廣東省廣州外國(guó)語(yǔ)-學(xué)年高二下學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)試題

1、一、挑選題2021 2021 學(xué)年廣州外國(guó)語(yǔ)學(xué)校其次學(xué)期期末質(zhì)量檢測(cè)1復(fù)數(shù)2的共軛復(fù)數(shù)是（）1ia 1ib 1ic1id 1i【答案】 a221i21i【解析】21i1i2故共軛復(fù)數(shù)是1i 應(yīng)選 a 1i ，212 x x4的二項(xiàng)式系數(shù)之和為（）a 81b 16c 27d 32【答案】 b【解析】412x，x023444444c012 x 4c112 x3c212 x 2c312 x1c412 x0 ，xxxxx而二項(xiàng)式系數(shù)和為c0c1c2c3c42416 應(yīng)選 b 444443甲、乙等5 人在南沙聚會(huì)后在天后宮沙灘排成一排拍照留念，甲和乙必需相鄰的排法有（）a 24 種b 48種c 72 種

2、d 120種【答案】 b【解析】由題意，利用捆綁法，甲、乙兩人必需相鄰的方法數(shù)為a a48 種2424應(yīng)選 b 4用數(shù)學(xué)歸納法證明等式取的項(xiàng)是（）123ln3n3n 24 nn* 時(shí)，第一步驗(yàn)證n1 時(shí)，左邊應(yīng)a 1b 12c 123d 1234【答案】 d【解析】在等式123ln3n3n 24 nn * 中，當(dāng) n1時(shí)， n34 ，而等式左邊起始為1 的連續(xù)的正整數(shù)的和，故 n1時(shí)，等式左邊的項(xiàng)為：1234 ，故答案為： 1234 應(yīng)選 d 5已知隨機(jī)變量聽(tīng)從二項(xiàng)分布:b4, 13，就 p3（）3216248a bcd 81818181【答案】 d【解析】: b4, 13表示 4 次獨(dú)立試驗(yàn)

3、，每次勝利概率為1 ，3313就 p3c412248 338181應(yīng)選 d 6盒子里共有7 個(gè)除了顏色外完全相同的球，其中有 4 個(gè)紅球 3個(gè)白球， 從盒子中任取3 個(gè)球， 就恰好取到 2 個(gè)紅球 1個(gè)白球的概率為（）2418126a bcd 35353535【答案】 b21c4c363636183c【解析】 p7應(yīng)選 b 76532176535 7在平面直角坐標(biāo)系【答案】 c【解析】oxy 中，直線y1 與拋物線y2x 所圍成的封閉圖形的面積為（）yx 2，解得a 1,1 ， b1,1，y11s12x d xx1 x3 |1274 11333應(yīng)選 c 8在 x1x13 的綻開(kāi)式中，x 2 項(xiàng)

4、的系數(shù)為（）a 0【答案】 ab 3c 6d 6【解析】 x13 x31 的二次項(xiàng)系數(shù)，2112c3 1c3 13 1310 應(yīng)選 a 9以下四個(gè)命題中，真命題有（）a p : ysin x 是周期函數(shù)，q ：空集是集合a 的子集，就pq 為假命題2b “ xr ， x 2x10 ”的否定是 “ xr ， xx10 ”c “ab ”是 “l(fā)og 3 a000log 3 b ”的必要不充分條件d已知命題p ： “假如 xy0 ，那么 x0 或 y0 ”，在命題p 的逆命題，否命題，逆否命題三個(gè)命題中，真命題的個(gè)數(shù)有2 個(gè)【答案】 c00【解析】 a p 為真， q 為真，就pq 為真， a 錯(cuò)b

5、 否定應(yīng)是 “ x0r ， x2x1 0 ”b 錯(cuò)c ab 不能a0或 b0 ，故不充分，log 3 alog 3 baba、b0 ，故“ab ”是 “l(fā)og 3 alog 3 b ”的必要不充分條件d 逆命題，否命題，逆否命題都為真，有3個(gè)真命題，d 錯(cuò)應(yīng)選 c 10已知雙曲線222c : xy1 的一條漸近線方程為2 x3 y0 ， f1 ， f2 分別是雙曲線c 的左， 右焦點(diǎn)，a點(diǎn) p 在雙曲線 c 上，且4| pf1 |2 ，就| pf2 | 等于（）a 0.5b 12.5c 4 或 10d 0.5 或 12.5【答案】 d2【解析】of 1f 22x3 y0 ，y2 x2 x ，3

6、a a3 ， | pf1 | pf2 |2a 或 | pf2 | pf1 |2a ， | pf2 |0.5應(yīng)選 d 或 | pf2 |12.5 11以下數(shù)表的構(gòu)造思路源于我國(guó)南宋數(shù)學(xué)家楊輝所著的詳解九章算術(shù)一書(shū)中的“楊輝三角形 ”12345202120212021202135794027402940318121680568060202816116該表由如干行數(shù)字組成，從其次行起，每一行中的數(shù)字均等于其“肩上 ”兩數(shù)之和，表中最終一行僅有一個(gè)數(shù)，就這個(gè)數(shù)為（）a 202120212b202120212c 202120212d 20212【答案】b2021【解析】如下圖：1234563579118

7、12162020283648641124 2當(dāng)?shù)谝恍?3個(gè)數(shù)時(shí)，最終一行僅一個(gè)數(shù)為當(dāng)?shù)谝恍?4 個(gè)數(shù)時(shí)，最終一行僅一個(gè)數(shù)為當(dāng)?shù)谝恍?5 個(gè)數(shù)時(shí)，最終一行僅一個(gè)數(shù)為823 22024 24825 231 ，41 ，51 ，當(dāng)?shù)谝恍?6 個(gè)數(shù)時(shí)，最終一行僅一個(gè)數(shù)為112241 ，當(dāng)?shù)谝恍?5 個(gè)數(shù)時(shí)，最終一行僅一個(gè)數(shù)為5 248251 ，當(dāng)?shù)谝恍?6 個(gè)數(shù)時(shí)，最終一行僅一個(gè)數(shù)為歸納推理，得：當(dāng)?shù)谝恍?2021個(gè)數(shù)時(shí)，最終一行僅一個(gè)數(shù)為應(yīng)選 b 6 2112222021 261 ，20211 2021數(shù)表的觀看數(shù)表，可以發(fā)覺(jué)規(guī)律：每一行都是等差數(shù)列，且第一行公差為1 ，其次行公差為2 ，第三行公差為

8、 4 ， l l，第 2021行公差為2021202112021220212應(yīng)選 b 2 ，第 2021行（最終一行）只有一個(gè)數(shù)為12函數(shù)f x與它的導(dǎo)函數(shù)f x 的圖象如下列圖，就函數(shù)g xf xx的單調(diào)遞減區(qū)間為（）ey4o1 324xa 0,4b ,1 ，4 ,43c0, 43d 0,1 ， 4,【答案】 d【解析】由圖分析，過(guò)2,0 點(diǎn)的為4f x的函數(shù)圖象，導(dǎo)數(shù) f x 的函數(shù)圖象過(guò)點(diǎn),0，3g xf x e xf xe xf xf xx， e0 恒成立，ex 2g x 單調(diào)遞減區(qū)間即令f xexf x ，就由圖可得為：0,1 u 4, 應(yīng)選 d 二、填空題13設(shè): n 5,2 2

9、，就p3 7 【答案】 0.6826【解析】px 0.6826， p3x 7p52x 520.6826 14函數(shù)yx ln x 的單調(diào)減區(qū)間為 【答案】0,e 1 【解析】函數(shù)的定義域?yàn)閤0 ， yln x1，1令 ln x10 得： 0x e 1 ，1函數(shù)y x ln x 的單調(diào)遞減區(qū)間是0,e ，故答案為0,e 15觀看以下各等式：22sin 30cos 60sin30cos603 ，4sin2 20cos2 50sin 20 cos503 ，422sin 15cos 45sin15cos453 ，4分析上述各式的共同特點(diǎn)，就能反映一般規(guī)律的等式為 【答案】sin ncos n30 sin

10、 ncosn30 3 422【解析】此題主要是考察三角函數(shù)式的恒等變形已知三角函數(shù)值的大小，然后可以求解出來(lái)角的正弦值和余弦值，然后帶入到公式中，利用誘導(dǎo)公式進(jìn)行求解，由于可以把sin x 看做是變量，然后進(jìn)行等量代換，就可以轉(zhuǎn)換為給求給定定義域的值域的大小16已知拋物線的方程為y2 px p0 ， o 為坐標(biāo)原點(diǎn)，a ， b 為拋物線上的點(diǎn)，如oab為等邊2三角形，且面積為483 ，就 p 的值為 【答案】 2【解析】設(shè)b x1 , y1 ，ax2 , y2 ， | oa | | ob |， x2y 2x 2y21122 又 y 22 px ， y 22 px ，112222 xx2 pxx

11、 0 即 xx xx2 p0 21212112又 x1 、 x2 與 p 同號(hào)， x1x22 p0 x2x10 ，即 x1x2 由拋物線對(duì)稱性，知點(diǎn)b ， a 關(guān)于 x 軸對(duì)稱，不妨設(shè)直線 ob 的方程為：y3 x ，32聯(lián)立 y2 px ，解得 b6 p,23 p ，面積為 483 ，3 43 p24 p 24 ，483 ， p2 三、解答題317（本小題滿分10 分）設(shè)函數(shù)f xax4 x4 過(guò)點(diǎn)p3,1 （ i）求函數(shù)的極大值和微小值（ ii ）求函數(shù)f x在 1,3 上的最大值和最小值【答案】見(jiàn)解析【解析】（i）將點(diǎn) p 代入，f 3127a12427a8 ，1 a，3 f x 1 x

12、334 x4 ， f xx24 ，當(dāng) x3或 x2 時(shí)，f x0 ，當(dāng) x2 或 x2 時(shí)，f x0 ，當(dāng)2x2 時(shí)，f x0 ， f x 在 ,2 u 2, 上，在 2,2 上，如下列圖：2222 f x 的極大值f 21 88428 ，33微小值f 218844 33（ ii ）由（ i）可得： f x 在1,2上， 右 2,3 上，f x 4f 2，min3f 114423 ，33f 391241 ，f x 23f 1max32218（本小題滿分12 分）已知雙曲線c 和橢圓 xy41（ i）求雙曲線c 的方程1 有公共的焦點(diǎn)，且離心率為3 （ ii ）經(jīng)過(guò)點(diǎn)m 2,1 作直線 l 交雙

13、曲線 c 于 a ， b 兩點(diǎn)，且 m 為 ab 的中點(diǎn)，求直線l 的方程【答案】見(jiàn)解析22【解析】（i）橢圓 xy411 焦為點(diǎn)f 3,0， f2 3,0， c2413 ，2222就設(shè)雙曲線xyab1a0, b0 ，22 c2ab3 ， ce3c222a3a ， c23aab3 ， a 21 ， b 22 ，22雙曲線方程為xy1 222（ ii ）由（ i）設(shè)c : xy12，l : yk x21222k x 2k4k x4k4k22230 ， xx4k2k4 ，122k2 2k8 ， k4直線l : y4 x21，4x7 19（本小題滿分12 分）某水產(chǎn)養(yǎng)殖基地要將一批海鮮用汽車從所在城

14、市甲運(yùn)至銷售商所在城市乙，已知從城市甲到城市乙只有兩條大路，且運(yùn)費(fèi)由水產(chǎn)養(yǎng)殖基地承擔(dān)如水產(chǎn)養(yǎng)殖基地恰能在商定日期（×月×日）將海鮮送達(dá)，就銷售商一次性支付給水產(chǎn)養(yǎng)殖基地40萬(wàn)元；如在商定日期前送到，每提前一天銷售商將多支付給水產(chǎn)養(yǎng)殖基地2 萬(wàn)元； 如在商定日期后送到，每遲到一天銷售商將少支付給水產(chǎn)養(yǎng)殖基地2 萬(wàn)元 為保證海鮮新奇度，汽車只能在商定日期的前兩天動(dòng)身，且只能挑選其中的一條大路運(yùn)輸海鮮，已知下表內(nèi)的信息：統(tǒng)計(jì)信息不堵車的情形下到堵車的情形下到達(dá)達(dá)城市乙所需時(shí)間城市乙所需時(shí)間堵車的概率運(yùn)費(fèi)（萬(wàn)元）汽車（天）（天）行駛路線大路 123128大路 214112（注：毛利

15、潤(rùn)銷售商支付給水產(chǎn)養(yǎng)殖基地的費(fèi)用運(yùn)費(fèi)）（ i）記汽車走大路1 時(shí)水產(chǎn)養(yǎng)殖基地獲得的毛利潤(rùn)為（單位：萬(wàn)元） ，求的分布列和數(shù)學(xué)期望e（ ii ）假設(shè)你是水產(chǎn)養(yǎng)殖基地的決策者，你挑選哪條大路運(yùn)輸海鮮有可能讓水產(chǎn)養(yǎng)殖基地獲得的毛利潤(rùn)更多？【答案】見(jiàn)解析【解析】（i）不堵車40238 萬(wàn)元，【留意有文字】堵車402236 萬(wàn)元，【留意有文字】的分布列為：3836p7188 e38736115137.75 萬(wàn)元884（ ii ）設(shè)走大路2 利潤(rùn)為，不堵車堵車402141萬(wàn)元，【留意有文字】4022135萬(wàn)元，【留意有文字】的分布列為：4135p1122 e41135138 萬(wàn)元，22 ee走大路 2 可

16、讓水產(chǎn)養(yǎng)殖基地獲得更多利潤(rùn)20（本小題滿分12 分）如圖在直三棱柱b1abca1 b1c1 中，c1abbcbb1 ， d 為 ac 中點(diǎn)a1bcda（ i）求證：bd平面 a1 acc1 （ ii ）如 ab1 ，且acad1，求二面角b a1db1 的余弦值【答案】見(jiàn)解析【解析】證明： （ i ）連結(jié) ed ，b1c1a1ebcda平面ab1c i平面a1bded ， b1c平面a1bd ， b1ced ， e 為ab1 中點(diǎn)， d 為 ac 中點(diǎn)， abbc ， bdac ，法一：由a1 a平面 abc ， bd平面 abc ，得 a1 abd ，由及a1 a ， ac 是平面a1 ac

17、c1 內(nèi)的兩條相交直線，得 bd平面 a1 acc1 法二：由a1 a平面 abc ，a1 a平面a1 acc1 ，平面a1 acc1平面 abc ，又平面a1 acc1 i 平面 abcac 得 bd平面a1 acc1 2解：（ ii ）由 ab1 ，得bcbb11 ，由（ i）知 da1 ac ，又2ac da1，得ac2 ，2 ac2ab22bc， abbc ，如圖以 b 為原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系bxyz ，如圖示：zb1c1a1ebcyadx就 a1 1,0,1 ， b10,0,1 ， d1 , 1 ,0，22uuuur得 b1 a11,0,0 ，uruuuur b1 d1 , 1

18、,1 ，22就 m x, y , z 是平面uuuura1 b1d 的一個(gè)法向量，m b1 a1x0就uruuuur1 1，令 z1 ，m b1dxyz0 22ur得 m0,2,1 ，r設(shè) na,b, c 為平面a1 bd 的一個(gè)法向量，ruuurn bd就ruuur n ba1ab022，ac0 r令 c1，得 n 1,1,1，依據(jù)題意知二面角設(shè)其大小為，r urba1 db1 為銳二面角，rur| n m |315就 cos| cosn, m |rur，| n | | m |53511即二面角 ba db 的余弦值為15 5其它解法請(qǐng)參照給分21（本小題滿分12 分）222xyauuuru

19、uur設(shè)橢圓m :2a1a22 的右焦點(diǎn)為f1 ，點(diǎn) a,0a 22，如 of12f1 a （其中 o 為坐標(biāo)原點(diǎn)） （ i）求橢圓 m 的方程（ ii ）設(shè) p 是橢圓 m 上的任意一點(diǎn)，ef 為圓2uuuruuurn : x2 y21 的任意一條直徑（e 、 f 為直徑的兩個(gè)端點(diǎn)），求 pepf 的最大值【答案】見(jiàn)解析a22【解析】（i）由題設(shè)知，auuuruuur,0a22， f1 a2,0 ，22由 of12 af10 ，2得a22a 2a22a2，解得a6 ，所以橢圓 m 的方程為22m : xy1 62（ ii ）設(shè)圓n : x2 y2 21的圓心為n ，uuuruuuruuuru

20、uuruuuruuur就 pepf nenp nfnp ，uuuruuuruuuruuurnfnp nfnp ，uuur 2uuur 2uuur 2npnfnp1uuuruuuruuur 2從而求 pepf的最大值轉(zhuǎn)化為求np 的最大值由于 p 是橢圓 m 上的任意一點(diǎn)，設(shè)22p x0 , y0 ，所以 x0y021 ，即 x63 y2 ，0062由于點(diǎn)n 0,2 ，所以 uuur 222npx0 y022 y0112由于 y02,2，所以當(dāng)y01 時(shí)，uuur 2 取得最大值 12 ，nppepf所以 uuuruuur 的最大值為 1122（本小題滿分12 分）已知函數(shù)f xx2ax2 ， g x ex bx2 ，如曲線yf x 和曲線yg