得S1=21；根據(jù)勾股定理，得：AB=，則S2=1=20；A1B1=2，則S3=21，依此類推，發(fā)現(xiàn)：Sn=2n24. 已知ABC是邊長(zhǎng)為1的等腰直角三角形，以RtABC的斜邊AC為直角邊，畫(huà)第二個(gè)等腰RtACD，再以RtACD的斜邊AD為直角邊，畫(huà)第三個(gè)等腰RtADE，

17、依此類推，第n個(gè)等腰直角三角形的斜邊長(zhǎng)是分析：依次、反復(fù)運(yùn)用勾股定理計(jì)算，根據(jù)計(jì)算結(jié)果即可得到結(jié)論解答：解：根據(jù)勾股定理，第1個(gè)等腰直角三角形的斜邊長(zhǎng)是，第2個(gè)等腰直角三角形的斜邊長(zhǎng)是2=（）2，第3個(gè)等腰直角三角形的斜邊長(zhǎng)是2=（）3，第n個(gè)等腰直角三角形的斜邊長(zhǎng)是（）n課程小結(jié)等腰直角三角形的判定與性質(zhì)的靈活應(yīng)用課后作業(yè)【基礎(chǔ)】1. 在ABC中，BC：AC：AB=1：1：，則ABC是（）A、等腰三角形B、鈍角三角形C、直角三角形D、等腰直角三角形分析：根據(jù)題意設(shè)出三邊分別為k、k、k，然后利用勾股定理的逆定理判定三角形為直角三角形，又有BC、AC邊相等，所以三角形為等腰直角三角形解答：解：

18、設(shè)BC、AC、AB分別為k，k，k，k2+k2=（k）2，BC2+AC2=AB2，ABC是直角三角形，又BC=AC，ABC是等腰直角三角形故選D2. 等腰直角三角形的一個(gè)底角的度數(shù)是（）A、30°B、45°C、60°D、90°分析：根據(jù)等腰直角三角形的定義可知其頂角為90°，然后可根據(jù)三角形內(nèi)角和定理及等腰三角形的性質(zhì)求出其底角的度數(shù)解答：解：等腰直角三角形一個(gè)底角的度數(shù)=（180°90°）÷2=45°故選B3. 等腰直角三角形的底角為45度分析：根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)和三角形內(nèi)角和定理解答解答：解：C

19、=90°，AC=ABA=B=45°4. 等腰直角三角形一條邊長(zhǎng)是1 cm，那么它斜邊上的高是 分析：題中沒(méi)有指明該邊是直角邊不是斜邊，則應(yīng)該分情況進(jìn)行分析解答：解：（1）當(dāng)1cm是斜邊，則其高就是斜邊1的一半是cm；（2）當(dāng)其直角邊是1cm時(shí)，根據(jù)勾股定理得其斜邊是cm，再根據(jù)其高是斜邊的一半得高是cm；所以它斜邊上的高是cm或cm【鞏固】1. 如圖，將圓桶中的水倒入一個(gè)直徑為40cm，高為55cm的圓口容器中，圓桶放置的角度與水平線的夾角為45度若使容器中的水面與圓桶相接觸，則容器中水的深度至少應(yīng)為（）A、10cmB、20cmC、30cmD、35cm分析：由題可知，進(jìn)入容

20、器中的三角形ABC可看作是一個(gè)斜邊為40的等腰直角三角形，所以在此三角形中斜邊上的高應(yīng)該為20，因此若使高為55容器中的水面與圓桶相接觸，由此可以求出水深解答：解：如圖，依題意得ABC是一個(gè)斜邊為40的等腰直角三角形，此三角形中斜邊上的高應(yīng)該為20，水深至少應(yīng)為5520=35cm故選D2. 如果等腰三角形底邊上的高等于底邊的一半，那么這個(gè)等腰三角形的頂角等于 度分析：根據(jù)等腰直角三角形底邊上的“三線合一”的性質(zhì)，判定等腰直角三角形解答：解：根據(jù)等腰三角形底邊上的高也是底邊上的中線和頂角的角平分線可知，高把原等腰直角三角形分成兩個(gè)等腰直角三角形，頂角也就平分成兩個(gè)45°，故頂角是90&

21、#176;，故填903. 等腰直角三角形的一邊長(zhǎng)為2cm，則它的周長(zhǎng)為4+2或2+2分析：在等腰直角三角形中，已知了一邊的長(zhǎng)，但未明確此邊是底還是腰，因此要分類討論解答：解：當(dāng)?shù)走呴L(zhǎng)為2cm時(shí)，腰長(zhǎng)是cm，則周長(zhǎng)是2+2（cm）；當(dāng)腰長(zhǎng)為2cm時(shí)，底邊是2cm，因而周長(zhǎng)是：4+（cm）因此這個(gè)等腰直角三角形的周長(zhǎng)為4+2或2+2（cm）4. 等腰直角三角形的一條直角邊為1cm，則它的斜邊上的高為cm考點(diǎn)：等腰直角三角形。分析：根據(jù)題中所給的條件，在直角三角形中解題，根據(jù)勾股定理和三角形的面積求出斜邊及斜邊上的高解答：解：如圖：ABC為等腰直角三角形，ABC=ACB=45°AB=AB=1cm，BC=AB=，ABAC=BCAD，AD=cm【拔高】1. 如圖，AD是ABC的中線，ADC=45°，把ADC沿AD對(duì)折，點(diǎn)C落在C處，則BC與BC之間的數(shù)量關(guān)系是BC=BC分析：設(shè)BD=x，則BC=