函數(shù)極坐標課件

1、函數(shù)極坐標一元函數(shù)：一元函數(shù)：極限，導(dǎo)數(shù)，微分，不定積分，定積分極限，導(dǎo)數(shù)，微分，不定積分，定積分多元函數(shù)：多元函數(shù)：極限，偏導(dǎo)數(shù)，全微分，二重積分極限，偏導(dǎo)數(shù)，全微分，二重積分應(yīng)用：幾何應(yīng)用，經(jīng)濟應(yīng)用，微分方程應(yīng)用：幾何應(yīng)用，經(jīng)濟應(yīng)用，微分方程第第1 1章函數(shù)章函數(shù) (復(fù)習(xí)復(fù)習(xí))函數(shù)極坐標一、幾個實例一、幾個實例【解解】 V 2102Vxx函數(shù)極坐標確定一個函數(shù)的兩大要素：確定一個函數(shù)的兩大要素： 2(1)( ),( )1(2)( )lg,( )2lg,( )2lg |xf xg xxf xxg xxh xx 對應(yīng)法則對應(yīng)法則 定義域定義域 fxy 函數(shù)極坐標216lgsinyxx 【解解】

2、 2441602210, 1, 2,sin0 xxnxnnx 40 xorx 4,(0,) 40Dxxorx 函數(shù)極坐標 22( )yRxtg xcos( )sinxRtFyR (, 3 0,3 12( ) 03( )3FtF 222xyR,02R 1v2vyx222xyR 函數(shù)極坐標161412107, 6(5, 4(4, 3(3, 0（元元）車車費費（公公里里）距距離離xey 函數(shù)的表示法函數(shù)的表示法( )( )xf tyg t 23331xxxyxy 函數(shù)極坐標 1 2 3 4 5 -2 -4 -4 -3 -2 -1 4 3 2 1 -1 -3xyo階梯函數(shù)階梯函數(shù) ,1) (0, 1,

3、 2,) xn nnyxn函數(shù)極坐標y11x0有理數(shù)點有理數(shù)點點點1xyo10sgn0010 xyxxx ,sgn|xRxxx 1( )0yD x 函數(shù)極坐標二、幾個特性二、幾個特性( )()xXf xfx ( )()xXf xfx ( )xf xe 0 xxe 函數(shù)極坐標121212,()()( )xxX xxf xf x 2( )f xx 函數(shù)極坐標M-Myxoy=f(x)X有界有界y無界無界M-MxoX0 x3有界性有界性: :0,( )MxXf xM 000,()MxXf xM ( )sinf xx 函數(shù)極坐標,( )aRxXf xa ,( )bRxXf xb 2yx 211yx 注意

4、注意無界無界. 函數(shù)極坐標（通常說周期函數(shù)的周期是指其通常說周期函數(shù)的周期是指其最小正最小正周期周期）.2l 2l23l 23l( )()xXf xf xT 但并非所有函數(shù)都有最小正周期但并非所有函數(shù)都有最小正周期最小正周期最小正周期函數(shù)極坐標三、函數(shù)的復(fù)合與分解三、函數(shù)的復(fù)合與分解fxy gxy gfxuy 推廣推廣 設(shè)設(shè)( ),( ),( ),( )yf w wu uv vg x ( )yfg x 函數(shù)極坐標22arcsin ,yu ux 22arcsinyx2arcsin ,2yu ux 2arcsin(2)yx2arctan log (cos )yx ,yu arctan ,uv 2l

5、og,vw coswx 注意：注意：函數(shù)極坐標1112122xx 即即11120 xx 即即102x函數(shù)極坐標2200( ),( )200 xxxxf xg xxxxx 2( )( )02( )( )0g xg xg xg x 22020 xxxx 函數(shù)極坐標 111xxfxxx 1xux 1uxu 11( )21211uuuf uuuuu 1( )212xf xxx 1( )sinaf xbfxx |ab 函數(shù)極坐標四、反函數(shù)四、反函數(shù)1( )xfy 1( )xfy 1( )yfx ( )xy 1f ( )xy 1( )xfy 1( )xfy 函數(shù)極坐標0 x0yxyDWo1( )xfy x

6、yo),( abQ),( baP1( )yfx 11( )yfg x 已知已知 和和互為反函數(shù)，則函數(shù)互為反函數(shù)，則函數(shù)的反函數(shù)是的反函數(shù)是_11( )yfg x 函數(shù)極坐標例例 ,2 .xxfxf 與與互互 反反函函求求的的反反函函解：解： yfx 由由 xy 得得 2xfy 2xy 得得 2xy 即即 22xfx 所所以以的的反反函函是是函數(shù)極坐標例例 1 , .g xfxg x與與互互反反函函求求的的反反函函 ygx 由由解解： xfy 得得 xgy1 1g xy 得得1xfy 所所以以 11 fg xx 所所以以的的反反函函 是是函數(shù)極坐標基本的反三角函數(shù)基本的反三角函數(shù)函數(shù)極坐標 函

7、數(shù)極坐標函數(shù)極坐標函數(shù)極坐標1、冪函數(shù)冪函數(shù))( 是常數(shù)是常數(shù) xyoxy)1 , 1(112xy xy xy1 xy 五、初等函數(shù)五、初等函數(shù)函數(shù)極坐標2、指數(shù)函數(shù)、指數(shù)函數(shù))1, 0( aaayxxay xay)1( )1( a)1 , 0( xey 函數(shù)極坐標3、對數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù))1, 0(log aaxyaxyln xyalog xya1log )1( a)0 , 1( 函數(shù)極坐標4、三角函數(shù)、三角函數(shù)正弦函數(shù)正弦函數(shù)xysin xysin 函數(shù)極坐標xycos xycos 余弦函數(shù)余弦函數(shù)函數(shù)極坐標正切函數(shù)正切函數(shù)xytan xytan 函數(shù)極坐標xycot 余切函數(shù)余切函數(shù)xyc

8、ot 函數(shù)極坐標正割函數(shù)正割函數(shù)xysec xysec 函數(shù)極坐標xycsc 余割函數(shù)余割函數(shù)xycsc 函數(shù)極坐標5、反三角函數(shù)、反三角函數(shù)xyarcsin xyarcsin 反反正正弦弦函函數(shù)數(shù)函數(shù)極坐標xyarccos xyarccos 反余弦函數(shù)反余弦函數(shù)函數(shù)極坐標xyarctan xyarctan 反反正正切切函函數(shù)數(shù)函數(shù)極坐標xycot 反反余余切切函函數(shù)數(shù)arcxycot arc由基本初等函數(shù)經(jīng)過有限次四則運算或復(fù)合運算由基本初等函數(shù)經(jīng)過有限次四則運算或復(fù)合運算構(gòu)成的函數(shù)稱為構(gòu)成的函數(shù)稱為初等函數(shù)初等函數(shù) . .函數(shù)極坐標 222secln,sin cos,04sin,ln(1)

9、0 xxyxyexxxeyyxxxxx 2010 xxyxx 函數(shù)極坐標xye 2xxee 2xxee xxxxeeee xxxxeeee xysh xych xyth 函數(shù)極坐標說明說明 2222chsh1, ch 2chsh, sh 22shchxxxxxxxx chchchshsh , shshchchshxyxyxyxyxyxy 221xy221xy 2ln(1)xx2ln(1)xx11ln21xx 函數(shù)極坐標六、鄰域六、鄰域0 x0 x0()N x0 x0 x 0000(, )(,)N xxxx xx 0 x 0 x0 x 0 x 0 x 00(, )0N xxxx 函數(shù)極坐標* 極

10、坐標系的建立極坐標系的建立：在平面內(nèi)取一個定點在平面內(nèi)取一個定點OO，叫做極點，叫做極點。引一條射線引一條射線OXOX，叫做極軸，叫做極軸。再選定一個長度單位和角度正方向（通常再選定一個長度單位和角度正方向（通常取逆時針方向）。取逆時針方向）。這樣就建立了一個極坐標系。這樣就建立了一個極坐標系。XO建立了極坐標系的平面稱為極坐標平面。建立了極坐標系的平面稱為極坐標平面。七、極坐標七、極坐標函數(shù)極坐標*極坐標系內(nèi)一點的極坐標的規(guī)定極坐標系內(nèi)一點的極坐標的規(guī)定XOM 對于平面上異于極點的任意一點對于平面上異于極點的任意一點M，用，用 表示線段表示線段OMOM的長度，用的長度，用 表示以表示以O(shè)XOX為始為始邊、邊、OMOM為終邊為終邊 的角度。的角度。 叫做叫做MM的極徑，的極徑， 叫做點叫做點MM的極角，有序?qū)崝?shù)對（的極角，有序?qū)崝?shù)對（ ， ）就）就叫做叫做MM的極坐標。記作的極坐標。記作M M （ ， ）。）。特別規(guī)定：特別規(guī)定： 當當MM在極點時，它在極點時，它的極坐標的極坐標 =0=0， 可以取可以取任意值。任意值。函數(shù)極坐標對于對于 0 0， 0，2）時點的極坐標與平）時點的極坐標與平面上的點一一對應(yīng)（極點除外）面上的點一一對應(yīng)（極點除外）。函數(shù)極坐標極坐標轉(zhuǎn)換為直角坐標公式極坐標轉(zhuǎn)換為直角坐標公式：cossinxy 直角坐標