工程數(shù)學(xué)期末復(fù)習(xí)

1、工程數(shù)學(xué)期末復(fù)習(xí)工程數(shù)學(xué)期末復(fù)習(xí)一、線性代數(shù)部分首頁首頁上頁上頁返回返回下頁下頁1, 行列式要求掌握行列式的概念和基本性質(zhì), 會(huì)應(yīng)用行列式的性質(zhì)和行列式按行(列)展開定理計(jì)算行列式11,0,;,0,nikjkknkikjkDija AijDija Aij其中D=|aij|nm首頁首頁上頁上頁返回返回下頁下頁行列式的性質(zhì)1, |AT|=|A|2,如有零行(列)則行列式為03, 交換兩行使行列式變號(hào)4,若有兩行(列)相同則行列式為零5,數(shù)k乘某行(列)相當(dāng)于行列式乘k6,若有兩行(列)成比例則行列式為零7,數(shù)k乘某行(列)加到另一行(列),行列式值不變8,上(下)三角行列式的值等于對(duì)角線值相乘首頁

2、首頁上頁上頁返回返回下頁下頁2, 矩陣內(nèi)容:矩陣的概念, 矩陣的線性運(yùn)算, 矩陣的乘法, 方陣的冪, 方陣乘積的行列式, 矩陣的轉(zhuǎn)置, 逆矩陣的概念和性質(zhì), 矩陣可逆的充分必要條件, 伴隨矩陣, 矩陣的初等變換, 初等矩陣, 矩陣的秩, 矩陣的等價(jià), 分塊矩陣及其運(yùn)算首頁首頁上頁上頁返回返回下頁下頁要求:1,理解矩陣的概念, 了解單位矩陣, 數(shù)量矩陣, 對(duì)角矩陣, 三角矩陣, 對(duì)稱矩陣, 以及它們的性質(zhì).2,掌握矩陣的線性運(yùn)算, 乘法, 轉(zhuǎn)置, 以及它們的運(yùn)算規(guī)律, 了解方陣的冪與方陣乘積的行列式性質(zhì).3, 理解逆矩陣的概念, 掌握逆矩陣的性質(zhì), 以及矩陣可逆的充分必要條件, 理解伴隨矩陣的概

3、念, 會(huì)用伴隨矩陣求逆矩陣.首頁首頁上頁上頁返回返回下頁下頁4, 理解矩陣初等變換的概念, 了解初等矩陣的性質(zhì)和矩陣等價(jià)的概念, 理解矩陣的秩的概念, 掌握用初等變換求矩陣的秩和逆矩陣的方法.這里尤其要掌握用初等行變換將矩陣變換為階梯矩陣和行最簡矩陣的技術(shù).5, 了解分塊矩陣及其運(yùn)算. 包括分塊對(duì)角陣首頁首頁上頁上頁返回返回下頁下頁求矩陣A的逆的三種方法:(1) 公式法:*1|AAA(2) 行初等變換法:)()(1AEEA初等行變換(3) 定義法: AB=E(BA=E), 則A1=B首頁首頁上頁上頁返回返回下頁下頁可逆矩陣的等價(jià)命題(判別可逆的方法):Ann可逆|A|0r(A)=nA的n個(gè)列(

4、行)線性無關(guān)齊次線性方程組Ax=0僅有零解A的n個(gè)特征值皆非零首頁首頁上頁上頁返回返回下頁下頁矩陣秩的等式與不等式(1) r(A)=r(AT)=r(kA), k為非零數(shù).(2) r(A)=r(PAQ)=r(PA)=r(AQ), P,Q均為可逆矩陣(3) r(Amn)min(m,n), r(AB)minr(A),r(B).(4) r(A+B)r(A)+r(B).首頁首頁上頁上頁返回返回下頁下頁3, 向量內(nèi)容:向量的概念, 向量的線性組合和線性表示, 向量組的線性相關(guān)與線性無關(guān), 向量組的極大線性無關(guān)組, 等價(jià)向量組, 向量組的秩, 向量組的秩與矩陣的秩之間的關(guān)系, 向量空間以及相關(guān)概念, 向量的

5、內(nèi)積, 線性無關(guān)向量組的正交規(guī)范化方法, 規(guī)范正交基, 正交矩陣及其性質(zhì).首頁首頁上頁上頁返回返回下頁下頁要求(1) 理解n維向量, 向量的線性組合與線性表示的概念.(2) 理解向量組線性相關(guān), 線性無關(guān)的概念, 掌握向量組線性相關(guān), 線性無關(guān)的有關(guān)性質(zhì)及判別法.(3) 理解向量組的極大線性無關(guān)組和向量組的秩的概念, 會(huì)求向量組的極大線性無關(guān)組及秩.(4) 了解向量組等價(jià)的概念, 了解矩陣的秩與其行(列)向量組的關(guān)系.首頁首頁上頁上頁返回返回下頁下頁(5) 了解n維向量空間, 子空間, 基底, 維數(shù), 坐標(biāo)等概念.(6) 了解內(nèi)積的概念, 掌握線性無關(guān)的向量組正交規(guī)范化的施密特方法.(7) 了

6、解規(guī)范正交基, 正交矩陣的概念, 以及它們的性質(zhì).首頁首頁上頁上頁返回返回下頁下頁首頁首頁上頁上頁返回返回下頁下頁首頁首頁上頁上頁返回返回下頁下頁一些主要結(jié)論(1) a a1,a a2,a am線性相關(guān)至少有一個(gè)向量是其余向量的線性表示.(2) 若向量組a a1,a a2,a ar可由b b1,b b2,b bs線性表示, 且rs, 則a a1,a a2,a ar線性相關(guān).(3) 向量組(I)可由向量組(II)線性表示, 則秩(I)秩(II).(4) 兩個(gè)等價(jià)的向量組的秩相等.(5) 矩陣A的秩等于A的列(行)秩.首頁首頁上頁上頁返回返回下頁下頁(6) 向量組a a1,a a2,a ar可由b

7、 b1,b b2,b bs線性表示的充分必要條件是存在矩陣K使得(a a1,a a2,a ar)=(b b1,b b2,b bs)K首頁首頁上頁上頁返回返回下頁下頁4, 線性方程組內(nèi)容線性方程組的克拉默法則, 齊次線性方程組有非零解的充分必要條件, 非齊次線性方程組有解的充分必要條件, 線性方程組解的性質(zhì)和解的結(jié)構(gòu), 齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系和通解, 解空間, 非齊次線性方程組的通解首頁首頁上頁上頁返回返回下頁下頁要求1, 會(huì)用克拉默法則.2, 理解齊次線性方程組有非零解的充分必要條件及非齊次線性方程組有解的充分必要條件3, 理解齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系, 通解及解空間的概念, 掌握齊次線性方

8、程組的基礎(chǔ)解系和通解的求法.4, 理解非齊次線性方程組解的結(jié)構(gòu)及通解的求法5, 掌握用初等行變換求解線性方程組的方法首頁首頁上頁上頁返回返回下頁下頁(1) 齊次線性方程組AX=0僅有零解r(A)=n;有非零解(無窮多解)r(A)n.解空間S(A)的維數(shù)為dimS(A)=nr(A),即AX=0的基礎(chǔ)解系有nr(A)個(gè)解向量.首頁首頁上頁上頁返回返回下頁下頁(2) 非齊次線性方程組AX=b b有解r(A)=r(A | b b)b b是A的n個(gè)列的線性表示.(3) AX=b b有唯一解r(A)=r(A | b b)=n;有無窮多解r(A)=r(A | b b)n.通解X=g g0+h h, 其中h

9、h表示對(duì)應(yīng)齊次方程組AX=0的通解, g g0是AX=b b的一個(gè)特解.(4) 若g g1,g g2是AX=b b的任意兩個(gè)解, 則g g1g g2是AX=0的解首頁首頁上頁上頁返回返回下頁下頁5, 矩陣的特征值和特征向量內(nèi)容矩陣的特征值和特征向量的概念, 性質(zhì), 相似矩陣的概念及性質(zhì), 矩陣可相似對(duì)角化的充分必要條件及相似對(duì)角矩陣, 實(shí)對(duì)稱矩陣的特征值, 特征向量及相似對(duì)角矩陣.首頁首頁上頁上頁返回返回下頁下頁要求1, 理解矩陣的特征值和特征向量的概念及性質(zhì), 會(huì)求矩陣的特征值和特征向量.2, 理解相似矩陣的概念, 性質(zhì)及矩陣可相似對(duì)角化的充分必要條件, 掌握將矩陣化為相似對(duì)角矩陣的方法.3

10、, 掌握實(shí)對(duì)稱矩陣的特征值和特征向量的性質(zhì).首頁首頁上頁上頁返回返回下頁下頁(1) 特征值公式特征值公式: 設(shè)設(shè)l l1,l l2,l ln為矩陣為矩陣A的的n個(gè)特征值個(gè)特征值.|A|=l l1l l2l lntrA=a11+a22+ann=l l1+l l2+l ln(2) A可逆可逆A的的n個(gè)特征值非零個(gè)特征值非零.A的不同特征值所對(duì)應(yīng)的特征向量是線性無關(guān)的.實(shí)對(duì)稱矩陣的特征值皆為實(shí)數(shù), 不同特征值對(duì)應(yīng)的特征向量是正交的.首頁首頁上頁上頁返回返回下頁下頁(3)設(shè)設(shè)f(x)=a0+a1x+amxm為為x的的m次多項(xiàng)式次多項(xiàng)式. 記記f(A)=a0E+a1A+amAm為矩陣為矩陣A的多的多項(xiàng)式

11、項(xiàng)式. 若若l l是是A的特征值的特征值, 則則f(l l)是是f(A)的的特征值特征值.(4)若若A為可逆矩陣為可逆矩陣, 則則: 設(shè)設(shè)A的特征值為的特征值為l l, 則則A-1有特征值有特征值 1/ l lA*有特征值有特征值 |A|/ l. l.首頁首頁上頁上頁返回返回下頁下頁(3) 相似矩陣的公式:設(shè)P1AP=B, 則|lEA|=|lEB|A|=|B|r(A)=r(B)tr(A)=tr(B)Ak=PBkP1首頁首頁上頁上頁返回返回下頁下頁(4)A可對(duì)角化的結(jié)論:A有n個(gè)線性無關(guān)的特征向量A相似于對(duì)角矩陣實(shí)對(duì)稱矩陣A秩(liEA)=nkiA有n個(gè)相異的特征值A(chǔ)的每個(gè)ki重特征值li有ki

12、個(gè)線性無關(guān)的特征向量(liEA)X=0有ki個(gè)無關(guān)解二、概率論部分首頁首頁上頁上頁返回返回下頁下頁1,隨機(jī)事件和概率內(nèi)容隨機(jī)事件與基本空間, 事件的關(guān)系與運(yùn)算,概率的概念, 概率的基本性質(zhì), 古典型概率, 幾何型概率, 條件概率, 概率的基本公式, 事件的獨(dú)立性, 獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)首頁首頁上頁上頁返回返回下頁下頁要求(1)了解樣本空間(基本事件空間)的概念, 理解隨機(jī)事件的概念, 掌握事件的關(guān)系及運(yùn)算.(2) 理解概率, 條件概率的概念, 掌握概率的基本性質(zhì), 會(huì)計(jì)算古典型概率和幾何型概率, 掌握概率的加法公式, 減法公式, 乘法公式, 全概率公式和貝葉斯公式.(3) 理解事件獨(dú)立性的概念, 掌握

13、用事件獨(dú)立性進(jìn)行概率計(jì)算;理解獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)的概念, 掌握計(jì)算有關(guān)事件概率的方法首頁首頁上頁上頁返回返回下頁下頁2, 隨機(jī)變量及其分布內(nèi)容隨機(jī)變量, 隨機(jī)變量的分布函數(shù)的概念及其性質(zhì), 離散型隨機(jī)變量的概率分布, 連續(xù)型隨機(jī)變量的概率密度, 常見的隨機(jī)變量的分布, 隨機(jī)變量函數(shù)的分布首頁首頁上頁上頁返回返回下頁下頁要求(1) 理解隨機(jī)變量及其分布的概念; 理解分布函數(shù)F(x)=PXx (x+)的概念及性質(zhì); 會(huì)計(jì)算與隨機(jī)變量相聯(lián)系的事件的概率.(2) 理解離散型隨機(jī)變量及其概率分布的概念, 掌握0-1分布, 二項(xiàng)分布, 泊松分布及其應(yīng)用.首頁首頁上頁上頁返回返回下頁下頁(3) 理解連續(xù)型隨機(jī)變量

14、及其概率密度的概念, 掌握均勻分布, 正態(tài)分布N(m,s2)(4) 會(huì)求隨機(jī)變量函數(shù)的分布.首頁首頁上頁上頁返回返回下頁下頁3, 二維隨機(jī)變量及其分布內(nèi)容二維隨機(jī)變量及其概率分布, 二維離散型隨機(jī)變量的概率分布, 邊緣分布和條件分布, 二維連續(xù)型隨機(jī)變量的概率密度, 邊緣密度, 隨機(jī)變量的獨(dú)立性和不相關(guān)性, 常用二維隨機(jī)變量的分布, 兩個(gè)隨機(jī)變量簡單函數(shù)的分布首頁首頁上頁上頁返回返回下頁下頁要求(1) 理解二維隨機(jī)變量的概念, 理解二維隨機(jī)變量的分布的概念和性質(zhì), 理解二維離形型隨機(jī)變量的概率分布,邊緣分布, 理解二維連續(xù)型隨機(jī)變量的概率密度, 邊緣密度. 會(huì)求與二維隨機(jī)變量相關(guān)事件的概率.(2) 理解隨機(jī)變量的獨(dú)立性及不相關(guān)概念, 掌握離散型和連續(xù)型隨機(jī)變量獨(dú)立的條件.首頁首頁上頁上頁返回返回下頁下頁(3) 掌握二維均勻分布, 了解二